Skip to main content

Full text of "Darstellende Geometrie"

See other formats


HANDBUCH 

ÄNGE^^ANDTEN MATHEMATIK 
VUSGEGEBBN VON H. E. TIMI 



GEOMETRIE 



JOHANN EÖ HjELMSLHV 



U . kl 




VERLAG B.G.TEUBNER- LEIPZIG -BERLIN 



HANDBUCH 

DEE ANGEWANDTEN MATHEMATIK 

HERAUSGEGEBEN VON 

De.h. e. timerding 

O. PROFESSOB AN DER TECHNISCHSM HOCHSCHULE IN BRAUNSCHWEIO 

In mehreren Teilen. Mit vielen Textfiguren. 8. InLeinwand gebunden. 

Das Werk, dessen drei erste Teile hiermit herausgegeben werden, 
ist bestimmt, die gesamte angewandte Mathematik in einer für die 
Studierenden der Universitäten und der Technischen Hochschulen 
gleich brauchbaren Form zu behandeln. Als angewandte Mathematik 
bezeichnen wir alle die Zweige der Mathematik, die zwischen der 
theoretischen Entwicklung^ und der wirklichen Anwendung auf 
technische und naturwissenschaftliche Probleme liegen. Hierbei 
ist natürlich nicht ausgeschlossen, daß, wo die theoretische Ent- 
wicklung für die Anwendungen nicht ausreicht, sie in passender 
Weise ergänzt werden muß. Vor allen Dingen ist angewandte 
Mathematik eigentliche Mathematik, nicht Physik oder Technik; 
sie ist nur Mathematik, die nach den Anwendungsgebieten und den 
praktischen Zwecken orientiei't ist. Danach bestimmt sich der 
methodische Charal-iter des vorliegenden Werkes und die Abgren- 
zung seiner einzelnen Teile. Dienlich wird es sich jedem erweisen, 
für den der praktische Gebrauch der Mathematik, in irgend einer 
Hinsicht und aus irgend einem Grunde, Interesse hat. 

I. PRAKTISCHE AMLYSIS 

VON 

Dr. hobst von SANDEN 

PRIVATDOZENT AN DER UNIVERSITÄT GÖTTINGEN 

Der erste, praktische Aualyais betitelte Band des Handbactei der angewandten 
Mathematik enthält die numerischen and graphischen Bechenmethoden , die bei 
der BurcbfUhrang inathematisoher Probleme bis zur zahlenm&£igen Berechunng, 
wie sie beispielsweise in der Praxis des Ingenieurs und messenden Physikers ver- 
langt wird, üur Anwendung gelangen, and damit die Grundlagen der angewandten 
Mathematik überhaupt. 

Es werden u. a, behandelt die Aut lösung von algebraischen und transzendenten 
Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten, Interpolation, Differentiation 
und Integration empirischer Funktionen, die Behandlung gewöhnlicher Differential- 
gleichungen. Von Beohenhllfsmittebi werden der Beohenschieber und die Bechen- 
maschinen eingehend besprochen. Zahlreiche durchgerechnete Beispiele zeigen 
die praktische Brauchbarkeit der Methoden. Die Auswahl dos Stoffes ist so ge- 
troffen, daß kdnftige Lehrer' der Mathematik, Ingenieure und Physiker das Buch 
mit gleichem Nutzen studieren können. 



II. DARSTELLENDE GEOMETRIE 

VON 

Dk. JOHANNES HJELMSLEV 

O. PROFESSOR DER DARSTELLENDEN OEOMETRIB AH 
DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN KOPENHAGEN 

Di« vorliegende Behandlaiig der dnrstelleaden G-eometrie, die -wesentlich fllr 
Studierende der UniTeisitäten bestimmt ist, ist von dem Gosiohtsponkte aus ent- 
standen, da£ die darstellende Geometrie dazn be.'mfen sein könnte, die naturgemäße 
Einleitung zum Studium der höheren Geometrie überhaupt zu bilden. Als Grund- 
lage der Konstruktionen im Baume dient die einfache senkrechte Projektion auf 
die Zeichenebene; hiemach ergibt sich die doppelte Projektion ganz von selbst 
und die anderen Methoden schlieBen sich eng daran, an. Ftlr die Kurvenlehre in 
der Ebene und im Baume werden ganz neue Grundlagen gegeben, die allgemeiner, 
natürlicher und vollständiger sind als die Entwicklungen, die man in den analy- 
tischen Darstellungen der InflniteEimalgeometrie gewöhnlich findet. Überliaupt 
wird auf die wissenschaftliche und übersichtliche Behandlung besonderer Wert 
gelegt, der Übergang zu den technischen Anordnungen wird aber gleichzeitig 
klar, wenn auch kurz bezeichnet. 



m. GRUNDZÜGE DER GEODÄSIE , 
UND ASTRONOMIE 

VON 

Dk. MABTIN NÄBAUEE 

O. PROF. DEB SEODÄSIE AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE BRACTNSCHWEIO 

Dieser Band, welcher sich in erster Linie an den Mathematiker wendet, besteht 
aus folgenden 4 Teilen: 

Im 1. Teil wird die „Ausgleichungsrechnung nach der Methode der 
kleinsten Quadrate", die unentbehrliche Hilfswissensohaft der Geod&sie und 
Astronomie, behandelt und durch Beispiele erläutert. 

Der 2. Teil „Niedere G-eodäsie" befaßt sich mit den Aufgaben der Peld- 
messnng. Insbesondere werden die Methoden der Geländeaufnahmen, die Ver- 
arbeitung der Aufnahmen und die gebräuchlichsten Absteckungsmethoden behandelt. 

Der S.TeUpHöhere Geodäsie" geht zunächst auf die Aufgaben der Landes- 
vermessung ein, wobei die Kugel als Projektionsfläche dient. Daran reiht sich 
die Betrachtung der Erde als Botationsellipsoid , die Ermittlung der Ellipsoid- 
konstanten, die Rechnung auf dem Ellipioid und dessen AbbUdnng. Den Schluß 
dieses Teiles bildet die Besprechung des Geoids. 

Der 4. Teil endlich „GrnndzUge der Astronomie" behandelt zunächst 
die Grundbegriffe der theoretischen Astronomie, um hierauf etwas ausführlicher 
auf die Methoden der astronomisch-geographischen Ortsbestimmung einzugehen, 
welche durch Beispiele erläutert werden. 

Weiter werden zunäcliat folgen: 
IV. Die graphischen Methoden der technischen Mechanik. 
V. Mathematische Statistik und Versicherungsrechnung. 



TittMUfl 




\ 



HANDBUCH 

DER ANGEWANDTEN MATHEMATIK 



HERAUSGEGEBEN VON 



Dr. H. E. timerding 

O.PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN 
HOCHSCHULE IN BRAUNSCHWEIG 



ZWEITER TEIL 

DARSTELLENDE GEOMETRIE 

vox 

J. HJELMSLEV 



LEIPZIG UND BERLIN 
DRUCK UND VERLAG VON B. G.TEUBNER 

1914 



DARSTELLENDE GEOMETRIE 



VON 



Dr. JOHANNES HJELMSLEV 

O. PROFESSOK DER DARSTELLENDEN GEOMETRIE AN 
DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN KOPENHAGEN 



MIT ;!0ö ABBILDUNGEN IM TEXT 



LEIPZIG UND BERLIN 
DRUCK UND VERLAG VON B. G.TEUBNER 

1914 



Soi 
HS 




COPYRIGHT 1S14 BY B. G. TEUBNEK Ds LEIPZIG 



ALLE RECHTE, 
EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, YOP-BEHATiTEX 



YOKWORT DES HERAUSGEBEKS 

Während für die „praktische Analysis", die den ersten Band 
dieses Handbuches bildet, kaum auf eine vorliegende erschöpfende 
Darstellung verwiesen werden konnte und auch eine kurze Zu- 
sammenstellung der mathematischen Grundlagen von Geodäsie und 
Astronomie, wie sie der binnen kurzem erscheinende dritte Band 
gibt, nirgends zu finden ist, gibt es für die darstellende Geometrie, 
welcher der voi'liegende zweite Band gewidmet ist, eine Fülle von 
Lehrbüchern. Trotzdem ist, was hier geboten wird, wie ich glaube, 
in keinem der vorhandenen Lehrwerke dem Wesen nach enthalten. 
Gemäß den Absichten, die unser Handbuch verfolgt, handelte es sich 
für uns nicht bloß um eine Behandlung der darstellenden Geometrie 
als einer zweckmäßigen Einführung in die technischen Wissen- 
schaften, sondern auch um ein Hervorkehren ihrer selbständigen 
Bedeutung als einer besonderen Begründungsart der Raumgeome- 
trie. Dadurch, daß sie zu gleicher Zeit hinüberführt zu den tech- 
nischen Problemen, zeigt sie schöner und deutlicher als irgendein 
anderer Zweig der Mathematik die enge Verbindung von theore- 
tischer Forschung und pr-aktischer Anwendung. In diesem Lichte 
soll sie hier erscheinen. Sie soll so dem Techniker Gelegenheit 
geben, seine wissenschaftliche Auffassung zu vertiefen, und dem 
Mathematiker, den Weg zu finden von seiner abstrakten Wissen- 
schaft zu den Aufgaben der Praxis. 

Braunschweig, im Xovember 1913. 

H. E. Timerding. 



YOKWOßT DES YEßFASSEßS 

Die darstellende Geometrie ist aus den Bedürfnissen der 
Kunst und der Technik erwachsen. Sie ist deshalb immer als an- 
gewandte Mathematik aufgefaßt worden und ist es tatsächlich im 
Hinblick auf den engen Anschluß ihrer Problemstellung an die 
Bedürfnisse der praktischen Konstruktionen, sie ist aber ander- 
seits nach Form und Methode eine rein mathematische Disziplin. 
In dieser doppelten Bedeutung dürfte sie eines noch höheren 
Platzes innerhalb der mathematischen Wissenschaften würdig sein 
als sie bisher einnimmt. Ohne daß ihr praktischer Wert irgendwie 
beschränkt würde, könnte sie bei ihrem elementaren Charakter 
und wahrhaft geometrischen Geist dazu berufen sein, die natur- 
gemäße Einleitung zum Studium der höheren Geometrie zu bilden. 
In dieser Bedeutung kommt sie namentlich für die Universitäten 
in Betracht, und da das vorliegende Lehrbuch wesentlich für Stu- 
dierende der Universitäten, d. h. für künftige Lehrer der Mathe- 
matik bestimmt ist, mußte auf die wissenschaftliche Bedeutung 
der darstellenden Geometrie und die wissenschaftliche Exaktheit 
ihrer Behandlung besonderer Wert gelegt werden. 

Über die Ausführung im einzelnen sollen nur wenige Worte 
vorausgeschickt werden. Als Grundlage der Konstruktionen im 
Räume dient die im ersten Kapitel behandelte einfache senkrechte 
Projektion auf die Zeichenebene. Wenn der Studierende diese 
kurze Darstellung sorgfältig durchgearbeitet hat, ergibt sich ihm 
die doppelte Projektion ganz von selbst, und die anderen Metho- 
den, Parallelprojektion und Zentralprojektiou, schließen sich, was 
die metrischen Konstruktionen anbetrifft, eng daran an. 

Für die Kurvenlehre haben wir im siebenten und zehnten 
Kapitel ganz neue Grundlagen gegeben, die allgemeiner, natür- 
licher und vollständiger sind als die Entwicklungen, die man in 
den analytischen Darstellungen der Infinitesimalgeometrie gewöhn- 
lich findet. Es ließe sich in dieser Hinsicht noch manches hinzu- 
fügen; bei dem beschränkten Raum war es aber nicht möglich. 

Die entsprechende allgemeine Behandlung der Grundlagen 
der Flächentheorie würde einen breiteren Raum beanspruchen und 



Vorwort des Verfassers VII 

über den elementaren Charakter unseres Buches hinausführen. Da 
der Umfang des Bandes ein möglichst bescheidener bleiben sollte, 
mußten wir darauf verzichten, diese Behandlung zu bringen. Wir 
haben deshalb die Untersuchungen auf spezielle Flächenklassen 
beschränkt und haben an mehreren Stellen nur kurze Andeutungen 
statt vollständiger Beweise geben können. 

Die bestimmten praktischen Aufgaben, auf welche die dar- 
stellende Geometrie angewendet wird, haben Avir überall nur so 
weit angedeutet, daß der mathematische Charakter dieser Anwen- 
dungen deutlich hervortritt Die ausführliche Darstellung der An- 
wendungen hätte das Hineinziehen vieler technischer Einzelheiten 
notwendig gemacht und die geometrische Eigenart der Konstruk- 
tionen nur verwischt. Damit steht in Zusammenhang, daß die 
Figuren recht einfach geblieben sind; bei verwickelten Zeich- 
nungen geht die Übersichtlichkeit verloren, die einzelnen Schritte 
lassen sich nicht mehr deutlich erkennen und in ihrem Zusammen- 
hang verfolgen. Die Figuren sind durchweg als Erläuterungen des 
Textes und nicht als Zeichenvorlagen aufzufassen. Wer solche 
Vorlagen wünscht, wird übergenug in den am Schlüsse zitierten 
Sammlungen finden. 

Das Buch setzt nur die elementarsten geometrischen Kennt- 
nisse voraus. Die an einzelnen Stellen knapp gehaltene Form wird 
hoffentlich nur anregend auf den Leser wirken: wir halten es für 
gut, ihm die Freude der Selbsttätigkeit nicht ganz zu nehmen. 

Es bleibt mir noch übrig, meinen besten Dank dem Heraus- 
geber, Herrn Professor Timerding, auszusprechen, der durch Über- 
setzung und Durchsicht meiner Manuskripte und durch wertvolle 
Ratschläge mir eine unentbehrliche Hilfe geleistet hat. 

Kopenhagen, im August 1913. 

J. Hjelmslev. 



INHALTSVERZEICHNIS. 



Seite 

Erstes Kapitel. 

Einfache Projektion. 

Stereometr. Grundaufgaben 1 

Dreikantskonstruktionen . . .12 
Projektion eines Kreises. . . 15 

Zweites Kapitel. 

Doppelte Projektion. 

Grundaufgaben 18 

Einfache Körper 22 

Durchdringungen v. Polyedern 27 
Raumgeometrische Konstruk- 
tionen bei besonderen Lagen- 
verhältnissen 31 

Umprojizieren 34 

Die Mittelebene. Perspektivi- 
sche Affinität 36 

Drittes Kapitel. 

Parallelprojektion. 

Axonometrie. 

Grundsätze der Parallelpro- 
jektion 40 

Die allgemeine axonometrische 

Darstellung 42 

Kavalierperspektive 48 

Orthogonale Axonometrie . . 50 

Viertes Kapitel. 
Grundlagen und Methoden 
der perspektivischen Dar- 
stellung. 

Unendlich ferne Elemente . . 54 

Zentralprojektion 57 

Das Doppelverhältnis .... 64 



Perspektive ebene Felder. 
Perspektive Raumfiguren . 



Seita 

68 
75 



Fünftes Kapitel. 

Elemente der projektiven 

Geometrie. 

Projektive Punktreihen und 

Strahlen bü seh el 80 

Punktreihen auf dem Kreis 
und ihre Anwendung . . 85 

Involutionen s9 

Pol und Polare. Das Dualitäts- 

. . 94 
. . 99 



pnnzijj . . . . 
Hilfskonstruktionen 



Sechstes Kapitel. 

Kegelschnitte. 

Einleitende Sätze 101 

Allgemeine Eigenschaften der 

Kegelschnitte 108 

Die Ellipse 113 

Die Parabel 117 

Die Hyperbel 120 

Perspektive Kegelschnitte. . 123 

Schmiegungskreise 129 

Siebentes Kapitel. 
Ebene Kurven. 

Einfache Bögen 135 

Die Momentaubewegung einer 

ebenen Figur in ihrer Ebene 142 
Bögen mit monoton variieren- 
der Krümmung (Norm- 
bögen) . 144 

Rollkurven 156 

Zyklische Kurven 16y 

HüUkurveu 172 

Gegeupunktkurven , Brenn- 
kurven, Fußpunktkurven . 174 



Inhaltsverzeichnis 



IX 



Seite 
Achtes Kapitel. 

ümdrehungsflächen. 

Allgemeine Erzeugung der 
Kurven und Flüchen . . . 175 

Darstellung einer Umdre- 
hungsflache in Grund- und 
Aufriß 179 

Ebene Schnittkui-ven einer 
Umdrehungsfläche . . . .182 

Das eins^chalige Umdrehungs- 
hyperboloid 184 

Anwendungen des Hyperbo- 
loids . .' 189 

Umdrehungskegelschnitt- 
flächen 193 

Neuntes Kapitel. 
Kegelschnittflächen. 

Die Tangentialebene und ihre 

Lage zur Fläche 196 

Pol und Polarebene .... 198 
Mittelpunktsflächen .... 201 

Die Paraboloide 20t 

Geradlinige Kegelschnitt- 
flächen 207 

Konstruktionen 209 

Stereographische Projektion 213 
Kreisschnitte 215 

Zehntes Kapitel. 
Raiimkurren. 

Einfache Bögen im Räume . 219 
Die Paralielprojektion eines 

einfachen Bogens .... 221 
Die Schmiegunjishalbebene . 224 
Die Tangentenfläche eines 

einfachen Bogens .... 225 
Einfache Raumkurven . . . 227 
Krümmungskreis 230 



234 
239 



260 



26-; 



Elftes Kapitel. 

Abwickelbare Flächen 

und andere Uiillflächen. 

Allgemeine abwickelbare Flä- 
chen 

Kegelflächen 

Schraubenlinien u. abwickel- 
bare Schraubenflächen . . 

Leitkurven und Leitflächen . 

Allgemeine Hüllflächen. Ka- 
nalflächen 

Zwölftes Kapitel. 

Windschiefe Flächen. 

Erzeugung der windschiefen 

Flächen 268 

Tangentialebenen 270 

Zentralpunkte und Parameter 272 
Singulare Erzeugende . . .274 

Leitflächen 276 

Die Striktionslinie 276 

Konoide 279 

Das Zylindroid . . . .281 
Schiefer Durchgang .... 283 
Normalflächen. 286 

Dreizehntes Kapitel. 

Schraubenflächen und 

topographische Flächen. 

Allgemeine Schraubenflächen 293 
Gerade Schraubeuflächen . . 295 
Schiefe Schraubenflächen . . 297 
Topographische Flächen . . 300 

Vierzehntes KapiteL 

Die Beleuchtung der 

Flächen. 

Schattenkonstruktion^n . . 305 
Beleuchtungslinien 308 



Literaturverzeichnis 

Zusätze 

Sachregister . . . 



312 
314 
315 



Erstes Kapitel. 
Einfache Projektion. 

Stereometrisclie Grundaufgaben. 

1. Ein Punkt A im Räume ist bestimmt, wenn man seine 
senkrechte Projektion Ä' auf die Zeichenebene samt der wahren 
firöße seines Abstandes von dieser Ebene kennt, wobei man in- 
dessen den Abstand mit einem bestimmten Vorzeichen zu nehmen 
hat, das angibt, ob der Punkt vor oder hinter der Zeichenebene liegt. 
Die Zeichenebeue nennen wir auch Projektionsebene oder Bildebene^ 
und die Projektion des Punktes werden wir gelegentlich auch als 
sein Bild bezeichnen. 

Diese Darstellung denken wir uns nun im folgenden auf 
jeden- Punkt des Raumes angewendet, so daß wir annehmen, die 
Punkte -4, i?, C . . . seien bekannt, wenn ihre Projektionen A', 
B', C' . . . und die zugehörigen Abstände (A)^ (B), ((7) . . . ge- 
geben sind, und wenn wir davon sprechen, daß Punkte zu finden 
sind, die gewissen Bedingungen genügen, so meinen wir stets, daß 
die Projektionen der Punkte auf die Zeichenebene und die zuge- 
hörigen Abstände zu finden sind. 

2. Ein Lot der Zeichenebene heißt ein PrqjeldionsstraJd oder 
SrhstraJd. Ein solcher wird in den Punkt projiziert, wo er die 
Zeichenebene schneidet (die Spur der Linie), und ist durch diesen 
Punkt allein bestimmt. Wenn zwei Punkte A und B auf dem- 
selben Projektionsstrahl liegen, so sagt man, daß A vor B (und 
B hinter A) liegt, wenn die Richtung von B nach A nach vorne 
(d. h. nach der Seite, die vor der Zeichenebene liegt) weist. 

Haben zwei Punkte A und B verschiedene Projektionen A' 
und B\ so wird die gerade Linie ^2? in die Linie A' B' projiziert. 
Dreht man die projizierende Ebene ABA'B' um A' B' in die 
Zeichenebene hinein, so fallen A und B in zwei Punkte A^ und 
B^ (Fig- l), die dadurch bestimmt sind, daß A'A^ und B' B^ 
senkrecht auf A' B' stehen und daß diese Strecken gleich den 
Abständen (A) und (ß) der gegebenen Punkte werden. A^B^ 

Tiiuording, Haudbucli II 1 



2 Erstes Kapitel. Einfache Projektion 

heißt dann die TJmklappung (oder genauer die Haiq)hmUappung) 
von Ä B. Sie kann auf zwei Arten gebildet werden, da man die 

B Drehung nach der einen oder 
nach der anderen Seite ausführen 
kann. 

Durch diese Umklappung 
' bestimmt man 

1. die /Spwr der Linie (ihi-en 
Schnittpunkt mit der Zeichen- 
ebene) als den Schnittpunkt S 
von Ä' B' und Ä^B^^ 
° °~, ", 2. die Neigung der Linie 

gegen die Zeichenebene als den 
Winkel zwischen Ä B'ua^A^ B^ , 
3. die wahre Länge von AB als die Länge von Ä^By 
Zieht man A^F 4^ Ä B\ so erhält man ein rechtwinkliges 
Dreieck A^PB^^ dessen Hypotenuse gleich AB ist, während die 
eine Kathete A^P gleich AB' und die andere gleich der Diffe- 
renz von {A) und (5) wird. Folglich: 

Die ivahre Länge einer Strecke findet man als Hypotenuse in 
einem rechtwinJdigcn Dreieck, dessen eine Kathete die Projektion 
der Strecke und dessen andere Kathete die Differenz der Abstände 
der Endpunkte von der Zeichenebene ist. 

Ist AB der Zeichenebene parallel, so sprechen wir von einer 
Frontlinie. In diesem Falle wird AB 4 A'B' # ^i-^i- 

Strecken auf derselben geraden Linie sind ihren Projektionen 
proportional. Soll die Strecke AB in einem bestimmten Verhält- 
nis geteilt werden, so kann man demnach die Projektion des Teil- 
punktes finden, indem man A' B' in jenem Verhältnis teilt. 

Parallele Linien haben parallele Projektionen, da die pro- 
jizierenden Ebenen der Linien parallel werden. Wenn die Ura- 
klappungen der Linien nach derselben Seite ausgeführt werden, 
so ergeben sie auch parallele Linien. 

3. Eine zur Zeichenebene parallele Ebene heißt eine Front- 
ebene. Sie wird durch ihren Abstand von der Zeichenebene (mit 
dem gehörigen Vorzeichen) vollständig bestimmt. Figuren in einer 
Frontebene sind ihren Projektionen kongruent. 

Wenn ein Punkt um einen Projektionsstrahl gedreht wird, 
so durchläuft er einen Kreis, der selbst in einer Frontebene ent- 
halten ist und dessen Mittelpunkt auf dem Projektionsstrahl liegt. 
Die Projektion des Kreises kann dann sofort gezeichnet werden. 
Soll der Punkt um einen gegebenen Winkel gedreht werden, so 



stereometrische Grundaufgaben 3 

stellt diesei" in der Projektion sich in der wahren Größe dar und 
kann deshalb unmittelbar abgetragen werden. So bestimmt n:an 
die Projektion des Punktes nach der Drehung; sein Abstand nach 
der Drehung ist derselbe wie vor der Drehuncr. 

Eine zur Zeichenebene senkrechte Ebene heißt eine pro- 
jizierende Ebene oder Sehstrahlehene\ sie Avird in ihre Spin\ d. h. 
ihre Schnittlinie mit der Zeichenebene projiziert und durch diese 
Spur bestimmt. Die wahre Grüße einer Figur in einer projizie- 
renden Ebene findet man durch ümklappung in die Zeichenebene, 
wie es schon in Fig. 1 angegeben ist. 

Jede zu einer projizierenden Ebene senkrec/äe Linie ist eine 
Fronilinie und wird als eine zur Spur der projizierenden Ebene 
senkrechte Linie projiziert. 

Hiernach läßt sich die Aufgabe lösen, die wahre Größe der 
Projektion einer gegebenen Figur auf eine gegebene projizierende 
Ebene zu bestimmen. 

4. Eine Kugel ist bestimmt durch ihren Mittelpunkt C und 
die wahre Länge r ihres Radius. Alle zur Zeichenebene parallelen 
Radien der Kugel werden in der wahren Größe projiziert, während 
die anderen Radien bei der Projektion verkürzt werden. Hieraus 
folgt, daß die ganze Projektion der Kugel in einen Ki'eis c' mit 
dem Mittelpunkt C und dem Radius r fällt; c ist die Projektion 
des größten Kreises c der Kugel, der in einer zur Zeichenebene 
parallelen Ebene liegt, und heißt die Kontur oder der Umriß der 
Kugelprojektion (vgl. Fig. 2). 

Nimmt man einen Punkt P' innerhalb c an, so ist dieser 
die Projektion von zwei Kugelpunkten. Diese Punkte kann man 
durch Umklappung einer durch P' und C gehenden projizieren- 
den Ebene bestimmen. Man kann auch benützen, daß der Höhen- 
unterschied von P und C sich als Kathete in einem rechtwinkligen 
Dreieck gibt, dessen Hypotenuse r ist, während die andere Kathete 
P C' ist; man kann dann den Höhenuntei'schied sofort bestimmen, 
indem man auf P'C' in P' das Lot errichtet bis zu seinem Schnitt 
mit c . 

Der Kreis c (und die Frontebene, in der er liegt) teilen die 
Oberfläche der Kugel in eine vordere und eine hintere HälbTcugel. 
Man pflegt nun, um der Zeichnung eine größere Anschaulichkeit 
zu geben, die Kugel als undurchsichtig zu betrachten, so daß 
jeder Punkt P vorne auf der Kugel die Punkte hinter P verdockt; 
und das Resultat hiervon ist, daß der Teil des Raumes, der hinter 
der vorderen Halbkugel liegt, unsichtbar wird. Wenn deshalb z. ß. 
eine gerade Linie den unsichtbaren Raum durchzieht, so deutet 



4 Erstes Kapitel. Einfache Projektion 

man dieses in der Zeichnung an, indem man das betreffende Stück 
von der Projektion der Linie punktiert. 

Eine beliebige projizierende Ebene, deren Spur s den Umriß 
der Kugel schneidet, schneidet die Kugel in einem Kreis. Der 
Durchmesser dieses Kreises ist gleich der Strecke, die s aus c' 
ausschneidet, und der Mittelpunkt des Kreises hat denselben Ab- 
stand von der Zeichenebene wie der Mittelpunkt der Kugel. Die 
Umklappung des Kreises kann so leicht gezeichnet werden. 

Soll man den Schnittpunkt der Kugel mit einer geraden 

Linie a finden, so kann dies geschehen, indem man die projizie- 

/ rende Ebene durch die Linie legt 

^ - --j^ und den Kreis bestimmt, in dem 

/ I ^x sie die Kugel schneidet. Dieser 

Kreis schneidet die Linie a in den 
gesuchten Punkten, und diese wer- 
den so durch Umklappung der pro- 
jizierenden Ebene bestimmt (Fig. 2). 
5. Aus der Stereometrie ist 
bekannt, daß ein rechter Winkel, 
von dem ein Schenkel der Zeichen- 
ebene parallel und der andere kein 
Projektionsstrahl ist, als ein rechter 
Winkel projiziert wird. Allgemeiner 
p. 2 kann man sagen, daß zwei zuein- 

ander sen'kreclite Linien (ob sie sich 
schneiden oder nicht), ivenn die eine der Zeichenehene parallel und 
die andere kein ProjcMionsstrahl ist, als zwei zueinander senhrechte 
Linien projiziert werden. 

Dieser Satz findet unmittelbare Anwendung l)ei der Lösung 
folgender Aufgabe: Gctfeben ist ein Projekfionsstrahl a und eine 
schräge Linie h (durch die Projektion h' und die Umklappung 6j 
nach einer bestimmten Seite); den kürzesten Abstand der beiden 
Linien zu finden. Da der gesuchte Abstand zu a senkrecht ist^ 
muß er der Zeichenebene parallel sein; da er zugleich zu b senk- 
recht ist, muß seine Projektion zufolge des genannten Satzes senk- 
recht zu b' sein. Die Projektion des Abstandes gebt also durch 
den Punkt a', in dem a auf die Zeichenebene projiziert wird, und 
ist senkrecht zu b'] so findet man die wahre Größe des Abstandes. 
Seine Lage im Raum wird mit Hilfe des Fußpunktes auf b be- 
stimmt. 

6. Eine schiefe Ebene kann durch ihre Spur s (ihre Schnitt- 
linie mit der Zeichenebene) und einen beliebigen Punkt A in der 




Stereoinetrisclie Gnindaufgabeii 



5 



Ebene bestimmt werden. Die Frontlinien in der Ebene sind parallel 
zu 5, und dasselbe gilt von ibreu Projektionen. Durch jeden Punkt 
der Ebene geht eine solche Prontlinie. Die Linien in der Ebene, 
die zu den Frontlinien senkrecht sind, heißen Querlinien oder Fall- 
Unien. Sie werden in Linien, die zu s senkrecht sind, projiziert 
(nach dem Satze über die Projektion eines rechten Winkels). 
Durch jeden Punkt der Ebene geht eine Quei'linie. 

Wir wollen nun zeigen, wie man einen beliebigen Punkt P in 
der gegebenen Ebene (sA) bestimmen kann (Fig. 3). Wir nehmen die 
Projektion des Punktes P' beliebig an und wollen den zugehörigen 
Abstand von der Zeichen- 
ebene bestimmen. Durch 
den gegebenen Punkt A 
ziehen wir die Querlinie /, 
Ihre Projektion t' oder A'S 
geht durch A' und ist zu 
s senkrecht. Ihre Spur sei 
S und ihre Hauptumklap- 
pung ^,j, sie wird mit Hilfe 
von A' Aj^ = (A) bestimmt. 
Diu:ch P ziehen wir nun 
eine Frontlinie f in der 
Ebene (/"' geht durch P' 
und ist zu s parallel); /" 
schneidet t in einem Punkte 
B, dessen Abstand von der Zeichenebene B' B^ ist. Aber diese Länge 
gibt auch den Abstand des Punktes P von der Zeichenebene an. 
Der Abstand dieses Punktes von der Spur der Ebene ist derselbe 
wie der Abstand des Punktes B von dieser Spur, also gleich SB^. 
Der Winkel zwischen der gegebenen Ebene und der Zeichenebene 
ist gleich dem Winkel zwischen t' und t^ . 

Mit Hilfe der umgeklappten Querlinic t^^ (des Profils der 
Ebene) bestimmt man sonach 

1 . die verschiedenen Punkte der Ebene, 

2. ihre Abstände von der Spur der Ebene, 

H. die Neigung der Ebene gegen die Zeichenebene. 

.rede zu .s senkrechte Ebene gibt durch ümklappung ein ProHl 
der gegebenen Ebene und heißt deshalb eine Proßlebene dieser 
Ebene. 

Ist die Projektion einer Figur in der Ebene gegeben und soll 
man die wahre Gestalt der Figur finden, so kann man dies er- 
reichen, indem man die Ebene um ihre Spur s in die Zeichenebenc 




6 Erstes Kapitel. Einfache ProjeJition 

hineindreht. Man nennt dies die UmMappiwg der gegebenen Ebene. 
Diese Umklappung führt man mit Hilfe von Querlinien aus. Von 
jedem Pimhtc gieJit man die Querlinie his zur Spur der Ebene und 
liappt sie mit Hilfe des Profils um. In Fig. 3 ist z. B. der Punkt P 
mit Hilfe der Querlinie P'T umgeklappt, die in Pj T umgeklappt 
wird, wobei 2'Pj = SB^. 

Wenn eine Linie in einer Ebene liegt, liegt die Spur der 
Linie auf der Spui' der Ebene. In Fig. 3 ist die Projektion c einer 
Linie c in der gegebenen Ebene (sÄ), die durch P geht, gezeich- 
net. Der Schnittpunkt C von c' und s ist die Spui- der Linie. Soll 
die Linie durch Drehung der Ebene \xm s umgeklappt werden, so 
bleibt C fest, und die Umklappung der Linie ist CP^. 

Zu einem beliebig angenommenen P' gehört ein bestimmtes 
P^ und umgekehrt; die Linie P' P^ ist -L s und wird von dieser 
Linie in einem konstanten Verhältnis geteilt. Zu einer beliebig 
gewählten Linie c gehört eine bestimmte Linie Cj und umgekehrt, 
c und Cj schneiden s in demselben Punkt (oder sind beide zu 5 
parallel). Parallelen Linien c und d' entsprechen parallele Linien 
Cj und d^ und umgekehrt. 

Diese Eigenschaften kennzeichnen die ganze Verknüpfung 
zwischen der Projektion und der Umklappung beliebiger Figuren 
in der gegebenen Ebene und können auf verschiedene Weise beim 
Übergang von der einen zur anderen Vei^wendung finden.^) 

7. Ein schiefer Kreiskegel, dessen Grundkreis k in der Zeichen- 
ebene liegt und dessen Spitze *S' gegeben, ist für uns zunächst die 
unendliche Fläche, welche die durch S gehenden und 7c schneiden- 
den geraden Linien erfüllen. Die Projektionen dieser Linien gehen 
von S' aus und schneiden l: Sie erfüllen entweder die ganze Ebene 
oder nur einen Teil von ihr; im letzten Falle wird die Projektion 
des Kegels von zwei geraden Linien S'A und SB begrenzt, welche 
die Umrißlinien der Kegelprojektion heißen, während wir die zu- 

1) Beim Konstruieren muß man immer Messungen mit dem Zirkel 
der Zeichnung von Hilfslinien vorziehen. Man muß sich in dieser 
Hinsicht merken, daß der Abstand eines Punktes von einer Linie 
unmittelbar in den Zirkel genommen werden kann, ohne daß man 
das Lot zeichnet. Dies kann man z. B. benutzen beim Übergang 
von einem beliebigen Punkte Pj zu dem zugehörigen Punkte P'. 
Man zieht zuerst Pjl'X« als geometrischen Ort für F'. Hierauf 
nimmt man das Stück P^ T in den Zirkel und trägt es auf dem 
Profil als SB^^ ab, worauf man, indem man die eine Spitze des Zirkels 
in 5„ fest läßt, unmittelbar den Abstand des Punktes B^ von s mißt 
und TP' gleich diesem Abstand abträgt. 



Stereometrische Grundaufgaben 



gehörigen Seitenlinien des Kegels als die ümrißseitenUnien be- 
zeichnen. Sie werden als die Tangenten von S' an Je bestimmt. 
Soll man einen Punkt auf dem Kegel mit der Projektion P' 
bestimmen, so geschieht das, indem man die zwei Seitenlinien 



S, 






Xsj 




Fig. 4. 



sucht, deren Projektionen in 
die Linie .S'P' fallen (Fig. 4) ; 
die Spuren dieser Seiten- 
linien fallen in die Punkte Q 
und i?, in denen die Linie 
6''P' den Kreis /: schneidet, 
die Abstände der gesuchten 
Punkte von der Zeiehenebene 
werden leicht dui-ch Um- 
klappung bestimmt. 

Indem man die Kegel- 
fläche als undurchsichtig an- 
nimmt und für die Zeichnung 
ganz dieselben Regeln anwen- 
det, wie sie früher für die 
Kugel angegeben sind, er- 
kennt man, daß die Strecke SB. sichtbar bleibt, wähi-end >S§ un- 
sichtbar wdrd. Läßt man B, und Q gleichzeitig je einen der Bögen 
durchlaufen, die auf Ä" durch die Punkte A und B begrenzt wer- 
den, so erkennt man, daß die von der Strecke SB beschriebene 
Fläche sichtbar ist, während die von SQ beschriebene Fläche un- 
sichtbar wird. Wir müssen also den kleineren von den beiden 
Bögen AB punktieren. Die Oberfläche des Körpers, der von dem 
unbegrenzten Kegel durch die Zeichenebene abgetrennt wird, wird 
durch die Linie SABBS in einen sichtbaren und einen unsicht- 
baren Teil zerlegt. Die Projektion des Körpers wird von der 
Linie S'ABBS' (dem Umriß) begrenzt. 

Ganz ähnliche Betrachtungen gelten für Pyramiden, da man 
diese als Kegel, deren Clrundflächen Polygone sind, ansehen kann. 
Hierbei muß man alle Kanten der Pyramiden ausziehen oder punk- 
tieren, je nachdem sie sichtbar sind oder nicht. 

Die Schnittpunkte einer geraden Linie a (Fig. 5), die durch 
ihre Projektion a und die Hauptumklappung a^ gegeben ist, mit 
dem Kegel S{k), d. h. mit dem Kegel, der die Spitze S und den 
Grundkreis Je hat, findet man, indem man eine Hilfsebene durch 
S und a legt. Die Spur s dieser Ebene ist parallel zu S' A\ wenn 
A der Punkt von a ist, der von der Zeichenebene denselben Ab- 
stand wie S hat. So ergeben sich die Seitenlinien SQ und SB, 



8 



Erstes Kapitel. Einfache Projektion 




Fig. 5. 



in denen die Hiltsebene den Kegel schneidet und auf denen die 
gesuchten Punkte liegen, wie es in der Figur angegeben ist. 

Der Kegel iS'(/.) hat längs jeder Seitenlinie SU eine Tan- 
gentialebene, deren Spur die Tangente von Ic in R ist, die Tan- 
gentialebene selbst ist 
durch die Bertihrungslinie 
und die Tangente von /r 
bestimmt. Alle Tangen- 
tialebenen gehen dui'ch S. 
Die beiden Tangential- 
ebenen längs der Unariß- 
'S' Seitenlinien sind proji- 
zierende Ebenen. 

Soll man durch einen 
gegebenen Punkt P eine 
Tangentialebene an den 
Kegel legen, so zieht man 
die Linie SP, ermittelt 
ihre Spur und legt durch 
diese Spur eine Tangente 5 au k. Die gesuchte Tangentialebene 
ist dann durch die Spur s und den Punkt P (oder S) bestimmt. 
Die Aufgabe ergibt bis zu zwei Lösungen. 

8. Für Zylinder gelten ganz ähnliehe Betrachtungen wie für 
Kegel. Ist die Grundkurve ein Kreis k in der Zeichenebene, und 
sind die Seitenlinien einer gegebenen Linie a (die kein Pro- 
jektionsstrahl ist) parallel, so hat die Projektion des Zylinders 
zwei ümrißlinien, die zu a parallel sind und k berühren. Längs 
jeder Seitenlinie hat der Zylinder eine Tangentialebene, die durch 
die Seitenlinie und die zugehörige Tangente der Grundkurve be- 
stimmt wird. Die Schnittpunkte einer geraden Linie mit dem 
Zylinder findet man aus einer Hilfsebene durch die Linie, die den 
Seitenlinien parallel ist. Eine Tangentialebene durch einen ge- 
gebenen Punkt wird durch eine Linie, die man durch den Punkt 
parallel zu den Seitenlinien zieht, bestimmt; die Tangenten, die 
man von der Spur dieser Linie an k legt, sind die Spuren der 
gesuchten Tangentialebenen. 

9. Soll man durch eine gegebene Linie AB (wobei Ä in der 
Zeichenebene und B beliebig angenommen wird) eine Ebene legen, 
die mit der Zeichenebene einen gegebenen spitzen Winkel bildet, 
so betrachtet man zuerst alle Ebenen, die durch B gehen und mit 
der Zeichenebene den gegebenen Winkel bilden. Die Spuren dieser 
Ebenen haben alle denselben Abstand von B' und müssen deshalb 



Stereometrieche Grundaufgaben 



n 



■% 




Flg. 6. 



einen bestimmten Kreis Tc mit dem Mittelpunkt B' berühren. Man 
zeichnet diesen Kreis und bestimmt die Spuren der gesuchten 
Ebenen als die Tangenten an ihn aus A. Alle die genannten Ebenen 
durch B sind Tangentialebenen eines Rotationskegels mit der Spitze i? 
imd dem Grundkreis Ti. Man kann also die gesuchten Ebenen deu- 
ten als die Tangentialebenen durch die Linie J.5 an diesen Kegel. 

10. Die Schnittlinie siveier Ebenen. Zwei projizierende Ebenen, 
deren Spuren nicht parallel sind, schneiden sich in einem Projek- 
tionsstrahl. Die Schnittlinie einer schiefen 
Ebene (sÄ), die durch ihre Spur .s und 
einen Punkt Ä gegeben ist, mit einer pro- 
jizierenden Ebene, deren Spur p ist (Fig. 6), 
wird eine Linie, deren Projektion p und 
deren Spur der Schnittpunkt P von s und 
}) ist. (Ist s parallel zu j;, so wird die 
Linie eine Frontlinie.) Einen anderen 
Punkt B der gesuchten Linie erhält man, 
indem man eine Frontlinie durch Ä in der 
Ebene (sÄ) zieht und ihren Schnittpunkt 
B mit der projizierenden Ebene bestimmt. 
Die Umklappung der gesuchten Linie ist 
PB^ (wobei B'B^ = (A) und ± p). 

Ist eine schiefe Ebene durch ihre Spur s und den Neigungs- 
winkel ci gegen die Zeichenebene (nach einer bestimmten Seite hin) 
gegeben und man sucht ihre Schnitt- 
linie mit einer projizierenden Ebene, 
deren Spur p ist, so führt man dies am 
besten aus, wie in Fig. 7 angegeben. 
Man zeichnet eine Querlinie SA in 
der Ebene, wobei A so angenommen 
wird, daß seine Projektion Ä auf p 
fällt, und A' S J_ s. Der Abstand des 
Punktes A von der Zeichenebene wird 
durch das rechtwinklige Dreieck 
BA'A^^ SA'A bestimmt, wo A' B 
= A' S auf j) abgetragen ist und der 
Winkel A' B A^ gleich dem gegebenen 
Winkel « ist. PA^^ ist die ümklap- 
pung der gesuchten Linie. Bei der Ausführung der Konstruktion 
ist es unnötig, die Linie A' S zu zeichnen, indem man durch den 
Zirkel unmittelbar den Abstand des Punktes A' von s bestimmen 
und auf p abtragen kann. 




10 



Erstes Kapitel. Einfache Projektion 




Die Schnittlinie einer schiefen Ebene mit einer Frontebene 
ist eine Frontlinie, die man mit Hilfe des Profils der schiefen 
Ebene leicht bestimmen kann. 

Von der Schnittlinie zweier schiefen Ebenen, deren Spuren a 
und h nicht parallel sind, liegt die Spur C im Schnittpunkt von 
a und h. Um einen neuen Punkt der Schnittlinie zu finden, zeich- 
net man zuerst die Pi'ofile p 
und q der beiden Ebenen, wie 
in Fig. 8 angegeben, iind 
schneidet darauf .beide Ebenen 
mit einer Frontebene, die von 
der Zeichenebene einen passend 
gewählten Abstand li hat. Die 
beiden Schnittlinien m und n 
mit dieser Frontebeue sehnei- 
den einander in dem Punkte P, 
dessen Projektion P' und dessen 
Abstand von der Zeichen- 
ebene h ist. 

Die Schnittlinie zweier schiefen Ebenen mit parallelen Spuren 
wird eine Frontlinie, die sich mit Hilfe einer gemeinsamen Profil- 
ebene der beiden Ebenen bestimmen läßt. 

11. Der Schnittpunkt eine?' geraden Linie mit einer Ebene 
wird gefunden, indem man die Schnittlinie der Ebene mit einer 
Hilfsebene durch die gegebene Linie bestimmt; diese Schnittlinie 
trifft dann die gegebene Linie in dem gesuchten Punkt. Als Hilfs- 
ebene wählt man gewöhnlich eine projizierende Ebene oder eine 
Ebene, deren Spur der Spur der gegebenen Ebene parallel ist. 

12. Wenn eine Linie auf einer Ebene senkrecht ist, so ist 
sie senkreckt auf allen Linien in der Ebene, also auch auf den 

Frontlinien der Ebene. Ihre Projek- 
tion muß deshalb auf den Projek- 
tionen der Frontlinien, insbesondere 
auch auf der Spur der Ebene senk- 
recht sein. Folglich: 

Wenn eine Linie auf einer Ebene 
senkrecht ist, ist ihre Projektion auf 
der Spur der Ebene senkrecht. 

Hat man (Fig. 9) eine Ebene 

(sä) mit der Spur s, die durch den 

Punkt Ä geht, und man soll das 

i'ig 9- Lot n der Ebene in A bestimmen 



:i' 



•-■« N 



Stereometrische Grundaufgaben 



11 



so kann mau sofort die Projektion des Lotes n oder ÄS _L .<? 
zeichnen. Die projizierende Ebene durch n schneidet die gegebene 
Ebene in SA und die gesuchte Linie muß in dieser projizierenden 
Ebene liegen und auf .S'^-i in ^-1 senkrecht stehen. Klappt man die 
projizierende Ebene um, so daß SA auf SA^ fällt, so wird die Um- 
klappung »j des gesuchten Lotes _L SA^ in A.^. Dadurch ist das 
Lot vollständig bestimmt. Seine Spui- X ist der Schnittpunkt von 
n und «j. 

Der Ahsiaud einci PxnJdes von einer Ebene kann gefunden 
werden, indem man eine Profilebene durch den Punkt umklappt. 

Fig. 9 zeigt auch, wie man durch einen gegebenen Punkt A 
der Linie XA eine Ebene senkrecht zu der Linie legen kann: die 
ümklappung NA^ der Linie wird gezeichnet und in der projizie- 
renden Ebene der gegebenen Linie ^-l.S' _L ^4 JV bestimmt , worauf 
die Spur s der Ebene leicht gefunden werden kann. 

13. Die Tangentialehenen einer Kugel, die durch eine gegebene 
lAnie a gehen, werden durch folgende Betrachtung bestimmt: die 
Radien nach den Berührungspunkten der gesuchten Ebenen müssen 
auf den Tangentialebenen, also auch auf a senkrecht sein, sie müssen 
deshalb in einer durch den Mittelpunkt der Kugel senkrecht zu 
a gelegten Ebene enthalten sein. Man bestimmt daher zunächst 
diese Ebene, sucht ihren Schnittpunkt mit a und legt von diesem 
Punkte aus die Tangenten an den größten Kreis, in dem die Ebene 
die Kugel schneidet. Dies wird durch ümklappung ausgeführt. 
Jede dieser Tangenten bestimmt dann zusammen mit a eine Tan- 
gentialebene der Kugel. ^ 

14. Der Winkel zwi- 
schen zivei Ebenen (Fig. 
10). Die Ebenen mögen 
die Spuren a und b und 
ihre Schnittlinie c die Pro- 
jektion c und die Haupt- 
umklappung c^ haben. 
Man wählt einen Punkt C 
auf c {C und C\ seien 
Projektion und L^mklap- 
pung dieses Punktes) und 
legt durch ihn eine Ebene 
senkrecht zu e. Diese Hilfsebeue schneidet die gegebenen Ebenen 
in zwei Linien und der gesuchte Winkel wird durch den Winkel 
zwischen diesen Linien dargestellt. 

Die Spur s der Hilfsebene ist nach der in 12 angegebenen 




j:>C„ 



12 



Krstew Kapitel. Einfache Projektion 



Methode zu tinden. Schneidet s die Linien a und b in Ä und B, 
so sind AC und JBC die Schnittlinien der Hilfsebene mit den ge- 
gebenen Ebenen. Die wahre Größe des Winkels AGB wird durch 
Umklappung um s gleich AC^^B iC^S = C^S) gefunden. Bei der 
Ausführung kann man die Linien C' C^ und SC^ auslassen; man 
zieht AB A- c und trägt dann sofort <S'(7„ = Sc^ ab. 

Zuweilen benutzt man auch den Umstand, daß der Winkel 
zwischen zwei Ebenen gleich dem Winkel zwischen ihren Nor- 
malen ist. 

Will mau sich versichern, daß eine Ebene auf einer anderen 
senkrecht ist, so muß man darauf achten, daß sie ein Lot dieser 
Ebene enthält. 

Aus Fig. 10 erkennt man gleichzeitig, wie man in einem 
Dreikant, von dem zwei Kanten a und ft in der Zeichenebene liegen, 
den Flächenwinkel an der diitten Kante c finden kann. Wie man 
die Flächenwinkel an a und h findet, ist aus dem Vorhergehenden 
(6) bekannt. Die wahre Größe der Seiten winkel (ac) und (5c) 
findet man durch Umklappung um a und 6 (6). 



^4-. 



Dreikantskonstruktionen. 

15. Bestimmung des Breikants durch seine Seiten. Die eine 
Seite (a6) wird in die Zeichenebene gelegt. Von a und & aus werden 

die Winkel (aw?) und (6 h) nach 
außen hin gleich den anderen bei- 
den Seiten (ac) und (6 c) angetra- 
gen. Die so entstehende Figur heißt 
die Abwickelung des Dreikants 
(Fig. ll). Es handelt sich nun da- 
rum, m und n um a und h zu dre- 
hen, bis sie in der dritten Kante c 
zusammenstoßen. Um dies auszu- 
führen, wählen wir auf m und n 
zwei Punkte M und N im gleichen 
Abstände von dem Scheitel des 
Dreikants S. Diese Punkte stoßen 
bei der Drehung in einem Punkte 
G der dritten Kante zusammen und 
es handelt sich bloß darum, diesen 
Punkt zu finden. Die Kreise, die M 
und N bei den angegebenen Drehungen beschreiben, projizieren sich 
nun auf die Zeichenebene in die geraden Linien MA _L a und NB J_ 6, 




¥■ 



Fig. 11. 



Dreikantskonstruktionen 



13 



und der Schnittpunkt dieser Linien, C, muß deshalb die Pro- 
jektion des gesuchten Punktes C sein. Der Abstand des Punktes C 
von der Zeichenebene ergibt sich als Kathete in dem i-echtwdnk- 
ligen Dreieck SC' C^^ in dem die andere Kathete SC' bekannt und 
die Hypotenuse S C^ = SM = SN ist. In der Figur ist dies so 
ausgeführt worden, daß man gleichzeitig die Hauptumklappung 
SC^ von SC erhält. Die Aufgabe hat zwei Lösungen, die zwei 
bezüglich der Zeichenebene symmetrisch liegende Figuren ergeben. 

Wie man hierauf die Flächen- 

I' 

winkel des Dreikants finden kann, 
ist in 14 angegeben. Eine direkte 
Bestimmung des Flächenwinkels an 
c mit Hilfe der Abwickelung des 
Dreikants zeigt Fig. 12. Die Be- 
zeichnung ist wie in Fig. 11. Eine 
zu c in C senkrechte Ebene schnei- 
det die beiden Seitenflächen ac und 
&c- in Linien, die bei der Abwicke- 
lung sich als zwei zu m und w 
senki-echte Linien MP und KQ dar- 
stellen; man hat damit die wahre 
Größe aller Seiten in dem Drei- 
eck PCQ gefunden und kann dann 
leicht die Umklappung des Dreiecks zeichnen. Der gesuchte 
Flächenwinkel wird durch den Winkel PRQ dargestellt. 

16. Ist ein Dreikant durch 
eine Seite und die anliegenden 
Winkel bestimmt, so legt niau 
die gegebene Seite (afc) in die 
Zeichenebene (Fig. 8), worauf die 
gegebenen Flächenwinkel sofort 
die Profile p und q für die Seiten- 
ebenen ac und hc bestimmen. 
Man findet darauf die Schnitt- 
linie dieser Ebenen. 




Fig. 12. 



c„„ 



17. Konstruktion des Brei- 
Icants aus einem Wiyikel a, einer 
anliegenden Seite (ab).t(nd d<r ge- 
gcnübirlirgenden Seite (hc). Man 
legt die Seite iah) in die Zeichen- 
ebene (Fig. 13). Die Seite (6 c) denkt man sich um h auf die 
Zeichenebene in die Lage(6ci) umgeklappt und zeichnet sip so auf. 




Fig. 13. 



14 



Erstes Kapitel. Einfache Projektion 



Von der Kante c weiß man, daß sie auf dem Kegelmantel, der von 
Cj bei der Drehung um h beschrieben wii'd, liegen muß, und zu- 
gleich, daß sie in einer bestimmten Ebene uc enthalten sein muß, 
welche die Spur a hat und den gegegebenen Winkel a mit der 
Zeichenebeue bildet. Die Kante c entsteht also als Schnittlinie des 
Kegelmantels mit dieser Ebene. Eine projizierende Ebene mit der 
Spur 5 _L & schneidet nun den Kegelmantel in einem Kreis und die 
Ebene ac in einer geraden Linie; die gesuchte Kante c muß durch 
einen der Schnittpunkte dieses Kreises und dieser Linie hindurch- 
gehen. Um diese Schnittpunkte zu finden, klappt man die projizie- 
rende Ebene um, worauf man den Kreis sofort zeichnen kann (sein 
Mittelpunkt sei B, sein Radius -B Cj) die Schnittlinie mit der Seiten- 
ebene (ac) wird dann bestimmt, wie früher angegeben (Fig. 7). 

18. Konstruliion des Drei- 
'>.," Tiants aus einer Seile (ah)^ einem 

/ ^\^ anliegenden Winkel a und dem 

/ \ gegenUh erlieg enden Winlcelc. Es 

/ \ ist am bequemsten, die beiden 

gegebeneu Flächenwinkel an die 
Zeichenebene stoßen zu lassen. 
Deshalb denken wir uns die Sei- 
tenfläche ac in der Zeichen- 
ebene. Zunächst tragen wir den 
Winkel {ah^ = {ah) in der Zei- 
chenebene ab (Fig. 14) und dre- 
hen ihn hierauf um a in eine 
Ebene, die den gegebenen Win- 
kel a mit der Zeichenebene bil- 
det. Dies läßt sich mit Hilfe 
eines Profils ausführen. Die Linie h habe die Projektion h' und 
der Punkt B auf h den Abstand B' B^ von der Zeichenebene. Es 
handelt sich dann bloß darum, durch h eine Ebene zu legen, die 
einen gegebenen Winkel c mit der Zeichenebene bildet. (Vgl. 'hier- 
für 9). 

19. Konstruktion des Breikants aus den drei Flächcnwinkeln. 
Man zieht von einem Punkte J. aus zwei Halbstrahlen p und q, 
die den Winkel a miteiHander bilden, und denkt sich das gesuchte 
Dreikant so gelegt, daß die Seitenebenen ab und ac projizierende 
Ebenen mit den Spuren j^ und q werden. Es handelt sich nun 
darum, eine dritte Ebene zu finden, welche die gegebenen Winkel 
h und c mit diesen projizierenden Ebenen bildet. Von Ä lassen 
wir noch die Halbstrahlen p^ und q^ ausgehen, den ersten 1 jj 




Fig. 14. 



Projektion eines Kreises 



15 



uucl nach derselben Seite von j; aus wie q, den zweiten _L q und 
nach derselben Seite von q aus wie p. Diese Halbstrahlen sind 
zu den projizierenden Ebenen senkrecht. Das in A auf der gesuchten 
Ebene errichtete Lot n kann man nun daraus finden, daß es die 
gegebenen Winkel b und c mit p^ und g^ bilden muß. Die Kon- 
struktion wird ausgeführt, wie in 15 angegeben. Ist n gefunden, 
so legt mau eine beliebige Ebene _L n und benutzt sie als die dritte 
Seitenfläche des Dreikants. Dessen Seiten können dann durch 
ümklapi^ung gefunden werden. 



Projektion eines Kreises. 

20. Durch senkrechte Projektion eines Kreises entsteht eine 
Kui-ve, die man als Ellipse bezeichnet. In Fig. 15 ist eine Ebene 
mit der Spur s und dem Profil jp angenommen, die mit der Zeichen- 
ebene den Winkel a bildet. In der Ebene ist ein Punkt gegeben. 
Soll man nun die Projektion eines Kreises ^ 

in der Ebene mit dem Mittelpunkt und 
gegebenem Radius zeichnen, so benutzt man, 
daß die Frontlinien der Ebene in ihrer wahren 
Größe projiziert werden, während die Quer- 
linien im Verhältnis cos a : 1 verkürzt er- 
scheinen. Wir ziehen eine Frontlinie x und 
eine Querlinie y durch 0. Der Durchmesser 
des Kreises, der auf x fällt, wird in der wah- 
ren Größe ä' A^' projiziert, während der 
Durchmesser auf y mit cos a multipliziert 
erscheint. Die Strecke OB' findet man also, 
indem man den Kreisradius 0A = 0' A' mit 
cos a multipliziert. Dies läßt sich mit Hilfe 
des Profils leicht wie folgt ausführen: Man 
nimmt das Stück 0' A' in den Zirkel und 
trägt es als SP auf dem Profil ab, darauf 
mißt man sofort den Abstand des Punktes P 
von s (ohne diesen Abstand zu zeichnen) 
und bringt nun das gefundene Stück in den 

Lagen OB' und 0'i>\' an. Auf ganz ähnliche Weise lassen sich 
die übrigen Punkte der Ellipse finden, indem man den Kreis über 
A' A^' als Durchmesser zeichnet, die Ordinate A"'il/j' errichtet 
und sie mit cos a multipliziert, wodurch jedesmal ein Punkt M' 
der Ellipse bestimmt wird. Die Tangente der Ellipse in M' 
schneidet x' in demselben Punkt wäe die Tangente des Kreises 




16 



Erstes Kapitel. Einfache Projektion 



in Ji^'. Die Tangenten in B' und B^' sind zu x und die Tan- 
genten in Ä und A^' sind zu y parallel, x und y sind Symmetrie- 
achsen der Ellipse. Die Strecken Ä A^' und B'B^' heißen die 
(froße und die kleine Achse, 0' Ä und OB! die yroße und die 
Ideine Halbachse. Cf heißt der Mittelpunkt der Ellipse und die 
Linien durch 0' ihre Durchmesser. Die Endpunkte der Achsen 
heißen Scheitel. 

21. In der Fig. 16 ist eine geometrische Konstruktion der 

Ellipse mit den Halbachsen OA und OB angegeben. Es sind die 

beiden Kreise über den Achsen als Durchmesser geschlagen, der 

,_ Halbmesser ORS gezogen 

; ' .s 

B 




Fig. IG. 



und der Schnittpunkt P der 
Linien durch R OA und 
<S',. OB bestimmt. P ist da- 
bei ein Punkt der Ellipse, da 

NP OB . 

^fr?r ^ ^ A wird. Die i an- 
NS OA 

gente in P schneidet OA 
in demselben Punkt wie 
die Tangente an den 
großen Kreis in S. Aus 
der Figur geht auch her- 
vor, daß das Verhältnis 
MB OB . ^ 
MP^^-OA ''^''"^ ""''^ '°- 
mit konstant ist; hieraus schließt man, daß, wenn man die Ellipse 

C) T>\ 

um OB in eine Ebene dreht, die den Winkel u (cosa==Y, ,1 

mit der Zeichenebene bildet, die Ellipse auf die Zeichenebene in 
einen Kreis über der kleinen Achse als Durchmesser projiziert 
wird. Die Ellipse ist dann in der neuen Lage der schräge Schnitt 
eines Rotationszylinders, dessen Normalschnitt der angeführte Kreis 
ist. Hieraus schließt man leicht: 

Durch jede Ellipse kann man zwei Rotationszylinder legen. 
Deren Achsen gehen durch den Mittelpunkt der Ellipse, liegen in 
einer Ebene, die durch die große Achse senkrecht zu der Ebene 
der Ellipse gelegt wird, und bilden einen Winlcel mit der großen 
Achse, dessen Sinus gleich dem Verhältnis der Achsen ist. 

22. Wir wollen nun noch die Ellipse als ebenen Schnitt 
eines Rotationszylinders untersuchen. Zwei gleich große Kreise 
in der Zeichenebene (Fig. 17) mögen die Mittelpunkte und 0. 
und die gemeinsamen Tangenten PP^ und QQ^, die der Zentralen 



Projektion eines Kreises 



17 




P Ä 



Fig. 17. 



parallel sind, besitzen. Man beweist leicht, daß alle Punkte der 
Ebene, für welche die Summe der Längen der Tangenten an die 
beiden Kreise gleich PP^^ wird, die beiden Strecken PP^ und QQ^ 
erfüllen müssen. 
Bei der Drehung 
um Oj beschrei- 
ben die Kreise zwei 
Kugeln , während 
PP^ und QQ^ ein 
Stück eines Rota- 
tionszylinders be- 
schreiben. Dieses 
Stück wird im 
Räume der geome- 
trische Ort für die Punkte, für welche die Taugentenlängen au die 
zwei Kugeln die Summe PP^ haben. Eine innere gemeinsame Be- 
rührungsebene, welche die Kugeln in F und i\ berührt^ schneidet 
also den Rotationszylinder in einer Kurve, die in ihrer Ebene der 
geometrische Ort aller Punkte ist, für welche die Summe der Ab- 
stände von F und F^ gleich PP^ wird. Aus der Figui- erkennt 
man sofort, daß PP^ = ÄF + ÄF^ ^ ÄF -\- FA^ = AA^ wird. 
Hieraus leitet man folgenden Satz her: 

Für jede Ellipse finden sich auf der großen Achse zwei feste 
Punkte F und F^, deren Abstände von einem beliehigen Punld der 
Ellipse eine konstante Summe ergehen, die gleich der großen Achse 
der Ellipse ist. Diese beiden Punkte heißen die Brennpxinlde der 
Ellipse und ihre Abstände von den Punkten der Ellipse heißen 
Brennstrahlen. 

Sind die Achsen der Ellipse gegeben, so findet man die 
Brennpunkte daraus, daß die Brennstrahlen von den Endpunkten 
der kleinen Achse gleich der großen Halbachse werden müssen. 

Man zeigt leicht, daß zu zwei beliebig gewählten Brenn- 
punkten F und F.^^ und einer beliebigen Länge der großen Achse 
(> FF^) eine bestimmte Ellipse gehört. 



Timer ding Handbuch U 



B' 

9 



A<? 



Zweites Kapitel. 
Doppelte Projektion. 

Grundaufgaben. 

23. Wenn eine Figur AB C . . . durch ihre Projektion ^'5' C' . . . 
auf die Zeichenebene zusammen mit den Abständen der verschie- 
denen Punkte von dieser Ebene dargestellt wird, ist es oft bequem, 
zur Angabe der genannten Abstände die gegebene Figur auf eine 
feste projizierende Ebene mit der Spur x (Fig. 18) zu projizieren 
und diese Projektion in die Zeichenebene (nach einer bestimmten 
Seite) umzuklappen. Die umgeklappte Projektion A" JB^' C" . . . 
liegt dann so, daß die Verbindungslinien A' A", 
B' B'\ C' C" . . . zu X senkrecht sind, während 
die Abstände der Punkte Ä\ B", C" . .. von x 
die Abstände der Punkte A, B, C . . . von 
der Zeichenebene angeben. Die Zeichenebene 
wird als die Grundrißebene (erste Projekiions- 
ebene), Ä B' C' als die Grundrißprojeliion, hin- 
gegen die projizierende Ebene durch x als die 
All frißebene (ziveite Projeltionsebene), A" B" C" 
... als die Aiifrißprojektion der gegebenen 
Figur bezeichnet. Die erste Projektion ist da- 
bei die Projektion der Figur auf die Zeichen- 
ebene, die zweite Projektion dient nur zur An- 
gabe der Abstände der verschiedenen Punkte 
von dieser Ebene (auch hinsichtlich des Vorzeichens). 

Diese beiden Projektionen geben nun Anlaß zu folgender Be- 
trachtung: Die Figur ABC . . . im Räume kann man sich auch 
durch ihre Projektion auf die zweite Projektionsebene und die 
Abstände der Punkte A, B, C . . . von dieser Ebene bestimmt 
denken; diese Abstände sind gleich den Abständen der Punkte 
A , B , Cf, . . . von X. Wenn man nun die zweite Projektionsebene 
um X umklappt, dreht man sie um einen rechten Winkel und 



B' 

Fig. ii 



Grundaufgaben 19 

läßt die Figur ABC . . . an dieser Drehung teilnehmen; derart 
kommt sie in eine solche Lage, daß ihre Projektion auf die Zeichen- 
ebene A" B" C" . . . wird, während ihre Punkte die Abstände xA\ 
xB', xC' . . . (mit dem gehörigen Vorzeichen) von der Zeichen- 
ebene haben. Die Figur ABC kann also auf doppelte Weise (in 
zwei verschiedenen Lagen) mit Hilfe der zwei Projektionen ÄB'C' . . . 
und A" B" C" . . . dargestellt werden, indem man, wie man sagt, 
zwei verschiedene Orientierungen benutzt: 

1. Bei der ersten Orientierung geht man aus von A', B\ C' .. . 
als Projektionen auf die Zeichenebene und denkt sich von diesen 
Punkten aus in der Richtung senkrecht zur Zeichenebene die Ab- 
stände xA'\ xB", xC", . . . (mit Rücksicht auf das Vorzeichen) 
abgetragen, wodurch man zu den Punkten der dargestellten Figur 
gelangt. 

2. Bei der zweiten Orientierung betrachtet man A", B'\ C", . . . 
als Projektionen auf die Zeichenebene und denkt sich von diesen 
Punkten aus in der Richtung senkrecht zur Zeichenebene die Ab- 
stände xA\ xB\ xC\ ... (mit Rücksicht auf das Vorzeichen) 
abgetragen. Die Figur, welche die so gewonnenen Raumpunkte 
bilden, hat eine andere Lage wie die ursprünglich gegebene Figur 
ABC . . ., aus der sie durch eine Drehung um x durch 90*^ 
hervorgeht. Aber da es im allgemeinen gar nicht auf die Lage 
der Figur im Räume, sondern nur auf ihre Gestalt ankommt, ist 
es klar, daß man diese Orientierung ebensogut wie die erste be- 
nutzen kann. 

Die hier angegebene doppelte Darstellung einer Figur nennt 
man eine doppelte Projektion. Die erste Projektion heißt auch oft 
die horizontale, die zweite die vertikale Projektion, indem man sich 
den Grundriß horizontal und den Aufriß vertikal angenommen 
denkt. Dadurch wird die Ausdrucksweise häufig vereinfacht. 

Die Achse x trennt die Zeichenebene in einen vorderen und 
einen hinteren Teil, und die Umklappung der zweiten Projektions- 
ebene denkt man sich gewöhnlich so ausgeführt, daß der Teil der 
Ebene, der über der Zeichenebene liegt, hinter x fällt. Die Punkte, 
die über der ersten und vor der zweiten Projektionsebene liegen, 
bezeichnet mau als die Punkte des ersten Quadranten ; von jedem 
solchen Punkt liegt die Grundiißprojektion vor und die Aufriß- 
projektion hinter der Grundachsc (trennenden Achse) x. Man gibt 
soweit wie möglich der darzustellenden Figur eine solche Lage, 
daß sie im ersten Quadranten liegt. Bei der Ausführung einzelner 
Konstruktionen kann man indessen auch Punkte der anderen drei 
Quadi-anten , die durch die beiden Projektionsebenen begrenzt 



20 



Zweites .Kapitel. Doppelte Projektion 



werden, benutzen: der siceite Quadrant liegt über der Grundriß- 
ebene und hinter der Aufrißebene, der dritte Quadrant unter der 
Grundrißebene und hinter der Aufrißebene, der vierte Quadrant 
unter der Grundrißebene und vor der Aufrißebene. Von jedem 
Punkt der Grundrißebene liegt die ziveite Projektion auf der Gnind- 
achse, und von jedem Punkt der Aufrißebene liegt die erste Pro- 
jektion auf der Gnindachse. 

Bei der Ausführung der einzelnen Konstruktionen läßt sich 
das im vorigen Kapitel Gebrachte voll verwerten. 

24. Die gerade Linie. Ein Projektionsstrahl der ersten Pro- 
jektion wird im Grundi'iß als ein Punkt, im Aufriß als eine zur 
Grundachse x senkrechte Linie dargestellt. Das Umgekehrte gilt 
für einen Projektionsstrahl der zweiten Projektion. Die Drehung 
um einen Projektionsstrahl läßt sich sofort ausführen, da sie in 
der einen Projektion in wahrer Größe erscheint. 

Wenn eine Linie für keine der beiden Projektionen ein Pro- 
jektionsstrahl ist, so werden ihre beiden Projektionen gerade 
Linien. In der Fig. 19 ist eine Linie a mit den Projektionen a 
j^ und a" dargestellt. Von einem 

Punkt A der Linie liegt die 
erste Projektion A' auf a und 
die zweite Projektion A" auf a" 
derart, daß A'A" _L x. Die Spur 
A^ der Linie in der ersten Pro- 
jektionsebene (die Grundriß- 
spur) ist dadurch bestimmt, daß 
Ay" auf der Grundachse x liegen 
muß, während die Aufrißspur 
A^ dadurch bestimmt wird, daß 
A^' auf X liegt. Die Winkel a 
und /3, welche die Linie mit den beiden Projektionsebenen bildet, 
werden durch die Umklappungen a^ und a^ bestimmt, indem man 
einmal die erste, das anderemal die zweite Orientierung benutzt. 
Der Teil der Linie, der in der Figur gezeichnet ist, liegt im 
j^ ß" ersten Quadranten. Nur dieser Teil der Linie 

9 wird in den beiden Projektionen ausgezogen; 

I braucht man andere Teile der Linie, so 

müssen ihre Projektionen punktiert werden. 
Ist eine Linie zur Grundrißebene (Fig. 
20) parallel, nennen wir sie eine Grundlinie 
oder Horizontale:, ist sie zur Aufrißebene 
Fig. 20. parallel, bezeichnen .wir sie als eine Front- 




Fig. 19. 




Grundanfgabeii 21 

linie. Ist die Linie zur Grundachse parallel, so werden ihre beiden 
Projektionen der Grundachse parallel. 

25. Dif Ebene. Eine Ebene TT wird im allgemeinen in dop- 
pelter Projektion durch ihre Spuren in den Projektionsebenen, 
Pi und P2 ■> ^^^'^ Grundriß- und ihre Attfriß^pur, dargestellt. Wenn 
die Ebene die Grundachse schneidet, müssen ihre beiden Spuren 
durch den Schnittpunkt gehen. Ist die Ebene zur Grundachse 
parallel, sind zu dieser auch beide Spuren parallel. Wenn die 
Ebene die Achse x selbst enthält, fallen beide Spuren in x und 
die Ebene muß dann auf andere Weise dargestellt werden, z. B. 
durch ihre Spur x und einen beliebigen Punkt, der in ihr liegt. 
Ist eine Ebene zur Grundrißebene parallel, nennen wir sie eine 
Grundebene oder Horizontalebene] ist sie zur Aufrißebene parallel, 
bezeichnen wir sie als eine Frontebene. 

In der Fig. 21 ist eine Ebene mit den Spuren 2>i ^md p^ dar- 
gestellt. Wir benutzen die erste Orientierung und denken uns die 
Ebene gegeben durch ihre Grund- . 

rißspur Pi und einen Punkt Ä, der K^^^ 

auf J92 angenommen ist. Wir haben y^ . 

dann die frühere Darstellung in ^^ • 

einer Projektion (6). Die Querlinie /^ 

AS.^ bestimmt ein Profil -S'^^^, das, ^ 7*7 

ganz wie in 6 angegeben, zur Be- \^ 

Stimmung der verschiedenen Punkte \^ ' " , / 

in der Ebene und zur Umklappung ,y\ ^'' 

der Ebene in die erste Bildebene \. 

benutzt wird. Der Winkel, den die ^\ 

Ebene mit der Grundrißebene bil- ' 

Fie. 21. 

det, ist a:s,a^. ^ 

' 1 w 

Wenn eine Ebene eine projizierende Ebene für die Grundriß- 
projektion ist, wird 2^2 -^ **' ^^"^ Pi ^^^f^rt sofort ein Profil der Ebene. 

Die Schnittlinie zweier Ebenen wird gewöhnlich dadurch be- 
stimmt, daß ihre Spuren als die Schnittpunkte der entsprechenden 
Spuren der Ebenen entstehen. Ist das eine Paar von Spuren 
parallel, so wird die Schnittlinie, wenn sie existiert, diesen Spuren, 
also auch der sie enthaltenden Projektionsebene parallel. Ist auch 
das andere Paar von Spuren parallel, und sind die Spuren nicht 
zu X parallel, so sind die Ebenen selbst parallel. 

Weitere Methoden sind schon früher in 10 angegeben worden. 

Eine Linie a (Fig. 22), die in einer gegebenen Ebene (i^ji^a) 
liegt und eine gegebene Gnindrißprojektion a hat, bestimmt sich 
als Schnittlinie der Ebene mit der vertikalen Ebene durch a. 



2^2. 



Zweites Kapitel. Doppelte Projektion 



Besonderes Interesse haben die Grundlinien und Frontlinien 
in der Ebene. In der Fig. 23 ist eine Grundlinie a und eine Front- 
linie h crezeichnet. 




Fig. 22. 



Fig. 23. 



Kennt mau die eine Projektion Ä eines Punktes A der 
Ebene, so kann man die andere Projektion Ä' finden, indem man 
eine Linie (z. B. eine Grundlinie) in der Ebene durch den be- 
treffenden Punkt zieht (Fig. 23). 

Der SchnittpimJct einer Linie 
a mit einer Ebene {i\p^ wird 
gewöhnlich gefunden, indem man 
eine projizierende Ebene (in der 
Fig. 24 eine vertikale Ebene) 
durch a legt und die Schnittlinie h 
dieser Ebene mit der gegebenen 
Ebene bestimmt, h schneidet dann 
a in dem gesuchten Punkte. 

Ist eine Linie zu einer 
Ebene senkrecht, so sind die Pro- 
jektionen der Linie zu den zuge- 
hörigen Spuren der Ebene senk- 
recht (12). 




Einfache Körper. 

26. Bei der Darstellung von Körpern in doppelter Projek- 
tion muß die Zeichnung in jeder Projektion nach den früher an- 
gegebenen Regeln ausgeführt werden. 

In der Fig. 25 ist ein Tetraeder ^ ^B CD dargestellt. In der 
Aufrißprojektion ist der Umriß A"B" C" D"\ dieser wird voll aus; 



Einfache Körper 



23 




P. 




Fig. 25. 



gezogen. Hierauf sieht man nach, welche der beiden Kanten AC 
und BD sichtbar ist, indem man die beiden Punkte dieser Kanten, 
deren Aufrißprojektionen zusammen- 
fallen, im Grundriß betrachtet. So 
erkennt man, daß in der Figur die 
Kante BD vor der Kante AC durch- 
geht. B" D" ist also auszuziehen, 
A" C' zu punktieren. 

In der Grundrißprojektion ist 
der Umriß A' B'C \ der Schnittpunkt 
von B'C' und der Verlängerung von 
A' D' über D' hinaus ist die Grund- 
rißprojektion zweier Punkte, von 
denen der eine auf der Linie AD., 
der andere auf B C liegt. Von diesen 
beiden Punkten ist der erste, wie 
man aus dem Aufriß erkennt, der 
obere. Also liegt J.D über der Ebene 
ABC, und A'D' muß ausgezogen 
werden, ebenso auch B' D' und CD . 

Die Schnittlinie des Tetraeders 
mit einer zur Aufrißebene senkrechten Ebene (j^iiy») kann sofort 
gezeichnet werden, da die Aufrißprojektionen der Schnittpunkte 
dieser Ebene mit den Tetraederkanten im Aufriß unmittelbar ge- 
geben sind. 

27. Um den Schnitt einer beliebigen Ebene mit einem Po- 
lyeder (oder einem anderen Körper) zu finden, führt man eine 
Profilebene der gegebenen Ebene ein (indem man z. B. die erste 
Orientierung benutzt), projiziert das Polyeder auf diese Ebene 
und zeichnet die Projektion in der Umklappung. Man führt also 
in Wirklichkeit eine neue Projektionsebene ein, für welche die 
gegebene Ebene eine projizierende Ebene ist. In dieser neuen 
Projektion sind dann die Schnittpunkte der gegebenen Ebene 
mit den Polyederkanten sofort ersichtlich, und indem man diese 
Punkte in die ursprüngliche Projektion zurückführt, kann man 
den ganzen Schnitt leicht zeichnen. 

In Fig. 26 ist so die Schnittlinie der Ebene (^1^2) ^^^ ®"^®^ 
Pyi'amide gezeichnet worden, die auf der Gnindrißebene aufsteht. 
(Bei der Zeichnung ist die Schnittebene als durchsichtig aufgefaßt.) 
Zugleich ist das Profil zur Umklappung des Schnittes in die 
Grundrißebene benutzt. 

28. Soll man nun die Abwicklung der Pyramide zeichnen, 



24 



Z-weites Kapitel. Doppelte Projektion 



d. h. eine ebene Figur, die von den Seitenflächen der Pyramide 
gebildet wird, wenn man sie der Reihe nach in der Zeichenebene 
ausbreitet, so kann man sich z. B. die Pyramide längs einer 
Seitenkante und allen Grundkanten bis auf eine aufgeschnitten 
denken und sie dann in der Zeichenebene ausbreiten. Um die 
Abwicklung zu konstruieren, reicht im vorliegenden Falle hin, 
daß man die wahre Länge aller 
Seitenkanten bestimmt. Diese 
Längen findet man als die Hypo- 
tenusen in rechtwinkligen Drei- 
ecken, von denen die Höhe der 



.^■< 



r' 




Fig- 25. 



Pyramide eine gemeinsame Kathete bildet, während die andere 
Kathete jedesmal die Grundrißprojektion der betreffenden Kante 
ist. Da man dann alle Seiten der Sejtendreiecke kennt, kann man 
diese konstruieren. 

Der ebene Schnitt läßt sich leicht in die Abwicklung über- 
tragen, da seine Ecken auf die Kanten in der Abwicklimg fallen 
und auf diesen gefunden werden, indem man die wahre Länge eines 
der Stücke, in welche sie die betreffende Kante teilen, bestimmt.'^) 



1) Was wir in 27 — 28 über Pyramiden gesagt haben, läßt sich 
vom praktischen Standpunkt aus auch für Kegel (z. B. Kreiskegel) 
unmittelbar verwerten. Jeder in der Praxis yorkonimende (etwa gß- 



Einfache Körper 



25 



29. Äbicicklung eines Pristna-^, dessen Seiienkanien der Auf- 
rißebene 2i(irallel sind (Fig. 27). Man legt einen senkrechten Quer- 
schnitt (senkrecht zui' Aufrißebene, mit der Aufrißspur p^) durch 
das Prisma und klappt ihn in 
die Aufrißebene um. Denkt 
man sich nun das Prisma längs 
einer Seitenkante aufgeschnit- 
ten und, ohne auf die End- 
flächen einstweilen Rücksicht 
zu nehmen, die einzelnen Sei- 
tenparallelogramme in eine 
Ebene ausgebreitet, so fallen 
bei dieser Abwicklimg die Sei- 
ten des Querschnitts in die- 
selbe zu den Seitenkanten des 
Prismas senkrechte gerade 
Linie. 

Man beginnt also damit 
(Fig. 27 a), daß man den Quer- 
schnitt abwickelt, indem man 
auf einer geraden Linie w seine Seiten der Reihe nach abträgt. In den 
Endpunkten der Seiten eiiichtet man Lote auf;? und trägt auf diesen 
die Stücke ab, in welche die Seitenkanten des Prismas durch den 




Fig. 27. 



zeichnet vorliegende) Kreis läßt sich immer in eine endliche Anzahl 
geradliniger Stücke zerlegen, was in mannigfacher Weise geschehen 
kann; die Lage der Teilpunkte spielt dabei keine wesentliche Rolle, 
wenn nur die Teilstücke hinreichend klein sind. Ein ,, praktischer Kreis" 
kann also immer als Polygon mit endlicher Seitenzahl aufgefaßt wer- 
den; die Ecken des Polygons haben aber keine vorausbestimmte 
Lage, was damit zusammenhängt, daß die geraden Linien, die als 
Seiten des Polygons (Tangenten des Kreises) gelten, sich so unmerk- 
bar aneinanderreihen, daß je zwei aufeinanderfolgende dieser Linien 
nicht nur einen einzelnen Punkt, sondern eine ganze Strecke gemein 
haben. Es folgt hieraus sogleich, daß ein in der Praxis vorkom- 
mender Kreiskegel immer a,h Pyramide aufgefaßt werden kann, in- 
dem m-an eine hinreichend große Anzahl von Seitenlinien des Kegels 
auswählt, die als Kanten der Pyramiden benutzt werden sollen. Unter 
diesen Seitenlinien wird man dann immer die Umrißseitenlinien mit- 
nehmen. Es bedarf nun keiner näheren Begründung, wie man ebene 
Schnitte eines Kreiskegels und dessen Abwicklung praktisch her- 
stellen kann. Aber viele hierher gehörende Fragen lassen sich doch 
einfacher und genauer durch weitergehende theoretische ünter- 
suchupgen beantworten (vgl. 276)> 



26 



Zweites Kapitel. Doppelte Projektion 



betrachteten Querschnitt zerlegt werden. Die wahren Längen dieser 
Stücke ei'kennt man unmittelbar aus dem Aufriß. So sind die Ab- 
wicklungen der Seitenflächen bestimmt, und man fügt hierauf die 
Endflächen an.^) 

30. Den Schnitt einer Kugel mit einer Ebene zu finden 
(Fig. 28). In der Figur ist nur der Fall berücksichtigt, wo die 




Fig. 27 a. 



Fig. 28. 



gegebene Ebene zur Aufrißebene senkrecht ist. Dann stellt sich 
im Aufriß der gesuchte Schnittkreis als die geradlinige Strecke 
dar, welche der Umriß der Kugel von der Aufrißspur der Ebene 
abschneidet. Insbesondere bestimmen wir die Punkte, die auf den 
Umriß der Kugel fallen und in einer Höhe mit dem Mittelpunkt 
der Kugel liegen. Diese Punkte bilden den Übergang vom sicht- 
baren zum unsichtbaren Teil des Kreises in der Grundrißprojek- 
tion. Von der Ellipse, als welche der Kreis sich im Grundriß dar- 
stellt, liefern die Schnittpunkte der Aufrißspur mit der Aufriß- 
kontur die Endpunkte der kleinen Achse: die große Achse wird 



1) Für die praktische Behandlung eines Zylinders kann mau 
genau die gleiche Methode anwenden, indem man den Zylinder als 
Prisma auffaßt (vgl. die vorhergehende Fußnote), 



Durchdringungen von Pol^-edeni 



27 



gleich der Sehne, die von der Aufrißkontur der Kugel aus der 
Aufrißspur der Ebene ausgeschnitten wird. 





Fig. 29. 



Durchdringungen von Polyedern. 

31. Ist eine Ebene durch drei Punkte Ä, B, C gegeben 
(Fig. 29) und ein Punkt D der Ebene durch seine Grundrißpro- 
jektion D' bestimmt, so zieht man, 
um die zugehörige Aufrißprojektion D" 
zu finden, in der Ebene eine Linie 
durch D, etwa die Linie J.Z>, die BC 
in 31 schneidet, worauf man D" leicht 
bestimmen kann. 

Gleichzeitig wird so die Aufgabe 
gelöst, den Schnittpunkt der Ebene 
ABC mit einer vertikalen Linie, deren 
Grundrißprojektion D' ist, zu finden, 
und wir können sagen, wir haben die 
Aufgabe dadurch gelöst, daß wir durch 
die vertikale Linie eine vertikale Ebene 
mit der Grundrißspm-^'D' gelegt und 
deren Schnittlinie A3I mit der Ebene 
ABC bestimmt haben, worauf sich 
der gesuchte Punkt als der Schnittpunkt von AM mit der ge- 
gebenen vertikalen Linie ergibt. 

32. Soll man den Schnittpunkt einer ebenen undurclisichtigcn 
Dreiecks fläche ABC mit einer schrägen Linie a bestimmen, so 
legt man in ähnlicher Weise 
eine vertikale Hilfsebene durch 
a, diese schneidet die gegebene 
Ebene in der Linie J/JV, und 
deren Schnittpunkt mit a ist der 
gesuchte Punkt S (Fig. 30). Die 

Zeichnung wird dadurch ver- 

vollständigt, daß man zunächst 
die Punkte von a und AC un- 
tersucht, welche dieselbe Auf- 
rißprojektion ergeben, aus der 
Betrachtung der Grundrißpro- 
jektion erkennt man dann, 
welcher von diesen Punkten 
vorne liegt, und wo demnach die Fig. 30. 





28 



Zweites Kapitel. Doppelte Projektion 



Linie a" auszuziehen ist. Ähnliches gilt ^ch für die Grundriß- 
projektion a. 

33. Ganz ebenso bestimmt man auch die Schnittpunkte einer 
geraden Linie mit der Oberfläche eines Polyeders. Man legt eine 
vertikale Ebene durch die Linie und bestimmt deren Schnitt mit 
dem Polyeder, dieser Schnitt trifft die gegebene Linie in den ge- 
suchten Punkten. Statt der vertikalen Hilfsebene können wir 
natüi'lich auch, indem wir Grundriß und Aufriß ihre Rollen ver- 
tauschen lassen, eine zur Aufrißebene senkrechte Ebene benutzen. 
Das eine wie das andere ist unter Umständen zweckmäßig. Auch 

schräge Hilfsebenen können 
in Betracht kommen (vgl. 7 
und 11). 

34:. Wir haben nun die 
Mittel in der Hand, um die 
Durchdringung zweier Po- 
lyeder zu konstruieren. Diese 
Durchdringung besteht im 
allgemeinen aus einem oder 
mehreren windschiefen Poly- 
gonen, deren Seiten Schnitt- 
linien von Seitenflächen der 
Polyeder sind, und deren 
Ecken als Schnittpunkte der 
Kanten des einen Polyeders 
mit den Seitenflächen des an- 
deren oder umgekehrt ent- 
.stehen. Es kommt in der 
Hauptsache darauf an, diese 
Schnittpunkte zu finden. Die 
nähere Ausführung wollen 
wir durch ein paar Beispiele 
erläutern. 

1. Beispiel. IHcDurch- 
dringang eines Tetraeders mit 
einem vertikal gestellten Pris- 
n>a SU bestimmen (Fig. 31). 
Die Schnittpunkte der 
Pyramidenkanten mit den 
Seitenflächen des Prismas 
sind aus dem Grundriß sofort 
Fig. 31. zu .entnehmen, die Schnitt- 




Durchdringungen von Polyedern 29 

punkte der Prismenkanten mit den Seitenflächen der Pyramide finden 
wir durch vertikale Hilfsebenen, die wir durch diese Kanten legen 
und die hier mit den Seitenflächen des Prismas zusammenfallen. 
Die näheren Einzelheiten bei der Konstruktion sind folgende: Die 
Seitenfläche des Prismas, deren Grundrißspur A' B' ist, schneidet das 
Tetraeder in dem Dreieck ABC. daraus finden wir alle Schnitt- 
punkte der Pyramide mit den Prismenkanten, die in der genannten 
Seitenfläche liegen. Indem wir nun auch den Schnitt der Pyra- 
mide mit der Prismenfläche, deren Ginindrißspur D' E' ist, be- 
nutzen, finden wir alle Punkte, die in Betracht kommen. Es handelt 
sich nur noch allein darum, in welcher Eeihenfolge sie zu vereinen 
sind. Dies zeigt sich am anschaulichsten, wenn wir jeden der Teile, 
in welche die Oberfläche der Pyramide durch ihre Grundrißkontur 
geteilt wird, füi- sich beti-aohten. Jeder dieser Teile wird von dem 
Piisma in einer gebrochenen Linie geschnitten, deren Grundriß- 
projektion bekannt ist, und deren Aufrißprojektion sich demnach 
leicht zeichneu läßt. Die beiden gebrochenen Linien setzen sich in 
der Figur zu einem einzigen Linienzug zusammen, ihre Ecken 
sind 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 auf dem oberen Teil der Pyramide 
und 8, 9, 10, 11, 1 auf dem unteren Teil. (Die Zahlen sind nur 
im Aufriß angeschrieben). 

2. Beispiel. Durchdringung ziceier Pyramiden. In Fig. 32 ist 
nur eine einzige Projektion der Pyramiden gezeichnet. Die Ebenen 
der Grundflächen schneiden einander in einer Linie s und die 
Verbindungslinie ST der Spitzen in P und Q. Die Anordnung ist 
derart, daß die Grundflächen selbst von der Schnittlinie der Pyra- 
miden nicht getroffen werden, so daß wir nur die Schnittlinien 
der Seitenflächen zu finden haben. Wir legen eine Hilfsebene durch 
die Linie SI\ wenn diese Hilfsebene sich um ST dreht, durch- 
laufen ihre Schnittpunkte mit den beiden Pyramidenflächen deren 
ganze Durchdringung. Um die Ecken dieses Linienzuges zu finden, 
braucht man nur die genannten Hilfsebenen durch die Seiten- 
kanten der Pyramiden hindurchzulegen. Eine solche Hilfsebene ist 
die Ebene PßQ., die durch die Kante SI geht und .s in ß schneidet. 
Sie schneidet das von T ausgehende Vierkant in den Linien TA 
und TF., und diese schneiden SI in zwei Ecken der gesuchten 
Durchdringung. Auf diese Weise kann man alle Ecken der Durch- 
dringung finden. 

Indessen treten so nicht alle Kanten der beiden Pyraniiden- 
flächen auf. In der Figur sind alle Ebenen durch ST , die mit den 
beiden Pyramidenflächen Punkte gemeinsam haben, in dem Flächen - 
Winkel enthalten, dessen Achse ST ist, und der auf der Linie s 



30 



Zweites Kapitel. Doppelte Projektion 



die endliche Strecke ccß abschneidet. Das ganze Dreikant S nimmt 
also an dem Schnitt teil, wogegen wir von dem Vierkant T nur 
die beiden Teile gebrauchen, die den Stücken ABC und DEF 

auf dem Umriß der Grundfläche 
der Pyramide entsprechen. 
Diese beiden Teile des Vier- 
kants T (wir bezeichnen sie 
mit T(ABC) und T{DEF)) 
schneiden jede das Dreikant S 



%• 




>F 



in einem geschlossenen Polygon. Lassen wii- 
; ,' nämlich das Dreikant von einer geraden Linie 

/''' durchlaufen, so schneidet diese Linie in jeder 

ihrer Lagen die Fläche T(^ABC) in einem und 
nur in einem Punkt, und wenn die Linie das 
Dreikant dui'chläuft, so durchläuft dieser Punkt 
einen geschlossenen Linienzug. Die Lagen der 
beweglichen Linien, die durch die Eckpunkte 
dieses Linienzuges gehen, sind teils Kanten des Dreikants S^ teils 
schneiden sie eine Kante der Fläche T(ABC). Diese Lagen sind 
SI, Sil, SIII, Sir, SV, wobei die Punkte I, II, III, IV, V 
in der natürlichen Reihenfolge auf der Grundfläche der Pyramide 
«S" angenommen sind. Dadurch wird der Schnitt 1,2,3,4,5 be- 
stimmt. Auf ganz ähnliche Weise wird auch der Schnitt der Fläche 
T{I)EF) bestimmt. In dem vorliegenden Falle durchbohrt die 



Raumgeometrische Konstruktionen bei besond. Lagenverhältniasen 3 1 

eine Pyramide die andere, in anderen Fällen wird der Schnitt ein 
einziges zusammenhängendes Polygon, aber die angegebene Me- 
thode kann auch dann zur Anwendung kommen. 

Eine ähnliche Methode kann man benutzen, um die Durch- 
dringung einer Pyi*amide mit einem Prisma, oder vielmehr einer 
räumlichen Ecke mit einer prismatischen Röhre zu bestimmen, 
indem mau dann eine Linie durch die Spitze der Ecke parallel 
zu den Seitenkanten des Prismas zieht und Hilfsebenen durch 
diese Linie und die verschiedenen Kanten der räumlichen Ecke 
und des Prismas hindurchlegt. 

Zur Bestimmung der Durchdringung zweier prismatischer 
Röhren benutzt man in analoger Weise Hilfsebenen, die zu den 
Kanten beider Röhi-en parallel sind. 

Bei der Konstruktion ist es nützlich zu beachten, daß die 
Schnittlinien einer Seitenfläche des einen Polyeders mit zwei ver- 
schiedenen Seitenflächen des anderen einander auf der Schnitt- 
linie der letztgenannten Seitenflächen schneiden. Bisweilen ist es 
leicht, die Schnittlinien einzelner Seitenflächen des einen Polyeders 
mit der Oberfläche des anderen Polyeders zu finden, was man 
immer benutzen soUte.-^l 



Raumgeometrisclie Konstruktionen bei besonderen 
Lagenverbältnissen, 

35. Die bis jetzt angegebenen Me- 
thoden zur Behandluncr der geraden 
Linie und der Ebene in doppelter Pro- 
jektion erfordern eine Ergänzung für 
besondere Lagenverhältnisse. 

Wenn eine gerade Linie zur Grund- 
achse senkrecht ist, fallen ihre beiden 
Projektionen in ein Lot der Grundachse. 
Die Linie ist dann durch ikre Projektionen 
nicht bestimmt, sondern muß durch zwei 
ihrer Punkte J., B festgelegt werden. Um 
einen di'itten Punkt C zu bestimmen, 
wenn C' bekannt ist, und um die Spur- 
punkte der Linie zu finden, kann man 
die ümklappung Ä^B.^ in der Grund- Fig. 33. 

1) Praktische Beispiele aus dem Gebiete der Architektur findet 
man z. B. bei G. Hauck, Vorlesungen über darstellende Geometrie I, 
Leipzig 1912, S. 90-93. 











A 


-• 






C 
















b" 














y 








/ 


, 






/ 


A 






/A, 

: / 


C 


■ • 


/ 


'Ct 


b' 


/B, 







V 



32 



Zweites Kapitel. Doppelte Projektion 



rißebene benutzen (Fig. 33). Das gleiche wird man tun, um den 
Schnittpunkt der Linie mit einer Ebene zu finden. Was die Be- 
ziehungen zwischen den Projektionen der Punkte dieser Linien 

A.' C A"C" 
betriflFt, so ist es nützlich zu beachten, daß „, „, = j,,,^,, , was man 

auf verschiedene Weise zur Bestimmung von Punkten auf der 
Linie verwerten kann. Wenn eine gerade Linie auf der Grund- 
achse nahezu senkrecht ist, muß man aus praktischen Gründen 
ähnliche Betrachtungen anwenden. 

36. Die Schnittlinie zweier Ebenen (^i^'gj und (sj s^ ) kann nicht 
iimner durch ihre Spuren bestimmt werden; wenn z. B. die Schnitt- 
punkte der Ebenen mit 
der Grundachse, wie 
in Fig. 34, nahezu 
oder genau zusammen- 
fallen, kann man eine 
Ebene (P1P2) parallel 
zu (t\r^) legen und 
ihre Schnittlinie h mit 
der Ebene {s^s^} be- 
stimmen. Die gesuchte 
Schnittlinie a ist hier- 
auf parallel zu b zu 
ziehen. 

Eine Schwierig- 
keit, die sich öfter ein- 
stellt, ist die, daß mau 
die Verbindungsgerade eines Punktes P mit dem Schnittpunkt S 
von zwei Linien a und h braucht, die nahezu parallel sind. Mau 

kann sich dann helfen, 
Ji indem man aus P die 

Lote auf a und fe fällt 
und ihre Schnittpunkte 
B und Ä mit b bzw. a 
verbindet (Fig. 35). 
Diese Verbindimgs- 
linie ist senkrecht 
auf der gesuchten 
Linie PS. PÄ, PB 
und PS sind nämlich 
die Höhen in dem Dreieck ABS. Dies ist in Fig. 36 benutzt, um 
<lie Schnittlinie der Ebenen (»'i'^) und {s-^^s^} zu finden, indem die 




Fig. 34. 




Fig. 35. 



Raumgeoraetrische Konstruktionen bei besond. Lagenverhältnissen 33 




Fig. 36. 



Linie von A^' nach ^^ '^in auf diese Weise gezogen ist. Ferner ist 
A^A.{ als die Höhe in dem Dreieck J?,S'^o durch den Schnitt- 
punkt der beiden anderen Höhen 
in diesem Dreieck bestimmt. 

Eine andei-e Methode ist in 
Fig. 37 angegeben, wo die Ebenen 
(r^rg) und (sjS,) mit einer hori- 
zontalen Hilfsebene, deren Aufriß- 
spur ^2 ist, zum Schnitt gebracht 
sind. Die Schnittlinien der ge- 
gebenen Ebenen mit dieser Hilfs- 
ebene schneiden einander in A 
und die Punkte A^ und A be- 
stimmen darauf die gesuchte Linie. 

37. Endlich wollen wir be- 
merken, daß eine Ebene nicht 
immer bequem durch ihre Spuren 
dargestellt wird. Häufig muß man 
zwei beliebige einander schnei- 
dende Linien, zwei parallele 

Linien oder drei Punkte zur Bestimmung der Ebene benutzen. 
Wenn eine Ebene auf diese Weise gegeben ist, so kann man, in- 
dem man Linien in der Ebene 
parallel zu den Projektions- 
ebenen zieht, die Riehtungen der 
Spuren finden, worauf man dann 
imstande ist, Lote auf die Ebene 
zu fällen, da die Projektionen 
der Lote senkrecht zu den ge- 
nannten Richtungen sind. 

Time Ebene, die durch 
einen Punkt P senkrecht zu einer 
Linie a gelegt wird (Fig. 38), 
kann bestimmt werden, indem 
man durch P eine Frontlinie und 
eine Grundlinie in der Ebene zieht. Die beiden Linien seien h und 
c{p' , x, &" J_ a", c'_La', c" \\x). Will man den Schnittpunkt S 
der Ebene mit a finden, so kann dieses mit Hilfe einer Vertikal- 
ebene durch a geschehen. Die wahre Länge von PS liefert den 
Abstand des Punktes P von a. 

Bisweilen ist es bequem, die wahre Größe einer ebenen Figur 
durch Umklappung in eine zu einer Projektionsebene parallele 

T i m e r d i n g , Handbuch II 3 




Fig. 37. 



34 



Zweites Kapitel. Doppelte Projektion 



Ebene zu bestimmen. In der Fig. 39 ist die wahre Größe des 
Winkels (a h) durch ümklappung des Winkels in eine horizontale 
Ebene mit Hilfe einer Drehung um die horizontale Linie c be- 




Fig. 38. 



Fig. 39. 



stimmt. Die Sjntze C stellt sich nach der Umklappung im Grund- 
riß durch einen Punkt C^ dar, der so liegt, daß C' P' C^' A_ AB' 
wird, während F^ C^' die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Drei- 
eck ist, dessen eine Kathete C' P' ist, während die andere die 
Erhebung von C" über c" angibt. 

Durch eine solche Umklappung kann man, wenn es sich um 
größere Figuren handelt, mit Vorteil ein Profil einführen, ebenso 
wie bei der Umklappung in eine Projektionsebene. Allgemein gilt 
die Regel, daß die Konsti-uktion ausgeführt wird, als ob c" die 
Grundachse wäre (und c in der Grundrißebene läge). 



Umprojizieren. 

38. Ist eine Figur ABC. . . durch zwei Projektionen 

Ä B' C' . . . und A" B" C" . . . dargestellt, so kann es, wie wir 
gesehen haben, bisweilen nützlich sein, die eine oder andere pro- 
jizierende Ebene als neue Projektionsebene einzuführen. Wählt 
man z. B. eine projizierende Ebene bei der ersten Orientierung als 
neue Aufrißebene, so kann man durch Projektion auf sie und Um- 
klappung der Projektion eine neue Darstellung A"'B"'C"' . . . und 



Umprojizieron 



35 



eine dazu gehörende dritte Orientieruug eiTeiclien, Hierauf betrach- 
tet man die Figur als gegeben durch die Projektionen A' B' C . . . 
A'"B"C" . . ., und es wird nun in diesem System wieder möglich 
sein, eine neue Projektionsebene einzuführen, die eine projizierende 
Ebene bei der dritten Orientiei-ung ist. Einen solchen Übergang 
zu einem neuen System von Projektionsebenen nennt man T^in- 
projizieren. 

Bei praktischen Darstel- 
lungen ist es vielfach üblich, daß 
man neben den beiden Pro- 
jektionen des Gegenstandes in 
Grundriß und Aufriß eine dritte 
Projektion {Seitenriß) auf eine 
Seitenrißebene (d. h. eine Ebene 
senki'echt zur* trennenden Achse) 
aufzeichnet. Die trennenden 
Achsen werden dann füi' ge- 
wöhnlich ausgelassen. 

39. Durch Umprojizieren 
kann man erreichen, daß eine 
beliebige gerade Linie ein Pro- 
jektionsstrahl in der letzten 
Orientierung wird. Man kann 
nämlich zuerst eine neue Pro- 
jektionsebene parallel zu der 
Linie (insbesondere durch die 
Linie hindurch) einführen und 
darauf noch einmal eine neue 
Projektionsebene senkrecht zu 
der Linie. 

Dies ist in der Fig. 40 be- 
nutzt, um den Mrsesfen Ab- 
stand zweier windschiefen Linien 
a und h zu bestimmen. Wir projizieren so um, daß b ein Pro- 
jektionsstrahl wird, vmd haben dann die Aufgabe auf eine be- 
kannte Konstruktion zm-ückgeführt (ö). In der ersten Orientierung 
ist die vertikale Ebene durch & als neue Projektionsebene ein- 
geführt, so daß man das System ah' imd a"'h"' erhält. (Die 
Grundachse x^ fällt mit b' zusammen.) b'" ist als Umklappung 
von b konstruiert, a" mit Hilfe von zwei Punkten bestimmt, und 
zwar sind die Spuren benutzt worden. Von dem System ab\ 
a"b"' geht man nun weiter zu einem dritten über, indem man 

3* 




■Blh^ 



A"-^. 



Fi?. 40. 



36 Zweites Kapitel. Doppelte Projektion 

auf eine projizierende Ebene bei der dritten Orientierung, die 
zu b senkrecht ist, projiziert, so daß ajg _L b'" als neue Grundachse 
gewählt wird, b projiziert sich dann in dem Punkte ft^^, während 
a sich als die Linie a^^^ darstellt. In dem System a"'b"' und a^^h^^ 
mit der Grundachse rCg l^^ßt sich nun der kürzeste Abstand sofort 
ziehen: A^^B^"^ ist das Lot von b^^ auf a^^ und A" B'" ist 
parallel zu x^ ; darauf wird die Figur in die ursprüngliche Projek- 
tion zurückgeführt. 

40. Soll eine Figur durch einen gegebenen Winkel um eine be- 
?ie&i^ei/iwie a ^erfre/?^we>Y?e«, so kannman ein ähnliches Umprojizieren 
benutzen. Wenn nämlich die Linie a ein Projektionstrahl ist, läßt 
sich die Drehung sehr leicht ausführen, und auf diesen besonderen 
Fall führt man den allgemeinen durch Umprojizieren zurück. Ist 
insbesondere die Linie a einer der gegebenen Projektionsebenen par- 
allel, so braucht es natürlich nur einen Wechsel der einen Pi-o- 
jektionsebene, um a in einen Projektionsstrahl überzuführen. 

Das Umprojizieren wird auch als Hilfsmittel bei ungünstigen 
Lagenbeziehungen verwendet. 

Die Mittelebene. Perspektivische Affinität. 

41. Bei einer doppelten Projektion liegen die Projektionen 
von Punkten des ersten und dritten Quadranten auf verschiedenen 

Seiten der Grundachse, während die 
Projektionen jedes Punktes des zweiten 
und vierten Quadranten auf derselben 
y^- Seite der Grundachse liegen. Ein 
^' Punkt A^ dessen Projektionen A\ A" 

zusammenfallen sollen, muß deswegen 
im zweiten oder vierten Quadranten 
(oder auf der Grundachse x) liegen, 
und da die Abstände xA\ xA" die Ab- 
stände des Punktes von den Projek- 
tionsebenen bedeuten und somit gleich 
^*" groß werden müssen, muß der Punkt A 

in der Ebene liegen, die den zweiten und vierten Quadranten halbiert. 
Diese Ebene heißt die Mittelebene und wird mit M bezeichnet. 

Als Beisj^iel für die Aufgaben, welche die Mittelebene be- 
treifen und sofort durch direkte Betrachtung der ersten oder 
zweiten Orientierung ihre Lösung finden, wollen wir nennen: 

Bie Spuren A^, A^ einer Linie su finden, die durch einen ge- 
gebenen Punkt A gehl und auf der Miitelebene senkrecht ist (es wird 
A'A^ = X A" ; A^ und A^ fallen zusammen). 



Die Mitlelebene. Perspektivische Affinität 37 

Die Spuren einer Ebene zu finden, die durch eine gegebene Linie 
geht und zur Mittelebene senl-recht ist. Die Ebene muß ein Lot 
dei- Mittelebene enthalten, und ihre Spuren müssen deshalb in der 
Zeichnung die Verlängerung voneinander bilden. 

Eine gerade Linie a schneidet im allgemeinen die Mittel- 
ebene in einem bestimmten Punkte, dessen Projektionen in den 
Schnittpunkt a' a" zusammenfallen. Dieser Punkt 31 heißt die 
Mittelspur der Linie (Fig. 41). Ist a zu a" parallel, so wird a 
zur Mittelebene parallel. Fallen a und a" zusammen, ohne auf 
der Grundachse senkrecht zu sein, so liegt die Linie a in der Mittel- 
ebene. 

42. Eine Ebene schneidet im allgemeinen die Mittelebene 
in einer bestimmten geraden Linie, welche die Mittelspur der 
Ebene heißt. Ein Punkt der Mittel- , 

spur wird sofort gewonnen in dem y^ 

Schnittpunkte der Ebene mit der \ -/ 

Grundachse. (Ist die Ebene der Grund- \ X a" 

achse parallel, so wird auch die Mittel- \ - y^ 

spur, wenn sie existiert, der Grund- ^^j\ y^ 

achse parallel. Enthält die Ebene die ' /^ 

Grundachse , so muß die Mittelspur \\^ 

mit dieser zusammenfallen.) Ein zwei- . \. *' 

ter Pimkt wird gefunden, indem man \ \. 

von einer Linie in der Ebene die * \. 

Mittelspur bestimmt. In Fig. 42 ist \.. 

insbesondere eine horizontale Linie a ^ 

der Ebene genommen worden. 

DerZusammenhang zwischen den beiden Projektionen ^4'i?'6''. . . 
und Ä'B'C" . . . einer Figur in der Ebene ist nun dadurch 
charakterisiert, daß: 

1. zu jedem Punkte Ä' ein bestimmter Punkt A" gehört, der- 
art, daß A' und A" auf einer Linie von bestimmter Richtung 
(J_ x) liegen, 

2. jeder Linie a eine Linie a" zugeordnet ist, derart, daß 
a und a" die Mittelspur m in demselben Punkt schneiden (oder 
beide zu m parallel sind oder mit nt zusammenfallen), 

3. parallelen Linien a und b' wieder parallele Linien n" und b" 
entsprechen. 

Zwei Figuren einer Ebene, die in einer solchen Beziehung 
stehen, nennt ma,n per sjieJctiv affin odiev parallelperspektiv : m heißt 
die Affinitätsachse., die Richtung ^'J^" die Affinitätsrichtung. Durch 
die Affinitätsacbse m und ein Paar beliebig gegebener entsprechender 



38 Zweites Kapitel. Doppelte Projektion. 

Punkte J.', Ä\ von denen nur keiner auf m liegen darf, ist die 
ganze Beziehung bestimmt (vgl. Fig. 43). Daß eine Perspektive 
Affinität (wie man die Beziehung selbst nennt) existiert, die den 
Bedingungen genügt, erkennt man daraus, daß man eine doppelte 
Projektion einfühi-en kann, bei der Ä und Ä' die Projektionen 
eines Punktes A im Räume sind, während m eine Linie der Mittel- 
ebene darstellt. Die durch den Punkt A und die Linie m be- 
stimmte Ebene erzeugt durch die 
" ">-. " doppelte Projektion sofort die ge- 

..":-T-,. suchte perspektiv affine Beziehung. 

_...-■ "tc" : '"'■■-. Daß diese durch wi, J.', ^" eindeutig 

.^;._. ^ __ ~^" bestimmt ist, erkennt man daraus, 

-. ; , -' daß einem gegebenen Punkte £\ 

^i '•-., ; . der nicht auf der Linie A'A" liegt, 

. 'B' ein bestimmter Punkt B" ent- 

^J^ spricht. Die Linie A' B' schneidet 

nämlich m in einem bestimmten 
Punkte M (oder ist zu m parallel) 
und B" bestimmt sich als der Schnittpunkt von A" M undi B'B" 
A' A" (wenn A' B' m, wird die Linie durch J." parallel zu m und 
B' B" parallel zu Ä Ä'^. Zu einem Punkte C auf der Linie Ä Ä' 
findet man darauf den entsprechenden Punkt durch Benutzung 
der Verbindungslinie B' C 

Man beachte, daß m die Strecken ÄA", B' B '\ . . . in einem 
konstanten Verhältnisse teilt. 

Einen besonderen Fall der Perspektiven Affinität haben wir 
bereits bei der Untersuchung der Beziehung zwischen der Projek- 
tion und der Umklappung einer ebenen Figur gefunden (6). 

43. Die Ebene, welche den ersten und dritten Quadranten 
halbiert, enthält alle Punkte, deren Projektionen symmetrisch zur 
Grundachse liegen. Von einer Ebene, die zu dieser Halbierungs- 
ebene parallel ist, fallen die Spuren in eine zur Grundachse par- 
allele Linie s zusammen. Die Mittelspur m der Ebene wird zur 
Gnmdachse parallel und verläuft in der Mitte zwischen dieser 
und s. Von einer Figur in der Ebene liegen also die Projektionen 
symmetrisch zu m. 

Den systematischen Aufbau der Methode der doppelten Projek- 
tion verdankt man Gaspard Monge, dessen Vorlesungen hierüber 
an der ficole normale in Paris zuerst in dem Journal des ecoles nor- 
males Bd. I — IV (1795) veröffentlicht wurden. Die erste Ausgabe in 
Buchform erschien 1798 — 99 unter dem Titel: Geometrie descriptive. 
(Deutsche Ausgabe, Leipzig 1900, von Robert Haußner in Ost- 



Literaturnachweise 39 

walds Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 117.) Auf diese 
Weise wurde nicht bloß der Name eingebürgert, den G. Schreiber 
{Lehrbuch der darstellenden Geometrie nach Monges Geometrie descrip- 
tive vollständig bearbeitet, Karlsruhe 1828 — 29) dann in der heute noch 
üblichen Weise verdeutschte, es wurde auch diese Wissenschaft als 
ein feststehendes Lehrfach der technischen Ausbildung begründet. 
Vorher wurden die einschlägigen Kenntnisse meist mit dem Stein- 
schnitt verknüpft; man vgl. vor allem F. A. Frezier, La thcorie et 
la pratique de la coupe des pierres et des bois ou Tratte de stereotoviie 
(Straßburg 1737 — 39). Unmittelbar nach Monges Vorlesungen und in 
merkbarer Abhängigkeit von ihnen erschien das kleine Buch von 
S. F. Lacroix^ Complemens des elemens de geometrie, Paris 1796. 
Das erste aasführliche Lehrbuch ist das von Monges Schüler J. N. P. Ha- 
che tte, Traite de Geometrie descriptive, Paris 1822. Darauf folgte 
C. F. A. Leroy, Traite de geometrie descriptive sttivie de la methode 
des plans cötes et de la theorie des engrenages (Paris 1842), Th. Oli- 
vier, Cours de geometrie descriptive, Paris 1843 — 47, und J. M. de la 
Gournerie, Tratte de geometrie descriptive, Paris 1860 — 64. Diese 
Werke lassen die Entwicklung des Lehrbetriebes der darstellenden 
Geometrie an der polytechnischen Schule in Paris deutlich erkennen. 
Für seine weitere Ausgestaltung sind besonders kennzeichnend 
A. Mannheim, Cours de geometrie descriptive, Paris 1880, der die 
darstellende Geometrie nach der kinematischen Seite hin ausbaute, 
und M. d'Ocagne, Cours de geometrie descriptive et de geometrie in- 
finitesimale, Paris 1896, die sie mit der Krümmungslehre der Kurven 
und Flächen verknüpfte. In Deutschland lehnte die darstellende 
Geometrie in Literatur und Unterricht sich lange Zeit eng an die fran- 
zösischen Werke an, bis durch B. Gugler, Lehrbuch der beschreiben- 
den Geometrie, Nürnberg 1841, und K. Pohlke, Darstellende Geo- 
metrie, Berlin 1860, eine originellere Behandlung aufkommt und durch 
W.Fiedler, Die darstellende Geometrie, Leipzig 1871, die orga- 
nische Verschmelzung der darstellenden Geometrie mit der inzwischen 
ausgebildeten Geometrie der Lage versucht wird. Die wichtigeren 
deutschen Lehrbücher finden sich am Schluß zusammengestellt. 



Drittes Kapitel. 
Parallelprojektion. Axonometrie. 
Grundsätze der Parallelprojektion. 

44. Unter der Parallelprojektion einer gegebenen Figur 
ABC.... auf eine gegebene Ebene TT in einer gegebenen Rich- 
tung r versteht man die Figur A^ByC^ . . . ., die von den Schnitt- 
punkten der genannten Ebene (der Projektionsebene) mit den Strahlen 
ÄÄ^, BB^, CCi (den Projektionsstrahlen), die alle die Rich- 
tung r (die Projektionsrichtung) haben, gebildet Avird. Ist die Pro- 
jektionsebene zugleich mit der Projektionsrichtung (die man aber 
nicht der Ebene TT parallel voraussetzen darf) gegeben, so gehört 
zu jeder Figui' im Rauine eine bestimmte Projektion. Ist insbe- 
sondere r _L TT, so geht die schräge Parallelprojektion über in 
eine senkrechte Projektion. Wir wollen zuerst einige Hauptsätze 
über die allgemeine Parallelprojektion anführen. 

1. Eine gerade Linie a. die kein Projektionstrahl ist, wird in 
eine gerade Linie a^ projiziert. Ist a TT, so wird a^ a, ein be- 
liebiges Stück der Linie wird dann in seiner wahren Größe pro- 
jiziert. Ist a nicht j| TT, so geht a^ durch die Spvu- von a in TT. 

Die Ebene, die die durch die Punkte der Linie gehenden Pro- 
jektionsstrahlen enthält, heißt die die Linie projizierende Ebene. 

2. Die LAnien durch einen Punkt Ä tverdcn in die LAnien durch 
einen Punkt Ä^ projiziert-, aber wenn gewisse Linien im Räume 
in Linien projiziert werden, die durch denselben Punkt gehen, so 
kann man nicht daraus schließen, daß auch die Linien im Räume 
durch einen Punkt gehen, vielmehr nur, daß sie einen bestimmten 
Projektionsstrahl schneiden. 

3. Parallele JJnien, die keine Projektionssir ahlen sind, werden 
in parallele Linien projiziert (oder iln-e Projektionen fallen in 
eine gerade Linie zusammen). 

4. Strecken auf derselben geraden lAnie (oder auf parallelen 
Linien) sind ihren Projektionen proportional. 



Grundsätze der Parallelprojektion 



41 



Für jede gerade Linie im Räume gibt es also bei gegebener 
ProjektioDsrichtung und -ebene eine bestimmte Zahl, welche das 
Verhältnis zwischen der Projektion einer beliebigen Strecke auf 
der Linie und deren wahrer Länge angibt. Diese Zahl heißt das 
Projektionsverhültnis der Linie. Sie ist dieselbe für alle zueinander 
parallele Linien. 

5. Wenn zwei ebene Figuren ABC . . . und A' B' C' ... in 
zwei verschiedeneu Ebenen, deren Schnittlinie >• sei, durch Par- 
allelprojektion in einer gegebenen Richtung r auseinander hervor- 
gehen, so entspricht jedem Punkt der einen Figur ein bestimmter 
Punkt der anderen Figur, derart, daß die Verbindungslinie der 
beiden Punkte die Richtung r hat. Jeder geraden Linie der einen 
Ebene entspricht eine gerade Linie in der anderen Ebene, und 
zwei einander so entsprechende Linien schneiden sich immer 
auf 5 (oder sind zu s parallel). 

Betrachtet man nun eine Parallelprojektion der zwei Figuren 
auf die Zeichenebene (Fig. 44), so entstehen in dieser zwei Figuren, 
A^B^C^ . . .\xnil Ä^B\r\ . . ., 
die parallelperspektiv sind, wo- 
bei 5j die Affinitätsachse und 
r^ die Affinitätsrichtung wird. 
So werden z. B. zwei ebene 
Schnitte desselben Zylinders 
(oder Prismas) in Parallelpro- 
jektion als parallelperspektive 
Figuren dargestellt. 

6. Wird eine Figur ^5 (7.. . 
in der Ebene TT in eine andere 
Ebene TT^ um die Schnittlinie 
der beiden Ebenen herumge- 
dreht, so wird die so erzeugte 
Figur A'B'C' . . . die Parallel- 
projektion der gegebenen Figur für eine Projektionsrichtung, die 
zu der Halbierungsebene f de.s Winkels zwischen den Ebenen TT. TT^ 
senkrecht ist. Die beiden Figuren liegen nämlich symmetrisch zu f. 

Nach dem vorhergehenden Satz liefern dann die beiden Figuren 
durch Parallelprojektion auf die Zeichenebene zwei parallelper- 
spektive Figuren. Wenn insbesondere eine ebene Figur ABC . . . 
in die Zeichenebene umgeklappt wird, so wird die entstehende 
ümklappung zu der Projektion A^BiC^ . . ■ der gegebenen Figur 
parallelperspektiv. 

45. Bei der Darstellung der Körper in Parallelprojektion 




Fig. 41. 



42 



Drittes Kapitel. Parallelprojektion. Axonometrie 



kommen dieselben Regeln bezüglich des Sichtbaren und Unsicht- 
baren zur Anwendung wie bei der senkrechten Projektion. Die 
Oberfläche jedes konvexen Körpers zerfällt in zwei Teile, einen 
sichtbaren und einen unsichtbaren, und die Grenze zwischen diesen 
erscheint als der Umriß der Projektionsfigur. 




Fig. 45. 



Die allgemeine axonometrisclie Darstellung. 

46. Ein einziges in Parallelprojektion hei-gestelltes ebenes 
Bild Ä^ B^ 6j . . . kann wohl eine gewisse Vorstellung von der 

dargestellten Figur J. 5 C . . . geben, 
aber sie nicht vollständig bestim- 
men. Wir wollen nun ein Verfahren 
angeben, wie man doch in einer 
solchen einfachen Parallelprojek- 
tion mit Hilfe der Projektionen 
% , 2/n ~i und der zugehörigen Pro- 
jektionsverhältnisse von drei ge- 
gebenen Achsen x, y, z (Koordi- 
natenachsen) im Eaume (Fig. 45), 
die einen Punkt gemein haben, 
aber nicht in derselben Ebene lie- 
gen, die Lage eines beliebigen 
Punktes P im Räume vollständig 
angeben kann. Die Ebenen xy, 
sx heißen Koordinaienehenen. 
Wir projizieren P in der Richtung s auf die xy-Woene in P' . 
Da die Strecke PP' zu z parallel ist, wird ihr Bild Pj P^' ,2, . Durch 
P' ziehen wir P'P*' 'y, P^ P^^ ist dann y^. P kann nun im Räume 
durch die Strecken 0P°, P^P' und P'P bestimmt werden, deren Vor- 
zeichen man in Übereinstimmung mit den Richtungen x. y, z rechnet. 
Diese Strecken heißen die Koordinaten des Punktes P Kennt man 
Pj und P^', so kann man Pj° finden, indem man P^ P^ y^ zieht. 
Die Koordinaten werden dann im Bilde durch die drei Strecken 
O^P.^^ Pi^Pi, Pi'Pi dargestellt. Die wahren Längen der Koor- 
dinaten kann man finden, wenn die Projektions Verhältnisse der 
drei Achsen x, y^ z bekannt sind. 

Wir bemerken, daß auch die Projektionen P" und P'" des 
Punktes P auf die rr^;-Ebene in der Richtung y und auf die yz- 
Ebene in der Richtung x sofort im Bilde gefunden werden können. 
Man findet die Projektion P^" auf die a-^J-Ebeue im Bilde im- 
mittelbar als vierte Ecke des durch P^, P^', P^ bestimmten Par- 



yz 



Die allgemeine axonometrieche Darstellung 



43 




Fig. 46. 



allelogramms. Das Bild P^"' der Projektion auf die j/z-Ebene wird 
gefanden, indem man P^Pi" gleich und parallel zuP^^O^ macht. 
Die Projektion P' auf die xy-Ehene nennen wir die Grundriß- 
projc]ctio)h die Projektion P" auf die a;^-Ebene die Aufrißprojek- 
üon und die Projektion P'" auf die »/^-Ebene die Seifenrißprojek- 
tion des Punktes P. Das Bild P^ 
wird als axonowetrisches Bild 
bezeichnet. 

47. Eine gerade Linie a 
kann man durch die Bilder a^ 
und a/ (axonometrisches Bild 
und Grundriß) darstellen (Fig. 
46), ihre Spur P in der xy- 
Ebene wird durch den Schnitt- 
punkt Pj von aj und a^' ge- 
geben. Die Spuren Q und B 
in den anderen Koordinaten- i 
ebenen findet man dadurch, daß 
die Grundrißprojektionen auf x 
und 1/ fallen müssen. 

48. Eine Ebene kann man sich durch irgend zwei in 
ihr liegende Linien gegeben denken, insbesondere durch ihre 
Spuren in zwei Koordinaten- 
ebenen. In Fig. 47 ist eine 
Ebene dargestellt, die nicht 
durch den Koordinatenanfangs- 
punkt geht und alle drei Ko- 
ordinatenebenen schneidet. Die 
Bilder der Spuren sind p^, q^ 
und t\. Sie begrenzen ein Drei- 
eck, dessen Ecken auf den Ko- 
ordinatenachsen liegen. Von 
jeder geraden Linie in der 
Ebene liegt die Spur auf der 
Spur der Ebene. Ein Punkt P 
der Ebene ist eindeutig be- 
stimmt durch sein Bild P^. Man 
findet die zugehörige Grundriß- 
projektion, indem man z. B. das Dreieck P^PqP^' konstruiert, 
dessen Seiten der Reihe nach zu q^, x^, z^ parallel sind. 

Die Schnittlinie zweier Ebenen bestimmt man durch ihre 
Spuren, die man als die Schnittpunkte der entsprechenden Spuren 




44 



Drittes Kapitel. Parallelprojektion. Axonometrie 




Fig. 48. 



der Ebenen findet. In besonderen Fällen kann man aber die Schnitt- 
linie nicht auf diese Weise bestimmen. Die allgemeine Methode 
ist dann die, daß man eine passende Hilfsebene einführt. Die 

Spuren der Ebenen in dieser 
Hilfsebene schneiden einan- 
der in einem Punkte der ge- 
suchten Linie, und auf die- 
selbe Weise kann man noch 
einen Punkt der Schnittlinie 
finden. Parallele Ebenen ha- 
ben parallele Spuren. 

Den SchnittpimM einer 
Ebene mit einer geraden Linie 
bestimmt man daraus, daß 
er auf der Schnittlinie der 
gegebenen Ebene mit einer 
willkürlichen Hilfsebene, die 
durch die gegebene Linie hin- 
durchgeht, liegen muß. In 
Fig. 48 ist auf diese Weise 
der Schnittpunkt der Linie c 
mit der durch zwei einander schneidende Linien a und h bestimmten 
Ebene ah bestimmt. Als Hilfsebene ist die Ebene cc benutzt. Sie 
schneidet ei und h in zwei Punkten, deren Grundrißprojektionen die 

Schnittpunkte von c mit a und 
h' sind. Die Verbindungslinie der 
gefundenen Punkte schneidet 
dann c in dem gesuchten Punkt. 
49. Was die Anlage der 
Zeichnung betrifft, so kann man 
z. B. festsetzen, daß das Koor- 
dinatensystem so angenommen 
werden soll, daß die positiven 
Halbachsen sichtbar werden, 
wenn die Koordinatenebenen in 
ihrer ganzen Ausdehnung als 
undurchsichtig angesehen wer- 
den. Die positiven Quadranten 
der Koordinatenebenen werden 
dann sichtbar und jede der Halb- 
achsen Xj, y^ und Sy fällt außer- 
halb des Winkels, der von den 




Die allgemeine axonometrigche Darstellung 



45 



anderen beiden begrenzt wii'd. Die Koordinatenebenen verdecken 
also jeden Punkt, von dem wenigstens eine Koordinate negativ ist. 

Haben zwei Punkte A und B dasselbe axonometrische Bild, 
so kann man aus den Bil- 
dern der GrundriÜprojek- 
tionen A^' und ß.^' ent- 
nehmen , welcher der 
Punkte sichtbar ist. Ver- 
läuft A^'B^' in der Rich- 
tung der Halbachse z^ , so 
wii-d B durch A verdeckt. 
In Fig. 49 ist ein Tetra- 
eder durch die axonome- 
trische Ansicht samt der 
Grundrißprojektion dar- 
gestellt. Welche der zwei 
Kanten , de- 
ren Bilder 
einander in- 
nerhalb des 
Umrisses 
schneiden, 
sichtbar ist, 
ist aus der 
Grundiißprojektiou 
Punkte auf diesen Kanten, 
die dasselbe axonometrische 
Bild haben, bestimmt. 

50. In Fig. 50 ist ge- 
zeigt, wie man den Schnitt 
einer Pyramide mit der 
Ebene {pq) bestimmen 
kann. Die Pyramide habe 
die Spitze S (mit den Pro- 
jektionen S^ und S■^'), und 
die Grundfläche AB CD 
liege in der a^^Z-Ebene. Wir suchen die Schnittlinie von (pij) und 
der Seitenfläche SAB der Pyramide, indem wir die beiden Ebenen 
zuerst mit der xy-F,hene und darauf mit einer Ebene durch S 
parallel zur xy-'Ehene zum Schnitt bringen. Die Ebenen (pq) und 
SAB werden von der xy- Ebene in den Linien p und AB ge- 
schnitten, diese Linien schneiden dann einander in einem Punkte 1' 




46 



Drittes Kapitel. Parallelprojektion. Axonometrie 



der gesuchten Schnittlinie. Die zur aj?/- Ebene parallele Ebene 
durch S hat eine Aufrißspur MU a;, die durch die Beziehung 
Ojil/j^ = Sj^S-i bestimmt wird. Diese Ebene schneidet die Ebene Qjg) 
in die Linie w*, die zu j» parallel ist und durch U geht, während 
sie die Ebene SAB in einer zu AB parallelen Linie durch *S' 
schneidet. Hierdurch wird ein neuer Punkt V der gesuchten Schnitt- 
linie FT'* bestimmt, damit aber ist die Seite A''B' der gesuchten 

Schnittfigur bestimmt, und die 
Konstraktion kann leicht ver- 
vollständigt werden. Die Ebene 
(^pq) ist in der Figur als durch- 
sichtig angesehen. 

51. Im folgenden nehmen 
wir an, daß das Koordinaten- 
system rechtwinklig ist. Die 
Projektionsverhältnisse für die 
Koordinatenachsen sollen da- 
durch gegeben sein, daß auf 
aJj , t/i und s.^ drei Strecken 
O^^A^ == Z, 0^B^ = m und 
0^0^ = n abgetragen sind, wel- 
che die Bilder von drei gleich 
großen Strecken von der Länge Ä 
auf den Koordinatenachsen angeben (Fig. 51). Wenn nun der ge- 
gebene Punkt P die Koordinaten x, y, z hat und deren Projektionen 
durch a^i, y^ und z-^ bezeichnet werden, so findet man 

, . X, ^l y^ _ m z^ ^ n 

^^ . X Je' y Je' z Je' 




- ^1 



Fig. 51. 



Xj^, y^ und s^ liest man aus der Figur ab, und die wirklichen 
Längen können darauf konstruiert werden. 

Wir wollen noch bemerken, daß wir durch die Grleichungen 

(1) auch iCj, y^ und ^j konstiiiieren können, wenn x, y und z be- 
kannt sind. 

Ändert man in den Gleichungen (l) den Wert von /.-. so er- 
hält man eine Figm-, die zu der ui-sprünglichen ähnlich ist. Da 
man aber den Maßstab beliebig wählen kann, so ist an dieser Ver- 
ändening nichts gelegen, und man kann z. B. k = l annehmen. 
Dann erhält man für die Koordinaten des entsprechenden Punktes Po 
der ähnlich transformierten Figur 

(2) ^2 = a:i, ?/2=.'/i,„, ^-.=^1 ^, 



Die allgemeine axonometriscbe Darstellung 



47 



und man kann das zugehörige System x^. y«, ^o folgendermaßen 
aus a;^, y^, z^ konstruieren (Fig. 51): Man läßt die Halbachsen a:, 
und Xy zusammenfallen und nimmt die y^- und ;?2"-'^chse in der 
Zeichenebene zu x^ senkrecht an. Darauf trägt man O^B^ = Ö^ C*« 
= O^A-^ auf y^ und g^ ^.b. Ist nun ein Punkt P der ursprüng- 
lichen Figur gegeben durch P^' und Pj", so errichtet man in P.^^ 
die Strecken P^^ P^ und P.^P^" senkrecht zu a;^, derart, daß die 
Systeme P^" P/ P^ und Pj° P/'' Pg" den Systemen 0^ B^ B^ und 
Oj Cj^ Cg ähnlich werden; es wird dann nach den Gleichungen (2) 
0^ Pj^ = x^, P^^P^ = y^, P^^ Pg" = z^, und der Punkt \ der 
transformierten Figur ist somit durch Grundriß P^' und Aufriß Po' 
in gewöhnlicher doppelter Projektion mit x^ als trennender Achse 
dargestellt. Die angegebene Konstruktion läuft offenbar darauf 
hinaus, daß Pg' und P," aus P^ und P," durch zwei perspekti- 
vische Affinitäten abgeleitet tcerden, deren gemeinsame Affinitäts- 
achse rTj ist^ tvälircnd die erste Affinität den Punkt B^ in B,^, die 
zweite C^ in C^ überführt. 

Mit Hilfe dieser Methode kann man von der allgemeinen 
axonometrischen Darstellung einer Figur zu einer gewöhnlichen 
doppelten Projektion übergehen, und durch diese Darstellung 
Aufschluß über wahre Größen der vorliegenden Figui* erhalten. 

Die wahre Bedeutung der axonometrischen Methode liegt aber 
wesentlich darin, daß 
sie durch ein einziges 
Bild eine anschau- 
liche Darstellung des 
Gegenstandes liefert, 
aus welcher man un- 
mittelbar mit Hilfe 
der drei Richtungen 
x^, y^, und z^ und 
der zugehörigen 2Iaß- 
stäbe die Dimensionen 
bezüglich der Haupt- 
richtungen des Gegen- 
standes ablesen kann, 
ohne daß 
man sich mit 
der Projek- 
tionsrich- 
tung oder mit 
den Lagen- 




48 



Drittes Kapitel. Parallelprojektion. Axonometrie 



beziehungen des Gegenstandes tmd der Zeichenebene irgendwie 
SU beschäftigen hat. Daß man dabei über die Richtungen i\. y^, s^ 
und über die Maßstäbe nach den praktischen Bedürfnissen frei 
verfügen kann, wird aus dem im folgenden (243) zu beweisenden 
Pohlkeschen Satz hervorgehen^ ). Als Beispiel weisen wir auf 
Fig. 52") hin, bei der die Maßstäbe einander gleich angenommen 
sind. Man beachte die auffallend plastische Wirkung der Figur. 
Von besonderen Fällen der Axonometrie, die zu speziellen 
Betrachtungen Anlaß geben, behandeln wir im folgenden noch 
die Kaialierperspektive und die ortJiogonale Axonometrie. 



Kavalierperspektive. 

52. Die Achsen x und z liegen dann in der Zeichenebene, 
und die zugehörigen Koordinaten werden in der wahren Größe 
dargestellt. Wir wählen außerdem für das Projektions Verhältnis 
der t/- Achse den Wert -i^, so daß alle ^/-Koordinaten sich in halber 
Größe darstellen, aber die angegebenen Methoden werden natür- 
lich von dieser besonderen Annahme nicht wesentlich beeinflußt. 
Die Aufrißprojektion wird eine senkrechte Projektion auf die 
Zeichenebene und der Abstand der Aufrißprojektion eines Punktes 
von seiner schiefen Projektion (wie die axonometrische Projektion 
in diesem Falle gewöhnlich genannt wii*d) gibt den Abstand des 

Punktes von der Zeichen- 
ebene in halber Größe an. 
Dies kann man zu metri- 
schen Konstruktionen (Kon- 
struktionen von wahren 
Längen und Winkeln) be- 
nutzen, indem man so die 
Behandlung unmittelbar auf 
die in dem ersten Kapitel 
aufgestellten Methoden zu- 
rückführen kann. 

1. Beispiel. Ben Ab- 
stand siveier PunJctc A und 
Fig. 53. J^ ■^M finden (Fig. 53). 

1) Vgl. d'Ocagne,. Geometrie descriptive, Paris 1896, Chapitrell. 
•-') Sie stammt aus dem Werke A. Choisy, L'Art de Bdtir chez 
ks Romains, Paris 1873 (pl. XVII). 




Kavalierperspektive 



49 



Die Punkte seien durch ihre schiefen Projektionen Aj^ und 
J5j und ihre Aufrißprojektionen Ä" und B" bestimmt; sind sie 
auf andere Weise gegeben, so müssen die angeführten Projektionen 
erst bestimmt werden. Der 
gesuchte Abstand A" JB^ 
wird als die Hypotenuse 
in einem rechtwinkligen 
Dreieck bestimmt, dessen 
eine Kathete A" B" ist, 
während die andere 



B 



''; I 



'x^-" 

¥<.' 



Fig. 5-1. 



B"B^ = 2 A"A^—B"B, 
wird. 

,2. Beispiel Ben 
Winkel zwischen zwei 
sich schneidenden Linien a 
und h zu finden (Fig. 54) 

Die Linien seien be- 
stimmt durch ihre schiefen 
Projektionen und ihre Auf- 
rißprojektionen. IhreAuf- 
i-ißspuren seien A und i?, ihr Schnittpunkt C. Um den Winkel 
(a6) = i_ACB zu finden, legt man den Punkt C durch Drehung 
um AB in die Zeichenebene um. Der gesuchte Punkt C, liegt 
auf C"P_LAB in einem Abstände von P, welcher die Hypotenuse 
in einem rechtwinkligen Drei- 
eck mit den Katheten PC" 
und C'C = 2 C"C\ ist. Der 
Winkel AC^B ist dann der 
gesuchte Winkel. 

5. Beispiel. Umklap- 
pung einer Ebene (pq) 
(Fig. 55). 

Auf ^ wählen wir einen 
Punkt A, den wir uns durch 
seine Projektion A" auf die 2/ 
Zeichenebene und den Ab 
stand 2 A" A^^ von ihr be 
stimmt denken 

zeichnen und die Konstruktion kann wie früher ausgeführt wei-- 
den. Indessen ist es wichtig, zu beachten, daß, sobald der 
Punkt A umgeklappt ist (in der Figur auf A.^), der Übergang 
von der schiefen Projektion zur Umklappung vollständig bestimmt 

Tinierding, truudbucli II i 




Fig. 5ä. 

Dann läßt sich sofort das Profil PA.^ der Ebene 



50 Drittes l^apitel. Parallelprojektion. Axonometrie 



/ 




Fig. 56. 



ist. Wir wissen nämlich, daß die schiefe Projektion A^B^C^ . . . 

einer Figur in der Ebene und die Umklappung A^B^C2 ■ ■ . der- 
selben Figur affin perspektiv 
sind, wobei q die Affinitätsachse 
ist, und diese Affinität ist durch 
ein Paar entsprechender Punkte 
Ä^ und A^ bestimmt. (Vgl. Fig. 
56.) Man kann sie für die üm- 
klappung aller anderen Punkte 
und Linien der Ebene benutzen. 
(In der Figur ist B^Q^ aus B^Q^ 
abgeleitet durch die Hilfsgera- 
den A,3I II 7?i(?i, A^M II B^Q^.) 

Orthogonale Axonometrie. 

53. Hierbei wird eine senk- 
rechte Projektion auf die Zei- 
chenebene angewandt. Sind die 
Projektionen x^, y^, s^ der Achsen 
gegeben, so sind die Riebtungen 
der Achsen rr, y, s im Räume be- 
Fig 57. stimmt. Eine beliebige, zur Zei- 




Orthogonale Axonometrie 



51 



chenebene parallele Ebene (Grundebene) schneidet nämlich das 
Koordinatenkreuz in einem Dreieck XYZ (Fig. 57), von dem x^, 
y^^^i die Höhen werden (12), und der Abstand OjOg des Anfangs- 
punktes von jener Grundebene kann durch Umklappung der die s- 
Achse projizierenden Ebene in die Grundebene gefunden werden, 
indem 0^ auf dem Halbkreis über Z^P als Durchmesser und auf 
dem Lot 0-^0^ von z^ liegt. Damit findet man zugleich den Winkel / 
der ^- Achse gegen die Grundebene (Zeichenebene). Außerdem haben 
wir- die Umklappung der ic//-Ebene in die Grundebene angedeutet; 
fällt nach Og, während 0^03 = ^^ und der Winkel X^Og Y^ = 90° wird, 
womit die ümklappungen o:.^ und y^ von x und y bestimmt sind. 

Koordinaten von gegebener Größe können mit Hilfe 
der angeführten Umklappungen abgetragen werden. Aber es ist 
doch oft viel bequemer, folgendes 
Verfahren zu benutzen. Von einer 
festen Halbachse s aus tragen wir 
die Winkel {sx), {sy'), (sz) mit 
demselben Scheitel jiS ab, die wir 
gleich dem Komplement der von 
den Achsen mit der Zeichenebene 
gebildeten Winkel macheu. Soll 
man nun zum Beispiel eine rr-Ko- 
ordinate von gegebener wahrer 
Größe abtragen (Fig. 58), so nimmt man diese Größe in den 
Handzirkel und trägt sie auf x' von S bis 31 ab, mißt darauf 
direkt den Abstand des Punktes 31 von der Linie 5 (ohne ihn 
erst zu zeichnen) und hat damit die Projektion der a;-Koordinate, 
diese kann man dann sofort auf x^ abtragen. Ebenso trägt man 
die anderen Koordinaten ab. 

Die Projektionsverhältnisse 
der Achsen werden durch die 
Cosinus der Winkel gegeben, 
welche die Achsen mit der Zei- 
chenebene bilden, oder durch die 
Sinus der Winkel, welche sie 
mit der Normalen dieser Ebene 
bilden. Da die Cosinus der letzt- 
genannten Winkel die Quadrat- 
summe 1 haben, wird die Qua- 
dratsumme der drei FrojeJctions- 
verhältnisse gleich 2. 

Was die besonderen Me- Fig. 59. 




Fig. 58. 




52 



Drittes Kapitel. Parallelprojektion. Axonometrie 




thoden zur Auffindung von 
Avahren Längen und Winkeln 
betrifft, so wollen wir uns mit 
ein paar Beispielen begnügen. 
1. Beispiel. Der Ab- 
stand sioeier Punlde A und 
B kann als Hypotenuse in 
einem rechtwinkligen Drei- 
eck, von dem der Unterschied 
der 5^-Koordinaten von A und 
B die eine Kathete und A'B' 
die andere Kathete bildet, ge- 
funden werden. Die erste 
Kathete ermittelt man durch 
die Umklappung der 5-Achse, 
die zweite durch die Um- 
klappung der xy-Hhene. 
2. Beispiel. In der xy-Ehene sei eine gerade Linie a und ein 
Punkt P gegeben. Von P soll man ein Lot auf a fällen (Fig. 59). 

Durch a legen wir eine 
Ebene parallel zu z. Ihre Spur 
in einer passend gewählten 
Grundebene sei s. Die gesuchte 
Linie h wird dann senkrecht 
zu dieser Ebene und ihr Bild h^ 
senkrecht zu s^. 

S.Beispiel. Durch einen 
gegebenen PiinM eine Senkrechte 
SU einer gegebenen Ebene mit 
den Spuren p und q zu ziehen 
(Fig. 60). 

Die Spur der Ebene in 
einer Grundebene sei s. Das 
axonometrische Bild der ge- 
suchten Normale n^ wird senk- 
recht zu Sj^, während ihre 
Grundrißprojektion Wj' sich da- 
durch bestimmt, daß n' A_p 
sein muß. 

4. Beispiel. UmJclappung 
einer Ebene (pq) (Fig. 6l). 
i'ig. 61. jVlfui zeichnet die Spur s 




^y~~ 



Orthogonale Axonometrie 53 

der Ebene in einer Gnindebene. Die Ebene denkt man sich sodann 
bestimmt durch s und einen ihrer Punkte, z. B. den Punkt A auf 
der Ginindrißspur der Ebene, der in demselben Abstände von der 
Grundebene wie liegt (0^ A^ J_ z^. Das Profil der Ebene t^ 
kann darauf gezeichnet und wie gewöhnlich benutzt werden {t^ J_ s^ 
schneidet s^ in >S', A^Ac^ ist J_ 'i, und der Abstand des Punktes A^ 
von fj wird gleich 0^0^^ worauf ^,6' das gesuchte Profil ist). 

Xälierc^s über spezielle Fragen der Axonometrie findet man, außer 
in den bekannten Lehrbüchern der darstellenden Geometrie von Fied- 
ler, Wiener, Rohn-Papperitz, in den folgenden Werken: 

A. Sopwith, Treatise on isometrical clraidng. London 1834. 

0. Möllinger, Isometrische Projektionslehre. Solothum 1840. 

J. L. Weisbach, Anleitung zum axonometrischen Zeichnen. 
Freiberg 1857. 

R. Skuhersky, Orthographische ParaUelperspektive. Prag 1858. 

L. Burmester, Grundzüge der schiefen Parallelperspektive 
(Zeitschrift für Mathematik u. Physik, Bd. 16, S. 449] 1871. 

G. Hauck, Grundzüge ein^r allgemeinen axonometrischen Theorie 
der darstellenden Perspektive (ebenda Bd. 21, S. 81). 1876. 

R. S t a u d i g 1 , Die axonomefrische und schiefe Projektion. Wien 1875. 

C. Pelz, Zur wissenschaftlichen Behandlung der orthogonalen 
Axonometrie, (Sitzungsberichte der Wiener Akademie, Math.-phys. 
Klasse, Bd. 81, S. 300, Bd. 83, S. 375, Bd. 90, S. 1060). 1880—84. 

J. Tesar, L'her den orthogonal-axonometrischen Verkürzungskreis 
(ebenda Bd. 81, S. 453). 1880. 

D. Tessari, Projezioni a^sonometriche ortogonali cd obliqtte. 
Torino 1882. 

L. Berzolari, SulV assonometria ortogonale. Pavia 1893. 
A. Weiler, jN'ewe Behandlung der Parallelprojektionen und der 
Axonometrie. Zweite Ausgabe. Leipzig 1896. 

R. Sc büß 1er, Orthogonale Axonometrie. Leipzig 1905. 



Viertes Kapitel. 

Grundlagen und Methoden der perspektivischen 
Darstellung. 

Unendlich ferne Elemente. 

54. Ein System von einander parallelen Linien, die zu- 
sammen den ganzen Raum erfüllen, heißt ein Parallelenbündel. 
Von den Linien eines Parallelenbündels sagt man, daß sie die- 
selbe Richtung haben. Aber wenn wir diese Ausdrucksweise ge- 
brauchen, müssen wir wohl darauf achten, daß es sich hier nicht 
um die Bewegungsrichtung nach der einen oder anderen Seite auf 
der Linie handelt, sondern nur um die Stellung des Parallelen- 
bündels im Raum 

Definition I. Ein unendlich ferner Punkt ist die durch ein 
ParaUelenhündel bestimmte RicJititng. 

Ein unendlich ferner Punkt und ein gewöhnlicher (eigent- 
licher) Punkt sind sonach in Rücksicht auf ihre Veranschauungs- 
mittel (das eine Mal eine Richtung, das andere Mal ein kleiner 
Körper) vollkommen verschiedene Dinge. 

Von einer geraden Linie sagt man, daß sie einen unendlich 
fernen Punkt U enthält (nach ihm hinläuft), wenn sie die Richtung 
des Parallelenbündels hat, das U bestimmt. 

Jede Linie im Räume enthält einen xmd nur einen xmendlich 
fernen Punkt. Es gibt nämlich ein und nur ein Parallelenbündel, 
das die Linie enthält. 

Zwei parallele Linien enthalten einen und denselben unend- 
lich fernen Punkt, und wir sagen deshalb von ihnen in Überein- 
stimmung mit dem gewöhnlichen Sprachgebrauch, daß sie sich in 
diesem unendlich fernen Punkt schneiden. 

Von einer Ebene sagen wir, daß sie einen unendlich fernen 
Punkt U enthält, wenn sie eine Linie in der durch U bestimmten 
Richtung enthält. Indem wir diese Ausdrucksweise einführen, er- 
reichen wir, daß wir als notwendige und hinreichende Bedingung, 



Unendlich ferne Elemente 55 

daß eine Ebene einen Punkt enthält, immer fordern können, daß 
die Ebene eine Linie enthält, die durch den Punkt hindurchgeht. 
Jede Ebene enthält unendlich viele unendlich ferne Punkte, die 
durch die verschiedenen Richtungen der Linien in der Ebene be- 
stimmt sind. Durch jeden dieser unendlich fernen Punkte gehen 
unendlich viele Linien der Ebene hindurch. 

Definition II. Eine unendlich ferne Linie ist die Gesamtheit 
der unendlich fernen Punkte einer Ebene. 

Hieraus folgt: Zwei parallele Ebenen enthalten eine und die- 
selbe unendlich ferne Linie. Denn zu jeder Linie in der Ebene 
findet man unendlich viele Linien von derselben Eiehtung in der 
anderen Ebene. Wir sagen von den Ebenen, daß sie sich in der 
unendlich fernen Linie schneiden. 

Definition III. Die unendlich ferne Ebene ist die Gesamt- 
heit aller unendlich fernen PunJcte des Baumes. 

Die unendlich ferne Ebene enthält sonach alle unendlich 
fernen Linien. 

Die unendlich fernen Linien und Punkte samt der unendlich 
fernen Ebene heißen die unendlich fernen Elemente des Raumes. 

55. Nachdem wir diese Definitionen aufgestellt und damit 
den aus der elementaren Geometrie bekannten Begriffen Punkt, 
Linie und Ebene eine weitere Ausdehnung gegeben haben, wollen 
wir untersuchen, welchen Einfluß diese Definitionen auf die For- 
mulierung gewisser einleitender Sätze in der Geometine haben. 

1. Es gibt eine und nur eine gerade Linie, die durch zwei 
u-illkürlich gegebene Punkte Ä und B hindurchgeht. 

Dieser Satz kann unter allen Umständen aufrechterhalten 
werden. Ist nämlich A ein eigentlicher und B ein unendlich ferner 
Punkt, so sagt der Satz aus, daß man durch A eine und nur eine 
Linie von bestimmter Richtung ziehen kann. Sind A und B un- 
endlich fern, so kann man mit Hilfe einer Ebene, die zu den durch 
A und B bestimmten Richtungen parallel ist, eine unendlich ferne 
Linie bestimmen, die A und B enthält. Es gibt unendlich viele 
Ebenen, die den beiden Richtungen parallel sind, aber diese Ebenen 
sind untereinander parallel und bestimmen deshalb nur eine einzige 
unendlich ferne Linie. 

2. Eine Ebene enthält jede Linie, die zwei Punkte A und B 
in ihr verbindet. 

Zuerst setzen wir voraus, daß die Ebene nicht unendlich 
fern ist. Ist dann A ein eigentlicher und B ein unendlich ferner 
Punkt, den man nach dem Gesagten durch die Richtung einer 
gewissen Linie b in der Ebene bestimmen kann, so sagt der Satz 



56 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

aus, daß eine Linie, die durch Ä geht und parallel zu h ist, in 
der Ebene liegt. Sind A und B unendlich fern, so ist der Satz 
eine Folge von der Definition der unendlich fernen Linie. Ist die 
Ebene unendlich fern, sind also auch A und B unendlich fem, 
so folgt der Satz aus der Definition III. 

3. Es gibt eine und nur einr Ebene, die drei nicht einer ge- 
raden Linie angehörende Punlde A, B nnd C enthält. Um zu 
zeigen, daß dieser Satz allgemein gültig ist, müssen wir drei ver- 
schiedene Fälle untersuchen: 

1. A und B sind eigentliche Punkte, C unendlich fern, dann 
bestimmen die Linien AB und AC die Ebene. 

2. A ist ein eigentlicher Punkt, B und C sind unendlich 
fern, dann bestimmen wieder AB und AC die Ebene. 

3. A, B und C sind alle unendlich fem, dann gibt es, da 
sie nicht auf einer unendlich fernen Geraden liegen sollen, keine 
eigentliche Ebene, die sie enthält, nur die unendlich ferne Ebene 
enthält sie alle. Damit ist der Satz vollständig bewiesen. 

Endlich können wir noch folgende Sätze aufstellen: 

Zwei Linien in derselben Ebene haben immer einen Punkt 
gemeinsam, der ihr SchnittpunJct heißt. 

Drei Ebenen, die nicht durch dieselbe Linie hindurchgehen, 
haben drei Schnittlinien, die durch denselben Punkt gehen. 

Hieraus geht schon hei-vor, welche Vorteile man durch die 
Einführung der unendlich fernen Elemente erlangt. Die Spaltungen, 
die in gewissen geometrischen Untersuchungen dadurch entstehen, 
daß zwei Linien derselben Ebene entweder einander schneiden 
oder parallel sind, zwei Ebenen entweder einander schneiden 
oder parallel sind u. dgl., können nun vermieden Averden. Die 
besonderen Betrachtungen, die mau fortwährend über parallele 
Linien und Ebenen anstellen muß, wenn man die Ausdrucksweise 
der elementaren Geometrie beibehält, sind jetzt ein für allemal 
durchgeführt und die Resultate in unseren Definitionen und Sätzen 
über die unendlich fernen Elemente niedergelegt. 

Die Gesamtheit aller geraden Linien, die durch einen und 
denselben Punkt hindurchgehen und eine bestiuunte Kurve treffen, 
bildet eine Kegelfiäche. Dagegen bilden die geraden Linien, die 
alle dieselbe Richtung haben und eine bestimmte Kurve treffen, 
eine Zylinderfläche; diese Linien enthalten aber alle denselben 
unendlich fernen Punkt, und somit ist die Zylinderfläche aufzu- 
fassen als eine Kegelfläche mit unendlich ferner Spitze. 

56. Der Ausdruck unendlich ferner Punkt findet seine Er- 
klärung durch folgende Betrachtung: 



Zentralprojektion 57 

Wenn eine gerade Linie a von einem ihrer Punkte ^1 derart 
durchlaufen wird, daß dieser sich mehr und mehr von irgendeinem 
festen Punkt auf der Linie entfernt, so nähert sich die Ver- 
bindungslinie des beweglichen Punktes mit einem festen Punkt B 
außerhalb a mehr und mehr einer bestimmten Grenzlage, ohne sie 
jedoch jemals zu erreichen. Diese Grenzlage ist die Linie h, die 
durch JB gellt und zu a parallel ist. Den Winkel zwischen AB 
imd b kann man so klein machen wie man will, indem man den 
Abstand OA genügend groß wählt. Nach dem Vorstehenden soll 
aber b als die Verbindungslinie von B mit einem uneigentlichen 
Punkt von a betrachtet werden, und da sie die Grenzlage für die 
Verbindungslinie von B mit einem Punkte A von a ist, dessen 
Abstand von ins Unendliche wächst, erscheint es natürlich, den 
uneigentlichen Punkt einen unendlich fernen Punkt zu nennen. 

Zentralprojektion. 

57. Bei der Zentralprojektion wird ein Projektionszentrum 
beniitzt, das man als das Auge des Beschauers auffassen kann, 
imd das nicht unendlich fern liegt, und eine Bildebene TT, die 
nicht durch geht. Wir denken uns vor der Bildebene und 
geben seine Lage im Raum durch seine senkrechte Projektion H 
auf TT (den Hauptpunli) und den Abstand HO (die Distanz) an. 

Ein beliebiger Punkt A^ der von verschieden ist, wird im 
Bilde dargestellt durch den Schnittpunkt Ä der Linie OA (des 
ProjeJdmisstraMs) mit der Bildebene. Mit Ausnahme des Punktes 
hat jeder Punkt A ein bestimmtes Bild Ä\ insbesondere kann 
Ä auch unendlich fern liegen. Alle Punkte des Raumes, deren 
Bilder unendlich fern liegen, gehören einer Frontebene (d. h. einer 
zu TT parallelen Ebene) durch an. Diese Ebene heißt die Ver- 
schwindungsebetie. Sie teüt den ganzen Raum in zwei Halbräume; 
der eine von diesen, der TT enthält, umfaßt alle Punkte mit eigent- 
lichen Bildern, das heißt Punkte, deren Bild auf derselben Seite 
von liegt wie der Punkt selbst, während der andere Halbraum 
die Punkte umfaßt, die durch von ihren Bildern getrennt werdon. 
Der letztgenannte Halbraum (der Verschivindungsraiwt) kommt 
bei der praktischen Anwendung nicht in Betracht, aber bei der 
Ausführung geometrischer Konstruktionen läßt es sich nicht um- 
gehen, auch ihn heranzuziehen. 

58. Ein Projektionsstrahl stellt sich als ein Punkt dar, nämlich 
die Spur des Strahles in TT. Eine gerade Linie a, die kein Projek- 
tionsstrahl ist, wird durch eine gerade Linie a abgebildet, indem die 



58 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. persi:)ekt. Darstellung 

Projektionsstrahlen, die durch die Punkte von a gehen, eine Ebene 
durch (die projisierende Ebene der Linie) erfüllen und diese die 
Bildebene in einer bestimmten Linie a schneidet (die unendlich 
fem liegt, wenn a in der Versehwindungsebene enthalten ist). 

Ist die Linie a nicht zu TT parallel, so läßt sie sich durch 
ihre Spur P und den Fluchtpunkt IJ\ das heißt, das Bild des 
unendlich fernen Punktes U von a darstellen (Fig. 62). Die 
_ Q Linie a bezeichnen wir dann durch 

_-- ' y (P,U'). In der Figur sind die beiden 

' .^' Punkte P, ü' angegeben und samt dem 

y^ Hauptpunkte H und der Distanz d als 

\ y bekannt angenommen. Das Bild der 

^ Linie ist PU' und ihre Lage im Kaume 

ist dadurch bestimmt, daß sie durch 
P gehen imd zu der Linie OL' par- 
p. g2 allel sein soll. Ihre Neigung gegen die 

Bildebene findet man sofort durch die 
Umklappung O^ü' von OU' {HO^ wird gleich der Distanz ge- 
macht und senkrecht zu ü'H gezogen). Das Stück PU' stellt den 
Teil der Linie dar, der hinter der Bildebene liegt, die Verlängerung 
dieser Strecke über P hinaus ist das Bild des endlichen Stückes 
der Linie zwischen der Bildebene und der Versehwindungsebene. 
Die Verlängerung über U' hinaus hingegen liefert den Teil der 
Linie, der im Verschwindungsraume liegt. Wenn die Linie ein 
Projektionsstrahl wird, fallen P und 1/ zusammen. 

Parallele Linien haben denselben Fluchtpunkt, ihre Bilder 
laufen also in diesem Punkte zusammen. Von den Linien, die 
senkrecht zu TT sind, fällt der Fluchtpunkt nach H. 

Einen Winkel zwischen zwei geraden Linien mit den Flucht- 
punkten U',V' kann man sofort durch Umklappung von um 
U'V' bestimmen. 

59. Eine Ebene f, die nicht zu TT parallel ist, wii-d durch 
ihre Spur p und die Fluchtlinie u', d. h. das Bild der unendlich 
fernen Linie der Ebene, dargestellt; t(' ist sonach die Spur einer 
Ebene,, die durch zu f parallel gelegt ist, und wird deshalb 
parallel zu p. Wir bezeichnen die Ebene durch (p,u'). Die Lage 
der Ebene im Baume ist dadurch bestimmt, daß sie durch p 
geht und zu der Ebene 0?/ parallel ist. Ihre Neigung gegen die 
Bildebene bestimmt sich deshalb durch das Profil T'O^ der letzt- 
genannten Ebene (Fig. 63, wobei ET' 1 u', HO^ = rf ± ET). Der 
Streifen zwischen p und u' stellt den ganzen Teil der Ebene dar, 
der hinter TT liegt, während die Fortsetzung des Streifens über p 



Z entralproj ektion . 



59 




hinaus den Streifen der Ebene liefert, der zwischen der Bildebene 

und der Yerschwindungsebene liegt. Endlich stellt die Fortsetzung 

des Streifens über u' 

hinaus den Teil der 

Ebene dar, der im 

Verschwindungsraume 

liegt. 

Wenn eine Linie 
in der Ebene liegen 
soll, so muß ihre Spur 
auf der Spur und ihr 
Fluchtpunkt auf der 
Fluchtlinie der Ebene 
liegen. Von den Querlinieu der Ebene fällt der Fluchtpunkt nach 
2^ (vergleiche Fig. 63). Die Frontlinieu stellen sich parallel zur 
Spur dar. 

Soll man dui-ch den gegebenen Punkt A in der Ebene eine 
Linie senkrecht zu der in der Ebene gelegenen Linie (P, C7') ziehen, 
so geschieht dieses, indem man den Fluchtpunkt F' der gesuchten 
Linie auf«' so bestimmt, daß der Winkel ü'OV ein rechter wird. 
Man klappt zu dem Zweck um 7c' in 0^ um ('J^O^ = T'0^-=T'0). 
Dann bestimmt O^V' JlO^JJ' den Punkt V. 

Ebenso kann man einen Winkel von beliebiger Größe dar- 
stellen. Man zeichnet auch z. B. leicht in einer Ebene ein 
Quadrat, von dem zwei Ecken gegeben sind, indem man außer den 
Winkeln des Quadrates auch den Winkel zwischen einer Diagonale 
und einer Seite benutzt. 

Die Schnittlinie zweier Ebenen wird im allgemeinen dadurch 
bestimmt, daß ihre Spur und ihr Fluchtpunkt die Schnittpunkte 
der Spuren und Fluchtlinien der Ebenen sind. Den Winkel zwischen 
zwei Ebenen mit den Fluchtlinien n' , v bestimmt man, indem man 
den Winkel zwischen den Ebenen Oii und Ov' sucht (14). 

60. Zur vollständigen Festlegung eines Punktes A muß 
man außer dem Bilde Ä des Punktes eine gerade Linie iP,U') 
zeichnen, die durch den Punkt geht. Man kann dann leicht eine 
neue Linie {Q,V) durch denselben Punkt finden, da die beiden 
Linien in derselben Ebene liegen müssen. (FQ || ü'V). 

Sind zwei Punkte ^ und i? durch ihre Bilder und zwei 
Linien (P, U') und (<^, V), auf denen sie liegen, gegeben, so kann 
man sofort das Bild der Verbindungslinien beider Punkte zeichnen, 
aber die Spur und den Fluchtpunkt dieser Linie hat man nicht 
unmittelbar. Man muß zunächst durch B eine Linie {jSI,U') 



60 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

parallel (P,U') ziehen (QM \\ WV') 
(Fig. 64). Darauf bestiiumen die bei- 
den Linien (P, U') und (J/, ü') eine 
Ebene mit der Spur PJf, deren Flucht- 
linie durch U' geht und zu PM par- 
allel ist. Da diese Ebene die Linie 
AB enthält, geht ihre Spur durch 
die Spur R und ihre Fluchtlinie 
durch den Fluchtpunkt S' der Linie. 
Eine Frontlinie läßt sich be- 
stimmen durch ihr Bild und eine 
Ebene, in der sie liegt, oder einen 
Punkt, durch den sie geht. Eine 
Frontebene ist durch einen ihrer 
Punkte bestimmt. 

61. Der Schnittpunkt A der 
Linie {P,ü') mit der Ebene (p.n) 
(Fig. 65) wird durch eine Hilfsebene 
{q,v'), die durch die Linie geht, ermittelt. Eine Linie ist zu einer 
Ebene parallel, wenn ihr Fluchtpunkt auf die Fluchtlinie der 
Ebene fällt. 

ij u' 




Fig. 64. 




%r 



H 



Fig. 65. 



U' 
Fig. 66. 



Die Bedingung dafür, daü eine Ebene mit der Fluchtlinie h' 
scnki'echt zu einer Linie mit dem Fluchtpunkt 1' ist (Fig. 66), 
findet man sofort daraus, daß die Tjinio OJJ' zu der Ebene Oh' 
senkrecht sein muß. Hü' muß demnach zu u senkrecht sein und 
es in einem solchen Punkte ?7j schneiden, daß der Winkel L\OV' 
ein rechter wird. Dies kann man zur Konstruktion von TJ' be- 
nutzen, wenn u bekannt ist, und umgekehrt. 

62. Die wahre Länge einer beliebigen Sti-ecke AB auf der 
Linie (P, U'^ findet man durch Parallelprojektion auf die Bild- 
ebene. Stellt man die Parallelprojektiou so her, daß OU' sich in 



Zentralprojektion. 



61 




wahrer Größe darstellt, so muß auch die Strecke AB, die ja zu 
OU' parallel ist, sich in ihrer wahren Größe darstellen. Mau 
wählt deshalb als Fluchtpunkt der 
Projektionsstrahlen einen solchen 
Punkt .S", daß JfS' = VO = ZJ'Oj 
wird (Fig. 67j. Die Parallelprojek- 
tion von AB fällt dann auf die durch 
P zu U' S' gezogene Parallele, und 
das auf dieser Linie zwischen S'A' 
und SB' liegende Stück A^B^ ist die 
gesuchte wahre Länge. Der Punkt S' 
heißt ein TeilpunJct. AVeun A und B 
dieselben Bilder haben, wendet man 
eine ganz ähnliche Parallelprojektion 
an, aber die Ausführung wird etwas anders, indem man zur näheren 
Bestimmung von A und B zwei verschiedene gerade Linien be- 
nutzen muß. Es ist in der Praxis oft unmöglich, den ganzen Ab- 
stand I/O abzutragen, man wählt dann S' so, daß V'S' = TT 0^ 
und die Parallelprojektion liefert dann 

1 u Si 

auch von der gesuchten wahren 7- 

n ° / \ 

Länge. 

Soll man nur eine Teilung in .-''. 

einem gegebenen Verhältnisse ausfüh- 
ren, so ist es ganz gleichgültig, wie 
man *S'' wühlt. 

Liegt die Strecke AB auf einer 
Frontlinie, so stellt sie sich bei jeder 
Parallelprojektiou auf die Bildebene in ihrer wahren Größe dar. 
Kennt man eine Ebene (p,u), die die Linie enthält, so kann man 
den Fluchtpunkt S' auf der L\ 
Fluchtlinie der Ebene an- 
nehmen und erhält dann die 
gesuchte Länge ^i-Bj auf der 
Spur der Ebene (vgl. Fig. 68). 

63. Die ümklappung 
einer Ebene führt man aus, 
indem man durch jeden Punkt 
der Ebene eine Querlinie zieht 
und diese umklappt. Durch 
den Punkt A (Fig. 69) ist 
so die Querlinie A T gezogen, Kig oa. 



/A 



B, 



Fig. 68. 




62 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

die p in K schneidet, sie wird in das Lot von p mit dem Fußpunkt 
7t umgeklappt, und es handelt sich nun bloß darum, auf dieser 
Linie die wahre Länge von KÄ abzutragen. Dies erreicht man 
unmittelbar mit Hilfe des Teilpunktes Og {T' 0^ =^ T' 0^ == T' 
wird auf T'H abgetragen). Die Umklappung der Linie (P, TJ') 
istPC^idl OgCT). 

64. Wenn die Zentralprojektion in der Praxis zur Veran- 
schaulichung eines Gegenstandes verwendet wird, muß dieser zu- 
nächst so aufgestellt sein, daß kein Stück von ihm in den Ver- 
schwindungsraum fällt, aber dies allein reicht nicht hin. Wenn 
das Bild einigermaßen anschaulich wirken soll, auch für andere 
Stellungen des Auges, als für die es konstruiert ist, so hat die 
Erfahrung gezeigt, daß man die Regel festhalten muß, keinen von 
den benutzten Projektionsstrahlen mit der Bildebene einen Winkel 
unter etwa 70^ bilden zu lassen. Aus diesem Grunde muß man 
in der Regel mit einer ziemlich großen Distanz arbeiten und des- 
halb die Konstruktionen, die von der Größe der Distanz abhängen, 
so ausführen, daß man mit einem bestimmten Bruchteil der Distanz 
an Stelle der ganzen Distanz operiert. Wir haben bereits ange- 
geben, wie man das ausführen kann, wenn es sich um die wahre 
Länge einer geraden Strecke handelt. 

Eine andere praktische Schwierigkeit ist die, daß die Flucht- 
punkte für gewisse Richtungen außerhalb des Zeichenblattes fallen. 
Man muß dann Hilfskonstruktionen einführen. 

Hinsichtlich des Ausziehens geometrischer Zeichnungen gilt 
die Regel, daß von zwei Punkten auf demselben Projektionsstrahl 
der sichtbar ist, der am nächsten liegt. Die Bildebene be- 
trachtet man als durchsichtig. 

65. Bei der praktischen Konstruktion perspektivischer Bilder 
kommt es gewöhnlich darauf an, das Bild eines Gegenstandes zu 
konstruieren, der in doppelter Projektion auf eine horizontale und 
eine vertikale Ebene vorgelegt ist. 

Die Bildebene TT stellt man dann so auf, daß sie vertikal ist, 
und wählt das Projektionszentrum in passender Weise. Man kann 
sich nun bisweilen dadurch helfen, daß man die Konstruktion des 
perspektivischen Bildes einfach in der doppelten Projektion aus- 
führt, indem man die Projektionsstrahlen nach den verschiedenen 
Punkten des Gegenstandes zieht und ihre Schnittpunkte mit TT 
sucht. Aus der doppelten Pi-ojektion führt man dann die so in 
TT gewonnene Figur entweder in wahrer Größe oder in entsprechender 
Vergrößerung in die Zeichenebene über. 

Eine andere Methode besteht darin, daß man zuerst das per- 



Zentralprojektion. 



63 



spektivische Bild von der Grundrißprojektion des Gegenstandes 
zeichnet und darauf die verschiedenen Punkte durch ihre Er- 
hebung über die Grundrißebene festlegt, indem man die Aufriß- 
ebene als die Bildebene benutzt. In Fig. 70 ist so das perspek- 
tivische Bild eines rechteckigen Blocks gezeichnet, der auf der 



'^ 



^ 



^ 



\V' 



r^.' 



H h 




P 



Grundrißebene aufliegt. Die 
Fluchtlinie h der Grundriß- 
ebene, der Horizont, ist eine 
horizontale Linie durch den 
Hauptpunkt //. Die Projek- 
tion des Blocks auf die Grund- 
rißebene ist ein Rechteck, das 
in der ümklappung gezeich- 
net ist, eine der Ecken ist 
mit A^ bezeichnet. Die früher 
beschriebene Methode für den 
Übergang von der Umklap- 
pung zum perspektivischen 
Bilde könnte man jetzt anwenden, indem man HO^ gleich der Di- 
stanz senkrecht zu // abträgt und den gefundenen Punkt 0^ l)e- 
niitzt, wie früher angegeben wurde. Aber für sehr große Distanzen 
ziehen wir ein anderes Verfahren vor: Wir ziehen eine Linie (P, U ) 
in der gegebenen Ebene so, daß PU' das Lot Sil von // in einem 



Fig. 70. 



64 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

Punkte Oj schneidet, der so weit entfernt liegt, daß die Distanz 
HO^ für den vorliegenden Zweck geeignet ist. (Der genaue Wert 
der Distanz spielt meistens keine Rolle, und wir wollen es hier 
direkt vermeiden, ihn unmittelbar zu benutzen.) Um nun A^ in das 
perspektivische Büd Ä überzuführen, ziehen wir die Linien A^Q 
senkrecht auf p und A^R parallel zu PU'. Diese beiden Linien 
gehen über in QH und RU' , wodurch A' sofort bestimmt ist. 
Hierauf machen wir die vertikale Strecke QZ gleich der vertikalen 
Kaute AB des Blocks, die Linie ZH bestimmt dann den Punkt B'. 
Auf diese Weise zeichnen wir leicht das ganze Bild des Blocks. 

Wenn es nur auf die ungefähre Lage des Hauptpunktes und 
die ungefähre Größe der Distanz innerhalb gewisser Grenzen an- 
kommt, kann man die direkte Annahme von beiden vermeiden, 
indem man in der Grundrißebene zwei Linien {F,U') und ( T,T''), 
die in der Figur angedeutet sind, so auswählt, daß der unzugäng- 
liche Schnittpunkt 0^ von PU' und TV' in einem Abstände von 
li liegt, der als Distanz geeignet ist, während die Projektion dieses 
Schnittpunktes auf h einen geeigneten Hauptpunkt liefei-t. Darauf 
zieht man durch A^^ die Parallelen zu PU' und TV und führt 
diese Linie über in die Linien durch TT und F', wodurch A' be- 
stimmt wird. Die Höhe AB trägt man ebenso wie fiiiher ab, 
indem man an Stelle von H einen beliebigen geeigneten Punkt 
von h verwenden kann. 

Die hier angegebene Methode ist von solcher Allgemeinheit, 
daß wir sie ohne Schwierigkeit auf den Fall überführen können, 
wo das Projektionszentrum sich ins unendlich Weite entfernt. 
Die Zentralprojektion geht dann in eine Parallelprojektion über. 



Das Doppelverliältnis. 

66. Unter dem Doppel Verhältnis {AB CD) für vier ver- 
schiedene eigentliche Punkte A, B, C und D auf einer geraden 
Linie versteht man das Verhältnis zwischen den beiden Verhält- 
nissen, in die A und B die Strecke CD teilen; also: 

(AB Ol,) ^^^■4^; 

das Vorzeichen der Abstände wird in der gewöhnlichen Weise be- 
stimmt. Ist einer der Punkte unendlich fern, so wird (ABCD) 

als der Grenzwert für . >, : „_ definiert, wenn man in diesem 
AD BD 

Ausdruck den betretfenden Punkt durch einen veränderlichen Punkt 



Das Doppelverhältnis 



65 



M( 



auf der Linie ersetzt, dessen Abstände von den anderen Punkten 
ins Unendliche wachsen. Der Grenzwert wird dann durch ein 
einfaches Verhältnis ausgedrückt; so erhält man, wenn A unend- 
lich fern ist, 

(ABCB)-^. 

67. Sind A, B, C und D eigentliche Punkte, so kann man 
(^ABCD) durch ein einziges Vei'hältnis ausdrücken, indem man 

die beiden Verhältnisse -p^ und ^-^ 

auf denselben Nenner OD bringt, wo 

ein beliebiger eigentlicher Punkt 

außerhalb der geraden Linie ist (Fig. 

71). Die Linien OA und OB mögen / '-iN 

von einer Linie durch C, die zu OD / / ■ 

parallel ist, in M und JV geschnitten /' / 

werden. Man findet dann, indem man / / 

MC und OD übereinstimmende posi- a 5 C D 

tive Richtungen gibt, Fig. 7i. 

AC _ MC BC _NC 

AD ~ OD BD ~ OD' 

also 

Bei Parallelprojektion bleiben die beiden Teilbrüche des 
Doppelverhältnisses und damit dieses selbst ungeändert. Aber auch 
bei einer allgemeinen Zentralprojektion bleibt der Wert des Doppel- 
verhältnisses ungeändert. Dies beweist man folgendei-maßen : A, 
J5, C und D mögen aus in q., 

A\ B'. C' und D' projiziert wer- /;' \ 

den (Fig. 72). Drücken wir aber / ; \ \ 

auf die angegebene Art die Mi ; \ 

Doppelverhältnisse {AB CD) 
und (A'B'C'D') als einfache 
Verhältnisse aus, so wird: 



31 C 


31' C 


NC ' 


~ N'C 


id folglich 




(ABCD) = 


= (ÄB'C'D') 




Fig. 



Timerding, Handbuch II 



6t) Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

Fällt einer der projizierten Punkte, z. B. D\ in unendliche 
Entfernung, so gilt der Satz auch. Dieses ist nämlich der Fall, 
wenn die gerade Linie, auf die man projiziert, dem Strahl OD 
parallel ist, also z. B. bei der Linie MC'. Hier wird aber das 

^1' C 
Doppelverhältnis gleich -KT.p> , und wir haben gezeigt, daß dies 

= {AB CT)) ist. 

68. Liegen -4, 1?, C und D auf einer unendlich fernen Linie, 
so wird das Doppelverhältnis (AB CD) als das Doppelverhältnis 
{A'B'C'D') von vier Punkten A\ B\ C'und D' definiert, die durch 
eine beliebige Zentralprojektion aus den gegebenen unendlich fernen 
Punkten entstehen. Daß der so bestimmte Wert unabhängig davon 
ist, welche Zentralprojektion man anwendet, sieht man aus dem 
soeben bewiesenen Satz. Man sieht auch leicht, daß dieser Satz 
bei der dm-ch die Hinzunahme der unendlich fernen Punkte ge- 
gebenen Erweiterung der Definition der Doppelverhältnisse seine 
Gültigkeit behält. 

69. Wenn zwei FunMquadrupel A, J5, C und D und A', B', 
C' und D' auf zwei verschiedenen Linien dasselbe Doppelverhältnis 
(AB CD) = {ÄB'C'D') haben und A auf Ä fällt, so gehen die 
Verbindungslinien BB\ CC' und DD' durch denselben Fiinlct. 

Denn projiziei-en wir die beiden geraden Linien auf eine 
andere Ebene derart, daß die Linien, in die sie übergehen, parallel 
sind, so werden die Abstandsverhältnisse BCiBD und ß'C -.B'D' 
einander gleich und die Verbindungslinien entsprechender Punkte 
laufen sonach durch einen Punkt, also müssen sie auch in der 
ursprünglichen Lage durch einen (eigentlichen oder uneigent- 
lichen) Pimkt hindurchgegangen sein. 

Haben zwei Punktquadrupel A^ B, 0, D und A^, B^, C^ , D^ 
dasselbe Doppelverhältnis {AB C D) = {A^B^C^D^ und ^4, B und 
C fallen bzw. mit A^ , B^ und C^ zusammen, so fällt D auch mit 
D^ zusammen. Denn verwandeln wir die Punkte durch Zentral- 
projektion derart, daß die Projektion von A unendlich fern wird, 
so werden die Abstandsverhältnisse der Projektionen B\C'^D' und 
B^, G^', D^' von B, C, D und B^, C^, D^ einander gleich, und 
da B' auf B^' und C' auf Cy fällt, so fällt auch D' auf D^'. 

70. Wird (AB CD) = — 1, so sagt man, die Punktepaare 
AB und CD liegen harmonisch (oder sind harmonisch verbunden). 
Liegen sie auf einer eigentlichen geraden Linie, und ist D unendlich 
fem, so liegt C in der Mitte zwischen A und B. 

Zwei harmonische Punktepaare liefern bei einer beliebigen 
Zentralprojektion immer wieder zwei harmonische Punktepaare. 



Das Doppelverhältuis 



67 




Uiiter zwei harmonischen Strahlenpaaren ab und cd versteht 
man zwei Linienpaare, die dui'ch denselben Punkt .S' gehen, in 
derselben Ebene liegen und von einer geraden Linie in zwei har- 
monischen Punktepaaren geschnitten werden. Sind a, &, c gegeben, 
so konstruiert man d auf fol- g 

gende Weise (Fig. 73): Eine 
Parallele zu a schneidet b und 
(■ in B und C. Man trage 

BD=CB auf der Verlängerung ^ | XB 

von CB ab, dann geht d durch ^ , .. x , 

D. Die Konstruktion kann nicht 
angewendet werden, wenn der 
Schnittpunkt der Strahlen un- 
endlich fern liegt. In diesem 
Falle schneide man die Strahlen durch eine beliebige gerade Linie 
und bestimme auf dieser den vierten harmonischen Punkt. Sind 
die Strahlen a und b des einen Paares aufeinander senkrecht, so 
halbieren sie die Winkel zwischen den Strahlen des anderen Paares. 
L)ies geht unmittelbar aus unserer Konstruktion hervor. 

71. Ein vollständiges Vierscit ist eine ebene Figur, die aus 
vier geraden Linien (von denen keine drei durch denselben Punkt 
gehen) und ihren Schnittpunkten besteht (Fig. 74). Die vier Linien 
a, 6, c und d heißen die Seiten^ 
ihre sechs Schnittpunkte die 
Ecken des Vierseits. Die drei 
neuen Linien w, ;?, und p^ durch 
die man je zwei einander gegen- 
überliegende Ecken verbinden 
kann, heißen die Diagonalen und 
ihre Schnittpunkte die Diagonal- 
punkte des Vierseits. Auf jeder 
Diagonale liegen zwei Ecken 
und zwei Diagonalpunkte. Diese 
beiden Punktepaare sind harmo- 
nisch verbunden. 

Wir wollen z. B. beweisen, daß die Punktepaare A C und 
BD auf m harmonisch verbunden sind. Die Figur ab cd betrachten 
wir zu dem Zweck als die Zentralprojektion eines Parallelogramms, 
wobei B und D die Projektionen des Mittelpunktes und des un- 
endlich fernen Punktes derselben Diagonale werden; J.Cund BD 
sind dann die Projektionen von zwei harmonischen Punktepaaren 
und deshalb selbst harmonisch verbunden. 




Fig. 74. 



68 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

Ein vollständiges Viereck ist eine ebene Figur, die aus vier 
Punkten A^ B^ C und D (von denen keine drei auf derselben ge- 
raden Linie liegen) und den sechs Verbindungslinien je zweier 

dieser Punkte besteht (Fig. 75). 

9 ' Die Punkte heißen die Ecken. 

/ \\ ihre Verbindungslinien die Seiten 

/ \ \ des Vierecks. 

/ 1 \ Die Seiten haben drei neue 

A/4— )i^^~~2\r Schnittpunkte Jlf, iV und P, 

/ ^x<\l ><^\, welche die Diagonal}) unkte 

/ -• " ^^-^^^i^^^ •■ \ heißen. Ihre Verbindungslinien 

/ --■'i^-^'''^ 1 ^~^\^ \ heißen Dia^owa^e«. Durch jeden 

/>>^^ I ^^""■^^ Diagonalpunkt gehen zwei Sei- 

^ " yjf " p ten und zwei Diagonalen. Diese 

Fig. 75. zwei Linienpaare sind harmo- 

nisch verbunden. 
Aus dem vorhergehenden Satze folgt nämlich, wenn man ihn 
auf das von den Linien AB, BC, CD und DA gebildete Vierseit 
anwendet, daß die Punktepaare BD und 3131^ harmonisch ver- 
bunden sind, also ist das Linienpaar PB und PD mit P3I und 
P3fi harmonisch verbunden, w. z. b. w. 

Perspektive ebene Felder. 

72. Zwei ebene Figuren (Felder) ABC . . . und A^B^C^ . . ., 
die in verschiedenen Ebenen TT und TTi liegen, heißen pers2>ektii\ 
wenn sie durch Zentralprojektion aus einem Zentrum 0, das in 
keiner der beiden Ebenen liegt, auseinander hervorgehen. 

Jedem Punkt in der einen Ebene entspricht so ein Punkt in 
der anderen Ebene, und jedes Paar entsprechender Punkte AA^.^ 
BBi, CCi, ... liegt auf einem Strahl durch 0. Jeder geraden 
Linie in der einen Ebene entspricht eine gerade Linie der anderen 
Ebene, und die beiden Linien schneiden einander auf der Schnitt- 
linie s der beiden Ebenen. Die Schnittlinie s entspricht sich selbst. 

Zeichnet man eine Projektion der beiden Figui-en aus einem 
beliebigen Zentrum, das in keiner der beiden Ebenen TT und TTi 
enthalten ist, so entstehen zwei neue Figuren A'B'C . . . und 
A-^ByC^ . . '. in der Zeichenebene (Fig. 76), die ganz ähnliche 
Eigenschaften aufweisen wie die ursprünglichen Figuren: jedes 
Paar entsprechender Punkte A'A^, B'B^', C'C^ . . . liegt auf einem 
Sti'ahl durch 0', und je zwei entsprechende Geraden schneiden ein- 
ander auf s'. 



Perspektive ebene Felder 



69 




Fig. 



Dies veranlaßt \iiis zur Aufstellung folgender Definition: 

Zwei Figuren derselben Ebene heißen perspectiv (oder homolog), 
wenn 1. jedem PunMe der einen Figur ein bestimmter Punkt der 
anderen Figur entspricht, so daß 
Jedes Paar entsprechender Punkte 
auf einem Strahl durch einen 
festen Punkte das Zentrum, liegt, 
und 2. jeder bestimmten geraden 
Linie der einen Figur eine be- 
stimmte gerade Linie der anderen 
Figur entspricht. 

Es läßt sich dann, wie wir 
sofort zeigen werden, aus diesen 
beiden Bedingungen ableiten, 
daß je zwei verschiedene ein- 
ander entsprechende Geraden 
der beiden Figuren sich auf 
einer festen geraden Linie 
schneiden müssen. 

73. Wir wollen zunächst beweisen, daß zwei homologe ebene 
Figuren existieren, in denen drei beliebige in der Zeichenebene 
gegebene Puuktepaare ÄÄ^, BB^ und CC\ aus zugeordneten 
Punkten bestehen, wenn nur . 

die drei Punktepaare auf ge- ..,* 

raden Linien liegen, die durch 
denselben Punkt gehen; da- 
bei dürfen doch weder die 
Punkte Ä, B, C noch die 
Punkte -4j , B^, C^ in eine ge- 
rade Linie fallen, und es darf 
keiner der Punkte nach 
fallen (vgl. Fig. 77j. 

Der Beweis folgt un- 
mittelbar aus der Anschauung 
der gegebenen Figur, indem 
wir diese Figur als Projektion einer räumlichen Figur auffassen: 
Die Geraden OÄÄ^, OBB^, OCC^ betrachten wir als Projek- 
tionen von drei Geraden im Baume, die durch einen Punkt W 
geben, aber nicht in derselben Ebene liegen; die Dreiecke ABC und 
A^B^Cy sind dann Projektionen von zwei Dreiecken, deren Spitzen 
auf den genannten drei Geraden liegen, und welche in zwei Ebenen 
TT und TTj gelegen sind. Durch Zentralprojektion aus dem Punkte 



v ^ 



ß- 



0' 



M 



■mj 



- 0, 



Fig. 77. 



70 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

W können nun zwei Perspektive Figuren in den beiden Ebenen TT 
und TT^ bestimmt werden, und es leuchtet ein, daß diese Figuren 
in der Projektion auf der Zeichenebene zwei Figuren in dieser Ebene 
erzeugen werden, welche genau die vorgeschriebenen Eigenschaften 
haben. 

Die bei dem Beweise benutzten räumlichen Figuren könnten 
indessen auf mannigfache Weise gewählt werden, und wir müssen 
daher zeigen, daß die Zuordnung der beiden homologen Figuren 
ABC . . . und Ä^B■^^C■^^ . . . in der Ebene eindeutig bestimmt ist. 
Wählen wir in der Figur ABC einen Punkt D, und schneiden 
DB nnd A C einander in il/, so ist der dem Punkte 31 entsprechende 
Punkt M^ bestimmt als der Schnittpunkt von 031 und A-^^ C^ . 
B3f entspricht nun B.^^3Ij , und der dem Punkte D entsprechende 
Punkt I)^ wird deshalb als Schnittpunkt von OD und B^3T^ ge- 
funden. 

Die angegebene Konstruktion kann unbi*auchbar werden, 
wenn eine der Seiten des Dreiecks ABC durch geht. Aber in 
diesem Fall kann man durch D eine Hilfslinie ziehen, welche die 
beiden anderen Seiten des Dreiecks in zwei verschiedenen Punkten 
schneidet und nicht durch geht. Die dieser Linie entsprechende 
Linie bestimmt dann D. 

Da so einem beliebigen Punkt D der einen Figur nach den 
gegebenen Bedingungen immer nur ein Punkt der anderen Figur 
entsprechen kann, ist die Verknüpfung der beiden Figuren (die 
als perspeJäiviscJie Kollineation oder Perspelctivität bezeichnet wird) 
eindeutig bestimmt. 

Da die beiden Figuren ABC . . . und A^B-^C^ . . ., wenn sie 
nicht ganz zusammenfallen, durch Projektion zweier Perspektiven 
Figuren in verschiedenen Ebenen TT und TT^ erzeugt werden können, 

müssen entsprechende Linien sich 
, auf einer bestimmten Geraden, der 
...--"/ ^ Konineationsachse oder Perspekti- 
■■■''' / vitätsachse, schneiden. Jeder Punkt 

der Kollineationsachse entspricht 
sich selbst. Dasselbe gilt vom Zen- 
trum {KoUineaüonszentruni) 0. 

Die Kollineation ist auch voll- 
..•■ ' ständig bestimmt durch das Zen- 

trum 0, die Kollineationsachse p 
und ein Paar entsprechender Punkte 
P A und A^ , von denen keiner nach 

Fig. 78. oder auf p fallen darf (Fig. 78). 



Perspektive ebene Felder 71 

Man findet dann zu einem beliebigen anderen Punkt B, der nicht 
in der Geraden OÄ enthalten ist, den entsprechenden Punkt J?^, 
indem man AB mit ^ in P schneidet und P mit Ä^ vei'bindet. 
Aus dieser Verbindungslinie schneidet der Strahl OB den Punkt 
jBj aus. 

Aus dieser Konstruktion geht hervor, daß kein außerhalb 
und j) gelegener Punkt sich selbst entsprechen kann, es müßte 
denn die Kollineation sich auf die Identität reduzieren. 

74. Die Kollineation kann auch durch drei Paare entsprechen- 
der Linien a und a^^ b und h^^ c und q bestimmt werden, deren 
drei Schnittpunkte auf einer gei'aden Linie jj liegen. (Dabei dürfen 
jedoch weder die Linien a, &, c noch die Linien a^, \, c^ durch 
einen Punkt gehen, und keine der Geraden darf mit i) zusammen- 
fallen.) Die Kollineation ist nämlich sofort bestimmt, wenn man 
p als Kollineationsachse annimmt und den Schnittpunkten von a 
mit h und c die Schnittpunkte von a^ mit b^ und q entsprechen läßt. 

Aus diesen Überlegungen und aus 73 folgt nun auch die 
Gültigkeit des Desargiiesschen Satzes: Lassen sich ztv ei Dreiecke 
einander so suordnen, daß entsprechende Seiten sich in drei Punkten 
einer Geraden schneiden, so gehen dieVerbindungslinien entsprechender 
Ecken durch denselben Punkt, und umgekehrt. 

75. Ist die Kollineationsachse unendlich fern, so sind irgend 
zwei einander entsprechende Geraden zueinander parallel. Die 
Figuren sind demnach ähnlich und ähnlich liegend. Ist auch das 
Zentrum unendlich fern, so sind die Figuren kongi-uent und können 
auseinander durch Parallelverschiebung erzeugt werden. 

Ist das Zentrum unendlich fern, die Kollineationsachse aber 
nicht, so haben wir es mit perspektivisch affinen (parallelperspek- 
tiven) Figuren zu tun. Diesen Fall haben wir früher untersucht. 
Die unendlich ferne Gerade wird auch hier sich selbst entsprechen. 

In allen anderen Fällen entspricht der unendlich fernen Ge- 
raden u der einen Figur eine eigentliche Gerade u^ der anderen 
Figur, welche notwendigerweise der Kollineationsachse j) parallel 
ist. Rechnen wir die unendlich ferne Linie aber zu der anderen 
Figur, so entspricht ihr eine neue zu p parallele Linie v. u^ und v 
heißen die Fluchtlinien der Kollineation. 

Aus 0, p, A und A^ kann man die Fluchtlinien folgender- 
maßen konstruieren (Fig. 79): Man zeichnet ein Paar entsprechender 
Linien a und a^, indem man A und A^ mit einem beliebigen 
Punkt von p verbindet. Der unendlich ferne Punkt U von a 
entspricht dem Schnittpunkt Ui von a^ mit der Parallelen 
durch zu a. Die Fluchtlinie ti^ ist dann die Parallele durch U^ 



p> 



72 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

zu p. Ebenso entspricht der unend- 
lich ferne Punkt V^ von a^ dem 
Schnittpunkt V von a mit der Par- 
allelen durch zu a^ und die 
■•., ^ Fluchtlinie v ist die Parallele durch 

''^ I V zu p. Aus der Konstruktion geht 

L j ■ >. j^ hervor, daß der Abstand des Zentrums 

von der einen Fluchtlinie gleich ist 
/■■■■■" \"'A, I I dem Abstand der Kollineationsachse 

von der anderen (mit entgegenge- 
setztem Vorzeichen). 
\P Aus der Konstruktion ergibt sich 

Pig. 79. zugleich, wie die Kollineation durch 

0, p und eine der Fluchtlinien, u^ 
oder V, bestimmt werden kann. 

76. Das Doppelverhältnis, das zwei verschiedene entspre- 
chende Punkte zusammen mit dem Zentrum und dem Schnitt- 
punkte von p mit der durch und die beiden Punkte gehenden 
Geraden bilden, ist fiii' alle Paare entsprechender Punkte dasselbe. 
Man geht nämlich von einem Paar entsprechender Punkte A, A^ 
zu einem anderen Paar B, B^ durch Projektion aus einem Punkte 
von p über (Fig. 78), und hierbei bleibt das genannte Doppel- 
verhältnis ungeändert. Durch dieses konstante Doppelverhältnis, 
zusammen mit dem Zentrum und der Achse p kann die Kolli- 
neation ebenfalls bestimmt werden; doch muß dabei vorausgesetzt 
werden, daß nicht auf p fällt. 

Ist das Doppelverhältnis gleich — 1, so sind irgend zwei ent- 
sprechende Punkte mit dem Zentrum und dem Punkte auf der 
Kollineationsachse p harmonisch verbunden. Die Kollineation heißt 
dann harmonisch oder iniolutorisch. 

77. Die Anwendung der ebenen Pei-spektivität beniht auf 
dem wichtigen Satz: Zivei Perspektive Figuren in verschiedenen 
Ebenen gehen durch Projektion auf eine dritte Ebene immer wieder 
in Perspektive Figuren über. Das Projektionszentrum darf dabei 
nur keiner der Ebenen angehören. Der Satz ergibt sich als un- 
mittelbare Folge der Definition perspektiver Figuren. 

Fassen wir z. B. die in Fig. 50 dargestellte Pyramide ins 
Auge. Die Grundfläche AB CD der Pyramide und der ebene 
Schnitt A'B^CD" bilden zwei Perspektive Figm-en in vei'schie- 
denen Ebenen. Das Projektionszentrum ist dabei die Spitze S der 
Pyramide, und die Schnittlinie der beiden Ebenen ist p. Die axo- 
nometrischen Bilder A^B^C^D.^ und J-j*J5/Ci*D/ der beiden 



Perspektive ebene Felder 73 

Figuren müssen demnach in der Zeichenebene eine Perspektivität 
bilden, deren Achse das Bild p^ von p ist, während ihr Zentrum 
nach S^ fällt. Da nun weiter die unendlich ferne Linie u, welche 
der Figur AB CD angehört, bei der räumlichen Perspektivität in 
die Gerade ?t* der Figur A^B'CD' übergeht, und da diese beiden 
Geraden u und u" durch die axonometrische Abbildung in eine 
unendlich ferne Gerade u.^ und eine eigentliche Gerade n^' über- 
geführt werden, so muß j/^* eine Fluchtlinie der ebenen Perspektivi- 
tät darstellen. Die ganze Konstruktion der Schnittfigur J.j*5j* ^i'-^i' 
läßt sich also auf die Konstruktion der zu Äj^B-^C^D^ homologen 
Figur in der durch S^^ 2hi %* bestimmten ebenen Perspektivität 
zuiückführen. 

78. Als zweites Beispiel nehmen wir die Konstruktion der 
Umlegung einer ebenen Figur in die Zeichenebene. 

Die umgelegte Figur und die ursprüngliche Figur sind im 
Eaume parallelperspektive Figuren (44,6). Ikre Projektionen auf 
die Zeichenebene müssen deshalb auch perspektiv sein, d. h. die 
umgelegte Figur und die Projektion der ursprüngKchen Figur sind 
perspektiv. 

Betrachten wir genauer z. B. die Darstellung in Zentralpro- 
jektion (Fig. 69). Die Figur ABC... der gegebenen Ebene 
(PlU) und ihre Umlegung A-^B-^C^. . . sind im Raum perspektiv 
füi* ein unendlich fernes Zentrum, das durch die Richtung 00^ 
dargestellt ist. Die Figuren A'B'C'... und A^B^C^ . . . werden 
demnach perspektiv für das Zentrum 0^ und die Perspektivitäts- 
achse p. Bei der räumlichen Perspektivität werden die unendlich 
fernen Geraden der beiden Ebenen ineinander übergeführt. Bei 
der ebenen Perspektivität wird somit u eine Fluchtlinie daxstellen, 
und die ebene Perspektivität ist nunmehr durch das Zentrum Og, 
die Perspektivitätsachse p und die Fluchtlinie u der Figur 
Ä B' C . . . vollkommen bestimmt und kann hiernach zur Kon- 
struktion der Figur A.^ B^ C'^ . . . verwendet werden. 

Die andere Fluchtlinie wird nach der früher angegebenen 
Regel bestimmt (75). 

79. Wir betrachten noch die Umlegung eines ebenen Schnit- 
tes einer Pyramide S — AB CD, die in doppelter Projektion darge- 
stellt ist (Fig. 80). Die Umlegung in die Grundrißebene soll vor- 
genommen werden, ohne zuerst den Schnitt selbst zu zeichnen. 
Die Schnittebene ist durch die Spuren r^ und e^ dargestellt. 

Zunächst ziehen wir durch S eine Frontlinie; ihre Grundriß- 
spm- sei H. Eine Ebene duixh S ij (e^ e^) hat die Grundrißspur u, 
die durch H geht und i, e^ ist. Durch Umlegung dieser Ebene um u 



74 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

wird der Punkt S nach gelangen {S'0±u, HO = S"H")-, 
diese Umlegung wird somit durch Parallelprojektion in die Eich- 
tung^SO erhalten werden können, und die Umlegung der gegebenen 
Ebene kann dann auch durch Parallelprojektion in die Richtung 
hergestellt werden. Da nunmehr die Grundfläche AB CD aus dem 




'^0 



Fig. 80. 



Schnitt der Pyramide mit der Ebene durch Zentralprojektion aus 
S abgeleitet werden kann, folgert man, daß Ä B' C' D' und die 
Umlegung A^B^C^D^ des Schnittes eine ebene Perspektivität 
bilden, deren Zentrum nach fällt und deren Achse e^ ist. Weiter 
ersieht man, daß der Geraden ii der Figur Ä B' C D' bei der 
Zentralprojektion aus S die unendlich ferne Gerade der Schnitt- 
ebene entspricht, und in der umgelegten Figur wird diese Gerade 
wiederum unendlich fern, also ist u' eine Fluchtlinie der ebenen 
Perspektivität, die der Figur A'B'C'B' angehört. Die umgelegte 



Perspektive Raumfiguren 75 

Figur kann nun, ohne andere räumliche Beti'achtungen hineinzu- 
ziehen, gezeichnet werden. 

Was den ebenen Schnitt selbst anbetrifft, so sei nur beiläufig 
darauf hingewiesen, daß der Grundriß des Schnittes aus der Grund- 
fläche der Pyramide hergeleitet werden kann durch eine ebene Per- 
spektivität, für welche das Zentrum nach S' fällt, die Achse nach 
gj, und eine Fluchtlinie (die zu der Figur A' B' C' D' zu rechnen 
ist) nach u. 

Perspektive Raumfiguren. 

80. Zwei Baumfiguren heißen meinander perspectiv, wenn 
1. jedem PiinM Ä der eisten Figur ein bestimmter Punli Ä^ der 
anderen Figur entspricht, derart, daß Ä, A^ mit einem festen Punkt 
0, dem Perspehtivitätssentruni, in einer Geraden liegen, und 2. jeder 
geraden Linie der einen Figur eine bestimmte gerade Linie der 
anderen Figur zugeordnet ist. Die Beziehung zwischen den beiden 
Figuren wird deshalb als eine Kollineation, genauer als eine per- 
spektivische Kollineation bezeichnet. 

Einen besonderen Fall solcher Figuren bilden ähnliche und 
ähnlich liegende Figuren. 

Aus der Definition lassen sich sofort folgende allgemeinen 
Eigenschaften perspektiver Figuren ableiten: 

1. Jede Linie durch entspricht sich selbst. Jedem Punkt der 
Linie entspricht nämlich wdeder ein Punkt, der auf ihr liegt. 

2. Das Zentrum entspricht sich selbst. Denn jede Linie 
durch entspricht sich selbst. 

3. Jede Ebene durch entspricht sich selbst. Entsprechende 
Figuren in einer solchen Ebene sind perspektiv (72). 

4. Jeder Ebene entspricht ivieder eine Ebene. Zwei einander 
schneidenden Linien entsprechen nämlich wieder zwei einander 
schneidende Linien. 

5. Einer geraden Linie a, die nicht durch geht, entspricht 
eine gerade Linie rt^, die ebenfalls nicht durch geht. 

Da die Linien, die durch gehen und a treffen, auch a^ 
treffen müssen, liegen a und a^ in einer Ebene durch 0. Sind a 
und a^ verschieden, so muß ihr Schnittpunkt sich selbst entsprechen. 
Also muß es außer noch unendlich viele Punkte geben, die sich 
selbst entsprechen. Auf jeder geraden Linie, welche nicht durch 
geht, liegt mindestens einer von diesen. Die Gesamtheit aller 
solchen Punkte kann also nicht auf einer geraden Linie liegen, 
und es gibt sicher drei nicht einer Geraden angehörende Punkte 
Jf, iV, P, die sich selbst entsprechen. 



76 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

Von den drei Geraden MN, NP, PM gibt es nun wenigstens 
zwei, die nicht durch gehen, und alle Punkte dieser beiden 
Geraden müssen sich selbst entsprechen, es fällt somit jeder 
Punkt der Ebene MNP mit seinem entsprechenden Punkt zu- 
sammen. Außer dieser Ebene und dem Punkt kann es aber 
keinen Punkt geben, der mit seinem entsprechenden zusammenfällt, 
denn sonst müßten alle Punkte jeder Ebene, die durch diesen 
Punkt und hindurchgeht, sich selbst entsprechen. Wenn wir 
die Identität ausschließen, können wir also sagen: 

6. Es gibt immer eine Ebene V, deren Punkte mit ihren ent- 
sprechenden Punkten zusammenfallen, und außerhalb dieser Ebene 
kann es nur noch einen solchen Punkt, das Zentrum, geben. Die 
Ebene f heißt die Kollineationsebene. 

7. Die Schnittpunkte entsprechender Linien und die Schnitt- 
linien entsprechender Ebenen liegen in der Kollineationsebene. 

8. Wenn die unendlich ferne Ebene nicht sich selbst ent- 
spricht, müssen zwei eigentliche Ebenen O^ und H' existieren, die 
der unendlich fernen Ebene entsprechen, je nachdem man diese zu 
der ersten oder zu der zweiten Figur rechnet. <t>j^ und V sind der 
Kollineationsebene parallel und heißen die Fluchtebenen der Kol- 
lineation. Der Abstand des Zentrums von der einen ist gleich dem 
Abstand der Kollineationsebene von der anderen. Dies läßt sich 
aus den entsprechenden Sätzen für die ebene Kollineation sofort 
ableiten. Ist die Kollineationsebene unendlich fern, aber das Zentrum 
nicht, so werden die Raumfiguren ähnlich und das Zentrum das 
Ahnlichkeitszentrum. Ist das Zentrum auch unendlich fern, so 
entstehen die Figuren auseinander durch Parallelverschiebung. 

81. Wir wollen nun beweisen, daß wir eine räumliche per- 
spektivische Kollineation oder, wie wir kürzer sagen wollen, eine 
JRaumperspektive bestimmen können durch das Kollineationszenti-um 
0, die Kollineationsebene f und ii'gend zwei einander entsprechende 
Punkte Ä und Ä^ , die wir auf einem Strahl durch annehmen, 
jedoch so, daß keiner von ihnen weder nach noch in f fällt. 
Wir betrachten zunächst den Fall, wo nicht in f fällt, und 
denken uns zu einem beliebigen Punkt B den entsprechenden 
Punkt B^ dadurch bestimmt, daß (OKBB^) = (OHAÄ^), wobei 
K und H die Schnittpunkte von OB und OA mit der Ebene P 
bedeuten. Es leuchtet ein, daß die so hergestellte Beziehung 
im Räume eine perspektivische Kollineation ist. Es gibt also jeden- 
falls eine Raumperspektive, welche den gegebenen Bedingungen 
entspricht; daß es aber auch nur eine gibt, wird aus der Ein- 
deutigkeit der folgenden Konstruktion hervorgehen, die für jede 



Perspektive Raumfiguren 



77 



den gegebenen Bedingungen entsprechende Raumperspektive gelten 
muß: Um zu einem Punkte 5, der nicht auf ^ J.^ liegt, den ent- 
sprechenden zu finden, haben wir A und B zu verbinden' und durch 
den Schnittpunkt S ihrer A^erbindungslinie mit der Kollineations- 
ebene die Verbindungslinie mit A^ zu ziehen, diese wird von dem 
Strahl OB in dem gesuchten Punkt B^ geschnitten. Es gibt also 
eine und nur eine Raumperspektive, die auf die angegebene Weise 
festgelegt wird. 

Ist das konstante Doppelverhältnis {pUAA^ = — 1, so 
heißt die Raumperspektive eine harmonische (involutorische). 

Der Fall, wo in f liegt, kann durch eine Raumperspektive 
auf den Spezialfall zurückgeführt werden, wo und P beide un- 
endlich fem sind, in diesem Falle entstehen die Figuren ausein- 
ander durch Parallelverschiebung. Die Existenz der Raumperspek- 
tive ist somit auch in diesem Sonderfall ei-wiesen. 

82. Wenn zwei ijerspektive Baumfiguren so auf eine Ebene 
projizieH tverden, daß die KoUineaüonsehene eine projizierende 
Ebene ist, entspjrechen die Projektionen einander in einer ebenen 
perspektivischen Kollineation, deren Kollineationsachse und Kollinea- 
tionszentrum durch die ProjeMion aus der KoUineationsebene und 
dem Kollineationszentrum der räumlichen KoUineation hervorgehen. 

In Fig. 81 bedeuten A und A^ zwei entsprechende Punkte 
in der Raumperspektive. Ihre Projektionen (in der Figur ist eine 
Parallelprojektion benutzt) auf die 
in der Figur angedeutete Projek- 
tionsebene sind A' und A^. 
und r werden in 0' und T' pro- 
jiziert. AA\ ^i^i' und 0' 
gehen durch denselben Punkt von 
r (der in der Figur unendlich 
fem liegt). Wir wollen nun be- 
weisen, daß A' und A^' durch 
eine ebene Perspektivität ver- 
knüpft sind. Liegt A' fest, kann 
A sich auf dem Projektionsstrahl 
AA' bewegen; A^ bewegt sich 
dann auf dem Projektionsstrahl 
A.^A^\ also liegt auch A^' fest. Weiter liegen A' und A^' auf 
einem Strahl durch den festen Punkt 0'. Beschreibt Ä in der 
Projektionsebene eine gerade Linie a , so \vird der geometrische 
Ort für A die zu a' gehörende projizierende Ebene, Ä^ liegt also 
in der entsprechenden Ebene, die auch eine projizierende Ebene 




Fig. 81. 



78 Viertes Kapitel. Grundlagen u. Methoden d. perspekt. Darstellung 

wird. Mithin durchläuft A^ eine bestimmte gerade Linie a-[. Die 
Bedingungen dafiü-, daß Ä und A.^ durch eine Perspektive Kol- 
lineation verknüpft sind, sind also in der Tat erfüllt. 

Soll man zwei Perspektive Raumfiguren in Grund- und Aufriß 
darstellen, so kann man die Kollineationsebene f senkrecht zur 
trennenden Achse wählen. Da f dann eine projizierende Ebene 
sowohl für die Grundriß- wie für die Aufrißprojektion wird, kann 
jede dieser Projektionen durch Anwendung einer ebenen Perspek- 
tivität konstruiei't werden. 

Die Raumperspektive findet überall da Anwendung, wo eine 
Raumfigur durch eine andere Raumfigur dargestellt werden soll. 
Dies ist z. B. bei den ReHefs der Fall, und man bezeichnet des- 
halb die Raumperspektive auch als Reliefperspektwc. Ebenso muß 
die Szene eines Theaters so eingerichtet werden, daß ihre wirk- 
liche Foi'm ein perspektivisches Bild des Raumes ist, der dar- 
gestellt werden soll. 

83. Von besonderem Interesse ist der Grenzfall der Raum- 
perspektive, den man erhält, indem man das Kollineationszentrum 
sich ins Unendliche entfernen läßt. Man erhält dann eine Beziehung 
zwischen zwei räumlichen Figuren, die man als perspektivische 
Affinität bezeichnet. Sie hat folgende charakteristische Eigen- 
schaften : 

1. Jedem Punkt der einen Figur entspricht ein bestimmter 
Punkt der anderen Figur, und zwar jedem eigentlichen Punkte 
wieder ein eigentlicher Punkt. 

2. Einer geraden Linie entspricht wieder eine gerade Linie. 

3. Parallelen Linien entsprechen wieder parallele Linien. 

4. Jeder Ebene entspricht wieder eine Ebene, und parallelen 
Ebenen entsprechen wieder parallele Ebenen. 

5. Entsprechende gerade Linien und entsprechende Ebenen 
schneiden sich in einer bestimmten festen Ebene, der Affinitätsebene. 

6. Die Verbindungsstrecke entsprechender Punkte hat kon- 
stante Richtung und wird von der Affinitätsebene in konstantem 
Verhältnis geteilt. 

Man hat bei diesem Satz den Ausnahmefall zu beachten, wo 
die Verbinduugsstrecke entsprechender Punkte der Affinitätsebene 
parallel wird. Dann wird die Entfernung der beiden einander ent- 
sprechenden Punkte ihrem Abstand von der Affinitätsebene pro- 
portional. Dies ergibt sich aus dem folgenden Satz, der den ge- 
nannten Ausnahmefall in sich begreift: 

7. Sind A, A^ und B, B^ zwei Paare entsprechender Punkte 
und werden durch zwei Parallele durch A und B die Punkte Aq, 



Literaturnachweis 79 

Bq auf der Affinitätsebene ausgeschnitten, so sind auch Ä^ Aq und 
BiBq einander parallel, und ÄA^Aq und BB^B^ bilden zwei 
ähnliche und ähnlich liegende Dreiecke. (Der analoge Satz für die 
Ebene ist sofort ersichtlich.) 

Von Spezialwerken über Perspektive seien hervorgehoben: 
G. Ubaldo, Perspectivae libri sex. Pisauri 1600. 
G. Desargues, Methode universelle de mettre en perspective les 
objects donnes reeUement. Paris 1636. Oeuvres de Desargues. Paris 1876. 

A. Bosse, Tratte des pratiques geometrales et perspectives. 
Paris 1665. 

Br. Taylor, Xeir principles of linear perspective. London 1719. 

J. H. Lambert, Freye Perspektive oder Aniceisung, jeden per- 
spektivischen Aufriß von freyen Stücken ohne Grundriß zu verfertigen. 
Zürich 1744 und 1759. 

B. E. Cousinery, Geometrie perspective ou principes de projec- 
tion polaire. Paris 1828. 

G. Schreiber, Malerische Perspektive. Karlsruhe 1854 u. ö. 

J. M. de la Go urner ie, Traite de perspective lineaire. Paris 
1859 u. ö. (hier auch besonders die Theaterperspektive). 

G. A. V. Peschka und E. Koutny, Freie Perspektive in ihrer 
Begründung und Anicendung. Hannover 1868. 

J. J. Pillet. Traite de perspective lineaire. 3. Aufl., Paris 1901. 

Von einem besonderen Gesichtspunkt geht aus: 

G. Hauck, Die subjektive Perspektive. Stuttgart 1879. 

Recht elementar und mehr für Künstler bestimmt sind: 

G. Hauck, Malerische Perspektive und Schatt&nkotistruktionen. 
Berlin 1910. 

F. Meisel, Lehrbuch der Perspektive. Leipzig 1908. 

Über die geschichtliche Entwicklung vgl. M. Poudra, Histoire 
de la perspective ancienne et moderne. Paris 1864. 

Die Reliefperspektive behandeln: 

J. B. Breysig, Versuch einer Erläuterung der Reliefperspektive. 
Magdeburg 1798. 

M. Poudra, Traite de perspective-relief. Paris 1862. 

R. Staudigl, Grundzüge der Eeliefperspektive. Wien 1868. 

L. Burmester, Grundzüge der jReliefperspektive nebst Anwen- 
dung zur Herstellung reliefperspektivischer Modelle. Leipzig 1883. 

Über Photogrammetrie, d. h. die Lehre von der Rekonstruk- 
tion eines Gegenstandes aus einer oder mehreren perspektivischen 
Darstellungen (Photographien), vergleiche man: 

F. Schilling. Über die Amvendungen der darstellenden Geo- 
metrie, insbesondere über die Photogrammetrie. Leipzig u. Berlin 1904, 
wo man auch weitere Literaturanffaben findet. 



Fünftes Kapitel. 
Elemente der projektiven (jeometrie. 

Projektive Punktreilieii und StraMenbüsckel. 

84:. Von den Punkten einer geraden Linie sagt man, sie 
bilden eine PunJctreilie. Die Linie heißt der Träger der Punktreihe. 

Zwei Punktreihen heißen projeMiv, wenn 1. jeder Punkt der 
einen Reihe einem Punkt der anderen entspricht, und 2. jedes 
System von vier Punkten der einen Reihe dasselbe Doppel- 
verhältnis wie die (in derselben Reihenfolge genommenen) ent- 
sprechenden Punkte der anderen Reihe hat. 

Unter ^^er^^^e/.Yire« Punktreihen versteht man zwei Punkt- 
reihen, die durch Zentralprojektion auseinander heiworgehen. Per- 
spektive Punktreihen sind gleichzeitig projektiv. Aber nicht alle 
projektiven Punktreihen sind perspektiv. In Perspektiven Punkt- 
reihen entspricht der gemeinsame Punkt der Träger sich selbst. 
Umgekehrt, wenn die Träger ziveier projektiver Punktreihen einen 
gemeinsamen Punkt haben, der sich selbst entspricht, sind die Punkt- 
reihen perspektiv. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte 
gehen dann nämlich nach einem früher bewiesenen Satz (69) durch 
denselben Punkt. 

Wenn zwei Punktreihen zu einer dritten projektiv sind, sind 
sie auch zueinander projektiv. Dies folgt sofort aus der Definition. 

Punktx-eihen mit demselben Träger heißen kollokal. Wenn 
drei Punkte der einen von zwei projektiven Punktreihen mit 
den ihnen entsprechenden Punkten der anderen Reihe zusammen- 
fallen, so fällt jeder Punkt mit seinem entsprechenden zusammen. 
Dies folgt aus dem letzten Satze in 69. 

85. Wenn zwei projektive Punktreihen ABC. . . und 

A^B^C^ . . . auf zwei eigentlichen geraden Linien liegen und ihre 

unendlich fernen Punkte ü und Z7j einander entsprechen, so sind 

die Reihen ähnlich oder verhältnisgleich. Da dann nämlich (UABC) 

AG A C 
= ( L\ A^ B^ Cj) ist, wird -^^ = -r^-^ ■ Ist zugleich AB = A^B.^, 



Projektive Punktreihen und Strahlenbüschel 81 

SO werden die Reihen kongruent. Umgekehrt sind zwei ähnliche 
Reihen derart projektiv, daß die unendlich fernen Punkte einander 
entsprechen. Damit zwei perspektive Reihen ähnlich werden, müssen 
entweder die Träger parallel oder das Perspektivitätszentnim un- 
endlich fern sein. 

Zwei (nicht identische) ähnliche kollokale Punktreihen haben 
immer einen DoppelpiinM (^einen Punkt, der sich selbst entspricht), 
nämlich den unendlich fernen Punkt des Trägers. Dieses ist der 
einzige Doppelpunkt, wenn die Reihen gleichsinnig kongruent sind. 
In allen anderen Fällen haben sie noch einen zweiten Doppelpunkt 
(das Ähnlichkeitszentruni). 

86. Unter Strahlenhiischel versteht man die Gesamtheit aller 
geraden Linien (^Strahlen), die durch einen bestimmten Punkt 
gehen und in einer bestimmten Ebene liegen. heißt der Mittel- 
punJct oder der Scheitel des Strahlenbüschels. Ist unendlich fern, 
so heißt der Büschel ein Parallelbüschel. Den Strahlenbüschel, der 
durch die Strahlen von einem festen Punkte nach den Punkten 
J., B, C . . . hin gebildet wird, bezeichnet man mit 0{AB C . . .), 
und man sagt von ihm, daß er J., 5, C . . . aus projiziert. In ähn- 
licher "Weise bezeichnet man eine Punktreihe, die durch den Schnitt 
einer bestimmten Linie / mit den Linien a.,!)., c . . . entsteht, durch 
?(a&c...). 

Zwei Strahlenbüschel, die in derselben Ebene liegen und ver- 
schiedene Mittelpunkte haben, heißen perspektiv., wenn zu jedem 
bestimmten Strahle des einen Büschels ein bestimmter Strahl des 
anderen Büschels gehört, so daß irgend zwei zusammengehörige 
Strahlen eine bestimmte feste Linie p in demselben Punkt schnei- 
den, p heißt die PerspeMivitätsachse. Perspektive Strahlenbüschel 
projizieren also eine und dieselbe Punktreihe (die auf der Per- 
spektivitätsachse liegt) derart, daß entsprechende Strahlen den- 
selben Punkt der Reihe projizieren. Der Strahl, der die Mittel- 
punkte der beiden Büschel verbindet, gehört ihnen beiden an und 
entspricht sich selbst. 

87. Zwei Strahlenbüschel heißen projektiv, wenn 1. jedem 
bestimmten Strahl des einen Büschels ein bestimmter Strahl des 
anderen Büschels entspricht und 2. zwei entsprechende Strahlen 
durch entsprechende Punkte zweier projektiver Punktreihen gehen. 

Haben die Strahlenbüschel denselben Mittelpunkt und liegen 
sie in derselben Ebene, so heißen sie kollokal. 

Projektive Strahlenbüschel werden von irgendwelchen geraden 
Linien, die nicht durch die Mittelpunkte gehen, in projektiven 
Punktreihen geschnitten. Denn diese Reihen sind perspektiv zu 

Timerding, Handbuch II 6 




82 Fünftes Kapitel. Elemente der larojektiven Geometrie 

denen, die zur Bestimmung der Strahlenbüschel benutzt werden, 
und darum wieder zueinander projektiv. 

Kongi'uente Strahlenbüschel sind projektiv. Denn sie können 
von geraden Linien in kongruenten Punktreihen geschnitten werden. 
Perspektive Strahlenbüschel sind projektiv. 
Zivei projeldive Strahlenhüschel abc . . . and a^h-^c^ . . . mit 
verschiedenen MiüelpunMen in derselben Ebene sind dann und nar 
dann perspeläiv^ wenn der Strahl a, der ihre Mittelpunkte verbindet, 
mit seinem entsprechenden Strahl a-^^ gusammcnfällt. 

Zum BeAveis verbinde man die Punkte 
bb^ und cq durch eine gerade Linie (Fig. 
82). Diese schneidet die beiden Strahlen- 
büschel in projektiven Punktreihen, aber 
da diese Punktreihen drei Punkte Ä, B 
und C entsprechend gemein haben, fallen 
sie zusammen. Die Strahlenhüschel proji- 
zieren also eine und dieselbe Punktreihe 
und sind deshalb perspektiv. 

Wenn zivei projektive Strahlenbüschel 

■p. gg drei Strahlen gemein haben, fallen sie ganz 

zusammen. Denn die Punktreihen, in denen 

sie von einer geraden Linie geschnitten werden, haben drei Punkte 

entsprechend gemein und fallen sonach zusammen. 

88. Man nennt eine Punldreihe projeldiv zu einem Sirahlen- 
büschel, wenn sie projektiv zu einer Punktreihe ist, die dm-ch den 
Schnitt des Strahlenbüschels mit einer geraden Linie entsteht. 
Sie ist dann projektiv zu jeder Reihe, die durch den Schnitt des 
Strahlenbüschels mit einer nicht durch seinen Mittelpunkt gehen- 
den geraden Linie entsteht. 

89. Unter einem Ebenenbüschel versteht man die Gesamt- 
heit der Ebenen, die dui'ch dieselbe gerade Linie (die Achse des 
Ebenenbüschels) hindurchgehen. 

Ein Ebenenbüschel wird von allen geraden Linien, die die 
Achse des Büschels nicht treffen, in projektiven Punktreihen ge- 
schnitten. Denn durch Projektion aus einem Punkte der Achse 
werden die Punktreihen auf eine Ebene in Perspektive Punktreihen 
projiziert. 

Zwei Ebenenbüschel heißen projektiv, wenn sie von geraden 
Linien in projektiven Punktreihen geschnitten werden. Zwei pro- 
jektive Ebenenbüschel werden von beliebigen Ebenen, die nicht 
durch die Büschelachsen gehen, in projektiven Strahlenbüscheln ge- 
schnitten. 



Projektive Punktreihen und Strahlenbüschel 



83 



Zwei Ebenenbüschel heißen perspeküv, wenn eine Ebene exi- 
stiert, die sie in demselben Strahlenbüschel schneidet. 

Eine Punktreihe und ein Ebenenbüschel heißen projektiv, 
wenn jene zu der Punktreihe, die durch den Schnitt des Ebenen- 
büschels mit einer beliebigen geraden Linie entsteht, projektiv ist. 

90. Projektive Punktreihen und Strahlenbüschel gehen durch 
eine beliebige Projektion wieder in projektive Reihen und Büschel 
über, wenn wir nur dafür sorgen, daß die Träger der Reihen und 
die Ebenen der Büschel nicht durch das Projektionszeutrum hin- 
durchgehen. Die Konsti'uktion projektiver Reihen oder Büschel 
im Räume kann deshalb direkt in der Zeichenebene ausgeführt 
werden, indem man bloß mit den Projektionen der Gebilde operiert. 
Wii- wollen deshalb im folgenden nur die Konstruktionen für pro- 
jektive Reihen und Büschel, die in derselben Ebene liegen, an- 
geben. 

91. Wir wollen zunächst nachweisen^ wie man auf ztoei ge- 
gebenen Linien l und /j^ projeJdive Punldreihen derart Jconstniieren 
kann, daß drei 'wiUkiirlich ^ 
gegebenen Punkten A, B //\ 

und G auf l drei willkür- /_' '. 

lieh gegebene Punkte A^, 
B^ und C^ auf \ ent- 
sprechen (Fig. 83). Wir 
setzen voraus, daß keiner 
der gegebenen Punkte 
nach dem Schnittpunkt 
A'on l und \ fällt. Zur 
Konstruktion benutzen 
wir die Strahlenbüschel 
A {A^ B^C^ . . .) und 
A^{ABC...); diese Bü- 
schel müssen projektiv 
sein, und da AA.^^ dem 
Strahl A^ A entspricht , 
werden sie auch perspek- 

tiv. Die Perspektivitätsachse p kann man sofort bestimmen, da sie 
durch die Schnittpunkte von ABy^ mit A^B und von AC-^ mit A-^^C 
hindurchgeht. Man bestimmt hierauf ein beliebiges neues Paar 
entsprechender Punkte 2) und D^ in den beiden Reihen da- 
durch, daß AB^ und A^B einander auf^ schneiden. Aus der Kon- 
struktion geht hervor, daß der Punkt X, in dem l von p ge- 
schnitten wird, dem Schnittpunkt Xj von l und ^j entspricht, eben- 

6* 




Fig. 83. 



84 Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 



SO der Punkt Yj , in dem l^ von p geschnitten wird, dem zu l ge- 
rechneten Schnittpunkt von l und l^. 

Die Linie p ist dieselbe, ob wir die durch Projektion aus A 
und Ä^ entstehenden Strahlenbüschel benützen, oder ob wii- die 
Reihen aus B und B^ projizieren. In beiden Fällen muß nämlich 
die Perspektivitätsachse durch den Punkt X und den Schnittpunkt 
von ÄB.^ und Ä^B gehen; also: p ist auch Perspektivitätsachse 
für die Strahlenbüschel B(Ä^B^ ^i • • •) und B^{ABG . . .), ebenso 
auch für C{A^B^C^ . . .) \m^ C^{AB C . . .), usw. 

Eine Linie, welche zwei einander nicht entsprechende Punkte 
der Punktreihen verbindet, heißt eine Krcuglinie. Zwei Kreuzlinien 
heißen susammcngehörig , wenn die Punkte der Punktreihen, die 
sie verbinden, einander entsprechen. So sind z. B. AB^ und A^B 
zusammengehörige Kreuzlinien. 

Die gewonnenen Resultate können dann in dem folgenden 
Kreuzliniensatz zusammengefaßt werden: 

Bei zwei projektiven PunMreihen mit verschiedenen Trägern 
liegen die SchnittpunMe aller Paare zusammengehöriger Kreuzlinicn 
auf einer festen Linie p, der Perspektivitätsachse. 

Dies kann man auf verschiedene Ai'ten anwenden, um zwei 
projektive Reihen zu konstruieren. In der Fig. 84 ist z. B. eine 

Konstruktion des Punktepaares 
DDj mit Hilfe der gegebenen 
Punktepaare AA^, BB^ und 
COj gegeben. 

Soll man projektive kollokale 
Punktreihen durch drei Punkte- 
paare bestimmen, so kann man 
die eine Reihe auf eine neue Linie 
projizieren, wodurch die Aufgabe 
auf die vorige reduziert wird. 
Zwei projektive Punktreihen, die nicht kollokal sind, können 
auch durch eine Projektion der einen Reihe auf einen neuen Träger, 
die sie zu der anderen perspektiv macht, konstruiert werden. 

92. Soll man zu einer Punktreihe einen projektiven Strahlen- 
büschel konstruieren, derart, daß drei gegebenen Punkten A, B 
und C der Punktreihe drei gegebene Strahlen a, b und c des 
Büschels entsprechen, so kann man den Strahlenbüschel mit einer 
geraden Linie l schneiden. Die so erzeugte Reihe A^ B^C^ . . wird 
dann projektiv zu ABC .. . und die Aufgabe ist auf die Kon- 
struktion dieser Punktreihen zurückgeführt. 

Besonderes Interesse hat die Konstruktion, die man bekommt, 



Z> 




Punktreihen auf dem Kreis und ihre Anwendung 



85 



wenn die Linie l unendlich fern liegt und man dann den Satz 
über Ki'euzliuien anwendet. Diese Konstiniktion setzt voraus, daß 
weder der Träger der Reihe {AB C . . .) noch der Mittelpunkt, des 
Strahlenbüschels unendlich fern liegt. 

Für die praktische Ausführung trägt man die Punktreihe 
ABC . . . auf einer beweglichen Linie auf und verschiebt diese 
so lange, bis die drei Punkte A, B, C auf die Strahlen a, b, c fallen. 
Jeder Punkt der Reihe wird dann auf den ihm entsprechenden 
Strahl des Büschels fallen. 

93. Zwei projektive Strahlenbüschel können durch drei ge- 
gebene Paare entsprechender Strahlen bestimmt werden, indem 
man sie mit geraden Linien schneidet 
und die so erzeugten projektiven Punkt- 
reihen konstruiert. Sind die gegebenen 
Strahlenpaare a und a^, b xmd 6^, c 
und q und haben die Büschel nicht 
denselben Mittelpunkt, so kann man 
sie z. B. mit a^ und a schneiden. Die 
Reihen a^ (ahc . . .) und a («i&iC^ • . •) 
sind dann perspektiv und können so- 
nach leicht konstruiert werden. 

Wenn aber die Mittelpunkte der 
Strahlenbüschel nicht unendlich fern 
sind, wendet man mit Vorteil folgende 
Konstruktion an (Fig. 85): {abc . . .) 
wird mit einer zu a parallelen Linie in der Reihe {ABC . . .) und 
(dibiC^ . . .) mit einer zu a^ parallelen Linie in der Reihe 
(A^B^Ci • • •) so geschnitten, daß B^Cj^ = BC wird. Die Reihen 
{ABC . . .) und {A^B^C-^^ . . .) werden dann kongruent und man 
kann deswegen entsprechende Punkte in ihnen leicht finden. 




Fig. 85. 



Punktreilieii auf dem Kreis nnd ilire Anwendung. 

04. Wenn ein Punkt A einen Kreis durchläuft, so daß er 
sich immer in demselben Drehsinn bewegt, so drehen sich seine 
Verbindungslinien mit zwei festen Punkten F und Q des Kreises 
ebenfalls in demselben Sinn und beschreiben in derselben Zeit 
gleichgroße Wmkel. Gelangt A bei der Bewegung nach P (oder Q), 
so betrachtet man die Tangenten in P (oder Q*) als die Verbindungs- 
linie von A und P (oder Q). Dann kann man sagen, daß, wenn 
A den ganzen Kxeis durchläuft, PA und QA gleichsinnig kongruente 
Strahlenbüschel durchlaufen. Eine Punktreihe ABC . . . auf dem 



86 



Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 



Kreise wird also aus zwei Punkten P und Q des Kreises durch kon- 
gruente Strahlenbüschel P{ABC . . .) und Q{ABC . . .) projiziert. 
Betrachtet man PQ als zum Büschel P(ABC . . .) gehörig, so ist 
der entsprechende Strahl im anderen Büschel die Tangente in Q. 
95. Zwei Punktreihen ABC . . . und A^^B^C-^^ . . . auf dem- 
selben Kreise heißen projektiv^ wenn sie aus einem Punkte S 
des Kreises durch projektive Strahlenbüschel S[ABC . . .) und 
S^A^B^C^ . ■ .) projiziert werden. Aus dieser Definition folgt, daß 
die beiden Reihen auch aus zwei willkürlich gewählten Punkten 
P und Q auf dem Kreise durch projektive Strahlenbüschel proji- 
ziert werden. Denn P (ABC . . .) und Q (A^ B^^C^ . . . i s ind zu 
S {ABC . . .) und S {A^B^C^ . . .) projektiv, und da die letzten 
beiden Büschel projektiv sind, gilt dasselbe auch von den beiden 
erstgenannten. Zwei projektive Punktreihen auf einem Kreise sind 
also durch drei Paar ent.sprechender Punkte bestimmt. 

96. Pascalscher Satz: Dir 
Schnittpunktr gcgenüherliajendcr Seiten 
in einem ScchsecJc, das einem Kreis ein- 
hescJirlehen isf^ licnen auf einer r/rradcn 
Linie. 

In der Fig. 86 ist ABCDEF ein 
einbeschriebenes Sechseck. Die Seiten 
AB, BC, CJ). DE, EF und FA sind 
der Reihe nach mit 1, 2, 3, 4, 5 und 6 

J 




Kig. S7. 




Punktreihen auf dem Kreis und ihre Anwenduntr 



87 




bezeichnet. Die SchnittpiTiikte . 31 vou 1 und 4, ^' von 2 und 5 
und von 3 und 6, liegen dann auf einex- geraden Linie. Der Be- 
weis verläuft wie folgt: Die Büschel Ä {BBFE) und C (DB FE) 
sind kongruent und werden also von DE und EF in projektiven 
Punktreihen geschnitten. Folglich ist {DMPE) projektiv zu 
[QXFE). Da aber E in diesen Punktreihen sich selbst entspricht, 
sind die Reihen perspektiv. Also 
gehen die Linien I) Q. 21 N und 
PF durch denselben Punkt (das 
Perspektivitätszentrum), aber da 
DQ und PF einander in 
sehneiden, geht auch Jl/iV^ durch 
diesen Punkt, w. z. )). w. 

Läßt man zwei aufeinander 
folgende Ecken des Sechsecks zu- 
sammenfallen , so gilt der Satz 
auch, indem die Seite, die diese 
zusammenfallenden Ecken ver- 
bindet, in eine Tangente des 
Kreises übergeht. In den Fi- 
guren 87 — 89 sind folgende drei 
Fälle behandelt 
B. C nach D, 3. A fällt nach B, C nach D und E nach F. 

97. Wii- wollen nun nach- 
weisen, daß von zwei projek- 
tiven Punktreihen auf demselljen 
Kreis ein ganz ähnlicher Satz 
gilt wie der, den wir füi- pro- 
jektive Punktreihen auf zwei ver- 
schiedenen geraden Linien gefun- 
den haben. Die Reihen denken 
wir uns dabei gegeben durch drei 
Paare entsprechender Punkte: 
Ä und A^ , B und jB^ , C und C^ . 

Jede Linie, die den Kreis in 
zwei einander nicht entsprechen- 
den Punkten schneidet, nennen wir wieder eine Kreuzlinie. Zwei 
Kreuzlinien heißen zusammengehörig, wenn die eine von ihnen 
den Kreis in zwei Punkten schneidet, die den Schnittpunkten der 
anderen Linie mit dem Kreis entsprechen. Dann gilt der Satz: 

Die Schnittpunkte zusammengehöriger Kreuzlinien liegen auf 
einpr festen geraden Linie, der PcrspeMivitätsachse (Fig. 90). 



Fig. .S9. 

1. A und B fallen zusammen, 2. A fällt nach 



/ 




Fig. <)0. 



Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 



Beweis: Die Schnittpunkte von ÄB^ und Ä^B^ B C^ und B^ C, 
CA■^^ und C^A liegen nach dem Pascalschen Satze auf e er ge- 
raden Linie p ; diese Linie ist die Perspektivitätsachse für ie Per- 
spektiven Strahlenbüschel A{A^B^C-^^ . . .) und A^^ABC . . .). 
Ein beliebiges neues Punktepaar DDj wird also daraus gefunden, 
daß ABy und A^B einander auf ^ schneiden. Hiermit ist be- 
wiesen, daß jedes Paar zusammengehöriger Kreuzlinien, die von 
A und A^ ausgehen, einander auf ^ schneidet. Aber die Strahlen- 
büschel B {A^B^ C^i • • •) Tiiid B^ {ABC . . .) sind auch perspektiv, 
und da ihre Perspektivitätsachse durch die Schnittpunkte von^^^ 
und J5j A, B C^ und JSj^ C hindurchgeht, fällt sie mit p zusammen. 
Also schneiden auch irgend zwei zusammengehörige Kreuzlinien, 
die von B und B^ ausgehen, einander auf p. Auf diese Weise 
kann man nun fortfahren, bis man zu 
einem Paar Kreuzlinien kommt, die von 
einem beliebigen Paar entsprechender Punkte 
in den beiden Reihen ausgehen. 

Der Kreuzliniensatz kann auf verschie- 
dene Arten zur Konstruktion der beiden 
Reihen verwendet werden. Die neben- 
stehende Fig. 91 zeigt die Bestimmung 
eines beliebigen Punktepaares D und Dy 
Wenn 2> den Kreis schneidet, so ent- 
spricht jeder der Schnittpunkte sich selbst 
und heißt ein Doppelpunkt der beiden Reihen. 
Zwei projektive Punktreihen auf einem Kreise haben also zwei, 
einen oder keinen Doppelpunkt, je nachdem j; den Kreis schneidet, 
berührt oder nicht trifft. 

98. Zwei kollokale projektive Punkt- 
reihen [ABC . . .) und (A^ B^ 6\ . . .) aut 
einer geraden Linie kann man nun kon- 
struieren, indem man sie auf einen be- 
liebigen Kreis aus einem willküi-lichen 
Punkte dieses Kreises projiziert fFig. 92 ). 
Auf diese Weise ei-hält man die projek- 
tiven Reihen (aßy . . .) und {((ißi'/i ■ ■ •) 
auf dem Kreise. Es wird dann ein neues 
Punktepaar in den Punktreihen auf dem 
Kreis konstruiert und aus auf die ge- 
rade Linie zurückprojiziert, auf diese 
Weise gelangt man zu einem Paar ent- 
Fjg. 92. sprechender Punkte in den Ursprung- 





Involutionen 89 

liehen Keihen. Ein Doppelpunkt in den Reihen auf dem Kreis 
liefert einen Doppelpunkt in den ursprünglichen Reihen. Zwei 
kollokale projektive Punktreihen auf einer geraden Linie haben 
also entweder zwei, einen oder keinen Doppelpunkt. 

99. Wir haben gleichzeitig eine neue Konstruktion für zwei 
projektive kollokale Strahlenbüschel (ABC. . .) und (Ä^B^C^...) 
gefunden: Durch ihren gemeinsamen Mittelpunkt wird ein Kreis 
gelegt, und es werden die Punktreihen, in denen dieser die Strahlen- 
büschel schneidet, konstruiert. Ein beliebiges Punktepaar in diesen 
Reihen bestimmt ein Strahlenpaar in dem Strahlenbüschel. Ein 
Doppelpunkt der Reihen bestimmt einen Doppelstrahl der Büschel. 
Zwei projektive kollokale Strahlenbüschel haben also entweder 
zwei, einen oder keinen Doppelstrahl. 

Die angegebene Methode kann indessen nicht angewendet 
werden, wenn der gemeinsame Mittelpunkt der Strahlenbüschel 
unendlich fern liegt. In diesem Falle kann man sie aber durch 
eine beliebige gerade Linie schneiden und dann die angeführten 
Konstruktionen anwenden. 

Involutionen. 

100. Wir betrachten zwei projektive Punktreihen (J.J5C . .) 
und ( J-i JBi Cj . . .) auf derselben geraden Linie. Ein beliebiger 
Punkt der Linie kann zu jeder der Punktreihen gerechnet werden. 
Wir lassen deswegen immer die Bezeichnung, die wir dem Punkt 
geben, andeuten, zu welcher der Reihen er gehört. Gehört er zur 
ersten Reihe, so bezeichnen wir ihn z. B. mit P; dann entspricht 
ihm ein Punkt P^ der anderen Reihe. Soll er zur anderen Reihe 
gehören, so kann er mit Q■^ bezeichnet werden, es entspricht ihm 
dann ein Punkt Q der ersten Reihe. Q und P^ fallen nicht immer 
zusammen; man braucht, um dies einzusehen, nur zwei kongruente 
Reihen zu betrachten, von denen die eine aus der anderen durch 
Parallelverschiebung hervorgeht. Wir wollen nun aber den Fall 
näher untersuchen, wo Q und P^ zusammenfallen. Wir setzen also 
von unseren Punktreihen voraus, daß der einem bestimmten Punkte P 
der ersten Reihe entsprechende (von P verschiedene) Punkt P^ 
der zweiten Reihe gleichzeitig als Punkt Q der ersten Reihe dem 
mit P zusammenfallenden Punkte Q.^ der zweiten Reihe entspricht. 
Wir wollen dann zeigen, daß jedes Paar entsprechender Punkte der 
beiden Reihen dieselbe Eigenschaft hat. 

B und R^ sei ein solches Punktepaar; fällt S^ nach .R, so 
soll bewiesen werden, daß *S' nach B^ fällt (Fig. 93). P^Q^B^S^^ 




9(j Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 

werden aus auf einen neuen Träger 

in Po^oJigiS'g projiziert. Diese letzte Reihe 
ist dann projektiv zu PQBS. Die Per- 
spektivitätsachse für diese Punktreihen 
geht durch 0, da PQ^ und P^Q zusam- 
mengehörige Kreuzlinien sind. Die Kreuz- 
linie RS2 schneidet nun die Perspektivi- 

■' : : ^ tätsache in 0. und durch diesen Punkt 

PQ^ QP; RS, Ä, muß sonach J?2.S' gehen: also fällt .Sonach 

Fig. 03. -Rj, W. Z. b. W. 

Von den PnnMrc'then sagt man, daß 
sie auf der geraden Linie eine Involution bilden (oder involuto- 
risch sind). Von den PioiTitepaaren sagt man. daß sie eine mvo- 
InforiscJie Reihe bilden. 

101. Kennt man von der Involution zwei Punktepaare AA^ 
nnd BB^, so ist sie bestimmt; denn die projektiven Reihen (^AA-^^B . . .) 
und (^A^AB^ . . .) sind bestimmt, da man drei Punktepaare A und 
-4i, A^ und A, B und B^ in ihnen kennt. Im folgenden setzen 
wir voraus, daß keiner der Punkte A. A^, B und B^ unendlich 
fern ist. Des weiteren setzen wir vorau.s, daß keine zwei von diesen 
Punkten zusammenfallen. 

Der Punkt 0, der dem unendlich fernen Punkt 0^ entspricht, 
heißt das Zentrum der Involution. Ist zunächst unendlich fern, 
so werden die beiden projektiven Jieihen{AA^B . . .) und (A^AB^ . . .) 
ähnlich mit einem bestimmten Ähnlichkeitspunkt 21. Da nun 

AM _ A^ M 
A[ M ~ A M ' 

wird dieses Abstandsverhältnis == i ^i '^^^'^ ^^ -^ ^^^ -^i verschie- 
den sind, müssen wir den Wert — 1 wählen. Die Punktreihen 
liegen also symmetrisch für den Punkt 31. 

jr Wir behandeln jetzt den Fall, wo 

nicht unendlich fern ist; man findet dann 
,- -' '/ \ (ABOO^) = {A^ B^ 0, 0) oder, da (\ un- 

,,-'' / '. endlich fern ist, 

AO _B,0 

,/\ / /\ BO " A^CP 

/ \ io / '• folglich: 



4, /B Bj OA- 0A^ = OB ■ OB^. 

y Das Zentrum der Involution hat also 

Fig. 94. die Eigenschaft, daß das ProduJct feine) 



Involutionen 91 

Abstönde von einem beliebif/en Puuldepaar der Involution 'konstant 
ist. Dies Produkt heißt die Potenz der Involutiou. Wir finden da- 
nach folgende Konstruktion (Fig. 94). Wir wählen einen Punkt M 
beliebig außerhalb des Trägers der Involution und ziehen ^aN|j AM 
und A^N\\ B^M; MN geht dann durch 0, denn es wird 

OA _ OM^ _ OB^ 
OB ~ 0N~ OA,' 
folslich 

OA ■ OA^ = OB ■ OB^. 

Man kann auch daraus finden, daß es für zwei Ki'eise, von 
denen der eine durch A und A^, und der andere durcli B und B^ 
geht, dieselbe Potenz haben muß ; liegt also auf der Potenz- 
achse dieser Kreise. 

102. Ist die Potenz positiv, so hat die Involution zwei Dop- 
pelpunkte, deren Abstände von gleich der mittleren Propox'tio- 
nale von OA und 0^^, OB und OB^ usw. sind. Nennt man die 
Doppelpunkte X und T, so hat man 



0X = — OY^yOA- OA^. 

Jedes Punktepaar der Involution ist mit den beiden Doppel- 
punkten haitnonisch verbunden, denn eswird( Xyi4^j) = (XTJ.^ J.). 
Also: Wenn eine involutorisclie PunJctreihe zivei Doppelpiuikte hat. 
so besteht die Involntion ans allen Punlitpaaren. die mit den Bop- 
pelpimJden harmonisch verbunden sind. Das Zentrum der Involution 
liegt in der Mitte zwischen den Doppelpunkten. 

Ist die Potenz negativ, so hat die Involution keinen Doppel- 
punkt. In diesem Falle schneiden die über AA^ und BB^ als 
Durchmesser beschriebenen Kreise 

(Fig. 95} einander in zwei Punkten .,•-' 'xj/,.- . 

M und jV, deren Verbindungslinie /\ 

(die Potenzlinie der beiden Kreise) _£ / \ \ \ 

durch das Involutionszentrum ■'^\ B\ pjA, /ä 

geht. Die beiden Kreise bestimmen '••, \j/ 

einen Kreisbüschel, und jeder Kreis "-~^. ,.-'A^^- --' 

diesesBüschelsschneideteinPunkte- p^„ 9j 

paar der Involution aus, also müssen 

die Vi'inkel AM A^, BMB^, CMC^ . . . rechte sein, und man findet: 

Wenn eine involutorische Punlireihe keine Doppelpunkte hat, so 

existieren in der Ebene zwei Punkte M und N, aus denen jedes 

Punktepaar der Involution durch zwei aufeinander senkrechte Linien 

projiziert vird. Eine solche Involution wird am einfachsten durch 



92 Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 







die Linie, auf der sie liegt, und einen der Punkte M und N dar- 
gestellt. 

Wenn die Involution durch zwei Punktepaare AA.^^ und BB^ 
gegeben ist, so kann man unmittelbar erkennen, welcher der beiden 
gekennzeichneten Fälle eintritt. Nämlich wenn die Punkte des 
einen Paares die Punkte des anderen voneinander trennen, hat die 
Involution keinen Doppelpunkt. Wenn aber die Paare einander 
nicht trennen (von den Strecken AA.^^ und BB.^^ die eine ganz 
auf oder ganz außerhalb der anderen liegt), hat die Involution 
Doppelpunkte. 

103. In dem Falle, wo zwei kollokale projektive Strahlen- 
büschel ein Paar verschiedene zusammengehörige Strahlen enthal- 
ten, die einander entsprechen, auch wenn sie vertauscht werden, 
hat jedes Paar entsprechender Strahlen in den Büscheln diese 
Eigenschaft. Die Strahlenbüschel werden dann nämlich von einer 
geraden Linie, die nicht durch ihren Mittelpunkt geht, in einer 
involutorischen Punktreihe geschnitten. Von den Strahlenbüscheln 
sagt man, sie bilden eine Involution. Von den Strahlenpaaren 
sagt man auch, sie bilden einen involutorischen Büschel. 

Zwei projektive Punktreihen auf einem Kreis bilden eine In- 
volution, wenn jedes Paar entsprechender Punkte vertauscht werden 
kann. Ein involutorischer Büschel wii'd von einem beliebigen Kreis, 
der durch den Mittelpunkt des Büschels geht, in einer Involution 

geschnitten. 

104. In einer Involution auf 
dem Kreis gehen die Verhindungs- 
linien entsprechender Punkte durch 
einen festen Punkt 0. Dieser Punkt 
heißt das Perspektivitätszentrum. 
Betveis(Fig.d6):AA^,BBi, 
CC^ seien drei beliebige Punkte- 
paare der Involution. Wir wenden 
den Satz von den Kreuzlinien an, 
^-•v^,^ indem wir beachten, daß jetzt 
^ nicht bloß AB.^ und A,B., son- 
dern auch AB und A^B^ und die 
analogen Verbindungslinien zu- 
sammengehörige Kreuzlinien bil- 
den. So finden wir zwischen den 
beiden Dreiecken ABC und A^B^C\ die Beziehung, daß die 
Schnittpunkte entsprechender Seiten AB und A^ B^, BC und B^ C^, 
CA und C^A^ auf einer geraden Linie (der Perspektivitätsachse) 




Fig. 96. 



Involutionen 93 

liegen. Die Linien AÄ^, BB^ und CC^ gehen also nach dem Des- 
arguesschen Satz durch denselben Punkt (74). 

Liest dieser Punkt außerhalb des Kreises, so hat die Livo- 
lution zwei Doppelpunkte, nämlich die Berühi-ungspunkte der Tan- 
genten, die man von an den Kreis legen kann. Dies sind gleich- 
zeitig die Schnittpunkte der Perspektivitätsachse mit dem Kreise. 
Liegt innerhalb des Kreises, so gibt es keinen Doppelpunkt. 
Der Grenzfall, wo auf dem Kreise liegt, ist ohne Bedeutung. 

Ist die Involution auf dem Kreis durch zwei Punktepaare ÄÄ^^ 
und BB^ bestimmt, so kann man das Zentrum sofort als den 
Schnittpunkt der Linien AÄ^^ und B B^ konstruieren. Man findet 
dann neue Punktepaare, indem man den Kreis mit geraden Linien 
durch schneidet. 

105. Ein involutorischer Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt 
nicht unendlich fern liegt, wird durch zwei Paare zusammenge- 
höriger Strahlen a, a^ und h, h-^ bestimmt, indem man ihn mit 
einem Kreise durch den Büschelmittelpunkt schneidet (Fig. 97). 
Hierdurch entsteht auf dem Kreis eine ^—::^'f;fer~^ 

Involution, von der man zwei Punkte- _^^^^^^]^^ /\^^>^j\ 

paare AA.^^ und BB.^ kennt und die '/ / \\\\^\ß 

übrigen Paare sofort konstruieren kann. / •,/ \\ \\ ^, 

Projiziert man dann diese jedesmal aus / / ■••. \ \ \ k\iji 

dem Büschelmittelpunkt, so erhält man / r-, \ u^ \. '^K 

immer zwei zusammengehörige Strahlen \ /^ A \ di: 

der Strahleninvolution. Wenn die ge- \ / | ^1 'A /';; 

gebenen Strahlenpaare einander nicht Ax" '---J \.<43<^ 'i 
trennen, so fällt der Schnittpunkt von ^^^:--~— J_^^^^^^=*^-. '--! 

AA^ und BB^ außerhalb des Kreises, p ° ■■ 

die Involution auf dem Kreis hat dann Pig 97 

zwei Doppelpunkte und die Strahlen- 
involution zwei Doppelstrahlen p und g, die durch die Berührungs- 
punkte der aus an den Kreis gelegten Tangenten hindurchgehen. 
Trennen die beiden Strahlenpaare einander, so hat die Strahlen- 
involution keine Doppelstrahlen. 

In jedem Falle enthält die Involution ein Paar zusammen- 
gehöriger Linien l und l^, die aufeinander senkrecht sind. Diese 
Linien gehen durch die Endpunkte des Durchmessers, der durch 
gezogen werden kann. 

Fällt in den Mittelpunkt des Kreises, so bildet jedes 
Strahlenpaar der Involution einen rechten Winkel. Wir sprechen 
dann von einer orthogonalen Strahleninvolution. 

Liegt der Punkt unendlich fern, so sind die Doppelstrahlen 



94 Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 

der Strahleninvolution aufeinander senkrecht, und die Strahlen 
eines beliebigen Strahlenpaares bilden mit ihnen gleiche Winkel. 
Wir sprechen dann von einer symmetrischen Strahleninvolution. 

Da eine Strahleninvolution von einer geraden Linie, die nicht 
durch den Mittelpunkt des Büschels geht, in einer Punktinvolution 
geschnitten wird, muß jedes Strahlenpaar einer Strahleninvolution 
durch die Doppelstrahlen, wenn diese existieren, harmonisch ge- 
trennt werden. Das Strahlenpaar, das einen rechten Winkel bildet, 
besteht aus den Halbierungslinien der Winkel zwischen den Dop- 
pelstrahlen. 

Ein involutorischer Strahlenbüschel mit unendlich fernem 
Mittelpunkt wird mit Hilfe der Punktinvolution konstruiert, in der 
der Büschel von einer willkürlichen geraden Linie geschnitten wird. 

Eine Punktinvolution kann auch dadurch konstruiert werden, 
daß man sie auf einen beliebigen Kreis aus irgendeinem Punkte 
des Kreises projiziert und die so bestimmte Involution auf dem 
Kreis konstruiert. Diese Methode findet insbesondere Anwendung, 
wenn die gegebene Punktinvolution auf der unendlich fernen Ge- 
raden liegt. 



Pol und Polare. Das Dualitätsprinzip. 

106. An einen gegebenen Kreis ziehen wir durch einen 
Punkt P, der nicht auf dem Kreise liegt, die Sekanten und be- 
stimmen auf jeder von ihnen einen 
Punkt Pi, so daß P und P^ die 
Schnittpunkte der Sekante mit dem 
Kreise harmonisch trennen. Alle 
diese Punkte P, liegen dann auf 
einer gewissen geraden Linie p, 
welche die Polare vonPbezügl. des 
Kreises heißt. P selbst heißt der 
Pol der Linie p (vgl. Fig. 98). 

Daß die Punkte P^ wirklich 
auf einer geraden Linie liegen, er- 
kennt man wie folgt: Es ergibt 
sich auf dem Kreise eine bestimmte 
Punktinvolution, für welche P das 
Zentrum ist, und die Perspektivi- 
tätsachse dieser Involution enthält 
alle Punkte Pj. Sind nämlich J.^4j^ undi?Pj zwei willkürliche Punkte- 
paare der Involution, so geht die Achse p durch den Schnittpunkt M 




Fig. 



Pol und Polare. Dan Dualitätsprinzip 95 

von AB und Ä^B.^^ und den Schnittpunkt B von A^B und AB^ und 
infolge des Satzes vom vollständigen Vierseit (7l) muß dann p die 
Linie AA-^^ in einem solchen Punkte P^ schneiden, daß P und P^ 
mit A und A^ harmonisch verbunden sind. Ebenso muß p die 
Linie BB^ in einem Punkte Pg schneiden, so daß P und P., mit 
B und J?j harmonisch verbunden .'^ind. Der Satz ist damit be- 
wiesen und wir haben gleichzeitig eine allgemeine Konstraktion 
für die Polare eines gegebenen Punktes gefunden: Durch P ziehen 
wir zwei Sekanten AA^ und BB.^, dann ist die Verbindungslinie 
der Diagonalpunkte 21 und R des vollständigen Vierseits AA^BB-^^ 
die gesuchte Polare. 

107. Aus der Definition folgt, daß die Polare des Mittel- 
punTdes die imendlicli ferne Gerade ist, weiter daß die Polare für 
einen unendlich fernen Punlct ein Durchmesser ist. der zu der den 
Punkt bestimmenden Richtung senkrecht ist. 

Ist P ein beliebiger Punkt außerhalb des Kreises, so geht 
seine Polare durch die Berührungspunkte der Tangenten, die man 
von P an den Kreis legen kann. Liegt der Punkt innerhalb des 
Kreises, so fällt seine Polare ganz außerhalb des Kreises. In 
beiden Fällen ist die Polare senkrecht zu dem Durchmesser, der 
durch P geht. 

Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, daß P nicht auf dem 
Ki'eise liegt. Wenn aber der Punkt P sich einem bestimmten 
Punkte A des Kreises nähert, z. B. indem P sich auf der Tan- 
gente a in A bewegt, so nähert sich seine Polare der Tangente a. 
Wir wollen deswegen durch Definition festlegen, daß die Polare 
eines Punktes auf dem Kreise 

die Tangente in diesem ? 

Punkte sein soll. So erhält .' '".. 

jeder Punkt in der Ebene 
des Kreises eine bestimmte 
Polare. 

108. W^enn ein Punkt 
P auf der Polare q eines 
anderen Punktes Q liegt, so 
liegt auch Q auf der Polare 
p von P. 

Beweis: Wir setzen 
zunächst voraus, daß weder P Fig. 99. 

noch Q auf dem Kreise liegt 

(Fig. 99j. Durch P ziehen wir dann eine Linie, die den Kreis in 
A und B schneidet. QA und QB mögen den Kreis außerdem in 




96 Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 

Ä^,B^ schneiden. Man weiß nun, daß Ä^B^ und AB einander in 
einem Punkte von q schneiden, also in P. Daraus folgt aber, daß 
die Polare von P durch Q geht. Liegt Q auf dem Kreise, so wird 
q die Tangente in Q, und da P auf dieser Tangente liegt, so geht 
seine Polare durch Q. 

Zwei Punkte, von denen der eine auf der Polare des anderen 
liegt, heißen honjugiert. Ein Punkt ist konjugiert zu sich selbst, 
wenn er auf dem Kreise liegt. 

109. Zivei verschiedene Punkte P und Q können nicht die- 
selbe Polare haben. 

Beweis: 1. Liegt einer der Punkte auf dem Kreise, so ist 
seine Polare die Tangente in dem Punkte, und diese kann die 
Polare keines anderen Punktes sein als die ihres Berührungspunktes. 

2. Liegt einer der Punkte außerhalb des Kreises, so kon- 
struiert man eine Polare mit Hilfe der aus dem Punkt an den 
Kreis gelegten Tangenten. Hieraus sieht man sofort, daß die 
Polaren nicht zusammenfallen können. 

3. Liegen beide Punkte innerhalb des Kreises, so schneidet 
die Linie PQ den Kreis in zwei Punkten Ä und Ä^. Man sieht 
dann, daß die Polaren von P und Q diese Linie in zwei verschie- 
denen Punkten schneiden müssen und also nicht zusammenfallen 
können. 

110. Jede gerade Linie a hat einen bestimmten Pol A. 
Beiveis: Auf a wählen wir zwei Punkte iüf und N. Die Po- 
laren m und n dieser Punkte sind nach dem eben Bewiesenen 

notwendigerweise verschieden und haben 
deswegen einen und nur einen Punkt A 
gemeinsam. Da A aber auf m und n 

©liegt, geht seine Polare durch 31 und N, 
d. h. die Polare von A ist a. Ist a eine 
Tangente des Kreises, so fällt der Pol 
in den Berührungspunkt. Ist a eine Se- 
kante des Kreises, so bestimmt sich ihr 
Pol als der Schnittpunkt der Kreistan- 
genten in den Schnittpunkten von a. Liegt 
a ganz außerhalb des Kreises, so kann man 
Fig. 100. <ieii Pol auf folgende Weise konstruieren 

(Fig. 100): Aus dem Kreismittelpunkt 
fällt man das Lot OB auf a, dann schneidet die Polare b von B 
das Lot in dem gesuchten Punkt A. Die Figur liefert zugleich 
eine Konstruktion für die Polare a eines Punktes A, der inner- 
halb des Kreises liea^t. 



Pol und Polare. Das Dualitätsprinzip 



97 




Fig. 101. 



111. Wenn ein Punkt P eine Linie a durchläuft, so dreht 
sich seine Polare j) um einen festen Punkt Ä, den Pol von a (108). 
Wir wollen nun beweisen, daß die von P 
beschriebene PunJctreihe projektiv zu dem von 
p beschriebenen StraMenbüschel ist. 

Ist a ein Durchmesser des Kreises und 
wird dieser von p im Punkte P^ getroffen, 
so sind P und P^ beständig harmonisch ver- 
bunden mit den Endpunkten des Durch- 
messers, sie beschreiben also projektive 
Punktreihen (102). Folglichist dieReihe(P) 
projektiv zu dem Büschel (j)). Ist a kein 
Durchmesser (Fig. 10 1), so beschreiben OP 
und j) kongruente Strahlenbüschel, da ent- 
sprechende Strahlen aufeinander senkrecht 
sind. Der Satz ist also vollständig bewiesen. 

Gleichzeitig sehen wir, daß P und sein konjugierter Punkt Pj 
auf der Linie a (von der man indessen voraussetzen muß, daß sie 
keine Tangente des Kreises ist) projektive Punktreihen durch- 
laufen, und da jedes Paar entsprechender Punkte in diesen Reihen 
vertauscht werden kann, müssen sie eine Involution bilden. Mithin: 

Die konjugierten Punktepaare auf einer geraden Linie a, die 
den Kreis nicht beriiJirf, bilden eine Involution. 

Wenn a den Kreis schneidet, so sind die Schnittpunkte die 
Doppelpunkte der Involution. Wemi a den Kreis nicht schneidet, 
hat die Involution keine Doppelpunkte. Das Zentrum der Invo- 
lution ist in allen Fällen der Fußpunkt des Lotes, das man aus 
dem Kreismittelpunkt auf a fällt. 

112. Zwei gerade Linien in der Ebene des Kreises heißen 
konjugiert, wenn jede von ihnen durch den Pol der anderen geht. 
In der Figur 101 sind ÄP und AP^ konjugierte Linien. Man 
erkennt, daß die konjugierten StraMenpaare., die durch einen ge- 
gebenen Punkt A (der nicht auf dem Kreise liegt) hindurchgehen^ 
einen involutorischen Büschel bilden, da dieser durch Projektion 
einer involutorischen Punktreihe entsteht. Lassen sich von A 
Tangenten an den Kreis legen, so bilden diese die Doppelstrahlen 
der Involution. Fällt A in den Kreismittelpunkt, so werden die 
konjugierten Strahlen zu konjugierten Durchmessern, und die In- 
volution geht in eine orthogonale über. 

113. Aus den angeführten Sätzen über Pole und Polare geht 
hervor, daß man mit Hilfe eines bestimmten Kreises eine solche 
Verknüpfung zwischen den Punkten und geraden Linien der Ebene 

Timerding, Handbuch II 7 



98 



Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 



herstellen kann, daß 1. jedem Punkte A (als Pol) eine bestimmte 
Linie a fals Polare) entspricht und umgekehrt, und 2. den Punkten 
einer geraden Linie die geraden Linien durch einen bestimmten 
Punkt entsprechen. Ferner werden projektiven Punktreihen immer 
projektive Strahlenbüschel entsprechen, und einer involutorischen 
Reihe auf einer geraden Linie wird ein involutorischer Strahlen- 
büschel zugeordnet sein. 

Man kann hierauf ein wichtiges geometrisches Prinzip be- 
gründen, das Dualitätsprinsip, nach welchem aus einem geo- 
metrischen Satz ein neuer (der dual entsprechende) abgeleitet 
werden kann, indem man in dem ersten Satz „Punkt" mit „Linie", 
„Verbindungslinie zweier Punkte" mit „Schnittpunkt zweier Linien", 
„Punkt auf einer Linie" mit „Linie durch einen Punkt" vertauscht. 
Die Sätze vom vollständigen Vierseit und vom vollständigen 
Viereck bilden ein Beispiel für zwei dual entsprechende Sätze, 
ebenso die beiden Sätze über Perspektive Dreiecke. 

Das Dualitätsprinzip kann unmittelbar nur auf solche Sätze 
angewendet werden, die sogenannte projektive Eigenschaften aus- 
drücken, d. h. solche Eigenschaften, die bei einer Zentralprojektion 
erhalten bleiben; aber in manchen Fällen gelingt es doch, Sätze, 
die nicht von der soeben angegebenen Art zu sein scheinen, durch 
Umschreibung auf eine solche besondere Form zu bringen, daß 
das Prinzip Anwendung finden kann. 

Da die Punkte des Kreises die Pole der in ihnen berührenden 
Tangenten sind, kann man durch das Dualitätsprinzip aus einigen 
bekannten Sätzen über 
die Punkte eines Krei- 
ses neue Sätze über 
die Tangenten ableiten. 
So entspricht dem Satz : 
„Die Strahlen aus zwei 
festen Punkten eines 
Kreises nach einem be- 
weglichen Punkt dieses 
Kreises beschreiben 
projektive Strahlen- 
büschel" der reziproke 
Satz: „EinebewegKche 
Tangente schneidet zwei feste Tangenten in projektivenPunktreihen". 
114. Der dual entsprechende Satz zu dem Pascalschen Satz 
ist der BriancJtonsche Satz: 

Die Verbindangslinien gegenüberliegender Eclcen eines helie- 





Fig. 103. 



Hilfskonstruktionen 



99 



ligen einem Kreis wnscJiriehenen Sechsecks gelten durch denselben 
PunM. 

Beiveis. In der Figur 102 sind die Ecken des Sechsecks mit 
den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 bezeichnet. Ihre Polaren I, 11, 
III, IV, V und VI sind die Seiten eines einbeschriebenen Sechsecks, 
^ also liegen die Schnittpunkte von 

I und IV, n und V, III und VI 
auf einer geraden Linie. Aber die 




6 

Fig. 105. 

Polare dieser Schnittpunkte sind die Linien 1 4, 2 5 und 3 6, die 
also durch denselben Punkt gehen müssen. 

Von Interesse sind auch die besonderen Fälle, avo zwei auf- 
einanderfolgende Seiten zusammenfallen; die Ecke, in der sie „sich 
schneiden", ist dann ihr gemeinsamer Berührungspunkt mit dem 
Kreise (vgl. Fig. 103 — 105). 



Hilfskonstruktionen. 

115. Bei der praktischen Ausführung von Konstruktionen 
stößt man oft auf die Schwierigkeit, daß ein Punkt, der bei der 
Konstruktion benutzt werden soll, unerreichbar wird, indem er 
als Schnittpunkt zweier Linien 
bestimmt wird, die sich inner- 
halb der Grenzen des Zeichen- 
papieres nicht schneiden. Wir 
geben hier nur zwei Beispiele 
für die Methoden, die dazu 
dienen, diese Schwierigkeit zu 
überwinden (vgl. 36j. 

1. J5e«\sj>ie?.- Zwei Linien 
m und w, von Avelchen die 
letzte den Kreis Tc in iV berührt, 
schneiden einander in einem rig. loc. 




100 Fünftes Kapitel. Elemente der projektiven Geometrie 



unzugänglichen Punkte S. Von .S' soll eine neue Tangente an den 
Kreis gezogen werden. (Fig. 106.) 

Der Durchmesser ON schneidet m in Ä; der Durchmesser 
OB sei senkrecht auf ni. Eine Linie durch iS' parallel zu AB 
schneidet dann den Kreis in dem Berührungspunkt ]S\ der ge- 
suchten Tangente; OS ist näm- 
lich senkrecht a.ui AB, also auch 
auf KN^. 

2. Bei sp iel: An einen Kreis 
sollen die Tangenten aus dem 
unzugänglichen Schnittpunkt S 
zweier gegebenen Linien m und 
w gelegt werden. (Fig. 107.) 

Man bestimme den Pol N 
der Linie n bezüglich des Kreises. 
Die Polare s von *S' muß dann 
durch iVhindurchgehen und senk- 
recht zu dem durch S hindurch- 
gehenden Durchmesser sein. Man konstituiert sie also ähnlich wie 
NN^ in dem vorhergehenden Beispiel, s schneidet dann den Kreis 
in den Berührungspunkten A und B der gesuchten Tangenten. 




Fig. 107. 



Vgl. F. Zühlke, Konstruktionen in begrenzter Ebene (Mathem. 
Bibl. Bd. XI). Leipzig 191.S. Hier findet man auch die weitere Lite- 
ratur angegeben. 



Sechstes Kapitel. 

Kegelschnitte. 

Einleitende Sätze. 

116. Jede Schnittkurve eines Rötationskegels mit einer 
eigentlichen Ebene, die nicht durch die Spitze des Kegels geht, 
heißt ein KegelscJmitt. 

Das Wort Schnittkurve bezeichnet hier die Gesamtheit aller 
Punkte (auch der unendlich fernen Punkte), welche der Kegel mit 
der Ebene gemein hat. Da der Kegel den Inbegriff aller Punkte 
bedeutet, die auf den Seitenlinien (die unendlich fernen Punkte 
einbegriffen) liegen, kann jeder Punkt auf dem Kegelschnitt l)e- 
stimmt werden als Schnittpunkt der Ebene mit einer Seitenlinie 
des Kegels. Der Punkt ist unendlich fern, wenn die Ebene der 
Seitenlinie parallel ist; die Schnittkurve hat also höchstens zwei 
unendlich ferne Punkte, kann aber auch nur einen einzigen oder 
keinen unendlich fernen Punkt enthalten. Um diese verschiedenen 
Fälle bequem darstellen zu können, benutzen wir die durch die 
Kegelachse (a) senkrecht zur Schnittebene (Z) gelegte Ebene TT 
als Zeichenebene. In dieser Ebene zeichnen wir die Achse a, die 
beiden Seitenlinien e und e^ des Kegels, und die Spur s der 
Ebene T. (Fig. 108 — 110). Der ganze Kegel wird nun senkrecht 
auf die Zeichenebene innerhalb der beiden Winkel projiziert, die 
von e und e^ begrenzt werden und die Achse a enthalten. Sowohl 
der Kegel wie auch die Schnittebene wird von der Zeichenebene 
symmetrisch geteilt, und die Gerade s wird somit eine Symmetrie- 
achse der Schnittkurve. 

117. Wir betrachten nun nacheinander die drei in den Fi- 
guren dargestellten Fälle: 

Erster Fall: s schneidet e und c^ in zwei Punkten Ä und A^, 
welche demselben Kegelmantel angehören (Fig. 108). Die Schnitt- 
kurve hat keinen unendlich fernen Punkt, weil es keine Seiten- 
linie gibt, deren Projektion zu s parallel ist. Wir zeichnen nun 



102 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



zwei Kreise, welche e, e^ und s berühren und deren Mittelpunkte 
auf a liegen, und wählen für die Berührungspunkte die in der 

Figur angegebenen Bezeichnungen 
PQ, PiQi, FF^. Man sieht dann 

ganz wie früher bei der Untersuchung 
des Zylinderschnittes (22), daß die 
von FQ durch Drehung um a be- 
schriebene Kegelzone der Ort aller 
Punkte ist, für welche die Längen 
der Tangenten an die von den bei- 
den Kreisen beschriebenen Kugeln 
die konstante Summe PQ haben. Die 
gesuchte Schnittkurve ist nun ganz 
in dieser Zone enthalten und wird 
somit nach 22 eine Ellipse mit den 
Brennpunkten F, F^ und der großen 
Achse AA j . Die ganze Kurve wird 
senki'echt auf die Ebene TT in die 
Strecke AA^ pi'ojiziert. 

Ein beliebiger Punkt S der El- 
lipse werde nun in S' projiziert und 
falle, um a in die Zeichenebene um- 
geklappt, nach Sj^ (S'S^ _L a). Die 
wahren Längen seiner Brennstrahlen 
sind dann P^Sj^=SF^ und Si{\ = SF. 
Die geraden Linien l und l^, welche sich in die Schnittpunkte 
l' und li von s mit den Geraden QQ^ und PP^ projizieren, sind 
in der Ellipsenebene enthalten und werden als Leitlinien der Ellipse 
bezeichnet. 

Es wird nun 




Fig. 108. 



also 



SF=SiQi, Sl = S'l\ 

SF_^S,Q,^A,Q, 
Sl S'l' A/ ' 



d. h. das Verhältnis der Abstände des bdiehigen Punktes S der 
Ellipse von dem BrennpunJcte F und von der Leitlinie l ist konstant. 
Indem wir das konstante Verhältnis mit e bezeichnen, haben 
wir: 

_ A^F _AF _ A^F—AF 
^ ~ AJ ~Al~ AJ - AV ' 



Einleitende Sätze 



103 



wobei die Strecken numerisch gerechnet sind, also 

ÄÄ, • 

Die Zahl e, die immer < 1, wird als die Exzentrizität der 
Ellipse bezeichnet. 

Es ist klar, daß auch die Abstände SF^ und S\ das kon- 
stante Verhältnis e haben. 

Zireitcr Fall: s schneidet e und gj in zwei Punkten A und Ä^, 
welche -verschiedenen Kegelmänteln angehören (Fig. 109). Die 
Schnittkurve enthält jetzt zwei 
unendlich ferne Punkte, indem 
der Kegel zwei Seitenlinien ent- 
hält, deren gemeinsame Projek- 
tion zu s parallel ist. 

Die Kurve wird eine Hy- 
pcrhel genannt; sie projiziert 
sieh in die beiden Halbstrahlen , 
die durch Verlängerung der 
Strecke AA^ entstehen, und be- 
steht daher aus zwei Asten, die 
beide sich ins unendlich Ferne 
erstrecken. 

Bewegt sich ein Punkt S 
stetig auf der Hyperbel derart, 
daß sein Abstand OS vom Kegel- 
scheitel und also auch sein Ab- 
stand von irgendeinem anderen 
fest gewählten Punkt li ins Un- 
endliche wächst, dann wird die 
Richtung OS und somit auch 
die Richtung i?iS' sich einer Grenz- 
lage nähern, welche einen unendlich fernen Punkt der Hyperbel 
darstellen muß. 

Um die eigentlichen Punkte der Kurve zu untersuchen, 
stellen wir ganz ähnliche Überlegungen an wie im vorigen Falle: 
Wir zeichnen die beiden Kreise, die e, e^ und s berühren und ihre 
Mittelpunkte auf a haben. Die vier Halbstrahlen, die durch Ver- 
längerung der Strecken PQ und P^Q^ entstehen, werden von den 
Punkten erfüllt, deren Tangentialentfernungen von den beiden 
Kreisen die konstante Differenz PQ haben. Die von den genannten 
Halbstrahlen durch Drehung um a beschriebenen Teile der Ketfel- 




Fig. 109. 



104 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



fläche werden also alle Punkte im Raum enthalten, deren Tan- 
gentialentfernungen von den beiden von den Kreisen beschriebenen 
Kugeln dieselbe konstante Differenz haben. Die gesuchte Kurve 
wird daher, was ihre eigentlichen Punkte anbetrifft, der Ort aller 
Punkte ihrer Ebene, deren Abstände von den festen Punkten FF-y 
die konstante Differenz PQ = AA^ haben. F und F^ heißen die 
BrennpunMe der Hyperbel, A und A^ ihre Scheitel; die Symmetrie- 
achse AAy heißt ihre Hauptachse (bisweilen wird auch die Länge 
AAy Hauptachse genannt). Die Mittelsenkrechte von FF^ (und 
AA-y) ist auch eine Symmetrieachse der Kurve und wird die 
Nebenachse genannt. 

Die Leitlinien l und l^ werden ganz wie bei der Ellipse be- 
stimmt und die entsprechende Eigenschaft aufgestellt und bewiesen. 

FF, 

Die Exzentrizität -— wird hier > 1, 

Es ist leicht zu zeigen, daß in einer gegebenen Ebene eine 

Hyperbel dadurch bestimmt 
werden kann, daß zwei beliebig 
gewählte (verschiedene) Punkte 
jF, F-y ihre Brennpunkte sein 
sollen, während die Hauptachse 
AA-^^ eine beliebig vorgeschrie- 
bene Länge (< FF.^) hat. 

Dritter Fall: s schneidet e 
in dem Punkte A und ist zu 
e^ parallel (Fig. 110). Die 
Kurve hat einen und nur einen 
unendlich fernen Punkt, der 
in der gemeinsamen Richtung 
von s und e^ liegt. Die ganze 
Kurve projiziert sich in einen 
Halbstrahl von s und wird eine 
Parabel genannt. 
Um ihre eigentlichen Punkte zu untersuchen, zeichnen wir 
den die Gei*aden e, e^, s berührenden Ea-eis, dessen Mittelpunkt 
auf a liegt. Die Berührungspunkte seien P, P^ und F. Durch 
Drehung um a beschreibt der Kreis eine Kugel, welche den Kegel 
in einem Kreis mit dem Durchmesser PP^ berührt. Diese Kugel 
berührt die Schnittebene im Punkte F. Wir betrachten nun die 
Gerade i, deren Projektion auf die Zeichenebene nach dem Schnitt- 
punkt t von s mit PP.^^ fällt. Diese Gerade liegt in der Schnitt- 
ebene und ist senkrecht zu s. Wird nun S durch Drehung um a 




Fig. 110. 



Einleitende Sätze 105 

in die Lage S^ auf q herumgedreht (S'S^ J_ a), so werden die Tan- 
gentialentfernungen der beiden Punkte S und S\ von der Kugel 
gleich groß und es wird SF = S^P^; es ist aber S^P^ ^ S'l' 
= Sl, also wird SF = Sl, d. h. ein heliebü/er PunJct der Schnitt- 
htrie ist von F und l gleich iveit entfernt. Umgekehrt muß jeder 
Punkt der Schnittebene, welcher gleich weit von F und l entfernt 
ist, auch zur Schnittkurve gehören. 

F wird der JBrennjmnJct der Parabel genannt, l ihre Leitlinie., 
s ihre Achse und Ä ihr Scheitel. 

Es ist sehr einfach zu zeigen, daß eine Parabel dadurch be- 
stimmt werden kann, daß ein beliebig gewählter Punkt F ihr 
Brennpunkt, und eine beliebig angenommene Gerade /, die nicht 
durch F geht, ihre Leitlinie sein soll. 

118. Tangente an einen Kegelschnitt heißt eine gerade Linie, 
die in der Ebene des Kegelschnittes liegt und nur einen Punkt P 
(den BerührungsjmnJcf) mit dem Kegelschnitt gemein hat. Die 
Tangente muß also in der Tangentialebene des Kegels längs der 
Seitenlinie, die durch den betrachteten Punkt P der Kurve geht, 
liegen: sie ist somit die Grenzlage einer geraden Linie, welche P 
mit einem anderen gegen P konvergiei'enden Kurvenpunkt ver- 
bindet. Ist der Berührungspunkt unendlich fern, so heißt die Tan- 
gente eine Asymptote. Die H?/pcrheI hat also stvei Asymptoten; in 
diesen wird die Schniitebene von den Tangentialehenen des Kegels 
längs den zivei Seitenlinien, die zur Schnittehene parallel sind, ge- 
troffen. Jede der Asymptoten ist also Grenzlage einer Tangente, 
deren Berührungspunkt sich ins Unendliche entfernt. Da die 
Parabel nur einen unendlich fernen Punkt besitzt, hat sie auch 
nur eine Asymptote, aber diese ist unendlich fern, da die Tan- 
gentialebene längs der Seitenlinie ßj (s. Fig. 110), die der Schnitt- 
ebene parallel ist, diese in einer unendlich fernen Linie schneidet. 
Die Parabel berührt also die unendlich ferne Linie ihrer Ebene, 
und der Berührungspunkt wird 

durch die Pichtung der Symme- '\^ k 

trieachse s dargestellt. \ 

119. Wenn man für einen 
beliebigen Punkt S einer Ellipse 
(Fig. 11 1) den einen Brennstrahl 
F^S um ein Stück 6' /f gleich dem 
anderen Brennstrahl SF über S ,^-'' 

hinaus verlängert, so erhält man -^ 

die Strecke F^K., deren Länge ^ 

gleich der großen Achse ist. Fig. m. 




i^\ ; _.,-'F 



106 Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 

Zeichnet man also den Kreis Z; mit dem Mittelpunkt F^ , dessen Radius 
gleich der großen Achse ist, so kann man die Ellipse dadurch charak- 
terisieren, daß ihre Punkte alle gleich weit von _F und Z; abstehen. 
Wir nennen Ä; den zu ¥ gehörenden Leitkreis. F liegt innerhalb l:. 
Auf dieselbe Weise kann man bei der Hyperbel zu dem einen 
Brennpunkt F einen Leiflreis Je um F^ beschreiben (Fig. 112), 

dessen Radi US der Haupt- 
achse der Hyperbel 
gleich ist. Die Hyper- 
bel wird dann, was ihre 
l// I eigentlichen Punkte an- 

betrifft, der Ort aller 
Punkte der Ebene, die 
.. . ., ,^ von F und Ic gleich weit 

■^\ "j'-~:::,^_ abstehen^). Fliegt jetzt 

außerhalb };. 

Wählt man einen 
/ ,,-'•'' Punkt K auf dem Kreise 

t\ "• ,'>-'' k, so findet man den ent- 

-"~~. _--'P^ ° "■ sprechenden Punkt <S' der 

Hyperbel, indem man die 
Gerade F-^^K mit der Mittelsenkrechten t zu KF zum Schnitt bringt. 
Nähert sich K einem der Berührungspunkte TJ und V der beiden 
von F aus au den Kreis k gelegten Tangenten, so rückt S in 
unendliche Entfernung, und die Richtungen F^U und i^j F be- 
stimmen somit nach 117 die beiden unendlich fernen Punkte der 
Hyperbel. 

Endlich wird man auch die Parabel in ähnlicher Weise er- 
zeugen können, indem der Leitkreis unendlich groß und mit der 
Leitlinie der Parabel zusammenfallend ansfenommen wird. 

120. Die gewonnenen Resultate sind sehr wichtig, wenn wir 
die SclinittpunMe eines Kegelschnittes mit einer beliebigen gezeichnet 
vorliegenden Kurve bestimmen sollen. Man zeichnet dann den Leit- 
ki-eis Ä;, und durch Probieren mit dem Stechzirkel bestimmt man 
leicht die Punkte auf der gezeichneten Kurve, welche gleich weit 
von F und k abstehen. 

121. Die Tangente im Punkte -S' läßt sich auch leicht ge- 
winnen mit Hilfe der eben besprochenen Tatsachen. Es gilt näm- 
lich in allen Fällen der Satz: Die Tangente t eines eigentlichen 



1) Als Abstand eines Punktes von einem Kreise wird hier entweder 
der größte oder der kleinste Abstand von einem Kreispunkte bezeichnet. 



Einleitende Sätze 107 

PimJdes S halbiert den WmJceJ sivischen den 'beiden gleich großen 
Abständen des Berührnngspunldes S von dem BrennpunJct F und 
dem Leitkreis Je. 

Um dies zu zeigen, braucht man nur zu bemerken, daß kein 
anderer eigentlicher Punkt P als S auf der genannten Halbierungs- 
linie dem Kegelschnitt angehören kann (s.Fig. 111). Es wird näm- 
lich FK = PI\ und PK kann nicht dem Abstände des Punktes P 
von dem Kreise gleich sein. Daß ferner die Halbierungslinie t keinen 
unendlich fernen Punkt mit der Kurve gemein hat, folgt für die 
Parabel einfach dai-aus, daß sie zur Achse der Parabel niemals 
parallel ist, und für die Hyperliel aus der oben angeführten Kon- 
struktion der unendlich fernen Punkte der Hyperbel (119). Hier- 
durch ist der Satz vollständig bewiesen. 

Wenn für die Hyperbel ein Punkt S in unendliche Entfernung 
rückt (s. Fig. 112), so nähert sich die Tangente t in S der ent- 
sprechenden Asymptote (118)- Die beiden Asymptoten sind also 
die Mittelsenki-echten der Strecken F U und F V. Sie gehen so- 
mit durch den Mittelpunkt von jFjPj , d. h. durch das Zentrum der 
Hyperbel. 

122. Aus der angegebenen Tangentenkonstruktion schließt 
man nun weiter: 

Die GcgenpunMe K des BrennpunJctes F in bczug auf die 
verschiedenen 'Tangenten des Kegelschnittes liegen immer auf dem 
Leitkreis k. 

Und: Die Projektionen von F auf die Tangenten des Kegel- 
schnittes fallen auf den Kreis über der großen Achse (der Haupt- 
achse) als Durchmesser. 

Für die Parabel lautet jedoch der letzte Satz: 

Die Projektionen von i^ auf die Tangenten der Parabel erfüllen 
eine zur Leitlinie k parallele Gerade, 
die gleich weit von J^und k entfernt 
ist. Diese Gerade wird leicht als K' 
Scheiteltangente d. Parabel erkannt. 

123. Für die Ellipse und Hy- 
perbel läuft die in 121 genannte 
Tangentenbestimmung darauf hin- 
aus, daß die Tangente den äußeren 
bzw. inneren Winkel der Brenn- 
strahlen halbiert. Für die Parabel 
sei nur noch bemerkt, daß man, 
wenn der Brennpunkt F und die 





/t 






---|:; 






F 


A^ 


A- 


Fig. 113. 





108 Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 

Leitlinie Tc gegeben sind (Fig. 113), den beliebigen Punkt -S der 
Parabel mit der zugehörigen Tangente t konstruieren kann, wenn 
man K beliebig auf Je annimmt, die Mittelsenkrechte t von FK 
konstruiert und den Schnittpunkt S von t mit dem auf k in K 
errichteten Lot bestimmt. 

Die Normale in S ist zu FK parallel und schneidet die Achse 
der Parabel in einem Punkte N derart, daß SN # KF wird. Die 
Projektion von SN auf die Achse wird Suhnormale genannt. Diese 
Subnorraale ist also gleich dem Abstand der Leitlinie von dem 
Brennpunkt. 

Dieser Abstand wird als der Parameter der Parabel bezeichnet. 

Allgemeine Eigenschaften der Kegelsclinitte. 

124:. Jeder Kegelschnitt Icann durch ZeniralprojeMion aus 
einem Kreis erzeugt werden. 

Ein ebener Schnitt eines Rotationskegels ist nämlich die 
Zentralprojektion jedes Kreises auf dem Kegel für die Spitze des 
Kegels als Projektionszentrum. Ein Punkt des Kreises samt der 
zugehörigen Tangente wird in einen Punkt des Kegelschnittes 
samt der zugehörigen Tangente projiziert. Eine gerade Linie, die 
den Kreis in zwei Punkten schneidet, wird in eine gerade Linie 
projiziert, die den Kegelschnitt in zwei Punkten schneidet. Ein 
Punkt innerhalb (außerhalb) des Kegelschnittes ist ein solcher, 
der bei der Projektion aus einem Punkt innerhalb (außerhalb) des 
Kreises entsteht. Von jedem Punkt außerhalb des Kegelschnittes 
können also zwei Tangenten an die Kurve gezogen werden, Avährend 
durch einen Punkt innerhalb des Kegelschnittes keine Tangente geht. 

Manche der in dem fünften Kapitel auseinandergesetzten 
Eigenschaften des Kreises können nun sofort auf einen beliebigen 
Kegelschnitt übertragen werden, indem man diesen als die Zentral- 
projektion eines Kreises betrachtet. Wir nennen zuerst und vor 
allem die Sätze von Pascal und Brianchon. 

125. Pascalscher Satz: Bei einem heliehigen, einem Kegel- 
schnitt einbeschrichenen Sechsech liegen die Schnittpunlde gegenüber- 
liegender Seiten auf einer geraden Linie (Pascalschen Geraden). 

Der Satz gilt auch für solche Sechsecke, bei denen zwei auf- 
einanderfolgende Ecken in einem Punkt zusammenfallen, indem 
dann die Tangente in diesem Punkt als eine Seite des Sechsecks 
betrachtet wird. Dieses kann in demselben Sechseck bis zu drei- 
mal eintreten. Der Beweis für den Satz folgt sofort aus dem be- 
reits bewiesenen analogen Satz für den Kreis (96), indem mau 



Allgemeine Eigenschaften der Kegelschnitte 



109 




Fig. lli. 



den Kegelschnitt durch Zentralprojektion 
aus dem Kreis hervorgehen läßt. 

126. Amvendungen des Pascal- 
schen Satzes: 

1. Kennt man fünf Punkte A, B, C, 
D, E eines Kegelschnittes, so Timm man den 
unbekannten ScJmittpunJit F des Kegel- 
schnittes mit einer willMrlich gegebenen 
Linie 1 durch A finden (Fig. 114). 

Man benützt 1 als Seite in einem ein- 
beschriebenen Sechseck, dessen Ecken A^ 
J?, C, D, E und F sind. Man kennt die 
fünf Seiten 1, 2, 3, 4 und 5 und soll die 
Seite 6 finden. Dies geschieht, indem man 
die Schnittpunkte (l, 4) und (2, 5) durch 
die Linie p verbindet und durch deren Schnittpunkt mit 3 die Ge- 
rade nach E zieht. Dies ist die Seite 6, und 6 und 1 schneiden 
sich in dem gesuchten Punkt F. 
Läßt man 1 sich um A drehen, 
so durchläuft i^ den Kegelschnitt. 

Ein Kegelschnitt ist also 
vollständig bestimmt durch fünf 
Punkte oder durch vier Punkte 
und die Tangente in einem oder 
durch drei Punkte und die Tan- 
genten in zweien von ihnen. Der 
letzte Fall ist in Fig. 115 be- 
handelt, wo A^ B und C die drei 

gegebenen Punkte sind. Die gegebenen Tangenten in A und B 
sind mit 5 und 2 bezeichnet. Durch B ist eine Linie 1 gezogen, 
deren zweiter Schnittpunkt D mit 
dem Kegelschnitt bestimmt wird, 
indem man den Schnittpunkt M-^^ 
von 1 und A C (d. h. 4) mit dem 
Schnittpunkt von 2 und 5 durch 
die Linie p verbindet und aus A 
die Linie 6 nach dem Schnitt- 
punkt J/von jo und BC (d. h. 3) 
zieht; 6 und 1 schneiden sich dann 
in dem gesuchten Punkt D. 

2. Von einem Kegelschnitt 
kennt man fünf Punkte A,B, C,D 




-£■-.--' 




-.5 



B 



Fig. Ili5. 



110 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



und E. Die Tangente in Ä m finden (Fig, 116). Das einbe- 
schriebene Sechseck ÄÄBCDE habe die Seiten 1, 2, 3, 4, 5 
und 6, von denen 1 die unbekannte Tangente ist. Die Pascalsche 
Linie p^ die (3, 6) und (2, o) verbindet, schneidet 4 in einem 
Punkt, dessen Verbindungslinie mit Ä die gesuchte Tangente liefert. 

127. Brianchonscher Satz: Bei einem helie'bigen^ einem Ke- 
gelschnitt timscJiriehenen Sechseck gehen die Verhindiingslinien gegen- 
üherl legender Ecken durch denselben Punld (Brianchonschen Punld). 

Der Satz gilt auch, wenn die aufeinanderfolgenden Seiten in 
eine Linie zusammenfallen, indem man den Berührungspunkt dieser 
Linie als eine Ecke des Sechsecks ansieht. Der Satz wird genau 
ebenso wie der Pascalsche Satz bewiesen. 

128. Amvendungen des Brianchonschen Satzes: 

1. Man kennt fünf Tangenten a, h, c, d und e eines Kegel- 
schnittes. Durch einen gegebenen Punkt 1 auf a soll die zweite 

Tangente f gelegt iverden (Fig. 117). 
Die sechs Tangenten werden als die 
Seiten eines umschriebenen Sechseckes 
angesehen, von welchem man fünf 
Ecken 1 , 2 , 3 , 4 und 5 kennt und 
weiß, daß die Ecke 6 auf e liegen muß. 
Die Linien 1 4 und 2 5 schneiden ein- 
ander in dem Brianchonschen Punkt. 
Die Verbindungslinie von diesem und 
3 trifft c in 6. 1 6 ist dann die ge- 
suchte Tangente. 
Aus der Konstruktion geht hervor, daß ein Kegelschnitt voll- 
ständig bestimmt ist durch fünf seiner Tangenten oder auch durch 
vier Tangenten und den Berührungspunkt einer von diesen oder 
durch drei Tangenten und die Berührungspunkte zweier von ihnen. 

2. Man kennt fünf Tangenten a, &, c, 
d und e eines Kegelschnittes. Den Berüh- 
rungspunkt von a zu finden (Fig. 118). 
a wird als zwei zusammenfallende Seiten in 
einem umschriebenen Sechseck angesehen, 
dessen übrige Seiten b, c, d und e sind. Der 
unbekannte Berührungspunkt 1 wird dann 
eine Ecke des Sechseckes. Die übrigen Ecken 
seien der Reihe nach 2, 3, 4, 5 und 6. Man 
verbindet dann 4 mit dem Schnittpunkt von 
2 5 und 3 6 , diese Linie schneidet den ge- 
suchten Punkt 1 aus. 






Allgemeine Eigenschaften der Kegelschnitte 111 

129. Satz vom umschriebenen Viereck: In einem belie- 
higen, einem Kegelschnitt umschriebenen VierecJ: gehen die Diagonalen 
und die Verbindungslinien der Berüh- 
rungsjjunJde gegenüberliegender Seiten 
durch denselben PunJd (Fig. 119). 

Denn in dem Sechseck 12 3 4 5 6, 
das durch das Viereck zusammen mit 
den Bei-ührungspunkten zweier gegen- 6^ 
überliegender Seiten gebildet wird, 
schneiden sich die Linien 1 4, 2 5 und 
3 6 in einem Punkt, und durch diesen 
Punkt muß aus dem gleichen Grunde 
auch die Verbindungslinie der Berührungspunkte der beiden andei'en 
einander gegenüberliegenden Seiten hindurchgehen. Kennt man also 
drei Tangenten o, b und c mit den Beruh- i 

ruhgspunkten Ä, B und C, so kann man a,,--'^'x| 

eine beliebige neue Tangente d und ^ ^---^^V'''^^ ' 

ihren Berührungspunkt D finden (Fig. f^ \ 

120j, indem man einen Punkt auf ; '■■•-..■; ,.-•''' 

ÄC annimmt, ihn mit dem Schnitt- j ~ ,-^/^-T ' 

punkt P von a und b und mit dem / ..•■' " .. 

Schnittpunkt Q von b und c verbindet. / .•• -. 

Die Schnittpunkte P^ und Qy^ dieser q'^ -; ^ 

Verbindungslinien mit c und a liefern ^. ,\„ 

° Flg. 120. 

durch ihre Verbindungslinie eine neue 

Tangente des Kegelschnittes, deren Berührungspunkt auf der Ge- 
raden BO liegt. 

130. Da zwei harmonische Punktepaare bei der Zentral- 
projektion wieder zwei harmonische Punktepaare liefern, so können 
die Hauptsätze über Pol und Polare für den Kreis sofort auf einen 
beliebigen Kegelschnitt übertragen werden. 

1. Zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene des Kegel- 
schnittes (aber nicht auf dem Kegelschnitt selbstj gehört eine be- 
stimmte Polare, deren Punkte Pj zu P bezüglich der Schnittpunkte 
des Kegelschnittes mit einer geraden Linie durch P harmonisch 
sind. Betrachtet man zugleich jede Tangente als die Polare ihres 
Berührungspunktes, so bekommt jeder Punkt in der Ebene des 
Kegelschnittes eine bestimmte Polare, ebenso wie auch jede gerade 
Linie in der Ebene einen bestimmten Pol besitzt. 

Wenn ein Punkt auf der Polare eines anderen Punktes liegt, 
so liegt dieser andere Punkt auch auf der Polare des ersten Punktes. 
Die beiden Punkte heißen dann konjugiert. Zwei gerade Linien 



112 Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 

heißen honjugiert, wenn die eine durch den Pol der anderen geht. 
— Wenn ein Punkt eine gerade Punktreihe durchläuft, so be- 
schreibt seine Polare einen Strahlenbüschel, der zu der Punktreihe 
projektiv ist. 

Ist der Kegelschnitt eine Ellipse oder Hyperbel, so wird der 
Pol der unendlich fernen Linie ein eigentlicher Punkt, der Mitiel- 
punkt des Kegelschnittes. Die Polare eines unendlich fernen Punktes, 
der nicht auf dem Kegelschnitt liegt, wird ein Durchmesser, d. h. 
eine Linie, welche die Mittelpunkte aller in der Richtung nach 
dem Punkte hin gezogenen Sehnen enthält. Alle Durchmesser 
gehen durch den Mittelpunkt. Die Polare eines unendlich fernen 
Punktes auf dem Kegelschnitt wird eine Asymptote. 

Ist der Kegelschnitt eine Parabel, so wird die unendlich ferne 
Linie eine Tangente von ihm. Ihr Pol fällt dann in den unendlich 
fernen Punkt der Parabel. Die Polare für jeden anderen unendlich 
fernen Punkt wird ein Durchmesser. Alle Durchmesser sind parallel 
und laufen nach dem unendlich fernen Punkt der Parabel hin. Der 
Durchmesser, der die Polare des unendlich fernen Punktes in der 
Richtung senkrecht zu den Durchmessern ist, ist die Achse der 
Parabel. 

2. Die früher gefundene Konstruktion für die Polare eines 
Punktes bezüglich eines Kreises kann direkt auf einen beliebigen 
Kegelschnitt übertragen werden. In einem beliebigen, einem' Kegel- 
scfmitt einbescJiriebenen vollständigen Viereck ist also jeder Biagoncd- 
punkt der Pol für die Verbindungslinie der beiden anderen Diagonal- 
ptmkte. Die Diagonalpunkte sind deshalb paarweise konjugiert. 

Aus Fig. 115 können wir durch Betrachtung des voll- 
ständigen Vierecks ABCD folgende Konstruktion für die konju- 
gierten Punkte bezüglich eines Kegelschnittes ableiten: Wenn man 
aus zwei Punkten A und B des Kegelschnittes einen dritten 
Punkt C des Kegelschnittes auf eine Linie p projiziert, die der Ver- 
bindungslinie der Punkte Ä und B konjugiert ist (sie geht nämlich 
durch den Pol von AB), so erhält man ein Paar konjugierter 
Punkte 31, 31^. 

3. Satz über konjugierte Punktcpaare: Die konjugierten 
Punktepaare auf einer geraden Linie, die keine Tangente des Kegel- 
schnittesist, bilden eine Involution. V/enn die Linie den Kegelschnitt 
schneidet, so sind die Schnittpunkte Doppelpunkte der Involution. 
Dieser Satz, der aus dem entsprechenden Satz für den Kreis (l 11) 
sofort abgeleitet werden kann, wird benutzt, um die Schnittpunkte 
einer geraden Linie mit dem Kegelschnitt zu finden, indem man 
auf der Linie die Involution der bezüglich des Kegelschnittes kon- 



Die Ellipse 



113 



jugierten Punkte bestimmt. Hat man zwei Paare konjugierter 
Punkte ÄÄ^ und BB^ gefunden, so können die Doppelpunkte nach 
der früher angegebenen Methode (102) konstruiert werden. 

4. Konjugierte Strahlenpaare, die durch einen nicht auf dem 
Kegelschnitt liegenden Punkt hindurchgehen, bilden einen involu- 
iorischen Strahlenhüschel. Hat der Büschel Doppelstrahlcn, so sind 
diese Tangenten des Kegelschnittes (112). Bei der Ellipse und der 
Hyperbel kann man von konjugierten Strahlen durch den Mittel- 
punkt (konjugierten Durchmessern ) sprechen. Diese bilden sonach 
einen involutorischen Strahlenbüschel. Ist der Kegelschnitt eine 
Hyperbel, so sind die Asymptoten Doppelstrahlen dieses Büschels. 
Jedes Paar konjugierter Durchmesser ist dann mit den Asymp- 
toten hannonisch verbunden. Ist der Kegelschnitt eine Ellipse, 
so finden sich in dem Büschel keine Doppelstrahlen. Ellipse und 
Hyperbel besitzen ein Paar konjugierter Durchmesser, die auf- 
einander senkrecht sind; diese Durchmesser sind die Achsen des 
Kegelschnittes. 



Die Ellipse. 

131. Wir haben früher (21) gezeigt, wie man eine Ellipse 
mit den Halbachsen OA und OB mit Hilfe von zwei Kreisen mit dem 
Mittelpunkt und den Radien 
OA und OB konstruieren 
kann 'Fig. 121). Ein be- 
liebiger Strahl durch 
schneide die beiden Kreise in 
P^ und P,; durch P, zieht 
man die Parallele zu OA 
und durch P^ die Parallele 
zu OB, diese beiden Paralle- 
len schneiden sich in einem 
Punkte P der Ellipse. P und 
P^ sind entsprechende Punkte 
in einer Perspektiven Affini- 
tät mit der Affinitätsachse 
OA, und die Ellipse wird 
durch diese Affinität aus dem 
größten der beiden erwähnten 
Kreise abgeleitet. 

Zwei konjugierte Duröhmesser der Ellipse entsprechen hierbei 
zwei zueinander senkrechten Durchmessern des Kreises. 

Tim er ding, Handbuch II 8 




*. X 



Fig. 121. 



114 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



In der Figur ist OQ^ J_ OP^; OQ und OP sind dann ein Paar 
konjugierter Halbmesser der Ellipse. Dreht man nun die Figur 
OQ2Q1Q nm einen rechten Winkel herum, so daß Q^ nach P^, Q^ 
nach I2 fällt, dann gelangt Q in eine solche Lage i?. daß P^R || OA, 
P^R II OB und OR±OQ wird. Schneidet nun PJB die Achsen 
OA und 0^ der Ellipse in X und Y, so liegt der Mittelpunkt M 
des Eechtecks RP^PP^ in der Mitte zwischen X und 1". Da 
XP=0P2 = 0B, XR = OP^ = OA, finden wir folgende Kon- 
struktion für die Achsen der Ellipse, wenn ein Paar konjugierter 
Halbmesser OQ und OP gegeben ist: OQ dreht man um einen 
rechten Winkel in die Lage OR, auf PR trägt man vom Mittel- 
punkt JI aus JIZ = iJ/r=J/0 ab, dann werden OX und OY 
die Achsenlinien und die Längen der Halbachsen gleich XP und 
XR oder YP. Man beachte, daß die große Achse immer in dem 
spitzen Winkel zwischen den gegebenen Durchmessern liegt. 

132. Wenn eine Strecke XY von konstanter Länge mit ihren 
Endpunkten auf zwei zueinander senkrechten Achsen x und y gleitet, 

so heschreiht ein heliehiger 
Punkt P auf der Linie XY 
eine Ellipse, deren Halbachsen 
die Längen PX und PY 
haben. Die Achsenlinien der 
Ellipse sind x und y. Man 
erkennt dies sofort aus der 
vorigen Figur, wenn man nur 
bedenkt, daß die Strecke XY, 
die ja gleich der Summe der 
Halbachsen ist, eine konstante 
Länge haben muß. ■^) Läßtman 
umgekehrt X, Y und P feste 
Punkte sein, während der 
rechte Winkel xy sich so be- 
wegt, daß seine Schenkel immer durch die Punkte X und Y hin- 
durchgehen, so werden die Punkte der Ebene von xy, die nach- 
einander durch P hindurchgehen, eine Ellipse erfüllen. Dies wird 
in der Praxis beim sogenannten Ovalwerk ^) benutzt, d. h. bei der 
Vorrichtung, die mit Hilfe einer Drehbank einen Körper so zu ge- 

1) Der Fall , wo P auf der Verlängerung von X Y liegt , wird 
berücksichtigt, indem man in der Figur den Punkt P^ in die diametral 
gegenüberliegende Lage überführt. 

2) Vgl. z. B. F. Reuleaux, Lehrbuch der Kinematik, Braun- 
Bchweig 1875, S. 316 und S. 336. 




Fig. 122. 



Die Ellipse 



115 



stalten erlaubt, daß seine Querschnitte Ellipsen werden 'vgl. Fig. 122). 
Der Körper wird an einem Schlitten S befestigt, dessen Synametrie- 
linien x und y gezwungen sind, durch die Punkte X und Y hin- 
durchzugehen. Dies geschieht, indem der Schlitten zwischen zwei 
Kulissen auf einer um X rotierenden Scheibe gleitet, wäkrend 
gleichzeitig zwei Arme, die vom Schlitten ausgehen, um eine Scheibe 
mit dem festen Zentrum Y greifen, so daß die Linien l auf dem 
Schlitten gezwungen werden, den Kreis k beständig zu berühren. 

Hält man nun den Stahl am Punkt P fest, so werden die 
Punkte des Körpex-s, die nacheinander den Stahl passieren, auf 
einer Ellipse liegen. 

133. Zur KonstiTiktion der Punkte und Tangenten einer 
Ellipse, von der ein Paar konjugierter Durchmesser AB und CD 
gegeben ist, benutzt man den Satz 
vom umschriebenen Viereck (129), 
indem man die Tangenten a, b und 
c in ^4, B und C für die drei ersten 
Seiten und eine beliebige neue Tan- 
gente t für die vierte Seite in einem 
umschriebenen Viereck 12 34 wählt 
I Fig. 123). Auf ÄC nimmt man 
einen Punkt J/ an; IJI schneide c 
in 3 und 2J/ schneide a in 4. 
3 4 ist dann die gesuchte Tan- 
gente i. Ihr Berührungspimkt T liegt auf BM. 

Aus dieser Konstruktion folgt, daß eine Ellipse hei einer be- 
liebigen ParallelprojeJction, hei icelcher die Ebene der Ellipse nicht 
von ProjeJäionsstrahlen erfällt uird, in eine neue Ellipse jrfojiziert 
wird. T und t werden nämlich als Punkt und Tangente der Ellipse 
projiziert, für welche die Projektionen von AB und CD ein Paar 
konjugierter Durchmesser sind. 

Auf dieselbe Weise sieht man, daß 
das affin Perspektive Bild einer Ellipse 
wieder eine Ellipse ist. 

134:. Sucht man das affin Perspek- 
tive Bild eines Kreises, indem man für 
die Affinitätsachse einen Kreisdurchmesser 
AB wählt, so kann man folgende Kon- 
struktion anwenden (Fig. 124j. Der zu 
AB senkrechte Kreishalbmesser OD^ gehe 
in OD über, dann lege man an eine beliebige Ordinate 3/(,J/^ des 
Kreises das zu OD^D ähnliche Dreieck M^M-^M an, so werden die 








Dl 










Mh 




--^^ 








/' '; 




D 


"^. 




/ 






7 — 


■ — . 


.x 


/ 


y\ 




/ 




) 



Mn 



Fig. 124. 



116 Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 

Punkte 31 die entstehende Ellipse erfüllen. Von dieser Ellipse sind 
OB und OD zwei konjugierte Halbmesser. 

Auf solche Weise kann man manche Aufgaben über Ellipsen 
in Aufgaben über Kreise verwandeln. So kann man die Schnitt- 
punkte der Ellipse mit einer geraden Linie l bestimmen, indem 
man die Schnittpunkte des entsprechenden Kreises mit der ent- 
sprechenden Linie Z^ sucht. 

135. Eine andere Perspektive Affinität, bei welcher die 
Ellipse einem Kreise entspricht, zeigt Fig. 125. AB und CD 

f 
AT 



A 



sind konjugierte Durchmesser der Ellipse. Der Kreis li^ ist so 
gezeichnet, daß er die Ellipse in A berührt und den Radius 
AOi= OC besitzt. Dieser Kreis entspricht der Ellipse in einer 
Perspektiven Affinität, von welcher die gemeinsame Tangente p 
in Ä die Achse und 0, 0^ zwei homologe Punkte sind, denn in 
dieser Affinität muß die gegebene Ellipse einer anderen Ellipse 
entsprechen, welche die konjugierten Halbmesser O^A (als OA 
entsprechend) und O^C^ (als OC entsprechend), wobei O^C^ :^ OC, 
besitzt, aber diese neue Ellipse fällt mit dem Kreis ä"^ zusammen. 
Diese affine Transformation kann auf dieselbe Weise wie die 
vorige verwendet werden. In der Figur ist z. B. ein Schnittpunkt 
31 der Ellipse mit der Durchmesserlinie DP bestimmt, indem 
durch den Schnittpunkt der entsprechenden Linie O^^P mit k^ die 
Linie 31^31 parallel zu 0^0 gezogen ist. Zugleich ist der zu OJf 
konjugierte Halbmesser ON dadui-ch bestimmt worden, daß der 
entsprechende Radius O-^N^ des Kreises senkrecht zu O^M^ wird. 
136. Wenn eine Ellipse e so parallel projiziert wird, daß 
ihre Ebene von Projektionsstrahlen erfüllt ist, dann wird ihre 
Projektion eine gerade Strecke. Wir wollen zeigen, wie man die 






1 



/ 



Die Parabel 117 

Endpunkte dieser Strecke findet, wenn die Projektionen O'Ä' und 
O'B' von zwei konjugierten Halbmessern der Ellipse gegeben sind 
(Fig. 126). 

Der Kreis // mit dem Mittelpunkt 0' und dem Radius O'B'^ 
werde als Projektion einer Ellipse k angesehen, die den Halbmesser 
OB mit e gemein hat und nicht mit e in einer Ebene 
liegt, k und e sind im Räume die Parallelprojek- ■'" 
tionen voneinander für die Projektionsrichtung^ J.^ , ,» 
wobei A^ dadui-ch bestimmt ist, daß OA^ und OB 
konjugierte Halbmesser von k sind. Da so O'A^' 
und OB' konjugierte Durchmesser von k' werden, 
muß 0'A\ senkrecht auf OB' sein. Ziehen wir 
also gerade Linien von allen Punkten auf k' par- q 
allel zu A^'A'^ so schneiden diese Linien A'B' in 
den Projektionen der Punkte von e. Den einen 
Endpunkt 21 von der Projektion der Ellipse erhält 
man also, indem man die Tangente 21 X an k' p' 
parallel zu A'A-^' zieht. Nun sind aber die recht- jig. 126. 

winkligen Dreiecke O'NM und A'fi'A' kongnient, 
da 0'A,'=0'N und ^2I=^A', mithin ist 0'2I=^A^Ä. Die 
Hälfte der gesuchten Strecke findet man also als Hypotenuse in 
einem rechtwinkligen Dreieck^ von ivelchem die Projektionen 0' A' 
mid OB' der beiden konjugierten Halbmesser die Katheten sind. 

137. Der Kreis ist die einzige Ellipse, bei welcher alle 
konjugierten Durchmesser aufeinander senkrecht sind. 

Wenn zwei Ellipsen so beschaffen sind, daß jedes Paar kon- 
jugierter Durchmesser in der einen parallel zu einem Paar kon- 
jugierter Durchmesser in der andern ist, so sind die Ellipsen ähn- 
lich und in ähnlicher Lage. Projiziert man sie nämlich auf eine 
Ebene so, daß die Projektion der einen Ellipse ein Kreis wird, 
so muß auch die Projektion der anderen Ellipse ein Kreis werden. 
Den Satz kann mau auch so ausdrücken: Zivei Ellipsen, welche 
dieselben unendlich fernen konjugierten Punktepaare besitzen, sind 
ähnlich und in ähnlicher Lage. 

Die ParabeL 

138. Konstruktion einer Parabel, von icelcher zwei eigentliche 
Punkte A und B, die Tangente a in A und ein Durchmesser AU 
gegeben sind (Fig. 127). 

Man sucht den zu B bezüglich a symmetrischen Punkt 5j, 
außerdem die Projektion B^ von B a.ni AU. Die Mittelsenkrechte 



118 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



Bi 



M 




von B^B.2 schneide ATI ixx einem Punkt M. Dann ist die Linie /, 
die in 31 senkrecht auf A U errichtet wird, die Leitlinie und der 

zu M bezüglich a symmetrische 
Punkt F der Brennpunkt für eine 
Parabel, welche die gegebenen Be- 
dingungen erfüllt. 

Die Parabel ist nämlich da- 
durch charakterisiert, daß die Ab- 
stände jedes ihrer Punkte von der 
Leitlinie und vom Brennpunkt 
gleich werden. Der Abstand des 
Punktes B von l ist aber MB^ = 
MB^ = FB. Die Parabel geht 
also durch B. Daß sie a in A 
berührt, geht unmittelbar aus der Konstruktion hervor. Die 
Konstruktion liefert nur eine Lösung und kann immer durch- 
geführt werden, wenn die Linien a, AB und AU verschie- 
[ den sind. 

Die Tangente in B kann man finden, indem man den Pol P 
von AB sucht (Fig. 128). P ist der Schnittpunkt von a und 

der Polare c des unendlich fernen Punk- 
tes auf AB. Aber diese Polare ist der 
Durchmesser, der die Sehnen von der 
Richtung ^i? halbiert, und ist deshalb 
durch denMittelpunktCvonJLSparallel 
zu. AU 2,\x ziehen. Die gesuchte Tan- 
gente b ist dann PB. Man sieht hier- 
aus, daß man immer eine Parabel be- 
stimmen T^ann, die zwei gegebene nicht 
parallele Linien a und b in gegebenen 
(eigentlichen) Punkten A und B berührt, von denen Iceiner in den 
SchnittpunM von a und b hineinfällt. 

139. Konstruktion der Punkte und Tangenten einer Parabel, 
trenn zwei Tangenten a und b mit den Berührungspunkten A und 
B gegeben sind (Fig. 129). 

Man wende den Satz vom umschriebenen Viereck an. a und 
b bilden das eine Paar gegenüberliegender Seiten, die unendlich 
ferne Linie und die gesuchte Tangente t das andere Seitenpaar in 
dem Viereck 12 3 4. Auf AB wird ein Punkt JSI angenommen. 
Die Linien il/1 und il/2, d. h. die Parallelen durch 3/ zu a und b 
bestimmen 3 und 4. 3 4 ist die gesuchte Tangente t iind ihr Be- 
rührungspunkt T liegt auf der Verbindungslinie von M mit dem 




Fig. 128. 



Die Parabel 



119 




Fig. 129. 



unendlich fernen Punkt U der 
Parabel. Diese Verbindungslinie 
ist also parallel zu der Linie, die 
den Schnittpunkt von a und h 
mit dem Mittelpunkt der Stx'ecke 
AB verbindet. 

Die angegebene Konstruk- 
tion zeigt, daß die ParallcJpro- 
jeliion einer Parabel eine neue 
Parabel ist, icenn ihre Ebene 
nicht von Projektionsstrahlen er- 
füllt wird. T und t werden näm- 
lich projiziert als Punkt und 
Tangente der Parabel, welche 
die Projektionen von a und b 
in den Projektionen von A und 
B berührt. Auf ähnliche Weise 
erkennt man, daß die affine Transformation einer Parabel eine 
neue Parabel liefert. 

140. KonstruJdion der SchnittpunJcte einer Parabel mit einer 
geraden Linie. 

1. Die Parabel sei gegeben 
durch die Punkte A und J5, die 
Tangente b ia A und den Durch- 
messer AU fFig. 130). Die ge- 
gebene Linie 1 sei selbst ein Durch- 
messer der Parabel, also zu AU 
parallel. 

Da die Linie 1 durch den 
unendlich fernen Punkt U der 
Parabel geht, kann der gesuchte 
Schnittpunkt C mit Hilfe des 
Pascalschen Satzes gefunden wer- 
den, wenn man diesen auf ein 
Sechseck anwendet,* dessen Seiten 
1, 2 (die unendlich ferne Linie), 
3 (ÜB), 4 {BA), 5 und die un- 
bekannte Linie 6 (AC) sind. Die Pascalsche Linie p wird durch 
den Schnittpunkt von 1 und 4 parallel zu 5 gezogen, und 6 kann 
als die Verbindungslinie von A mit dem Schnittpunkt von 3 und 
p gefunden werden. Dadurch ist C bestimmt. Verschiebt man 1 




Flg. 130 



120 Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 

parallel, so erhält man durch die angegebene Konstruktion eine 
einfache Bestimmung der Parabel. 

2. Die Parabel sei gegeben durch die Tangenten a und b und 
deren Berührungspunkte Ä und B. Die gegebene Linie l sei will- 
kürlich, aber kein Durchmesser (Fig. 131). 

j. Die Durchmesser 

^■f-'l^ durch Ä und B mögen 

,'■'' X \ Z in .4^ und -Bj^ schnei- 

..-''' ^ / ""'v \ ^^^* -^^^ Polaren a^ 

,.-.-:.'...^>i^--..M/ ^'\ \ und &^ dieser Punkte 

,--''' "■^y'^i / "■"■~---~Ai bestimmt man da- 

J'' (K^ / / / \ durch, daß sie parallel 

,.--'' y^ / / /' \ zu a und h sein sollen 

./' <^-- ^.......^.-.j-z^U y' ! UQ(J ,^e Durchmesser 

^^ V / jO j durch A und B in 

/\ / / / solchen Punkten A^ 

Oi\ \ / / / und B^ schneiden, daß 

^V- ^ -Bj / AA, = A,A. BB, = 

\ / y' B^B wird, öj und fe^ 

\ / ,.'-''' schneiden einander in 

■y dem Pol L von l, 

L ^. „. und der Durchmesser 

/ durch L enthält den 

'•• / Mittelpunkt C der auf 

l ausgeschnittenen 
Sehne. C ist der Mittelpunkt der Involution, die von den kon- 
jugierten Punkten auf l gebildet werden, und da A^ und A\ (der 
letztere Punkt ist der Schnittpunkt von a^ und l) ein Paar kon- 
jugierter Punkte bilden, wird die mittlere Proportionale von CA^ 
und CA\ gleich dem Abstand des Punktes C von den gesuchten 
Schnittpunkten X und Y. Die Tangenten in X und Y sind XL 
und YL. Die Figur zeigt zugleich, wie man von einem gegebenen 
Punkt L die Tangenten an die Parabel ziehen kann. 



Die Hyperbel. 

141. Eine Hyperbel kann immer so bestimmt werden, daß 
sie durch einen willkürUch gegebenen (eigentlichen) Punkt A geht 
und zwei gegebene (eigentliche) nicht parallele Linien a und b (von 
denen keine durch A geht) zu Asymjjtoten hat. A, a und h müssen 
dabei natürlich in derselben Ebene, z. B. der Zeicheuebene, liegen. 



Die Hyperbel 



121 



Beweis: Auf dem Eotationskegel, der durch a und h geht, 
und dessen Achse den Winkel (fl&), der A enthält, halbiert, denkt 
man sich einen Punkt A^ bestimmt, dessen senkrechte Projektion 
auf die Zeichenebene A ist. Eine Ebene durch A.^ parallel zur 
Zeichenebene schneidet nun den Kegel in einer Hyperbel, deren 
senkrechte Projektion auf die Zeichenebene die angegebenen Be- 
dingungen erfüllt. Daß die Hyperbel eindeutig bestimmt ist, folgt 
aus dem Pascalschen Satz. 

142. Für eine auf die angeführte Weise gegebene Hyperbel 
wollen wir auch den zweiten Schnittpunkt F mit einer gegebenen 
Linie 1, die durch A geht, suchen (Fig. 
132). W^ir wenden zu diesem Zwecke 
den Pascalschen Satz auf das Sechseck 
ABCDEF an, in dem B und C beide 
in den unendlich fernen Punkt von a, 
D und E in den unendlich fernen 
Punkt von 6 fallen. Die Seiten seien 
1 , 2 , 3 , 4 , 5 und 6 , wobei 6 unbe- 
kannt ist. Die Pascalsche Linie ist in 
der Figur mit p bezeichnet. 

Aus der Figur sieht man, daß 
die auf der gegebenen Linie zwischen 
A und a und zwischen jP und h ab- 
geschnittenen Stücke gleich groß sind. Also: Wenn eine gerade 
Linie eine Hi/perhel in swei Punkten schneidet, so ist der Abstand 
des einen Punktes vom ScJmittjmnkt der Linie mit der einen 
Asymptote gleich und entgegengesetzt gerichtet dem Abstand des 
anderen Punktes vom Schnittpunkt der Linie mit der anderen 
Asymptote. Zugleich erkennt man: Der Berührungspunkt einer 
Tangente liegt in der Mitte zwischen den Schnittpunkten der Tan- 
gente mit den Asymptoten. 

In Fig. 133, bei der die Hy- 
perbel durch die Asymptoten a 
und b und den Punkt ^4 bestimmt 
sein soll, ist auf der Linie AP ein 
neuer Punkt B der Hyperbel durch 
die Beziehung BQ = PA bestimmt, 
und gleichzeitig die Tangente AA2 
in A durch die Beziehungen AA^ |j a, 
A^A.2 = OA^^. Aus der Konstruk- 
tion folgt, daß die Paratlelprojek- 
tion einer Hyperbel, wenn die Ebene 




Fig. 132. 




Fig. 133 



122 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



der Hyperbel nicht von Prqjektionssträlilen erfüllt wird, eine neue 
Hyperbel ist. Projiziert man nämlich a, b und Ä in a', b' und Ä' , 
so enthält die Hyperbel, deren Asymptoten a und b' sind und 
die durch ä' geht, die Projektion B' eines willkürlichen Punktes B 
der gegebenen Hyperbel. Auf ähnliche Weise erkennt man, daß 
das affin Perspektive Bild einer Hyperbel wieder eine neue Hy- 
perbel ist. 

143. Konstruktion der ScheitelpunMe einer Hyperbel, wenn 
die Asymptoten a und h und ein willkürlicher Punkt M der Hy- 
perbel gegeben sind (Fig. 134). 
Die Hauptachse der Hyperbel hal- 
biert den Winkel (a&), der 31 ent- 
hält. Projiziert man M aus den 
unendlich fernen Punkten der Hy- 
perbel auf die Achse, so erhält 

P, man zwei konjugierte Punkte P 
T" und P^ (130,2), und da der Mittel- 
punkt dem unendlich fernen 
Punkt der Achse konjugiert ist, 
so liefert die mittlere Propor- 
tionale von OP und OPj die Länge 
0X= OY der reellen Halbachse; 
auf diese Weise findet man die 
Scheitelpunkte X und Y. Das- 
selbe Verfahren kann man auch anwenden, um die Schnittpunkte 
der Hyperbel mit einem beliebigen Durchmesser zu bestimmen. 

144. Konstruktion der Schnittpunkte einer Hyperbel mit evner 
geraden Linie, die nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel geht. 
Die Hyperbel sei gegeben dui'ch die Asymptoten a und b und 

den Punkt M. 

1. Ist die gegebene Linie l der 
einen Asymptote« parallel (Fig. 135\ 
so schneide eine Linie durch 31 par- 
allel zu a die Gerade b in J/^ und Z 
schneide b in L. Trägt man dann 
auf b LL.^ = Oil/j ab , so schneidet 
3IL^ die Linie l in dem gesuchten 
Punkt N. 

2. Hat die gegebene Linie / 
eine beliebige andere Richtung (Fig. 
136), so konstruiere man die Tan- 

Fig. 135. gente m in 31. Eine Linie durch 31 




Fig. 13i. 




Perspektive Kegelschnitte 



123 



parallel zu h schneide l in X: 
na an trage nun J/X^ = XM auf 
der Verlängerung von X3I ab, 
dann ist X^ konjugiert zu X. 
Die Polare XjA'g des Punktes X 
geht durch X^ und gleichzeitig 
durch den Schnittpunkt von tn 
und &, denn dieser letzte Punkt 
ist der Pol von 31 X. X^X^ 
schneidet aber l in einem Punkte 
X.2, der zu X konjugiert ist. Da 
gleichzeitig der Mittelpunkt C 
des Stückes von l, das zwischen 
a und b liegt, auch der Mittel- 
punkt der auf l abgeschnittenen 
Sehne ist, muß C der Mittelpunkt der Involution, welche die 
konjugierten Punkte auf l bilden, sein, und die mittlere Propor- 
tionale von CX und CX^ muß gleich dem Abstand des Punktes C 
von den gesuchten Schnittpunkten werden.^) 




Fig. 136. 



Perspektive Kegels clinitte, 

145. Wir haben gesehen, daß die Parallelprojektion eines 
gegebenen Kegelschnittes ein neuer Kegelschnitt von der gleichen 
Art wie der gegebene wird (133, 139, 142). Nur kann in be- 
sondei-en Fällen die Projektion auch eine gerade Linie oder ein 
Teil von einer solchen werden. 

Insbesondere wird ein Kreis, dessen Ebene nicht von Pro- 
jektionsstrahlen erfüllt wird, durch Parallelprojektion in eine 
Ellipse übergeführt. Gleichzeitig folgt unmittelbar aus der Defi- 
nition der Kegelschnitte (116), daß ein Kreis durch Zentralpro- 
jektion aus einem Projektionszentrum, das auf der Achse des Kreises 
(d. h. dem Lot der Ebene des Kreises in dem Kreismittelpunkt) 
liegt, in einen Kegelschnitt projiziert wird. 

Wir wollen nun beweisen, daß durch ZentralprojeJction eines 
Kreises, dessen Ebene nicht durch das Projektionszenirum hindurch- 
geht, immer ein Kegelschnitt entsteht. 



1) Was die Kegelschnitte betrifft, so kann zur Ergänzung der 
kurzen Darstellung, die hier allein möglich war, etwa benutzt werden: 
Steiner-Geiser, Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung, 
3. AuE. Leipzig 1887. 




124 Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 

Der Kreis Je in der Ebene TT werde aus S auf die Ebene Z 
projiziert. Die Projektion des Kreises sei mit s bezeichnet (Fig. 137). 
Durch h legen wir einen Rotationskegel mit der Spitze *S\. In 
einer perspektivischen Affinität, die durch die Affinitätsebene TT 
und die homologen Punkte aS' und .S\ bestimmt wird, entspricht dem 
Kegel, der k aus S projiziert, der Kegel, der Je aus S^ projiziert. Der 
Ebene Z entspricht eine Ebene Z^^, die den Rotationskegel in 

einem Kegelschnitt Sj^ schneidet, und 

dieser Kegelschnitt entspricht der 

Kurve s. Da die Verbindungslinien 

entsprechender Punkte auf s und s^ 

parallel zu SS^ sind, ist s eine 

Parallelprojektion von s^, und da 

s^ ein Kegelschnitt ist, muß s auch 

ein Kegelschnitt sein. Wir haben 

vorausgesetzt, daß die Ebenen Z 

\ ; :/ ,,-■--■■" und Zj verschieden sind. Aber 

\; ...•--'/' Sj wenn Z und Zj zusammenfallen, 

"^^ */;' / so werden 5 und 5^ einander in einer 

\ ;/ ebenen perspektivischen Affinität 

■;' Fig. 137. XI ■ j 

a entsprechen, woraus man wieder 

sieht, daß s ein Kegelschnitt ist. 
Da man immer durch einen beliebigen Kegelschnitt einen Rotations- 
kegel legen kann, kann man auf diese Weise auch nachweisen, 
daß die ZentraJjyrojeJdion eines KegelscJinittes wieder einen Kegel- 
scJmitt liefert. 

146. In einer ebenen PerspeJctirität cntspricJit jedem Kegel- 
scJinitt Je ein neuer KegelscJinitt Je. Denn die beiden entsprechen- 
den Kurven Je und Je' kann man als die Projektion von zwei Per- 
spektiven ebenen Kurven in verschiedenen Ebenen ansehen, von 
denen die eine ein Kegelschnitt ist und deshalb die andere auch 
ein Kegelschnitt sein muß. Pol und Polare bezüglich A' entsprechen 
Pol und Polare bezüglich A"'. 

Man beweist leicht, daß ein KegelscJinitt durcJi eine Eaiim- 
perspeJctive wieder in einen KegelscJinitt ühcrgeJit. Für den Fall, 
wo alle seine Punkte in unendlich ferne transformiert werden, 
verweisen wir auf 150. 

147. DurcJi fünf willJcürlicJi gegebene PunJde A, B, C, J) und E 
in der Ebene Jeann immer ein KegelscJinitt gelegt werden, ivenn 
bloß nicJit drei oder meJir der gegebenen PimJete in einer geraden 
Linie liegen. Höchstens zwei der gegebenen Punkte können un- 
endlich fem sein. Wenn der gesuchte Kegelschnitt existiert, kann 



Perspektive Kegelschnitte 125 

die Tangente a im Punkte A (der ein eigentlicher Punkt sein soll), 
nach der früher angegebenen Konstruktion gefunden werden. Führen 
wir diese Konstruktion aus, so gelangen wir zu einer bestimmten 
Linie a, und wir brauchen bloß zu zeigen, daß ein Kegelschnitt 
existiert, der Ain a berührt und durch B, C und D geht, denn 
ein solcher Kegelschnitt wird zufolge des Pascalschen Satzes auch 
durch E gehen. Beschreiben wir nun einen Kreis Ä:^, der a m A 
berührt, und schneiden die Verbindungslinien AB, AC und AD 
diesen Kreis zum zweitenmal in i?i, C^ und i>^, so kann man eine 
Perspektivität bestimmen, deren Zentrum A ist und in welcher 
B, C und D der Reihe nach B^, C^ und B^ entsprechen. In dieser 
Perspektivität entspricht Jc^ einem Kegelschnitt, der a in ^ be- 
rührt und durch B, C und D geht. Damit ist bewiesen, daß der 
gesuchte Kegelsclmitt existiert. Daß man durch fünf gegebene 
Punkte nur einen Kegelschnitt legen kann, folgt sofort aus dem 
Pascalschen Satz. 

148. Man kann immer einen Kegelschnitt bestimmen derart, 
daß er fünf tcillktirlich gegebene Linien a, b, c, d %md e der Ebene 
berührt, wenn bloß nicht drei oder mehr der gegebenen Linien durch 
denselben Punkt gehen. Wenn der gesuchte Kegelschnitt existiert, 
so wird der Berührungspunkt A von a ein bestimmter Punkt, der 
durch die früher angegebene Konstruktion gefunden werden kann. 
Es genügt also zu zeigen, daß ein Kegelschnitt existiert, der a in 
A und gleichzeitig b, c und d berührt. Dies tun wir auf folgende 
Weise: Wir nehmen einen Kegelschnitt (oder insbesondere einen 
KJreis) k^ an, der a in A berührt. In einer Perspektivität, deren 
Koilineationsachse a ist und in welcher 6, c und d Tangenten 
von 7:^ entsprechen, entspricht 7.'^ einem* Kegelschnitt, der a, &, c 
und d, und zwar a im Punkte A, berührt. Daß es nur einen Kegel- 
schnitt gibt, der die gegebenen Bedingungen erfüllt, folgt aus dem 
Brianchonschen Satz. 

149. Aus bekannten Sätzen für den Kreis (vgl. 94, 113) 
leiten wir durch Zentralprojektion folgende Sätze für einen be- 
liebigen Kegelschnitt ab. 

Aus zwei festen Punkten auf Zwei feste Tangenten eines 

einem Kegelschnitt werden die Kegelschnittes werden von den 

Punkte des Kegelschnittes durch übrigen Tangenten in projekti- 

projektive Strahlenbüschel pro- ven Punktreihen geschnitten, 
jiziert. 

Wir wollen nun beweisen: 

Vo)i ztcei projektiven, nicht Von zwei projektiven, nicht 
kollokalen und nicht Perspektiven , kollokalen und nicht Perspektiven 



126 Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



Strahlenbüsclieln derselben Ebene 
liegen die SchnltipunMe entspre- 
cfiender Strahlen auf einem Kegel- 
schnitt. Legt man nämlich einen 
Kegelschnitt durch die Mittel- 
punkte Ä und B und ii'gend drei 
andere Schnittpunkte entspre- 
chender Strahlen, so wird dieser 
Kegelschnitt aus Ä und B durch 
projektive Strahlenbüschel pro- 
jiziert, die mit den gegebenen 
Büscheln zusammenfallen. 



PunktreiJien derselben Ebene be- 
rühren die Verbindungslinien ent- 
sprechender PimJcte einen Kegel- 
schnitt. Zeichnet man nämlich 
einen Kegelschnitt, der die 
Träger der Punktreihen a und b 
und irgend drei andere Ver- 
bindungslinien entsprechender 
Punkte berührt, so seimeiden die 
Tangenten dieses Kegelschnittes 
auf a und b projektive Punkt- 
reihen aus, die mit den gegebenen 
Punktreihen zusammenfallen. 
Diese Sätze zeigen u. a., daß die einem Kegelschnitt dualistisch 
entsprechende Figur ein neuer Kegelschnitt ist, derart, daß den 
Punkten und Tangenten des ersten Kegelschnittes die Tangenten u/nd 
PunTcte des siveitcn Kegelschnittes entsprechen. 

150. Ein unendlich ferner Kegelschnitt ist definiert als die 
Gesamtheit der unendlich fernen Punkte, deren Zentralprojektion 
auf eine beliebige Ebene ein Kegelschnitt ist. Die im Vorstehen- 
den entwickelten projektiven Sätze gelten dann auch von unendlich 
fernen Kegelschnitten. Im folgenden wollen wir aber, wenn das 
Gegenteil nicht ausdrücklich betont wird, unendlich ferne Kegel- 
schnitte außer Betracht lassen. 

151. Eine allgemeine Methode zur Lösung von Aufgaben 
über einen vorgelegten Kegelschnitt besteht darin, daß man eine 
Perspektivität bestimmt,. in welcher der Kegelschnitt einem Kreis 
entspricht. Dadurch kann man die Aufgabe auf eine analoge Auf- 
gabe für den Kreis zurückführen. 

Hat man zur Bestimmung des Kegelschnittes Je unter anderem 
eine Tangente a mit ihrem Berührungspunkt A (der nicht un- 
endlich fern sei) gegeben, so kann man, wie früher gezeigt, eine 
Perspektivität mit dem Zentrum A (vgl. 147) oder der Achse a 
(vgl. 148) bestimmen, so daß k in dieser Perspektivität einem 
Kreis kl entspricht, der a in A berührt. 

Hat man zur Bestimmung des Kegelschnittes /,; unter anderem 
zwei durch den eigentlichen Punkt S gehende Tangenten a und b 
(Fig. 138), so kann man einen Kreis k^, der a und b berührt, 
derart beschreiben, daß eine Linie, die durch den Schnittpunkt S 
von a und b geht und den Kegelschnitt schneidet, immer auch 
den Kreis schneidet, k und k^ entsprechen einander dann in einer 



Perspektive Kegelschnitte 



127 




Perspektivität, deren Zentrum S ist. Denn berühren a und b den 
Kegelschnitt k in J. und B, den Kreis A-^ in A^ und ^j , und 
schneidet eine Linie durch S und einen Punkt C des Kegelschnittes 
den Kreis in zwei Punkten, von denen der eine C^ ist, so be- 
stimme man eine Per- 
spektivität derart, daß 
A^. B^ und C\ der 
Reihe nach A, B und 
C entsprechen , dann 
entsprechen auch 7.^ 
und Tc einander. Da 
nämlich Tc^ die Linien 
a und 6 in A.^ und B^ 
berührt und zugleich 
durch C^ geht, vs^ird die entsprechende Kurve ein Kegelschnitt, der 
a und h in A und B berührt und durch C geht, der also mit h 
zusammenfällt. Wir müssen beachten, daß die Perspektivität auf 
zwei Arten bestimmt werden kann, indem wir an Stelle von C^ auch 
den anderen Schnittpunkt von SC mit dem Kreis wählen können. 

152. Hat man eine Perspektivität bestimmt, in welcher der 
Kegelschnitt Tz einem 
Kreis Jc^ entspricht, so 
kann man unmittelbar 
die Aufgabe lösen, die 
Schnittpunkte des Kegel- 
schnittes mit einer ge- 
gebenen Geraden zu be- 
stimmen oder aus einem 
gegebenen Punkt an k 
die Tangente zu ziehen. 
Wir wollen noch zeigen, 
wie man die Perspekti- 
vität zu einer näheren 
L'ntersuchung des Kegel- 
schnittes benutzen kann. 

Wenn die zu \ ge- 
hörende Fluchtlinie u^ 
keinen Punkt mit 1:^ ge- 
mein hat, so enthält der 
Kegelschnitt keinen im- 
endlich fernen Punkt und 
ist deshalb eine Ellipse. Fig. 139. 




128 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



Wenn «^ den Kreis in zwei Punkten schneidet, so entsprechen 
diese zwei unendlich fernen Punkten des Kegelschnittes, der also 
in diesem Falle eine Hyperbel wird. Berührt endlich ii^ den Kreis 
Jc^, so wird /.• eine Parabel. Wir untersuchen jeden dieser drei 
Fälle näher, indem wir uns die Perspektivität durch das Zentrum S, 
die Kollineationsachse p und die Fluchtlinie ii^ bestimmt denken. 
1. In Fig. 139 ist Ä; eine Ellipse. Man findet ihre Scheitel 
folgendermaßen: Der Kreisdurchmesser ^^ 5^ _L jj entspricht einem 
Durchmesser AB der Ellipse. Denn der Pol von Ä^B^ bezüglich 
\ liegt unendlich fern in der Richtung j); der Pol von AB be- 
züglich Je fällt in denselben unendlich fernen Punkt. Der Mittel- 
punkt von AB ist der Mittelpunkt der Ellipse. Der entsprechende 
Punkt sei 0^ . Man zieht nun 0^ 0^ \\ p bis zum Schnitt mit dem 
Kreis in C^ . OC \\ p entspricht Oj C^ , und es werden C und 
OA ein Paar konjugierte Halbmesser der Ellipse. Die Scheitel 

können daraus nach der 
früher erörterten Methode 
gefunden werden (l3l). 

2. Wenn U-^ den Kreis 
U h^ schneidet, so entsprechen 

Q die Tangenten des Kreises in 
den Schnittpunkten den 
Asymptoten von k. Man kann 
so diese zunächst bestimmen 
und damit die Hauptachse 
der Hyperbel finden. Mit 
Hilfe der Perspektivität fin- 
det man dann die Scheitel als 
die Schnittpunkte der gefun- 
denen Hauptachse mit der 
Hyperbel. 
Pj \^ 3. Berührt «1 den Kreis 

\ in Z7i (Fig. 140), ist also 
der Kegelschnitt eine Para- 
bel, deren Achse die Rich- 
tung S U^ hat, so liegt der 
Pol P der Achse unendlich 
fern in der Richtung SP _L 
S U^. Der P entsprechende 
Punkt Py kann dann sofort bestimmt werden. Die Polare von P^ 
bezüglich Ti^ ist U^A^ (senkrecht auf dem durch P^ gehenden 
Durchmesser des Kreises), und diese Linie entspricht der Achse 




svr 




Vi 



Uj 



V 



Fig. 140. 



Schmiegungskreise 



129 



der Parabel, die also durch Q geht und zu S L\ parallel ist. Die 
Achse der Parabel schneidet SÄ^ in dem Scheitel Ä der Parabel. 
. 153. In dem besonderen Fall, wo S auf k^ liegt (Fig. 141) 
und deshalb Tc und l\ emander in S berühren, bilden die Perspek- 
tivitütsachse p und die 
gemeinsame Tangente 
t in S gleich große 
Winlcel (nach entgegen- 
gesetzten Seiten) mit 
jeder Achse des Kegel- 
schnittes. 

Dies kann man 
folgendermaßen be- 
weisen: Eine Linie 
durch S parallel zu 
einer Achse des Kegel- 
schnittes schneidet /.; 

und /Cj in entsprechenden Punkten P und P^ . Die Tangenten PA 
und Pi^i entsprechen einander, und da sie gleich große Winkel 
nach derselben Seite hin mit der Linie PP^ bilden (^ APS = 
<^ ASP = <C A■^^P■^S), sind sie zueinander und zu der Perspek- 
tivitätsachse parallel, p und t bilden also gleich große Winkel 
mit SP, also auch mit jeder der Achsen des Kegelschnittes. 

Der Durchmesser des Kreises durch Pj ist senkrecht zu p. 
Die Strahlen aus S nach den Endpunkten dieses Durchmessers 
geben die Richtungen der Achsen des Kegelschnittes an. Dies 
kann man zur Bestimmung der Achsen benutzen, wenn der Mittel- 
punkt gefunden ist. 




Fig. 141. 



Scilmiegungskreise. 

154. Ein veränderlicher Kreis, der einen Kegelschnitt k in 
einem festen Punkt A berührt und durch einen beweglichen Punkt 
JB von k geht, konvergiert, wenn B sich A nähert, nach einer 
bestimmten Grenzlage, dem Schmiegungskreis des Kegelschnittes 
in A. Der veränderliche Kreis entspricht nämlich in jedem Augen- 
blick dem Kegelschnitt k in einer Perspektivität, deren Zentrum 
A ist, und deren Achse durch JB geht und (nach 153) eine kon 
staute Richtung hat. Nähert sich B dem Punkte A, so nähert 
sich auch die Perspektivitätsachse einer bestimmten Linie p, die 
durch A geht und zur Tangente in A bezüglich einer Parallelen 
zu einer Achse des Kegelschnittes symmetrisch ist. 

Tim er ding, Handbuch II 9 



130 



Sechstes Kapitel. Kegel sclmitte 



Ist Ä kein Scheitel von Je, so schneidet p den Kegelschnitt 
Je in einem neuen Punkt J/, und der Schmiegungskreis ist da- 
durch bestimmt, daß er durch M geht und Je in A berührt. 

Ist A ein Scheitel von /.•, so fällt p mit der Scheiteltangente 
zusammen. Von einer Sehne AB des Kegelschnittes liegt der 
Pol P im Schnittpunkt von p mit der Tangente in B (Fig- 142). 
D P ist dann auch der Pol von AB be- 
züglich des Schmiegungskreises, und 
dessen Mittelpunkt C liegt auf der Linie 
PC _L AB. Ist der Kegelschnitt eine 
Ellipse mit den Achsen AA^ und BB^, 
so findet man gleichzeitig die Mittelpunkte 
C und C-^ der Schmiegungskreise für A 
und B, indem man aus dem Pol P von 
AB das Lot auf AB fällt. P ist dabei 
die vierte Ecke des durch A, 0, B bestimmten Rechteckes (Fig. 
143). Soll man den Mittelpunkt G des Schmiegungskreises für den 
Scheitel A einer Hyperbel finden (Fig. 144), so kann man B un- 




Fig. 142. 




Fig. 144. 



endlich fem annehmen. Der Pol P von AB wird dann der Schnitt- 
punkt der Hyperbel mit der Scheiteltangente. Die Senkrechte aus 
P auf AB ist senkrecht zu einer Asymptote und schneidet die 
Achse der Hyperbel in C. 

155. Die Betrachtung der angegebenen Perspektivität zeigt, 
daß der Schmiegungskreis in einem Punkt A eines Kegelschnittes Ä, 
wenn man annimmt, daß A kein Scheitelpunkt ist, Je im Punkt A 
durchsetzt, d. h. wenn ein Punkt den Schmiegungskreis durchläuft,, 
so tritt er beim Passieren von A von der einen Seite des Kegel- 



Schmiegungskreise 131 

Schnittes auf die andere über. Weiter erkennt man, daß ein Kreis, 
der k in einem Punkte Ä berührt und gleichzeitig durchsetzt, der 
Schmiegungskreis in A sein muß. 

Wenn A ein Scheitelpunkt des Kegelschnittes ist, so liegt der 
Schmiegungskreis entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb 
des Kegelschnittes. 

156. Eine sehr einfache Bestimmung des Schmiegungskreises 
für einen beliebigen Punkt einer Ellipse oder einer Hyperbel kann 
man mit Hilfe des folgenden Satzes p 
finden (Stei)iersclier Satz): Wenn ein 
eigentlicher Punld P eine gerade Linie 
a durchläuft, die nicht ein Durchmesser 
des Kegelschnittes ist, so geht das ausP 
auf die Polare p dieses Punlies gefällte 
Lot entweder durch einen bestimmten 
PunJct oder berührt eine bestimmte Pa- 
rabel (Fig. 145). 

Beweis: jj beschi-eibt einen 
Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt 
im Pol A von a liegt. Dieser Strahlen- 
büschel ist gleichzeitig projektiv zu 
der von P beschriebenen Punktreihe und zu einer von dem un- 
endlich fernen Punkte P^ in der Richtung J_^j beschriebenen Punkt- 
reihe. Die von P und P^ durchlaufenen Punktreihen sind also pro- 
jektiv, und die Linie PPi geht entweder (wenn die Reihen perspektiv 
sind) durch einen Punkt oder berührt (wenn die Reihen nicht per- 
spektiv sind) einen Kegelschnitt, der a und die unendlich ferne 
Linie zu Tangenten hat, der also eine Parabel ist. 

Wenn a zu einer der Achsen des gegebenen Kegelschnittes 
senkrecht ist, so geht die Linie PPj^ durch einen festen Punkt auf 
dieser Achse. Ist hingegen a zu keiner der Achsen des Kegel- 
schnittes senkrecht, so berühren die Linien PP^ eine Parabel. Die 
Achsen des Kegelschnittes und das aus A auf a gefällte Lot sind 
nämlich besondere Lagen von PP^ , und diese drei Linien können 
nicht durch denselben Punkt gehen. 

157. Wir nehmen nun an, daß die Linie a den gegebenen 
Kegelschnitt in A und B schneidet (Fig. 146), indem wir voraus- 
setzen, daß A kein Scheitelpunkt des Kegelschnittes ist. a schneide 
die Achsen x und g des Kegelschnittes in X und F, und 31 sei 
der Mittelpunkt von AB. Die aus J., Jf, X und T auf die Po- 
laren dieser Punkte gefällten Lote sind der Reihe nach n (die 

9* 




132 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



Normale in Ä), m (die Mittelsenkrechte von AB^ weil die Polare 
von M II AB), X und y. Bezeichnet man die unendlich ferne Linie 
mit M, so müssen also die sechs Linien w, m, a, m, x und y nach 

dem Steinerschen Satz die 
Seiten eines einer be- 
stimmten Parabel um- 
schriebenen Sechseckes 
sein. Die Verbindungs- 
linien gegenüberliegender 
Ecken dieses Sechseckes 
müssen demnach nach 
dem Brianchonschen Satz 
durch denselben Punkt 
gehen. Läßt man nun A 
fest, während B sich A 
nähert, so bleibt n fest, 
m nähert sich w, a nähert 
sich der Tangente t in J., 
und die drei Seiten w, x 
Die Ecken des Sechseckes 
Der Schnitt- 




Fig. 146. 



und y erfahren keine Veränderung, 
erreichen dann folgende Grenzlagen (Fig. 147) 
punkt 1 von n und m wird der Mittelpunkt des Schmiegungs- 

2 von m und a wird A, der 
Schnittpunkt 3 von a und it 



kreises für J., der Schnittpunkt 

y 




wird der unendlich ferne Punkt 
von i, die Ecke 4 ist der un- 
endlich ferne Punkt von x, x 
und y schneiden sich in 5, ?/ 
und M in 6. Die Punkte 2, 3, 
4, 5 und 6 sind bekannt, wäh- 
rend 1 unbekannt ist. Aber da 
die Linien 14, 2 5 und 3 6 
durch denselben Punkt B, gehen 
müssen, erhalten wir für den 
Mittelpunkt 1 des Schmiegungs- 
kreises folgende Konstruktion: In dem Scltmttpunld 6 der Nor- 
malen n in A mit der einen Achse y errichten zvir ein Lot auf n 
und schneiden es mit dem Burchmesser durch A im Punkte B. Die 
Parallele durch B zu der anderen Achse x schneidet dann die Nor- 
male n in dem gesuchten PunTct. 

158. Bei der vorstehenden Betrachtung kann man die Linie in 
ersetzen durch die Normale n^ in B, da n, n^ , a, u, x und y auch 



Fig. 147. 



Schmiegungskreise 



133 



ein einem Kegelschnitt umschriebenes Sechseck bilden. Nähert sich 
B dem A, so nähert sich n^ dem w, und die Grenzlage für den 
Schnittpunkt von w, und yi wird derselbe Punkt 1, den wir früher 
gefunden haben. Also: Der Mittelpunkt des Schmiegungskreises 
für A ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen in A und 
der Normalen in dem Punkte B, der sich A nähert. 

159. Unser Beweis für den Steinerschen Satz gilt auch in 
dem Falle, wo der gegebene Kegelschnitt eine Parabel ist. Aber 
die Anwendung des Satzes auf die Kon- 
struktion des Schmiegungskreises wird 
in diesem Falle etwas anders, da k nur 
eine Achse x besitzt. Da das aus einem 
eigentlichen Punkte von a auf die 
Polare dieses Punktes gefällte Lot nie 
zu X senkrecht sein kann, wird die 
Achse der Steinerschen Parabel senk- 
recht zu X. Indem wir die früheren 
Bezeichnungen wieder anwenden, be- 
rühren also *?, m, a und x eine Para- 
bel, deren Achsenrichtung senkrecht 
zu X ist (Fig. 148). In dem ßrian- 
chonschen Sechseck, dessen Seiten m, 
w, X, a, w und t sind, werden die Grenzlagen für die Ecken (Fig. 149): 
der gesuchte Mittelpunkt 1 des Schmiegungskreises, der Schnitt- 
punkt 2 von n und a:, 3 unendlich fern auf x, 4 unendlich fern 
in der Richtung senkrecht zu rc, 5 unendlich fern auf f, 6 im 
Punkte A. Die Konstruktion verläuft dann so: in 2 wird ein Lot 
auf n errichtet, in dessen Schnittpunkt B mit dem Durchmesser 
durch A ein Lot auf x und dieses bis zum Schnitt mit n im ge- 
suchten Punkte 1 verlängert. 

Errichtet man in dem Schnitt- 
punkt T von t mit x ein Lot auf x 
bis zum Schnittpunkt N mit w, so sieht 
man aus der Figur, daß der Radius des 
Schmiegungskreises yl 1 = N2 wird. 
Auf diese Weise erhält man noch eine 
neue Konstruktion. Man beweist ge- 
nau auf dieselbe Weise wie vorhin, daß 
der Mittelpunkt des Schmiegungskrei- 
ses die Grenzlage für den Schnittpunkt 
der Normalen in A und der Normalen 
in dem Punkt J5, der sich A nähert ist. Fig. uy. 





134 



Sechstes Kapitel. Kegelschnitte 



160. Ist A ein Scheitelpunkt des Kegelschnittes k (Fig. 150), 
so schneidet die Mittelsenkrechte m von AB die Achse x in einem 
Punkte C, der nach dem Steinerschen Satz auf jeder Linie liegt, 

die man durch einen Punkt der 
Linie p (die durch ilJ._L a; zu ziehen 
ist) senkrecht zur Polare dieses 
Punktes zieht. Ebenso wird die Nor- 
male n^ in B die Achse x in einem 
Punkt Cj schneiden, der auf jeder 
Linie liegt, die man durch einen 
Punkt der Linie q (die durch B A_x 
gezogen wird) senkrecht zu der Po- 
lare dieses Punktes ziehen kann. 
Läßt man B sich A nähern, so 
nähern sich }) und q beide der 
Scheiteltangente in A. C und C^ 
nähern sich also derselben Grenzlage im Mittelpunkt des Schmie- 
gungskreises für A. Wir haben damit in allen Fällen bewiesen, daß 
der MittelpunM des Schmiegun'gslireises für einen beliebigen PmiktA 
eines Kegelschnittes die Grenzlage für den Schnittpunkt der Nor- 
malen in A und der Normalen in dem sich A nähernden Punkt B ist. 
Aus diesem Satze folgt sofort, daß der Radius des Schmie- 
gungskreises in dem Scheitel einer Parabel gleich der konstanten 
Subnormalen, also gleich dem Parameter wird. 




'.»2 



Siebentes Kapitel. 
Ebene Kurven. 

Einfache Bögen. 

161. Wenn ein Punkt sich in der Ebene kontinuierlich aus 
einer Lage in eine andere bewegt, so daß er jede Zwischenlage 
nur einmal passiert, so beschreibt er einen Bogen oder eine Kurve 
(die Bahn des beweglichen Punktes). Derselbe Bogen kann auch 
so beschrieben werden, daß der Punkt die gleichen Lagen in der 
umgekehrten Reihenfolge durchläuft. Jedem Bogen entsprechen 
dergestalt zwei verschiedene Umlaufssinne. Jeder Punkt M des 
Bogens, der von seinen Endpunk- 
ten A und B verschieden ist, teilt 
den Bogen in zwei Bögen, MA und 
3LB. Wir nehmen an, daß der Bogen 
MA in M eine bestimmte Hidhtan- 
gente m^ besitzt, die als eindeutig 
bestimmte Grenzlage aus einem von 
M ausgehenden Halbstrahl ^) ent- 
steht, wenn dieser einen zweiten, 
beweglichen Punkt M^ des Bogens 
MA enthält und M-^^ sich 31 unbegrenzt nähert. Ebenso setzen 
wir voraus, daß der Bogen MB auch eine bestimmte Halbtangente 
»Wo in 2[ besitzt, ferner daß die so festgelegten beiden Halbtan- 
genten entgegengesetzt gerichtet sind, so daß sie sich zu einer ge- 
raden Linie, der Tangente in 31, ergänzen (vgl. Fig. 151). 

Es sei l eine beliebige gerade Linie durch 31, die von der 
Tangente verschieden ist. Wenn der Punkt J/j sich nach 31 hin 
bewegt, liegt der Halbstrahl M3I^ zuletzt auf derselben Seite von 

1) Die sämtlichen auf einer und derselben Seite von M gelegenen 
Punkte einer Geraden, die durch M gebt, bilden einen von 31 aua- 
gehenden Halbstmhl. Eine Gerade wird durch jeden ihrer Punkte 
in zwei Halbstrahlen zerleort. 




136 Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 

1 wie die Halbtangente w^ , der Bogen MM^ selbst liegt also zu- 
letzt auch auf dieser Seite von l. Ebenso erkennt man, daß, wenn 
der Punkt M^ des Bogens MB sich auf 31 zu bewegt, der Bogen 
MM^ zuletzt auf derselben Seite von l wie mg liegt. Man sagt 
deshalb, daß l die Umgebung von M in zwei verschiedene Teile 
zerlegt, einen auf jeder Seite von l. Hieraus folgt aber, daß der 
Bogen AB wenigstens einen Punkt P ent- 

— ^ .- ^ p- halten muß, dessen Tangente zu der Sehne 

/ i \ AB parallel ist. Sucht man nämlich (Fig. 

/ :fc ^~ — ~\ 152) auf dem Bogen AB einen Punkt P, 

I '■■ A dessen Abstand h von der Linie AB ?>o 

groß wie möglich ist, so muß die gerade 

'^' "" Linie, die durch P parallel zu der Sehne 

AB gezogen wird, die Tangente in P sein, denn sonst müßten nach 

den soeben angestellten Überlegungen Punkte des Bogens auf beiden 

Seiten yonp liegen, so daß der Abstand h nicht der größte sein könnte. 

Auch in den Endpunkten A und B wollen wir die Existenz 
bestimmter Halbtangenten voraussetzen; in jedem von diesen 
Punkten finden wir nach unserer Definition nur eine Halbtangente, 
die mit ihrer Verlängerung zusammen die Tangente in diesem 
Punkte bildet. Bisweilen betrachten wir indessen auch diese Ver- 
längerung als eine (uneigentliche) Halbtangente des Bogens. 

Wenn ein Punkt M den Bogen AB von A nach B hin 
durchläuft, so kann man für jede Lage von M von einer be- 
stimmten zu diesem Umlauf gehörenden Halbtangente sprechen; 
darunter wollen wir die bei diesem Umlauf nach vorwärts ge- 
richtete Halbtangente verstehen, d. h. die Halbtangente des Bogens 
MB^ solange M von B verschieden ist, und die uneigentliche 
Halbtangente, wenn M mit. 5 zusammenfällt. 

162. Wir wollen nun den Bogen AB von solcher Beschaf- 
fenheit voraussetzen, daß die vorwärtslaufende Halbtangente, die 
zu einem bestimmten Umlauf gehört, kontinuierUcJi und monoton 
variiert, d. h. wenn 31 den Bogen von A bis B durchläuft, soll 
die vorwärtslaufende Halbtangente ihre Richtung so stetig ändern, 
daß diese sich beständig nach derselben Seite dreht (wir schließen 
solche Bögen aus, die geradlinige Bestandteile enthalten). Ziehen 
wir von einem festen Punkt aus einen Halbstrahl ni in 
derselben Richtung wie die genannte Halbtangente in 31, so soll 
dieser Halbstrahl sich kontinuierlich und beständig nach derselben 
Seite bewegen, so daß er jede seiner Lagen nur einmal passiert. 
Wir wollen zugleich annehmen, daß der von m beschriebene Winkel 
kleiner als 180° sei. 



Einfache Bögen 137 

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, nennen wir den Bogen 
AB einen einfachen Bogen. Ein einfacher Bogen kann sonach 
nicht mehr als eine Tangente besitzen, die einer gegebenen Linie 
parallel ist. Wir schließen hieraus sofort : 

1. Die Tangente in einem Punkt M des Bogens hat mit dem 
Bogen Jceinen anderen Punkt gemein als den Berührungspunkt. 
Hätte sie nämlich noch einen anderen Punkt 31^ mit dem Bogen 
gemein, so müßte auf dem Bogen 3IM^ ein Punkt existieren, 
dessen Tangente der Linie MM^, also der gegebenen Tangente 
parallel ist (nämlich der Punkt größten Abstandes von Jtf Jf^). 

2. Eine gerade Linie hat höchstens zwei PunJcte mit dem Bogen 
gemein. Wenn nämlich drei aufeinanderfolgende Punkte J/, P, Q 
des Bogens auf einer geraden Linie lägen, so müßten die Bögen 
MP und PQ Punkte enthalten, deren Tangenten beide der geraden 
Linie parallel wären. 

3. Nimmt man zicei PunJcte M und N auf dem Bogen an, so 
schneiden die Halhtaiigenten des Bogens MN in diesen Punkten 
einander in einem PunMe T derart, daß das Breieck MNT den 
Bogen MN umschließt. Der 
Beweis wird folgendermaßen 
geführt (Fig. 153): Der Bogen 
MN hat keinen anderen 
Punkt mit der Tangente tn 
in M gemein als den Berüh- 
rungspunkt M, der Bogen 
muß also ganz auf der einen 
Seite der Tangente m liegen. 
Die durch N gezogene Par- 
allele l zu m hat mit dem Bogen nur deuPunkt N gemein, denn 
sonst müßte eine weitere zu m parallele Tangente existieren. Der 
Bogen liegt also auch ganz auf der einen Seite von l. Er liegt 
weiter aber auch auf einer bestimmten Seite der Linie MN. Hier- 
aus folgt, daß er in dem Flächenstück liegt, das von der Strecke 
3IN, der Halbtangente m^ des Bogens in 31 und dem damit 
gleichgerichteten Halbstrahl l^ der Linie l begrenzt w^i'd. Die 
Halbtangente n^ in N muß deshalb in dem konvexen Winkel zwi- 
schen den Halbstrahlen 7j und NM liegen, sie muß also m^ in 
einem Punkte T schneiden, und da der Bogen auf einer be- 
stimmten Seite von jeder der drei Linien 31 N, 31 T und NT 
liegen muß, nämlich auf der Seite, die jedesmal durch den dritten 
Punkt angegeben wird, ist der Bogen in dem Dreieck 3INT ein- 
geschlossen. 




138 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 



Aus diesem Satz folgt nun weiter: 

Jeder Punkt P des Bogens hat eine langente, ivelche die 
Strecken 31 T tmd NT schneidet. 

Durch einen beliebigen Punkt der Ebene kann man höchstens 
zwei Tangenten an den Bogen legen. 

Jeder Punkt M des einfachen Bogens ist die eindeutig be- 
stimmte Grenzlage des Schnittpunktes der Tangente in M mit der 
Tangente in einem beweglichen Punkt N, der sich M unbegrenzt 
nähert, oder des Schnittpunktes der Tangenten in zwei verschiedenen 
beweglichen Punkten, die sich beide M nähern. 

Die Tangente ist die eindeutig bestimmte G-renzlage der Ver- 
bindungslinie zweier verschiedener Punkte X und P. die auf dem 
Bogen nach M konvergieren : auf dem Bogen KP findet sich näm- 
lich beständig ein Punkt, dessen Tangente der Linie KP parallel 
ist, und da diese Tangente nach der Tangente in M konvergiert, 
tut es auch die Linie KP. 

163. Wir werden es im allgemeinen nur mit solchen Kurven 
zu tun haben, die man sich aus einfachen Bögen zusammengesetzt 
denken kann (einfachen Kurven). Durch Zusammensetzung zweier 
einfacher Bögen können aber in der Um- 
gebung eines Punktes vier wesentlich ver- 

schiedene Formen von Kurven entstehen: 

^ 1. Die Halbtangenton sind entgegen- 

'^' ^ ' gesetzt gerichtet; die Umgebung von 31 ist 

ein einfacher Bogen. Der Punkt heißt dann ein Konvexpunkt 
(Fig. 154). 

2. Die Halbtaugenten sind entgegengesetzt gerichtet; die 
Kurve wird in der Umgebung von 31 in zwei verschiedene Bögen 
geteilt, einen auf jeder Seite der Tangente. 
Der Punkt heißt dann ein Wendepunkt, die 
Tangente eine Wendetangente (Fig. 155). 
3. Die Halbtangenten in 31 fallen 
zusammen; die Kurve besteht in der Umgebung des Punktes 31 
aus zwei Bögen, die von 31 ausgehen und auf verschiedenen Seiten 
der Tangente liegen. Der Punkt heißt dann eine Spitze erster Art 

(Fig. 156). 

4. Die Halbtangenten fallen 
zusammen; die Kurve liegt in der 
Umgebung von 31 auf der einen 
Seite der Tangente. Der Punkt 
heißt dann eine Spitze ziveiter Art 

Fig. 156. Fig. 157. (Fig. 157). 







Einfache Böoren 



139 



Ferner kann bei der Zusammensetzung von einfachen Bögen 
auch ein Knick entstehen, indem die Halbtangenten in dem be- 
trachteten Punkte nicht in dieselbe gerade Linie fallen, oder ein 
Doppelpunkt, nämlich ein Schnittpunkt zweier verschiedener ein- 
facher Bögen, die beide zu der betrachteten Kurve gehören. In- 
dessen läßt sich die Untersuchung der Kurve immer auf die Unter- 
suchung der einfachen Bögen zurückführen, aus denen sie besteht. 

164. Ein einfacher Bogen AB hat eine bestimmte Länge, 
die man definieren kann als die kleinstmögliche Länge, die größer 
ist als der Umfang jedes dem Bogen einbeschriebenen konvexen 
Linienzuges (den Beweis für die Existenz der Bogenlänge über- 
gehen wir). Die Bogenlänge ist der gemeinsame Grenzwert für 
einen dem Bogen einbeschriebenen konvexen Linienzug und einen 
ihm umschriebenen konvexen Linienzug, die beide dieselben End- 
punkte haben wie der Bogen und sich so verändern, daß die Längen 
der einzelnen Stücke nach konvergieren. 

Das Verhältnis der Bogenlänge zur Sehne AB konvergiert 
gegen die Einheit, wenn die Endpunkte A und B sich derselben 
Grenzlage nähern. 

Die Bogenlänge kann in einzelnen 
Fällen durch eine genaue Konstruktion 
mit Hilfe von Zirkel und Lineal gefunden 
werden. In der Praxis kann man den 
Bogen durch eine einbeschriebene ge- 
brochene Linie mit genügend kleinen Seiten 
ersetzen. ^) 

Zur Rektifikation eines Halbkreises benutzt man folgende 
Näherungskonstruktiou (Fig. 158): AB sei ein willkürlicher Durch- 
messer eines Kreises, dessen Mittelpunkt. Auf der Tangente in 
B wird der Punkt C so bestimmt, daß c ,b 
^BOC==30^ wird. Darauf wird 
CD = 3 X Radius abgetragen. AD 
gibt dann, wie eine leichte Rechnung 
zeigt, mit hinreichender Genauigkeit 
die Länge des Halbkreises an. 

In Fig. 159 ist gezeigt, wie man 
umgekehrt den Radius eines Kreises 




Fig 13ä. 



J) 







Fig. 159. 



finden kann, dessen Umfancr die 



gegebene Länge 2^ J^at. Man 
bestimmt in 



zeichnet einen Kreis mit dem Durchmesser "^ und 

1) Näheres über graphische Rektifikationen bei Chr. Wiener, 
Lehrbuch der darsfell. Geom. /, Leipzig 1884, S. 184—190. 



140 



SiebenteB Kapitel. Ebene Kurven 



der soeben angegebenen Weise dessen halben Umfang ÄD. OE 
sei senkrecht auf ÄD. Dann ist ÄE der Radius des gesuchten 
Kreises. Denn es wird 

AE AB AT? P 

Praktisch wird es sich enapfehlen, ein für alle mal einen 

2 

Winkel herzustellen, dessen Sinus = — ist. In der Figur ist 

■^ADC ein solcher Winkel. Durch einfache Messung mit dem 
Stechzirkel kann man dann den einer gegebenen Länge der Halb- 
peripherie entsprechenden Durchmesser finden (und umgekehrt) 
(vgl. die Koordinatenabtragung S. 51). 

165. Der Schmiegung slcr eis in einem Punkte A einer Kurve 
wird definiert als die Grenzlage eines veränderlichen Kreises, der 
die Kurve in A berührt und sie außerdem in einem beweglichen 
und sich dem Punkte A unbegrenzt nähernden Punkte B schneidet. 
Der Eadius q des Schmiegungskreises für einen Punkt A 
einer gegebenen Kurve kann oft auf 
folgende Weise bestimmt werden (Fig. 
160): Von einem Punkte B der Kurve 
fällt man ein Lot BG auf die Tan- 
gente a in A. Ein Kreis, der a m A 
berührt und durch B geht, schneidet 
die Linie B C zum zweiten Mal in 
einem Punkte D derart, daß 
4 o^ 

^^ = w 

wird. Wenn nun B nach A kon- 
vergiert, während B C beständig auf a 

senkrecht ist , so konvergiei-t CD nach dem Durchmesser 2q des 

Schmiegungskreises, so daß man hat: 




Fig. 160. 



2p = lim 



AC^ 



Diese Formel gilt auch, wenn BC nicht beständig auf a senkrecht 
ist, falls es nur beim Grenzübergange nach der Normalen in A 
konvergiert. 

166. Von einer ebenen Kurve sagt man, sie erstreckt sich 
ins Unendliche, wenn kein Kreis existiert, der sie ganz umschließt. 

Wenn ein Punkt P sich kontinuierlich auf der Kurve bewegt, 
so daß sein Abstand von einem festen Punkt ins Unbegrenzte 



Einfache Bögen 141 

wächst und dabei OP sich einer festen Grenzlage nähert, so sagt 
man, daß der durch die Richtung dieser Grenzlage bestimmte und 
unendlich entfernte Punkt U auf der Kurve liegt. EiTeicht gleich- 
zeitig die Linie PU eine bestimmte Grenzlage, so heißt sie die 
Tangente der Kurve {Asiimpioie) im Punkte U. Der veränderliche 
Punkt P nähert sich dann bei seiner Bewegung mehr und mehr 
dieser Asymptote. "Wächst der Abstand des Punktes von PU 
ins Unbegrenzte, so sagt man, die Asymptote liegt unendlich fern. 
Man sieht leicbt, daß es gleichgültig ist, wo man den Punkt 
annimmt. 

Wenn ein eigentlicher Punkt M auf einer ebenen Kurve k 
durch Zentralprojektion aus einem Projektionszentrum, das außer- 
halb der Ebene der Kurve liegt, in einen unendlich fernen Punkt 
M' projiziert wird, so liegt dieser auf der Kurve A;', in die k pro- 
jiziert wird. Ferner kann man leicht erkennen, daß die Tangente 
in M an k als die Asymptote in M' an k' erscheint. Umgekehrt 
wird eine Asymptote von k in eine Tangente von k' projiziert. 

Anmerkuilg: Jede in der Praxis vorkommende Kurve (2>>'a^-- 
üsche Kurve) wird von einem wirklichen Punkt, z. B. der Spitze eines 
Bleistifts, beschrieben; die Kurve läßt sich immer in eine endliche 
Anzahl geradliniger Stücke teilen (vgl. die Fußnote S. 24, 25). Als 
Halbtangente einer praktischen Kurve MX in dem Punkte Jl 
müssen wir den von 31 ausgehenden Halbstrahl ansehen, welcher 
eine möglichst lange von 31 ausgehende Strecke mit der Kurve 
gemein hat. Um aber den Anschluß an die früher gegebene theo- 
retische Definition (161) zu erreichen, können wir sagen, daß wir 
auch bei der praktischen Kurve die Halbtangente als Grenzlage 
eines Halbstrahles 3131^ auffassen können, nur so, daß, wenn 31^ 
bei der Bewegung nach 31 hin eine gewisse Lage erreicht hat, der 
Halbstrahl 3131^ dann ganz von selbst alle die folgenden Lagen 
enthalten wird, dergestalt, daß die Grenzlage schon so praktisch 
erreicht ist. 

Als Schmiegungskreis einer praktischen Kurve 3IN in dem 
Punkte 31 müssen wir den Kreis ansehen, welcher einen möglichst 
langen von 31 ausgehenden Bogen mit der Kurve gemein hat. 
Auch hier erreichen wir den Anschluß an die theoretische Definition 
des Schmiegungskreises (165), wenn wir den nach 3L konver- 
gierenden Punkt 31^ nur so weit führen, daß der Kreis, welcher 
die Kurve in 31 berührt und durch 31^ geht, den ganzen Kurven- 
bogen M3I^ enthält. Man wird bei dieser Auffassung des Grenz- 
begriffes auch für die praktischen Kurven die in 165 gegebene 
Formel anwenden können; man muß nur beachten, daß das 



142 Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 

Resultat, wie bei allen praktischen Maßbestimmungen, mit einer 
gewissen Unsicherheit behaftet ist. 

Unter Zugrundelegung der hiermit skizzierten praktischen Auf- 
fassung der Grenzprozesse Avird man alle vorstehenden und nach- 
folgenden Untersuchungen über theoretische Kurven auch für 
praktische Kurven unmittelbar verwerten können. 

Die Momentanbewegung einer ebenen Fignr in ibrer Ebene. 

167. Wenn eine unveränderliche ebene Figur sich in ihrer 
Ebene bewegt, so kann man zivei willkürliche Lagen diesei- Figur 
zur Deckung bringen durch eine Drehung um einen geivissen Punkt 
oder durch eine Parallelverschiebung. 

Beweis : Ein Punkt Ä in der ersten Figur entspreche einem 
Punkt A^ in der zweiten Figur. Der Punkt B in der ersten Figur, 
der mit A^ zusammenfällt, entspricht einem Punkte B^ der zweiten 
Figur, der so liegt, daß AB ^ A^B^ wird. Sollte B^ wieder nach 
A fallen, so würde eine halbe Umdrehung um den Mittelpunkt 
von AAy die beiden Figuren zur Deckung bringen. Fällt aber i^^ 
nicht nach A, so können noch zwei verschiedene Fälle eintreten: 

1. A, A.^ und J?j liegen in einer geraden Linie. Dann bringt 
eine Parallelverschiebung (von der Größe und Richtung der Strecke 
AA^ AB mit A^B^ zur Deckung. 

2. A, A-^ und B^ liegen nicht in einer geraden Linie. Dann 
bringt eine Drehung um den Mittelpunkt des durch .A, A^ und 
J5j hindurchgelegten Kreises die eine Figur mit der anderen zur 
Deckung. Dieser Punkt, um den man die eine Figur drehen muß, 
um sie mit der anderen zur Deckung zu bringen, heißt der Bo- 
tationspol der beiden Figuren. 

168. Wenn eine unveränderliche Figur sich in ihrer Ebene 
kontinuierlich bewegt, so gehm die in den einzelnen Punkten der 
Figur auf den von diesen Punkten heschriehenen Kurven errichteten 
Normalen in jedem Attgenblick durch einen und denselben Punkt 
(den momentanen Rotationspol) hindurch. 

Dies folgt aus dem vorangehenden Satz, indem man zuerst 
zwei verschiedene Lagen ABC . . . und A^B^C^^. . . der beweglichen 
Figur betrachtet und darauf ^.j B-^ C\ . . . sich ABC . . . unbegrenzt 
nähern läßt. Die Mittelsenkrechten von AA^, BB^, CC^, ... 
bilden dann beständig einen Strahlenbüschel, und auch ihre Grenz- 
lagen, die Bahnnornialen in A, B, C, . . . bilden deshalb einen 
Strahlenbüschel. 

Man kann den Satz benutzen, um die Tangente an die Bahn, 



Die MomentanbewegTing einer ebenen Figur in ihrer Ebene 143 



die YOn einem •willkürlichen Punkt C der beweglichen Figur be- 
schrieben wird, zu konstruieren, wenn die Tangenten der Bahnen 
a und h für zwei Punkte A und B gegeben sind. Die Nonnalen 
von a und h in A und B schneiden einander in (dem momen- 
tanen Eotationspol). OC ist dann die Normale der Kurve, die C 
beschreibt. Durch diese Methode kann nur die Bahnnormale in 
nicht bestimmt werden. Dieser Punkt zeigt in allem ein beson- 
deres Verhalten. 

Der benutzte Grenzübergang zeigt zugleich, daß die be- 
trachtete Bewegung von der Lage ABC. . . aus immer so vor 
sich geht, daß, wenn A sich auf seiner Bahn in einem bestimmten 
Sinne bewegt, sich die übrigen Punkte auch auf ihren Bahnen 
in bestimmtem Sinne bewegen, so daß eine bestimmte Halhtangcnte 
in A und ein bestimmter Jlomenfanpol, der von A verschieden ist, 
bestimmte Halbtangenten in den übrigen Pnnhten (0 ausgenommen) 
liefern, nämlich dieselben, die man erhalten würde, wenn die Be- 
wegung eine wirkliche Drehung um wäre. 

169. Wenn eine gerade Linie AB der Figur sich so bewegt, 
daß sie beständig durch einen festen Punkt geht, so beschreibt 
der Punkt C der geraden Linie, der im Augenblick in diesen 
festen Punkt fällt, eine Kurve, die die augenblickliche Lage von 
AB in C berührt. Dies ist sehr einfach zu zeigen: Beim Übergang 
zur benachbarten Lage A^B.^ gelangt C nach C^; nähert sich nun 
A-^^B.^ der Linie AB, so nähert sich auch die Linie CC-^ der Linie 
AB, womit der Satz bewiesen ist. 

Wenn z. B. eine Strecke AB sich so bewegt, daß A eine gerade 
Linie a beschreibt, während die Linie AB durch den festen Punkt 
hindurchgeht, so be- 
schreibt B eine soge- 
nannte Konclioide (Fig. 
161). Die Tangeute dieser 
Kurve in B kann dadurch 
bestimmt werden, daß der 
momentane Rotationspol 
für die Strecke AB der 
Schnittpunkt der Senk- 
rechten von CA in C mit 
der Senkrechten von a in 
A ist. OB ist dann die Normale der Konchoide, und die gesuchte 
Tangente steht auf OB m B senkrecht. 

Aus 166 folgt sofort, daß die Gerade a eine Asymptote dei 
Kurve ist. 




Fig. 161. 



144 Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 

Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbögen). 

170. Die Tangenten in zwei Punkten M und N eines ge- 
gebenen einfachen Bogens mögen sich in T schneiden (vgl. Fig. 162). 
Der Winkel «, den die vorwärtszeigende Halbtangente durch- 
streicht, wenn der Berührungspunkt den Bogen von 31 bis X 
durchläuft, heißt die TotalTirümmung des Bogens MN\ er wird 
dem Nebenwinkel des Winkels MTN gleich. Das Verhältnis 
zwischen c (in natürlichem Winkelmaß gemessen) und der Bogen- 
länge MN heißt die mittlere Krümmung, während man den um- 
gekehrten Wert dieses Verhältnisses als den mittleren Krümmungs- 
radius des Bogens 3IN bezeichnen kann. Für einen Kreis ist die 
mittlere Krümmung unabhängig davon, welchen Bogen auf dem 
Kreis wir wählen; der mittlere Krümmungsradius ist der Radius 
des Kreises selbst. 

Betrachten wir auf einem beliebigen einfachen Bogen einen 
festen Punkt M und einen beweglichen Punkt iV, so verändert 
sich die mittlere Krümmung für den Bogen iJfiV im allgemeinen 
mit N. Lassen wir N nach M konvergieren, so kann sich mög- 
licherweise ein eindeutig bestimmter Grenzwert für die mittlere 
Krümmung herausstellen; dieser Grenzwert heißt dann die Krüm- 
mung in 31 und ihr reziproker Wert der Krümmungsradius des 
Bogens in 31. 

Wir wollen insbesondere einen solchen einfachen Bogen 
AB betrachten, der in jedem seiner Punkte eine eindeutig be- 
stimmte Krümmung hat und für den diese Krümmung kontinuier- 
lich und monoton variiert, d. h. wenn ein Punkt 31 den Bogen 
von A bis B durchläuft, soll die Krümmung, wenn sie nicht 
konstant ist, sich kontinuierlich ändern und beständig wachsen 
oder beständig abnehmen. Einen solchen Bogen nennen wir einen 
Normbogen. Wenn ein Teil eines Normbogens konstante Krümmung 
hat, ist er ein Kreisbogen; wir betrachten aber im folgenden nur 
solche Normbögen, die keine Kreisbögen enthalten. 

Die Tangenten in zwei Punkten 31 
und N eines Normbogens mögen einander 
in T schneiden, während der Schnitt- 
punkt der Normalen P sei (Fig. 162). 
Das Viereck ilfTiVP ist konvex auf jeden 

Fall, wenn £<C-^, und ihm kann ein 

Kreis über TP als Durchmesser umschrie- 
Fig. 162. ben werden. Man findet dann 




Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbögen) 145 

sin £ 

"Wenn nun N nach 31 konvergiert, so findet man 

,. MK ,. MX 
lim —. — = lim = P, 

sin E E ^ 

wo Q den Krümmungsradius in M bezeichnet, mithin 

lim TP = Q. 

Aber da T nach 31 konvergiert, konvergiert auch P nach einem 
bestimmten Punkte 0, der auf der Normalen in 31 so Hegt, daß 
310 = Q wird, und, wenn q nicht Null und nicht unendlich ist, 
der konkaven Seite des Bogens in 31 angehört. Dieser Punkt 
heißt der Krämniungsmitielpunld und der Ivreis mit dem Mittel- 
punkte und dem Radius q der Krümmumjskreis}) Dieser berührt 
die Kurve in J/, hat in 31 dieselbe Krümmung wie die Kurve, und 
wenn q nicht und nicht oo ist, fällt die konkave Seite des Kreises 
mit der der Kurve zusammen. 

171. Der geometrische Ort für die Krümmungsmittelpunkte 
eines gegebenen Normbogens AB heißt die Evolute dieses Bo- 
gens. Wir wollen beweisen, daß diese Evolute ein einfacher 
Bogen ist, der alle Normalen des Bogens AB in den zugehörigen 
Krümmungsmittelpunkten berührt. Um aber diesen Beweis durch- 
führen zu können, müssen wir zuerst die sogenannten Parallel- 
kurven untersuchen. 

Lassen wir einen Punkt 31 den Bogen AB von A bis B durch- 
laufen, so führt die Nonuale des Bogens in ifcf, als ein starres 
System aufgefaßt, eine ganz bestimmte Bewegung aus. Der Punkt 
31 dieses Systems hat eine bekannte Bahn, nämlich den gegebenen 
Bogen AB. Die Bahnen der übrigen Punkte heißen ParallelJcurien 
des Bogens AB. Es mögen nun (Fig. 163) A und B die Krüm- 
mungsmittelpunkte A^ und J5j haben, wobei AA^ < BB^, so daß 
der Krümmungsradius von A bis B beständig wächst. Auf der 
Normalen in A betrachten wir einen Punkt P. Wenn die konstante 
Strecke AP sich so bewegt, daß A den gegebenen Bogen AB 
durchläuft, während ^P beständig zu dem Bogen normal ist, durch- 



1) Umgekehrt, falls für einen einfachen Bogen der Nonnalen- 
schnittpunkt P einer bestimmten Grenzlage zustrebt, wenn N nach 
31 konvergiert, hat der Bogen den Krümmungsmittelpunkt 0. Nach 
158 und 160 folgt hieraus z. B., daß der Schmiegungskreis eines Kegel- 
Bchnittes zugleich Krümm ungskreis der Kurve ist. 

Timerding, Handbuch II 10 



146 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 




Fig. 168. 



läuft P die Parallelkm-ve PQ. Der 
augenblickliche Eotationspol (Momen- 
tanpol) für die bewegliche Strecke 
wird A-^^. Der Rotationspol für AP 
und eine neue Lage ÄP' soll näm- 
lich gleich weit von A und Ä ent- 
fernt sein und ebenso von den Nor- 
malen AP und A'P'. Er läßt sich des- 
halb bestimmen als der Schnittpunkt 
der Mittelsenkrechten von ^^' mit der 
Halbierungslinie des Nebenwinkels von 
A 0-4', wobei den Schnittpunkt der 
beiden Normalen bezeichnet. Konver- 
giert Ä nach JL, so konvergiert die 
erste dieser Linien nach der Nor- 
malen in A, die andere nach dem Lot 
auf dieser Normalen im Punkte A^^ 
da nach Ay konvergiert; ihr Schnitt- 
punkt konvergiert also nach J.^, w. z. b. w. 

Wenn nun P und A auf derselben Seite von A.^ liegen (wie 
in der Figur), so haben die von P und A beschriebenen Bahnen 
gleichgerichtete Halbtangenten, und da AA^ der Voraussetzung 
nach der kleinste Krümmungsradius des Bogens AB ist, so daß 
P und A in jedem Augenblick bei dem Verlauf der Bewegung 
auf dei-selben Seite des augenblicklichen Rotationspols liegen, 
haben die von Puud A durchlaufenen Bahnen in jedem Augenblick 
gleichgerichtete Halbtangenten. Da die von A durchlaufene Bahn 
ein einfacher Bogen ist, gilt dasselbe auch für die Bahn von P. 
Folglich : 

Wenn P auf derselben Seite von A^ tcie A liegt, tvird die von 
P beschriebene ParallelJcurve ein einfacher Bogen, der dieselben Nor- 
malen wie der gegebene Bogen hat. 

172. Wir betrachten nun die Parallelkurve, die von einem 
zu Anfang mit A^ zusammenfallenden Punkt P beschrieben wird. 
Es ist zunächst klar, daß, sowie P bei der Bewegung aus A^ in 
irgendeine neue Lage A\ gelangt ist, die Parallelkurve dem Vor- 
stehenden zufolge, jedesmal von dieser Lage aus gerechnet, ein ein- 
facher Bogen ist; sobald man also weiter beweisen kann, daß die 
Halbtangente der Parallelkurve im Punkte A^ mit der Halbtangente 
des Bogens ^.B in ^ gleichgerichtet ist, ist bewiesen, daß die 
ganze Parallelkurve ein einfacher Bogen mit denselben Normalen 
wie der gegebene Bogen ist. Wir führen den Beweis folgender- 



Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbögen) 147 



maßen: Der von Ä^ nach Ä\ gebende Halbstrahl ist sicher gleich- 
gerichtet mit einer Halbtangente eines Punktes des Bogens Ä^A\^ 
der zwischen A^ und A\ liegt, also ist er auch gleichgerichtet mit 
einer Halbtangente eines Punktes des Bogens AA'. Aber wenn 
A' nach A konvergiert, konvergiert die letztgenannte Halbtangente 
nach der Halbtangente des Bogens AB in A und der Halbstrahl 
A^A'i folglich nach einer zu dieser Halbtangente parallelen Grenz- 
lage. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß, wenn P nach A^ fällt, 
die von P beschriebene Parallelkurve ein einfacher Bogen ist. 

173. Betrachten wir jetzt auf der Normalen i?i?j einen Punkt 
R, der auf der Verlängerung von BB^ über B^^ hinaus liegt, so 
wird die Parallelkurve BS, die B beschreibt, wenn die Xonnale 
BB^ sich in die Lage AA^ zurückbewegt, ebenfalls ein einfacher 
Bogen; denn B und B liegen auf entgegengesetzten Seiten des 
augenblicklichen Eotationspols, die Halbtangenten der von B und 
B beschriebenen Bahnen sind deshalb entgegenoresetzt gerichtet, 
und dies bleibt so während der ganzen Bewegung. Die von B be- 
schriebene Parallelkurve BS ist also ein einfacher Bogen. Fällt 
B nach B^, so ergibt sich genau dasselbe, indem wir ganz ähnliche 
Betrachtungen anstellen wie vorher für den Fall, wo P nach J.^ 
fällt. Die Parallelkurve B^A^ {-^A^ = ^^i) ^st also auch ein 
einfacher Bogen. 

Auf der Normalen in A haben wir nun alle Punkte unter- 
sucht mit Ausnahme von denen, die zwischen A^ und A» liegen, 
und es hat sich gezeigt, daß alle von den 
betrachteten Punkten beschriebenen Par- 
allelkurven einfache Bögen sind, so daß die 
Punkte, die auf der Verlängerung der 
Strecke A^A^ über A^ hinaus fden Punkt 
A^ selbst mitgerechnet) liegen, Parallel- 
kurven beschreiben, deren konkave Seite 
mit dem Bogen AB gleichgerichtet ist, 
während die Punkte, die auf der Ver- 
längening der Strecke über A^ hinaus (A^ 
mitgerechnet) liegen, Parallelkurven be- 
schreiben, deren konkave Seite dem Bogen 
AB entgegengesetzt ist. 

174. Es bleiben nurnoch die Punkte 
zu betrachten, die zwischen ^j und A^ 
liegen (Fig. 164). Ein solcher Punkt P 
wird, indem er der Bewegung der Nor- 
malen folgt, einmal in eine Lage C^ kom- rig ]C4. 

10' 




148 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 



men, wo er der Krümmungsmittelpunkt für einen Punkt C des 
Bogens AB ist, und man kann dann aus dem Vorstehenden er- 
kennen, daß der Teil der Parallelkurve, der dem Bogen AC ent- 
spricht, ein einfacher Bogen PC^ ist, und ebenso, daß der Teil, 
der dem Bogen CB entspricht, gleichfalls ein einfacher Bogen C^Q 
ist; aber die beiden einfachen Bögen haben in C\ dieselbe Halb- 
tangente, die mit der Halbtangente des Bogens CB in C gleich- 
gerichtet ist. Außerdem sind die konkaven Seiten der beiden Bögen 
voneinander abgewendet. Die ganze Parallelkurve hat also eine 
Spitze erster Ai't im Punkte C^. Folglich: 

Jede ParallelMrvc, die von einem PimUe zivischen A^ und A.2 
hesdiriehen wird^ besteht aus zicei einfaclien Bögen von der Art, daß 
eine Spitze erster Art entsteht, wo diese Bögen zusammenstoßen. 

In allen Fällen haben die Parallelkunen dasselbe Normalen- 
system wie der gegebene Bogen AB. 

175. Nachdem wir so die Parallelkurven untersucht haben, 
gehen wir nun über zur Betrachtung der Evolute, d. h. des geo- 
metrischen Ortes der Krümraungsmittelpunkte. 

Für zwei beliebige Punkte M und JN" des gegebenen Norm- 
bogens AB seien die Krümmungsmittelpunkte 21^ und N^ und es 
sei MM^ < J^-^u indem wir annehmen, daß der Krümmungsradius 

von A bis B wächst. Es sei ferner die 

n 
Totalkrümmung des Bogens MN<^ - • 

Der Schnittpunkt S der beiden Nor- 
malen muß dann notwendigerweise so 
liegen, wie die Fig. 165 angibt, einer- 
seits auf der Verlängerung von il/il/^ 
über M^ hinaus und anderseits auf 
der Strecke XN^. Dies zeigt sich dar- 
aus, daß die Parallelkurve J/^^J/'j des 
Bogens MN ein einfacher Bogen ist, 
dessen konkave Seite in 31 nach der- 
selben Richtung hin liegt Avie die des 
Bogens MN in J/, und da die Linien 
M2I^ und NN^ gleichzeitig Normalen 
beider Bögen sind, liegt ihr Schnittpunkt S auf derselben Seite 
der Punkte M und M^. Betrachten wir aber die Parallelkurve 
iVjiV'j des Bogens NM, so liegt ihre konkave Seite in N^ nach 
der entgegengesetzten Richtung wie die des Bogens 3IN in N, und 
da die Linien MM^ und NN^ Normalen beider Bögen N^N\ und 
NM sind, muß der Schnittpunkt S zwischen N und jV^ liegen. 




Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbügen) 149 

Wenn nun X nach Jl konvergiert, konvergiert K^ nach J/^, 
und der Halbstrahl M^X^ muß nach der Verlängerung von 3131^^ 
über il/j hinaus konvergieren. Also hat die Evolute von 3IX in 
J/j^ eine bestimmte Halbtaugente, die auf die Normale des ge- 
gebenen Bogeus in 3£ fällt und nach der Seite hin läuft, nach der 
die konkave Seite des Bogens liegt. Da die Richtung dieser Halb- 
tangente sich beständig nach derselben Seite dreht, wenn 31 den 
Bogen i)/^"und 3[^ gleichzeitig den entsprechenden Bogen 3[^X^ der 
Evolute durchläuft, muß die Evolute ein einfacher Bogen sein. Also: 

Die Evolute eines Xormhogens AB ist immer ein einfacher 
Bogen. Die Normalen des Bogens AB sind die Tangenten der 
Evolute. 

176. Hilfssatz: "Wenn ein Kreis mit dem Mittelpunkt zwei 
Punkte iJ/und i\^mit einem einfachen Bogen h gemein hat (Fig. 1G6)^ 
findet sich auf dem Stück 31X von h 
mindestens ein Punkt ^, der zwischen 
31 und X liegt und für den die Nor- 
male durch geht. 

Enthält nämlich der Bogen 3IX 
Punkte, die innerhalb des Kreises 
liegen, so muß sich auf ihm wenigstens 
ein Punkt Q finden, der von weniger 
oder höchstens ebensoweit entfernt ist 
wie jeder andere Punkt des Bogens 
3IX-^ in diesem Punkt Q hat der Bogen 
dieselbe Tangente wie der Kreis mit 
dem Mittelpunkt 0, der durch Q geht, 
so daß OQ eine Normale wird. Liegen -pj 

von dem Bogen 3LX keine Punkte 

innerhalb des gegebenen Kreises, so muß sich in jedem Falle (wenn 
der Bogen nicht ganz mit dem Kreis zusammenfällt) mindestens 
ein Punkt Q finden, für den der Abstand OQ ein Maximum wird, 
und für diesen Punkt wird OQ eine Normale. 

Man benutzt diese Betrachtung zur praktischen Konstruktion 
der durch gehenden Normalen eines gegebenen Bogens h, indem 
man zunächst, wie die Fig. 166 zeigt, einen Kreis mit dem Mittel- 
punkt zeichnet, der den Bogen in zwei Punkten 31 und X schneidet, 
und darauf den Radius des Kreises so verändert, daß die Schnitt- 
punkte näher zusammenrücken. Um dann den Punkt Q zu finden, 
kann man den Kreisbogen 31 X und die analogen Bögen der anderen 
Kreise halbieren, worauf man eine Kurve durch die gefundenen 
Mittelpunkte legt. Diese Kurve läuft nach dem Punkt Q hin. 




150 



Siebentes Kapitel. Ebene Knrven 



177. Wir können nun den Satz beweisen: Ein Kormbogen 
hat höchstens drei Punkte mit einem Kreis gemein. Existierten näm- 
lich vier gemeinsame Punkte M^ N, P, Q (die in dieser Reihen- 
folge auf dem Bogen liegen), so könnte man von dem Mittelpunkt 
des Kreises eine Normale nach jedem der Bögen J/iV, KF, PQ, 
also mindestens drei Normalen ziehen. Es würden also von einem 
Punkt drei Tangenten an die Evolute gehen, aber dies ist nicht 
möglich, da die Evolute ein einfacher Bogen ist. 

Weiter erkennt man, daß von einem Kreis (Fig. 167), der 
durch drei beliebige Punkte M, iV, P eines Normbogens AB ge- 
legt wird, der Mittelpunkt so 
liegt, daß von ihm zwei Normalen 
an den Bogen (nämlich eine an 
den Bogen 3IN und eine andere 
an den Bogen NP), also zwei Tan- 
genten an den Bogen Aj^JB^ der 
Evolute gehen. muß deshalb 
in dem von dem Bogen A^B^ und 
den Strecken A^^S und B^S be- 
grenzten Flächenstück liegen. 

Ebenso muß von einem Kreis, 
der den Bogen in A berührt und 
durch B geht oder den Bogen in 
B berührt und durch A geht, der 
Mittelpunkt auf dem Rande {A^S 
oder B^S) des genannten Flächenstückes liegen. 

Läßt man A fest, während B sich auf dem Normbogen nach 
A zu bewegt, so ändert das genannte Flächenstück sich derart, 
daß alle seine Punkte nach A^ hin konvergieren, während B gegen 
A konvergiert. Hieraus folgt: 

1. Der Kriimmungskreis in A ist die eindeutig bestimmte Crrenz- 
lage für einen veränderlichen Kreis durch drei verschiedene PunJcte 
M, N, P des Bogens, die alle auf beliebige Weise nach A konver- 
gieren {M kann insbesondere in A festliegen). 

2. Der Krümmungskreis in A ist die eindeutig bestimmte Grenz- 
lage eines Kreises, der den Bogen in A berührt und durch einen 
nach A konvergierenden beweglichen Punkt B des Bogens geht. Der 
Krümmungskreis ist also gleichzeitig der Schmiegungskreis des 
Bogens (vgl. 165). 

3. Der Krümmungskreis in A ist die eindeutig bestimmte G-renz- 
lage für einen Kreis, der durch A geht und die Kurve in einem 
anderen nach A konvergierenden Punkte berührt. 




Fig. 167. 



Bögen mit monoton vai-iierender Krümmung (Normbögen) 151 

4. Wcnyi zwei verschiedene Punkte 31 und N des Bogens nach 
A konvergieren, so konvergiert der Kreis, der den Bogen in M be- 
rührt und durch N geht, nach dem KrUmnnmgskreis in A. Dieser 
Fall umfaßt die beiden vorhergehenden als besondere Fälle. 

Wir haben bei unserem Beweis die veränderlichen Punkte 
alle auf einer Seite von A angenommen. Man sieht aber sofort, 
daß die Überlegung hiervon nicht abhängig ist. 

178. Wir wollen nun die Lagenheziehung des Krümmungs- 
kreises zum Kurvcnbogen untersuchen. Es möge der Normbogen 
AB die Evolute A^B^ haben (AA^ < BB^) und 31 ein beliebiger 
Punkt des Bogens sein (Fig. 168). Ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
^^ , der durch 31 geht, kann außer il/ keinen 
Punkt mit dem Bogen gemein haben; dies 
folgt sofort aus dem Hilfssatz in 176, da 
von^j keine andere Normale an den Bogen 
A B (d. h. keine Tangente an die Evolute) 
gezogen werden kann als AA^. Da nun 
weiter die Normale des Bogens in 31 die 
Evolute in einem Punkt 31-^ berührt, so 
daß der Bogen A3I und der zugehörige 
Evolutenbogen A^3I^ auf derselben Seite 

der Linie 3131^ liegen , muß der Winkel '~^-. ,.--''' 

zwischen der Halbtangente des Bogens Fig. les. 

MA in 31 und der Strecke 31 A^ ein 

spitzer sein, es muß der Bogen A3I also auf jeden Fall in der Um- 
gebung von 31 innerhalb des Kreises liegen und muß deshalb auch 
ganz in dem Innern des Kreises enthalten sein. Hiernach erkennt 
man leicht, daß der Bogen 31 B außerhalb des Kreises liegt. Also: 
Wenn ein PunJd 31 den Bogen AB von A bis B durchläuft, so nimmt 
der Abstand A.^31 beständig zu. Hieraus folgt, daß der Bogen AB 
ganz außerhalb des Krümmungskreises in A liegt. 

Auf ganz ähnliche Weise zeigt man nun, daß, wenn ein Punkt 
31 den Bogen AB von A bis B durchläuft, der Abstand B^3I be- 
ständig zunimmt, woraus man schließt, daß der ganze Bogen AB 
innerhalb des Krümmungskreises in B liegt. 

Der Krümmungskreis in einem Punkt 31 des Bogens AB, 
der zwischen ^ und 5 lieg,t, muß den Bogen A3I einschließen, 
während der Bogen B3I außerhalb des Kreises liegt. Also: Der 
Krümmungskreis berührt den Normbogen in 31 so, daß der Bogen 
in M von der einen Seite des Kreises zur andern übergeht. 

179. Da die Verlängerung der Strecke B■^^A^ über A^ hinaus 
den Bogen ^jB in einem Punkte P schneidet, hat man zufolge der 




152 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 



vorstehenden Betrachtung 

AA,<PA„ BB,>PB,, 
also 

(1) BB,-ÄÄ,>Ä,B,. 

Daraus sieht man, daß der Krümmungskreis in B den Krümmungs- 
kreis in A umschließt. Folglich: Von zivei beliebigen Krümmungs- 
kreiscn eines Normbogens liegt der Ueinere immer ganz innerhalb 
des größeren. 

Der SchnittpunM S der Normalen AA^ und BB^ eines be- 
liebigen Normbogens AB liegt so, daß sein Abstand von einem ver- 
änderlichen PunTct M, der den Bogen AB 
von A bis B durchläuft^ beständig abnimmt. 
Dies läßt sich auf ganz ähnliche Weise 
zeigen wie bei den analogen Betrach- 
tungen in 178 (Fig. 169): Man geht aus 
von einem Kreis mit dem Mittelpunkt 5, 
der M enthält, und zeigt, daß dieser Kreis 
außer M keinen Punkt mit dem Bogen AB 
gemein haben kann, woraus man sogleich 
folgert, daß der Abstand SM entweder 
beständig wächst oder beständig abnimmt; 
da ferner der Punkt 8 auf der Verlänge- 
ning von A A ^ über A^ hinaus liegen muß, 
weil die Evolute A^B^ ein einfacher 
Bogen ist, muß die Halbtangente des 
Bogens MB, jedenfalls für eine Lage von 
M in der Nähe von A, einen spitzen 
Winkel mit MS bilden, und es folgt, daß der Abstand SM be- 
ständig abnehmen muß. Man hat sonach 

AS>B8. 

Wenn nun S auf der Strecke BB^ liegt, folgt hieraus weiter 

AA^-{- A^S > BB^- B^S, 
oder 

(2) BB^ — AA^<A^S -^ B^S 

Daß diese Ungleichung auch dann gtiltig ist, wenn S nicht auf 
der Strecke BB^ liegt, sondern auf der Verlängerung dieser Strecke 
über B hinaus, ist unmittelbar ersichtlich. Die Ungleichungen (l) 
und (2) kann man so zusammenfassen: 

A^B^ < BB^ — AA^ < A^S -f B^S. 




Fig. 169. 




Fig. 170. 



Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbögen) 153 

Dieses Ergebnis werden wir im folgenden (s. 181) auf den Be- 
weis eines wichtigen Satzes über die Länge des Evolutenbogens 
anwenden. 

180. Indem wir beständig annehmen, daß der Normbogen 
AB von Ä bis B einen wachsenden Krümmungsradius hat, können 
wir folgendes wichtige Resultat 
ableiten: Schneidet ein Kreis 
mit dem IlittelpunJct den 
Normbogen AB in drei Punk- 
ten 31, N und P, die in dieser 
Reihenfolge einander auf dem 
Normhogen von A bis B folgen, 
so fällt der Teil des Norm- 
bogens, der zwischen M und N 
liegt, außerhalb des Kreises, 
icährend der Teil, der zwischen 
JV und P liegt, in das Innere 
des Kreises fiült (Fig. 170). 

Von geht nämlich eine Normale OR an den Bogen 3IN 
und eine Normale OS an den Bogen NP, und da nach dem Vor- 
stehenden OR >■ ON > OS, ist der Satz bewiesen. 

Dieses Resultat kann für die praktische Zeichnung von Norm- 
bögen verwendet werden. Kennt man nämlich vier aufeinander- 
folgende Punkte il/, jV, P, Q eines Normbogens, so liegt der Bogen 
NP in dem kleinen sichelförmigen Flächenstück JVP, das von zwei 
Kreisen, einem durch 3/, V, P gehenden und einem durch JV, P, Q 
gehenden, begrenzt wird. Indem man diese Tatsache benutzt, kann 
man oft mit großer praktischer Sicherheit einen Normbogen zeich- 
nen, wenn man nur eine geringe Anzahl von Punkten auf ihm 
kennt. Wie man hierbei auch Tangenten des Bogens, die man 
kennt, verwerten kann, ist sofoi't einleuchtend. 

181. Teilt man den Bogen AB (Fig. 171) in kleinere Bögen 
A3I, 31 N, NB und wendet die in 179 gefundenen Ungleichungen 
auf jeden von diesen Bögen an, so findet man 

A^3Ii < J/J/j - AA^< A^S + 3I^S, 

3I^N^ < NN^ — J/ilfj < 31, T + N, T, 

N^B^<BB,- NN^ < N, U -\- B^U 

und hieraus durch Addition 



Umfang A^M^N^B^ <BB, - AA,< Umfang A^STUB^. 



154 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 




Fig. 171 



Auf diese Weise erkennt naan, daß BB^ — AÄ^ kleiner als jede 
dem Evolutenbogen Ä^B^ umschriebene konvexe gebrochene Linie 

mit den Endpunkten Ä^ und B^ und 
größer als jede dem Evolutenbogen 
einbeschriebene konvexe gebrochene 
Linie ist. Aber daraus folgt, daß 
die Größe BB^ — AA^ die Länge 
des Evolutenbogens angeben muß. 
Also: Die Länge der Evolute eines 
Nornibogens ist gleich der Differenz 
der Krümmungsradien in den End- 
pimMen des Nornibogens. 

Den Nonnbogen kann man 
sich sonach dadurch entstanden 
denken, daß eine gerade Linie auf 
der Evolute rollt; ein Punkt dieser Linie beschreibt dann den Norm- 
bogen. Die verschiedenen Punkte der Linie beschreiben dabei eine 
Eeihe Parallelkurven dieses Normbogens. 

182. In einem Endpunkt eines Normbogens kann der Krüm- 
mungsradius auch oder unendlich werden. Aber diese Fälle ver- 
langen keine wesentlich neue Betrachtung. Ist der Krümmungs- 
radius unendlich, so wird die Normale in dem Punkt eine Asymptote 
der Evolute. Schließlich wollen wir bemerken, daß ein Normbogen 
sich auch ins Unendliche erstrecken, einen unendlich fernen Punkt 
haben kann. Der Krümmungsradius muß dann gleichzeitig, wenn 
der Punkt ins Unendliche rückt, ins Unendliche wachsen. Die 
Evolute berührt in diesem Falle die unendlich ferne Linie. 

183. Die Kurven, die in der Praxis irgendwelche Bedeutung 
haben, kann man sich gewöhnlich durch Zusammensetzung einer 
endlichen Anzahl von Normbögen entstanden denken {Xorml:nrven\ 

Soll die Kurve eine überall konti- 
nuierlich variierende Krümmung 
haben, so müssen zwei aufeinander- 
folgende dieser Normbögen, wo sie 
aneinanderstoßen, denselben Krüm- 
mungskreis haben. Die den ein- 
zelnen Normbögen entsprechenden 
Evolutenbogen bilden zusammen 
die Evolute der ganzen Kurve, und 
jedes endliche Stück der Kurve kann 
man sich durch Rollen einer geraden 
Fig. 172b. Linie auf der Evolute entstanden 




Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbögen) 155 




Fig. 172 c. 



<ienken. Die Evolute ist eine einfache Kurve und kann die ge- 
wöhnlichen Besonderheiten darbieten. In den Figuren 172a, b, c 
ist gezeigt, wie die gegebene Kurve Je beschaffen sein muß, damit 
die Evolute e a) einen Wende- 
punkt, b) eine Spitze erster Art, 
c) eine Spitze zweiter Art be- 
sitzt. Im ersten Falle hat die 
Kurve k im allgemeinen eine 
Spitze zweiter Art, indem der 
Punkt Ä der Linie a, wenn die- 
selbe auf e rollt, zwei Bögen mit derselben Halbtangente in A be- 
schreibt, deren konkave Seite dem Punkte B zugekehrt ist. Nur 
der Punkt B selbst beschreibt beim Rollen eine Kurve mit Wende- 
punkten. In dem zweiten Falle besteht die Kurve k aus zwei Norm- 
bögen, die in Ä zusammenstoßen, ohne daß das Aussehen der 
Kurve irgendeine Besonderheit darbietet. Der Krümmungsradius 
von k besitzt in A ein Maximum oder Minimum. Im dritten Falle 
hat die Kurve k eine Spitze zweiter Art. 

184. Eine Ellipse wird durch ihre Achsen in vier Quadranten 
zerlegt, von denen jeder ein Normbogen ist. Eine Hyperbel wird 
durch die Hauptachse in , 

vier Normbögen und eine 
Parabel von ihrer Achse 
in zwei Normbögen zer- 
legt. Wir begnügen uns 
damit, die Ellipse zu be- 
trachten. Die Fig. 173 
stellt einen Quadranten 
dar. In zwei beliebigen 
Punkten A und B sind die 
Normalen gezeichnet, ihi- 
Schnittpunkt ist S. Nach 
dem Steinerschen Satz ist 
das Sechseck 12 3 4 5 6, 
von dem die Ecken 3, 4 unendlich fern liegen und 1 mit S identisch 
ist, einer Parabel umschrieben und die Linien 1 4, 2 5 und 3 6 gehen 
deshalb durch denselben Punkt B. Wenn B nach A konvergiert, 
konvergiert *S' nach dem Krümmungsmittelpunkt A^ von J., und 
man erkennt aus der Figur, daß S bei diesem Grenzübergang sich 
in der Richtung von A nach 6 bewegt, d. h. S liegt auf der Strecke 
AA^. Ebenso zeigt man, daß .S' auf der Verlängeining des Krüm- 
mungsradius B B^ liegt, und so läßt sich genau wie in 1 75 beweisen. 




Fig. 173. 



156 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 



daß die Evolute des Ellipsenquadranten ein einfacher Bogen ist, woraus 
rückwärts folgt, daß der Ellipsenquadrant selbst ein Normbogen ist! 
(vgl. 1 78 — 179). Zur praktischen Zeichnung des Ellipsenquadranten 

benutzt man in der Regel 
die Krümmungskreise in 
den Scheitelpunkten samt 
einem weiteren Punkt des 
Bogens. Die ganze Evo- 
lute der Ellipse besteht 
aus vier kongi-uenten ein- 
fachen Bögen, die in den 
Krümmungsmittelpunk- 
- ten der ScheiteljDunkte zu- 
sammenstoßen, so daß die 
Evolute vier Spitzen in 
diesen Punkten besitzt. 

Die Fig. 174 zeigt 
außer der Evolute gleich- 
zeitig drei innere Parallel- 
kurven der Ellipse, eine 
ovale, eine andere mit vier 
Spitzen und eine dritte 
mit vier Spitzen und zwei Doppelpunkten. 

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man beweisen, daß 
jede algebraische Kurve (oder allgemeiner jede anah/tische regu- 
läre Kurve) aus einer endlicJien Anzahl Normhögen susammm- 
geseizt ist}) 

Rollkurven. 

185. Wir betrachten diejenige Bewegung einer ebenen Figur 
in ihrer Ebene, welche durch das Rollen einer gegebenen Kurve r 
auf einer anderen gegebenen Kurve /' bestimmt wird. Die Bahnen, 
die dann die verschiedenen Punkte besehreiben, heißen Bollhurven. 
Wir wollen zunächst zeigen, daß der augenblickliche Rotationspol 
(Momentanpol) im allgemeinen in den Berührungspunkt der 
Kurven fällt. 

Zuerst betrachten wir den Fall, wo eine der Kurven, z. B. f 




1) Die vorstehenden Untersuchungen lassen sich also insbeson- 
dere auf diese Kurven anwenden. Sie gehen aber wesentlich weiter 
und sind vollständiger als die gewöhnlichen parallellaufenden Unter- 
suchungen der Diiferentialgeometrie. 



Eollkurven 



157 




Fig. 175. 



«ine gerade Linie ist (Fig. 175). Die Kurve r sei wenigstens in 
der Umgebung von eine einfache Kurve. Lassen wir r so weit 
auf f weiter rollen, bis der Punkt J/j^ von r in den Punkt J/g "^0° / 

fällt (OJ/j = OM^y Die 
Halbtangente f^inll^ (füi* den 
Umlaufssinn Oil/^) kommt 
dann mit dem Halbstrahl t^ 
von f (der in die Richtung 
OJ/o fällt) zur Deckung. Für 
die beiden Figuren iLfj t^ und 
Ji2^2 ergibt sich ein Rota- 
tionspol 0, der als Schnitt- 
punkt der Mittelsenkrechten 
m von 2Iy M^ und der Halbierungslinie // des Winkels TM^ kon- 
struiert werden kann. Wenn nun M^ nach konvergiert, so be- 
haupten wir, konvergieren die Linien h und m nach der Normalen 
und Tangente der Kurve r in 0, und ihr Schnittpunkt konver- 
giert nach 0, so daß dieser Punkt 
wirklich der gesuchte Momentanpol ist. 
Daß h nach der Normalen in kon- 
vergiert, folgt daraus, daß T nach 
und der Winkel 0T3L georen einen 

1 o o 

gestreckten konvergiert. Daß ni nach 
der Tangente konvergiert, ist be- 
wiesen, sobald man gezeigt hat, daß 

die Linie Jl/iilio nach der Normalen konvergiert, und dies gelingt 
auf folgende Weise (Fig. 176): Auf der Tangente in tragen 
wir in der Richtung OT die Strecken OA = der Sehne 031^ und 
TB = TJL ab. Wir finden dann 





^ 


/f' 





T 


aH, 


n 


Fig. 176. 





folglich 



OA < OJ/j < OB, 
OA < OM.^ < OB, 



die Strecke J/j M^ liegt also innerhalb des Dreiecks A J/j B, und da 
die Richtungen 31^ A und M-^B auf den Halbierungslinien der 
Winkel il/^ OA und M^ TB senkrecht stehen, so daß sie beide nach 
derselben Richtung n, die mit der Normalen in zusammenfällt, 
konvergieren, konvergiert auch M^M^ nach dieser Richtung. 

Wie man sofort sieht, gilt das Resultat auch für die Bewegung, 
bei der die gerade Linie f auf r i-ollt; die Bahn eines jeden Punktes 
von f heißt dann eine Evolvente von r. 



158 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 




Daraus erkennt man u. a., daß jede Evolvente einer einfachen 
Kurve r eine Norrnkurve ist. Die Kurve r ist Evolute aller ihrer 
Evolventen. 

186. Wir betrachten nunmehr den Fall, wo die Kurven r 
und f in der Umgebung von einfache Bögen sind und ihre kon- 
vexen Seiten einander zu- 
kehren (Fig. 177). Wir tra- 
gen auf ihnen die gleich- 
langen Bögen 031^ und 031^ 
ab und finden den Rotations- 
pol für die beiden Figuren 
ii/jfj und il/2^2 ^Is den 
Schnittpunkt der Halbie- 
rungslinie h des Winkels 
T^TT^ (dessen Nebenwinkel 
durch die Richtungen /^ und 
t^ bestimmt wird) mit der 
Mittelsenkrechten m von 

iliiil/g- ^^^ erste Linie h konvergiert nach der Normalen n in 
0; in dem Dreieck T^TT^ konvergieren nämlich 1\ und T^ beide 
nach 0, während die Winkel des Dreiecks bei Ty und Tg nach 
Null konvergieren, so daß auch die dritte Ecke T in allen Fällen 

nach konvergieren muß. Die 
andere Linie ni konvergiert nach 
der gemeinsamen Tangente der 
Kurven in 0. Trägt man näm- 
lich auf t eine den Bögen 0M^ 
und 03U gleiche Strecke 031 ab 
(Fig. 178), so konvergieren die 
Richtungen 31^31 und 3131^ zu- 
folge 185 nach derselben Nor- 
malenrichtung n und die Richtung 
il/j il/o muß deshalb auch nach n 
konvergieren, so daß die Mittelsenkrechte m von 31^31^ nach t 
konvergiert. Der Momentanpol ist also der Schnittpunkt von n 
und t, d. h. der Punkt 0. 

187. Endlich betrachten wir den Fall, daß die Kurven r und f 
nach derselben Seite hin konvex sind, wobei wir indessen die Betrach- 
tung so einschränken müssen^), daß wir voraussetzen, die Kurven 




Fig. 178. 



1) Weitergehende Untersuchungen findet man in der Abhandlung 
des Verfassers Die Geometrie der Wirklichkeit., Acta mathematica 1914. 



ßollkuiTen 



159 




sind Normkurven und haben in Ä verschiedene Krümmungskreise 
(Fig. 179). Wir tragen wie zuvor die gleich großen Bögen OM^ und 

OM^ ab und bestimmen den Momentanpol der Figuren J/^fj und ilfg ^2- 
Nach dem Vorstehenden 
genügt es zweierlei zu be- 
weisen: erstens, daß die 
Grenzlage für den Schnitt- 
punkt T der Tangenten in 
Ml und Jf, ^ wird, wenn 
J/j und J/g ^^ch kon- 
vergieren, zweitens, daß 
die Richtung J/^ M^ nach 
der Normalen w in kon- 
vergiert. 

Das erste beweisen 
wir wie folgt: die Tan- 
genten in J/^ und 31^ mögen die Tangente t in T-y und Tg schneiden. 
Das Dreieck T^I'Tg verändert sich nun so, daß T^ und Tj nach 
konvergieren, so daß die Seite T^ Tg g^gen Null konvergiert. Wenn 
man daher zeigen kann, daß eine der anderen Seiten, z. B. TTg auch 
nach Null konvergiert, so ist klar, daß T nach konvergieren muß. 
Zu diesem Zweck untersuchen wir die Winkel des Dreiecks. Die 
Nebenwinkel der Winkel OT-^^M^ und OT^M^ bezeichnen wir mit a 
und ß. Die mittlere Krümmung der beiden Bögen 031^ und OM^ 
kann man, wenn die Länge der Bögen mit s bezeichnet wird, durch 

- und — ausdrücken, und da von diesen Größen vorausgesetzt ist, 

daß sie bestimmte voneinander verschiedene Grenzwerte haben, hat 
ihr Verhältnis einen bestimmten von 1 verschiedenen Grenzwert. 

a, ß 

Das Verhältnis hat also einen bestimmten von Null ver- 

u 

schiedenen Grenzwert k, und da 

TTj sin a 



findet man 



Aber hieraus 



T,T\ 8iu(a-^)' 



lim 



folgt, daß 



= lim 



- T. (+ ^)^ 



lim TI\ = 0, so daß T gleichzeitig 



mit Tg Ji^-cti konvergiert. (Wir haben 1\, 2\ und T verschieden 
vorausgesetzt; ist dies nicht der Fall, so bat man ja unmittelbar 
TT^ = 0; wir haben weiter vorausgesetzt, daß T nicht unendlich 
fern liegt, und diese Voraussetzung ist immer gestattet, wenn 



160 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 



man den Bogen OM^ klein genug wählt, im anderen Falle würde 
nämlich beim Grenzübergang beständig den Wert Null an- 
nehmen können, wie klein auch s würde, und dies würde bedeuten, 

daß die beiden Kurven in die- 
selbe Krümmung haben.) 

Es bleibt nun noch zu zeigen, 
daß die Richtung Jfj 3I2 nach der 
Normalen in konvergiert. Wir 
tragen (Fig. 180) auf der Tangente 

t die Strecke 03£= OM^ = 03^ 
ab und betrachten das Dreieck 
M^M^M. Da 3l^M und 3UJI 
Fig. 180. nach der Normalen n in konver- 

gieren, sind die Krümmungsradien 
^j und Q2 ■^o^ *■ u^cl finO nach 165 durch die Gleichungen bestimmt 




also wird 






9i 






Aber wenn lim ^^nf 4= 1> iiauß die Seite ü/^ilfg ^^ ^®°^ Drei- 
eck ^I^II^M nach derselben Richtung konvergieren wie die beiden 
anderen Seiten 3I^M und M^M. Sonst würde sich nämlich ergeben 

1^ MM, = 1- 

Im folgenden wollen wir nun beständig voraussetzen, daß die 

betrachteten Kurven r und f 
in ihrem Berülirungspmikte 
nicM zusammen fall ende 
Krilmmungskreise besitzen, 
und tvir können dann mit 
Gewißheit behaupten, daß 
der Momentanpol ist. 

188. Um die Rollkurve 
zu konstruieren , die von 
einem Punkte Ä^ beschrieben 
wird, wenn r auf f rollt, 
wählen wir auf r eine Reihe 
Punkte M^Nj_ . . . P^, und 
Fig. 181. finden auf f die entsprechen- 




Rollkurven 



161 



den Punkte M^N^ . . P.,, so daß die Bögen 03/^, ON^, . . . 0I\ 
den Bögen OM.^, OX^ ,. . . OP, der Reihe nach gleich sind (Fig. 181). 
(Wenn die Bogenlänge nicht exakt abgetragen werden kann, wählt 
man die Punkte so, daß die Sehnen 031^ = M^X^ = . . . 031.-, 
= M^N^ . . . einer passend gewählten kleinen Strecke gleichge- 
macht werden.) Hierauf suchen wir die verschiedenen Lagen, die 
A^ einnimmt, wenn J/j,Xj, . . . P^ nacheinander auf 31^, X^, . . . P., 
fallen. Für P^ und P, führt man das so aus, daß man die Tan- 
genten P^^j und P^B 2 zieht, den Kreisbogen -4 j^^j mit dem Mittel- 
punkt Pj schlägt und diesen in seine neue Lage A^B^ (mit dem 
Mittelpunkt Pg und dem Radius A^P-^) überführt, wodurch A^ be- 
stimmt ist. Der Ki-eis -Bg-^g berührt die Rollkurve in A^. Prak- 
tisch reicht es deswegen aus, Kreise mit den Mittelpunkten ü/o, X^. 
. . . Pg und den Radien 31^ A^, -^i^n ■ • . P^A■^^ zu schlagen. Alle 
diese Kreise berühren die gesuchte Kurve, und diese ist deshalb 
gi'aphisch mit hinreichender Genauigkeit bestimmt. 

189. Konstruktion des KrihninungsmittelpunJctes einer Roll- 
Tcurve (Fig. 182). Der Punkt A^ (=4= 0) beschreibe die Rollkui-ve 
^1 -i4.2, wo A^ der Lage von 
r entspricht, die diese 
Kurve annimjnt, wenn 31^ 

nach 31^ gelangt (031=, 

= 031^). Die Normale in 
A^ ist die Linie A^ und 
die Normale in Ao ist 
A^3I^. Die beiden Nor- 
malen schneiden einan- 
der in X, und wenn 31^ 
und 31^ nach 0, A^ nach 
Ai konvergieren, konver- 
giert X nach dem Krüm- 
mungsmittelpunkt der 
Rollkurve in A^. Wir 
wollen nun sehen, wie sich 
dieser Krümmungsmittel- 
punkt bestimmen läßt. 

Den Normalen in A^ und Ao gibt man solche positive Rich- 
tungen a und «21 *^^ß diese bei der Bewegung von A^ nach A.2 
kontinuierlich ineinander übergehen, und der Linie iLTj^j, die bei 
der Rollbewegung in 3T^A^ übergeht, gibt man eine entsprechende 
positive Richtung a^. Die gemeinsame Tangente und Normale 

Timerding, Handbuch II 11 




Fig. 182. 



162 Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 

der Kurven r und f in versieht man mit den positiven Rich- 
tungen t und w, und zur Bestimmung der Winkel führt man einen 

solchen positiven Umlaufsinn ein, daß <^ (tn) = + -^ wird. End- 
lich erteilt man den Tangenten in M^ und üfg solche positive 
Richtungen t^ und t^, daß sie beim Grenzübergang kontinuierlich 
in t übergehen. 

Man findet dann folgende Beziehung zwischen den Winkeln: 

woraus 

(aa^) = (aai) + (tu) - (tf^). 

Dividiert man diese Gleichung durch die Bogenlänge 5 = OJf^ = OM^'' 
so erhält man 

(««g) ^ (««i) , (^t^ _ (tt^ _ 

S SS s 

Lassen wir nun M^ und Jfg nach konvergieren, so konvergieren 
alle Glieder auf der rechten Seite nach bestimmten Grenzwerten. 
Zunächst hat man nämlich 

lim ('i) = i, ii„ ff« _ 1, 

wenn q^ = OH und q^ = OF die Krümmungsradien von r und f im 
Punkt bedeuten, mit bestimmten Vorzeichen '(positiv in der 
Richtung n) genommen, und weiter findet man aus der Betrach- 
tung des Dreiecks OÄ-^II^ 

lün ^^^ = lim ^^i^ = lim "" (^^ V 

also , . • /. > 
,. iaa,) sm (taj 
hm ^ — — = :_ ' 

So erhält man schließlich 

Diesen Wert bezeichnen wir mit Je. 

Aus der Betrachtung des Dreiecks N03I^ folgt aber 

Bin(aag) 8in(0iif, ,a) 



also 



OJif, ilf^iV^ 



,. sin (oa.) ,. 6ia.(0M,,a) ^ 
lim —^=- = hm ^ — - = Tc. 



Rollkurven 



1G3 



Da nun der Zähler in dem Verhältnis ' ' — nach sin (fa) 

konvergiert und sin (ta) und k nicht gleichzeitig Null sein können 
(weil ^j =f= Qi)-! konvergiert der Nenner M^N beim Grenzübergang 
nach einem bestimmten Grenzwert, so daß N nach einem bestimm- 
ten Punkt Äi auf a konvergieren muß. Die Existenz des 
Krümmungsmittelpunktes A\ ist damit bewiesen, und es wird 
sin {ta) , 

Die Formel (l) liefert nun 



(ö"^: - öiv) '"' "^^^^ = i 



Diese Formel bestimmt den gesuchten Krümmungsmittelpunkt A^'. 
Betrachtet man verschiedene Punkte P auf a, so entspricht 
jedem ein bestimmter Krümmungsmittelpunkt P' auf a der- 
art, daß 



(2) 



(ö'p - oV) ^^" (^«) = 7,-}, 



wird. Fällt a mit n zusammen, so wird (ta) = 90*^, also 

Macht man 0P= q^ [=^ 0), so erhält man OP' == pg, also fällt 
von der Bahn, die von dem awjenblicMlch in den Krümmungsmiüel- 
pxinM B der Kurve r fallenden PunJd P hese-firiehen ivird, der Krüm- 
mung smittelpunkt mit dem 
Krümmung smiHelpunlä F der 
festen Kurve f zusammen. 
Vergleicht man (2) mit (3), 
so erkennt man weiter, daß 
jedes Punldepaar P und P' 
von n durch Projektion auf 
a ein paar zusummengehörige 
PmJcte P und P' auf dieser 
Linie liefert. 

Hieraus leitet man nun 
eine einfache Konstruktion 
des Krümmungsmittelpunk- 
tes P' ab , der zu einem 
beliebig gegebenen Punkte P 




164 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 



von a gehört (Fig. 183). B und F werden auf a in Q und Q' pro- 
jiziert, man findet dann (wenn a von t und n verschieden ist): 



oder 



1 
ÖP 

1 
ÖP 



1 
Ö~P' 

1 



1 

1 

OP' ' 



1 

1 

ÖQ'' 



Hieraus folgt durch Vereinigung der Brüche 

QP __ Q'P' 
OPOQ op'oq' 

Die beiden letzten Faktoren OQ und OQ' in den Nennern dieser 
Brüche sind unmittelbar zu QR und Q' F proportional und können 
deshalb durch diese Werte ersetzt werden. Indem wir gleichzeitig 
die Brüche umkehren, erhalten wir 

OP ■ QR _ OP' ■ Q 'F 

QP Wp' ' 

Aber diese Gleichung sagt aus, daß die Linien PR und P' F auf 
einer senkrecht zu a durch gezogenen Linie p dieselbe Strecke 









p_ 

n ■'• 
R 


y.-.^Si 






...-- 








.-■/'' 


«» -, 








j 


:■,; 


yr 






\ 


■v^^ 




t 




w 


/ 


'-'' 


"^ 




..- f 




/ 


—.^ 


K 






sy:-:: 


:1 




p 


Fig. 14. 





GZ abschneiden. Man findet damit folgende Konstruktion: Man 
ziehe PR bis zum Schnitt mit dem auf a in errichteten Lot und 
verbinde den Schnittpunkt Z mit F. Diese Verbindung slinie schnei- 



Rollkurven 1(35 

clet a in dem gesuchten KrümmungsmUtdxmrikt P' (Euler-Savarysche 
KonstruJdioii). 

Aus der Konstruktion geht unmittel l)ar hervor, daß, tvenn P 
die Linie a durchläuft^ die von P und P' beschriebenen PunMreihcn 
projektiv iverden, und diese Punldreihen haben einen einzigen Boppd- 
punli, nämlich 0. 

Dieser Satz gilt auch dann, wenn a mit n zusammenfällt, da 
die Punktreihen auf der beliebigen Linie a durch Projektion der 
Punktreihen auf n entstehen. Für einen Punkt P von n kann man 
deshalb den zugehörigen Krümmungsmittelpunkt P' auf folgende 
Weise bestimmen (Fig. 184): Parallel zu der Tangente / wird 
liS^ = Oll und FS.-> = OF abgetragen, so daß S^S^ durch geht. 
Die Linien S^P und S^P schneiden dann t in demselben Punkt T; 
da nämlich die Punktreihen (OliP . . .') und (OFP' . . .) projektiv 
sind, mit als einzigem Doppelpunkt, Averden die Strahlenbüschel 
S-^^OPP . . .) und S^iOFP' . . .) zueinander perspektiv mit der 
Perspektivitätsachse t. 

190. Die Konstruktion zeigt zugleich, wie man zu einem 
gegebenen Punkt P' den entsprechenden Punkt P finden kann. 
Läßt man P' auf n in unendliche Entfernung räcken, so fällt P 
in einen Punkt oj, der dadurch bestimmt ist, daß die Linie S^w 
auf t ein Stück OU = OF (das mit FS^ gleichgerichtet ist) 
abschneidet. In dem Punkt m hat die Bahn einen unendlich 
großen Krümmungsradius. Dasselbe gilt aber für alle Punkte, die 
aus CO durch senkrechte Projektion auf die verschiedenen geraden 
Linien a durch (die Linie t ausgenommen) entstehen. Alle diese 
Punkte liegen auf einem Kreis über Oco als Durchmesser, welcher 
der Wendekreis heißt. Der Punkt oj selbst heißt der Wendepol. 

Die auf S. 162 gefundene Gleichung (l) 

,. {aa^) sin (ta) 1 , 1 

zeigt, daß der Winkel (««2) ^™^ hinreichend kleine positive Werte 
von s sein Vorzeichen beibehält, solange die Größe auf der rechten 
Seite ihr Vorzeichen nicht wechselt. Hieraus erkennt man, daß, 
wenn für ein Stück der von Ä^ beschriebenen Kollkurve (Fig. 182) 

^^ =t= und -^-^ — entweder beständig größer oder bestündig 

kleiner als ist, die Normale und damit die Tangeute für 

dieses Stück monoton vai-iiert, so daß das Kurvenstück für Total- 
krüramungen < % ein einfacher Bogen ist; hierbei ist jedoch noch 



166 Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 

vorauszusetzen, daß die beiden Halbtangenten eines jeden Punktes 
des Kurvenstücks verschieden sind, und es wird diese Bedingung 
immer dann erfüllt sein, wenn bei der Rollbewegung die Kurve r 
auf der einen Seite von f liegen bleibt. 

Alle Punkte innerhalb des Wendekreises beschreiben Bahnen, 
deren konkave Seite im Augenblick vom Momentanpol abge- 
kehrt ist, während die Punkte außerhalb des Kreises Bahnen be- 
schreiben, deren konkave Seite dem Momentanpol zugekehrt ist 
(vgl. Fig. 184). 

Punkte, die im Augenblick auf der Tangente (aber außerhalb 0) 
liegen, beschreiben Bahnen, deren gemeinsamer Krümmungsmittel- 
punkt nach der Formel (2) S. 163 in dem Momentanpol liegt, und 
wenden die konkave Seite diesem Punkte zu. 

Den Punkt, der im Augenblick im Momentanpol liegt, haben 
wir bisher von unseren Untersuchungen ausgeschlossen. Um auch 
über die von diesem Punkt beschriebene Bahn Aufschluß zu erhal- 
ten, betrachten wir die Figuren 175, 177, 179; indem der Punkt 
31^ bei dem Rollen der Kurve r auf f sich dem Punkte M^ nähert, 
wird der Halbstrahl M^M^ sich einer bestimmten Grenzlage n 
nähern, die auf die Normale der Kurve /' in il/g fällt; dies geht 
aus wesentlich denselben Betrachtungen hervor, die wir in 185 — 187 
angestellt haben. Weiter ergibt sich ganz ebenso, daß bei Fortsetzung 
der Bewegung von 31^ über den Punkt J/g hinaus die dabei be- 
schriebene Bahn genau dieselbe Halbtangeute n haben muß, wenn 
nur die Kurve r bei der ganzen Bewegung auf der einen Seite 
von f liegen bleibt ; die von il/j beschriebene Bahn wird dann in 
J/g eine Spitze aufweisen. Den Kiiimmungsmittelpunkt erhalten 
wir als Grenzlage für den Schnittpunkt der beiden Bahnnormalen t^ 
und O-ü/j (s. die Figuren), wenn ili^ gegen M,^ konvergiert; in den 
beiden Fällen, die in den Figuren 175 und 177 dargestellt sind, 
wird die gesuchte Grenzlage, wie unmittelbar ersichtlich, nach M^ 
fallen. Der Krümmungsradius ist also Null. In dem dritten Falle 
(Fig. 179) stellen sich besondere Schwierigkeiten ein; der Krüm- 
mungsradius Avird dann nicht immer Null sein. 

191. Allgemeine stetige Bewegung in der Ebene. Wir be- 
trachten eine beliebige, endliche Anzahl verschiedener Lagen 2^^, 
.^2, 2.^, . . . einer unveränderlichen Figur 2, die eine vorgesehriebene 
Bewegung in der Ebene ausführt, wobei diese Lagen in der an- 
gegebenen Ordnung durchlaufen werden. Die Rotationspole für je 
zwei aufeinanderfolgende der Lagen 2^^, Z^i • • ■ seien Ä, B, C, D, . . .. 
während die zugehörigen Rotationswinkel von E^ nach S^, von 
-Sg nach S^ usw. die in Fig. 185 angegebenen Größen «, /i, ;', . . . 



/^/ 








D ö' 


E, 


Fig. 185. 





Rollkurven 167 

haben mögen. Wir konstruieren eine gebrochene Linie AB-^G^D^... 

derart, daß ^5^ = ^jB, B^C^ = BC, C^D^ = CD usw. wird, 

während ■^ÄB^C^=^ÄBC2. <^BiCiDi = <i:BCD.i usw. wird. 

Denken wir uns dann die Figur 2^ mit 

der gebrochenen Linie AB^C^D.^ , . . ^i 

fest verbunden, während diese auf der 

I) 
gebrochenen Linie ABCB . . . rollt, so \ / 

kommt 2^j der Reihe nach in die Lagen 

Da man nun bei jeder praktisch vor- 
kommenden Bewegung die Anzahl der 
Lagen S^. Z^.,. . . so groß wählen kann, 
und entsprechend den Rotationswinkel 
für zwei aufeinanderfolgende dieser 
Lagen so klein, daß die Bewegung durch 

diese Lagen vollkommen bestimmt ist, £ 

kann man die Bewegung einer Figur 

in einer Ebene praktisch immer dadurch zustande bringen, daß 
man eine bestimmte Kurve r auf einer festen Kurve f ohne zu 
gleiten rollen läßt und sich die bewegliche Figur mit der Kurve 
r, während diese auf f rollt, fest verbunden denkt. Dieses prak- 
tisch gewonnene Resultat hat aber bei theoretisch genau definier- 
ten Bewegungen nur eine beschränkte Gültigkeit. 

Die Kurve f ist der geometrische Ort der momentanen Ro- 
tationspole für die verschiedenen Lagen der beweglichen Figur, 
während man eine bestimmte Lage von r als den geometrischen 
Ort aller Punkte der Figur erhält, die der Reihe nach in die 
momentanen Rotationspole fallen, r und f berühren sich beständig 
in dem momentanen Rotationspol. Die zwei Kurven heißen die 
Polkurven der Bewegung. f 

192. Beispiel: Eine .-"-t """"7 

Strecke A B gleitet mit ihren End- 
punkten auf zwei gegebenen ge- \ /--- 
raden Linien a u/nd &, die sich t\ / •" ,. 
in C schneiden (Fig. 186). \ / / / \ Nf 

Den momentanen Rota- 
tionspol findet man als den Q 
Schnittpunkt der Senkrechten 
auf a und h m A und J?, CO 
ist daher ein Durchmesser des 
durch die Punkte ABC gehen- 
den Kreises, und da die Länge 



'^n 


7 -^ ------ 


VrM 


V 


. - - 's 


V 1^' 


c\ 


Fig. 186. 


,/'A : a 



168 Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 

AB konstant ist und ebenso natürlich auch die Winkel zwischen 
A C und B C, ist der Durchmesser C konstant. Der geometrische 
Ort für ist daher ein Kreis f mit dem Mittelpunkt C und dem 
Radius CO. 

Die Kurve r, die auf f rollen soll, um die gegebene Bewegung 
hervorzurufen, enthält die Punkte, die, indem sie sich mit der 
Strecke -4 jB bewegen, der Reihe nach in die momentanen Rotations- 
pole fallen. Aber da die Lage von gegen AB dadurch charak- 
terisiert wird, daß der Winkel zwischen A und B konstant ist, 
muß r der Kreis sein, der durch A, B und C hindurchgeht. 

Man sieht nun, daß die Bögen A und A^ gleich groß werden 
(uäj^ ist der Schnittpunkt von CA und /), weil OCA Peripherie- 
winkel im Kreise r und Zentriwinkel im Kreise f ist. Ebenso 
werden die Bögen B und B^ gleich groß. Wenn r auf f rollt, 
werden also wirklich die Punkte A und J5 die beiden Geraden a 
und h durchlaufen. Ein beliebiger Punkt P auf r durchläuft ebenso 
eine gerade Linie PC. 

Ein beliebiger Punkt Q, der nicht auf r liegt, beschreibt eine 
Ellipse. Denn der Durchmesser ST von r, der durch Q geht, 
gleitet mit seinen Endpunkten S und T auf den beiden festen zu- 
einander senkrechten Linien CS und CT (Vgl. 132). 

Weitere Sätze über Rollbewegungen findet man in folgenden 
Werken : 

L. Burmester, Lehrbuch der Kinematik I, Leipzig 1888. 

A. Schoen flies, Geometrie der Beivegung in synthetischer Dar- 
stellung, Leipzig 1884. 

A. Mannheim, Principes et developpements de geome'trie cine- 
matique, Paris 1894. 

Vgl. dazu Enzyklopädie d. math. Wissensch. IV, 3, 9 : Kinematik 
(Schoen flies-Grübler). 

Zyklisclie Kurven. 

193. Die Bahnen der einzelnen Punkte bei der Bewegung, 
die dadurch bestimmt wird, daß ein Kreis r auf einem festen Kreis 
f rollt, werden mit einem gemeinsamen Namen als zyklische Kuroen 
bezeichnet. In dem Grenzfall, wo /'in eine gerade Linie übergeht, 
heißen sie Zykloiden. Wenn r eine gerade Linie wird, heißen sie 
Kreisevolventen (eigentliche oder uneigentliche, je nachdem der sie 
beschreibende Punkt auf r liegt oder nicht). 

In dem allgemeinen Falle, wo weder r noch /"unendlich groß 
werden, unterscheidet man zwischen EpizykloidenundHypogykloiden, 



Zyklische Kurven 



169 




Fig. 187. 



je nachdem der Kreis r innerhalb oder außerhalb des Kreises f 
liegt. In Fig. 187 ist eine Konstruktion für die Punkte einer 
Epizykloide gegeben, die von einem augenblicklich auf der Zen- 
tralen der beiden Kreise liegenden Punkt A beschrieben wird. Wir 
tragen zwei gleich große Bögen OM und ON auf den beiden 
Kreisen ab und lassen ;• so weit rollen, daß M nach N konamt. 
Die neue Lage A^ des Punktes A findet 
man auf folgende Weise: man dreht A um 
den Mittelpunkt Ji des rollenden Kreises r 
in der Anfangslage, bis es in eine solche 
Lage -4j kommt, daß M durch dieselbe 
Drehung nach dem anfänglichen Berüh- 
rungspunkt der beiden Kreise fällt; A^ 
liegt dann auf dem Radius JBü/^, wobei 
031^ = OM. Eine darauf folgende Dreh- 
ung um den Mittelpunkt F des Kreises /", A 
die den Punkt nach N bringt, führt den 
Punkt ylj in den gesuchten Punkt A.^ über. 
Die genannten beiden Drehungen führen 
nämlich r in seine neue Lage über. Ein 
Kreis mit dem Mittelpunkt N und dem 
Radius MA schneidet auch den Kreis, der den Mittelpunkt F hat 
und durch A^ geht, in dem gesuchten Punkt A^. Bei dieser Be- 
stimmung muß man sich aber vor der Zweideutigkeit hüten, die da- 
durch entsteht, daß die genannten Kreise zwei Schnittpunkte haben. 
Man behalte der Sicherheit halber im Auge, daß -^A.^ FA^ = <5C OFN 
sein muß. (Vgl. auch 188). 

Die hier betrachtete Kurve ist geschlossen, wenn der Kreis r 
nach einer gewissen Zahl von Umläufen um den großen Kreis in 
seine Anfangslage zurückkehrt, wenn also die Radien der beiden 
Kreise ein rationales Verhältnis haben. In der Figur ist die Zen- 
trale B.F eine Symmetrieachse der Kurve; sie schneidet die Kurve 
in einem Doppelpunkt P. Die konkave Seite der Kurve bestimmt 
man nach der früher angegebenen Regel (190). Je nachdem der 
die Kurve beschreibende Punkt A innerhalb oder außerhalb des 
Kreises r liegt, erhalten wir eine gcsircclde oder eine verschlungene 
Ep'tzyTdoidr. In dem Grenzfalle, wo der Punkt A auf dem Kreise 
r liegt, bekommen wir eine gespitzte Epizykloide, die Kurve er- 
hält überall da eine Spitze, wo der Punkt A auf den festen Kreis 
F fällt (190). 

194. Geht der Punkt A bei der Bewegung in einen Punkt 
auf dem der augenblicklichen Lage von r entsprechenden Wende- 



170 



Siebentes 'Kapitel. Ebene Kurven 



kreis über, so erhält die Kurve in diesem Punkt im allgemeinen 
einen Wendepunkt, es geht nämlich dann die Krümmung der Kurve 
von der einen Seite nach der anderen Seite über*). Dies gilt aber 
nicht, wenn A in den Wendepol cd fällt, denn dann bleibt beim 
Rollen des Kreises r rückwärts und vorwärts der Punkt Ä außer- 
halb des Wendekreises; wenn A in den Momentanpol fällt, ent- 
steht wie oben genannt eine Spitze. 

Damit der Punkt A eine Kurve mit Wendepunkten beschreiben 
kann, muß der Abstand BA der Größe nach zwischen Reo und 

BO liegen. Gehen wir von einer 
Lage aus, wo der Punkt A auf 
der Zentralen BF der beiden 
Kreise liegt (Fig. 188), so wird 
ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
B und dem Radius BA den 
Wendekreis in zwei Punkten J.j 
und B schneiden. Der Bogen 
GM, den BB auf r abschneidet, 
werde auf f abgetragen, so daß 

ON = OM wird. Läßt man r 
so lange rollen, bis 31 nach N 
kommt, so wird^ bei der neuen 
Lage gerade auf den Wendekreis 
fallen. Denn die in Rede stehende 
Bewegung läßt sich durch zwei 
Drehungen ausführen, die erste 
um B, so daß A nach A^ kommt, und die andere um F, so daß 
nach N kommt, und da die letzte Drehung ebenfalls den zu der 
anfänglichen Lage von r gehörenden Wende- 
kreis in den zu der neuen Lage von r ge- 
hörenden Wendekreis überführt, erlangt A^ 
eine Lage A^ auf diesem letzten Wende- 
kreis ; A.2 ist also ein Wendepunkt auf der 
von A beschriebenen Kurve. 

195. Jede Epi- oder Hypozykloide 
kann auf zwei verschiedene Weisen erzeugt 
werden. Wir wollen den Satz nur für den 
Fall beweisen, daß der beschreibende Punkt 
Fig. 189. auf dem rollenden Kreise liegt. In Fig. 189 

1) Wir schließen dabei den Fall aus, wo der Wendekreis mit r 
zusammenfällt. Dieser Fall ist in 192 behandelt. 





Zyklische Kurven 



171 



ist die Epizykloide AB dadurch erzeugt, daß r auf / rollt. BO 
schneidet f in 0^. Man beschreibt nun einen Kreis i\, der durch 
B geht und f in Oj berührt. Da die drei Kreisbögen BO^, BO 
und 00^ denselben Zentriwinkel haben, und die Summe der Sehnen 
BO und OOi gleich B 0^ ist, wird die Summe der Bögen BO 

und 00^ gleich dem Bogen BOy Da nun AO = BO, hat man 

auch AO^ = BOi- "Wenn der Kreis )\ auf f rollt, beschreibt dem- 
nach B dieselbe Bahn, wie wenn r auf f rollt. Die Epizykloiden 
werden also auf doppelte Weise beschrieben, einmal indem der 
roUende Kreis dem festen Kreis anliegt, das andere Mal, indem er 
ihn umschließt. Aus B 0^ — B = 00^ folgt, daß der Eadius von 
f gleich der Differenz der Radien von i\ und r ist. 

Bei den Hypozykloiden wird dagegen der Radius des festen 
Kreises gleich der Summe der Radien der beiden rollenden Kreise, 
durch die sich die Hypozykloide erzeugen läßt. Der rollende Kreis 
fällt jedesmal in den festen Kreis hinein. Das eine Mal umschließt 
er den Mittelpunkt des festen Kreises, das andere Mal liegt dieser 
Mittelpunkt außerhalb von ihm. 

196. Jedi^ gespitzte Epi- oder HypozyMoide ist ihrer Evolute 
ähnlich. Die Epizykloide Z: in Fig. 190 werde von einem Punkte 
A beschrieben, während r auf f rollt. Der 
Krümmungsmittelpunkt K werde nach der 
Euler-Savaryschen Konstruktion bestimmt, 
indem man die Senkrechte OB auf ^0 im 
momentanen Berührungspunkte mit AR 
in B schneidet, B ist dann der A diametral 
gegenüberliegende Punkt von r, und BF 
schneide AO im Punkte K. Das Yerhält- 

. FK FO . 
ms -^Tü = Tf.^ ist konstant. Daraus folgt , 

daß die Evolute von /.; der von dem Punkte B 
beschriebenen Epizykloide ähnlich ist. Aber 
die von B beschriebene Kurve ist h kon- 
gruent, also ist die Evolute auch der Kurve 
k ähnlich. 

Da man nun nach einem früher be- 
wiesenen Satz (l8l) die Länge eines beliebigen Bogenstückes der 
Evolute finden kann, kann man auch die Länge eines beliebigen 
Bogens der gegebeneu Epizykloide bestimmen. 

Näheres über zyklische Kurven findet man in folgenden Werken: 
F. Reuleaux, Theoretische Kinematik, Braunschweig 1875. 




Fig. 190. 



172 Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 

L. Burmester, Lehrbuch d. Kinematik, Leipzig 1888, I. Bd., 
II. Abscbnitt. 

Chr. Wiener, Lehrbuch d. darstellenden Geometrie, Leipzig 
1887, IL Bd., VIII. Abschn. 

Fr. Schilling, Über neue kinematische Modelle (Zeitschrift für 
Math, und Physik, Bd. 44, 1899, Bd. 51, 1904). 

Fr. Schilling, Über die Anwendungen d. darst. Geometrie, 
Leipzig und Berlin, 1904, S. 31—40. 

G. Loria, Spezielle ebene algebraische und transzendeitte Kurven, 
Leipzig 1902, S. 461 ff. 

Enzyklopädie der math. Wissenschaften, III D, 4: Besondere 
transzendente Kurven (S che ff er s). 



Hüllkurven. 

197. Hat man eine geordnete Reihe von unendlich vielen 
Kurven, die man sich durch kontinuierliche Änderung einer ge- 
gebenen Kurve konstruiei't denken kann, so kann man unter Um- 
ständen von einem Schnittpunkte einer Kurve a des Systems mit 
ihrer konsekutiven Kurve sprechen. Man versteht darunter die 
Grenzlage des Schnittpunktes von a mit einer veränderlichen Kurve 
des Systems, die sich a unbegrenzt nähert, a kann mehrere Punkte 
mit seiner konsekutiven Kurve gemein haben, aber wir nehmen 
an, man könne einen so kleinen Bogen von a ins Auge fassen, 
daß nur ein Schnittpunkt in Betracht kommt. Unter der Hüllkurve 
des Systems versteht man dann den geometrischen Ort für die 
Schnittpunkte der konsekutiven Kurven des Systems. Praktisch 
wird man eine solche Hüllkurve bilden können, indem man in 
dem System eine Reihe von Kurven a , Oj^ , a^, . . . 
auswählt, so daß diese in der angegebenen Reihen- 
folge in dem System aufeinander folgen. Die Schnitt- 
punkte von je zwei aufeinanderfolgenden dieser 
Kurven (Fig. 191) bezeichnen wir mit A, A^^ A^, 
. . . Sie bilden eine Punktgruppe, die einander mit 
den Kurven a, a^^, a^, . . . näher und näher rücken 
und so, indem ihre Anzahl gleichzeitig hinreichend 
Flg. 191. groß wird, die gesuchte Hüllkurve bestimmen. 

Da die Linien AA^, A^A^, • . sich gleichzeitig Tangenten 
der Systemkurven nähern (wobei wir voraussetzen, daß diese 
weder eine Spitze noch einen Doppelpunkt in dem betrachteten 
Punkte haben), erkennt man, daß die Hüllkurve jede der System- 
kurven in ihren Schnittpunkten mit der konsekutiven Kurve 




HüUkurs-en 



173 



berühren. Dieses Resultat hat aber bei theoretisch genau definierten 
Kurven nur beschränkte Gültigkeit. 

Jede einfache Kurve ist die Hüllkurve ihrer Tangenten. 

198. Wir nehmen nun an, daß unser Kurvensystem durch 
Bewegung einer unveränderlichen Kurve a erzeugt sei (vgl. Fig. 
191). Bei dem Übergänge von a in die benachbarte Lage a-y wird 
«in gewisser Punkt Ä auf a nach dem Schnittpunkt A von a und 
«1 gelangen. Da Ä nach A durch Drehung um den Rotationspol 
der beiden Figuren a und a^ gelangt und da der hierbei beschrie- 
bene kleine Kreisbogen ÄA sich der Berührung mit a nähert, 
berührt a seine Hüllkurve in einem Punkte, dessen Normale durch 
den momentanen Rotationspol für die Figur a hindurchgeht. Man 
findet also die Punkte, in denen a die gesuchte Hüllkurve berührt, 
indem man aus dem momentanen Rotationspol die Normalen auf 
a fällt. 

199. Beispiel: Die Hüllkurve einer Strecke AB von kon- 
stanter Länge, die mit ihren Endpunkten auf zwei zueinander senk- 
rechten Linien a und b gleitet (Fig. 192). 

Der momentane Rotationspol ist der Schnittpunkt der 
Normalen von a und b in A nnd B. Das Lot OM Yon AB trifi't 
^J5 in einem Punkte M der 
gesuchten Kurve. Von dem Kreis 
f liegt der Mittelpunkt C in dem 
Schnittpunkt von a und b, sein 
Radius CO schneidet die Strecke 
AB in ihi-em Mittelpunkt X und 
ist ihr an Länge gleich. Der 
Kreis r über XO als Durch- 
messer geht durch den Punkt 31 
hindurch. Setzen wir nun 
^ OCMy = a, so wird der 
•^ ONM = 2 a. Also wird der 
Bogen OM auf dem Kreise r 
in Gradmaß gleich viermal dem Bogen 031^ auf dem Kreis f. 




haben die Bögen 310 und 31^0 dieselbe Länge. Der geome- 
trische Ort für 31 wird also die Hjpozykloide, die 31 be- 
schreibt, wenn dieser Punkt dem im Kreise f rollenden Kreise r 
folgt. Die Hypozykloide hat vier Spitzen, die auf a und h liegen. 
Daß die gefundene Kurve die Strecke AB wirklich in allen 
ihren Lagen berührt, ist nun ganz klar. Die Kurve heißt eine 
Astroide. 



174 



Siebentes Kapitel. Ebene Kurven 



Gegenpunktkurven, Brennkurven, Pußpunktkurven. 

200. Unter der Gegenpunktkurve einer gegebenen Kurve / 
bezüglich eines Punktes P versteht man den geometrischen Ort 



Q^ 




Fig. 193. 



für den Punkt Q^ der zu P 
symmetrisch ist in bezug auf 
die Tangenten der gegebenen 
Kurve. 

Die Gegenpunktkurve 
ist die Bahn, die Q beschreibt, 
wenn dieser Punkt mit der 
zu /"bezüglich der Tangente t 
symmetrischen Kurve r fest 
verbunden ist und diese Kurve 
r auf f rollt (Fig. 193). Rollt 
nämlich r in die neue Lage 
rj, so daß J/ nach il/j, die 
Tangente m dieses Punktes in die Lage tUy und Q nach Q^ rückt, 
so findet man: die Figur PJf^m^ ist symmetrisch zu QJIm^ und 
da diese mit Q^^I-^m^^ kongi-uent ist, sind die Figuren PM^nii 
und ^j JfjWj symmetrisch, also liegen Pund Q^ symmetrisch zumj^. 

Wenn demnach P ein leuchtender Punkt 
ist und f eine spiegelnde Kurve, vrelche die 
von P ausgehenden Lichtstrahlen zurück- 
wirft, so werden die zui-ückgeworfenen Strah- 
len eine Kurve umhüllen, welche die Brenn- 
Jcurve für f bez. des Punktes P heißt. Der 
Lichtstrahl PO wird aber zurückgeworfen 
in der Richtung QO, wobei Q symmetrisch 
zu P bez. der Tangente f in ist. Da ^0 
nun die Normale der Gegenpunktskurve von 
f bez. P wird, sieht man, daß die Brennkurve 
die Evolute der Gegenpmikthurve ist. 

Kennt man den Krümmungsmittelpunkt 
F von /", so kann man durch die Euler-Sa- 
varysche Konstruktion den Punkt B finden, 
in dem QO die Brennkui-ve berührt (Fig. 194). 
Unter der Fu ßpurMliurve von f bez. P versteht man den 
geometrischen Ort für die Projektion von P auf eine Tangente 
von f. Man erhält also die Fußpunktkurve, indem man die Gegen- 
punktkurve von dem Zentrum P aus in dem Verhältnis 1 : 2 ähn- 
lich verkleinert. 




Fig. 194. 



Achtes Kapitel. 
Umdrehungsflächen. 

Allgemeine Erzeugung der Kurven und Flächen. 

201. Für Raumkurven benutzen wir ganz ähnliclie Definiti- 
onen der Begriffe Tangente und Halbtanr/ente, wie wir sie bereits 
für ebene Kurven aufgestellt haben (161). Ein Bogen AB ohne 
Doppelpunkte wird im folgenden als gewöhnlicher Bogen bezeichnet, 
wenn jeder Punkt des Bogens, welcher nicht mit einem der End- 
punkte A oder B zusammenfällt, zwei entgegengesetzte Halb- 
tangenten aufweist, welche dann zusammen die Tangente in dem 
Punkte ausmachen; auch die Endpunkte A und B sollen bestimmte 
Halbtangenten haben, welche zusammen mit ihren Verlängerungen 
die Tangenten in A und B bilden. Jede Linie, die auf der Tan- 
gente im Berührungspunkte senkrecht steht, heißt eine Normale. 
Eine Ebene, die zu der Tangente im Berührungspunkte senkrecht 
ist, heißt eine Xormalclene der Kaumkurve in diesem Punkte. 

Liegen von einem geivöhnlichen Bogen AB die Endpunkte A 
und B in einer bestimmten Ebene TT, so gibt es auf dem Bogen 
ivenigstens einen PunJct P, der von A und B verschieden ist, und 
dessen Tangente zur Ebene TT paraUel ist. Der Punkt P auf dem 
Bogen, dessen Abstand von der Ebene ein Maximum wird, muß 
nämlich die erwähnte Bedingung erfüllen (vgl. 161). 

Bei der Zusammensetzung einer Raumkurve aus gewöhnlicheu 
Bögen können Punkte auftreten, für welche die beiden Halb- 
tangenten zusammenfallen. Man sagt, daß die Kurve in einem 
solchen Punkte eine Spitze hat. 

202. Wenn ein Punkt auf der Kurve sich auf ihr so kon- 
tinuierlich fortbewegen kann, daß sein Abstand von einem will- 
kürlichen festen Punkt im Räume ins Unendliche zunimmt, und 
die Linie OP gleichzeitig eine feste Grenzlage erreicht, so sagt 
man, daß der durch die Richtung dieser Grenzlage bestimmte un- 
endlich ferne Punkt U auf der Kurve liegt. Hat gleichzeitig die 



176 Achtes Kapitel. Umdrehungsflächen 

Linie P TJ eine bestimmte Grenzlage, so heißt diese die Tangente 
(Asymptote) der Kurve in U. Der veränderliche Punkt P nähert 
sich dann bei der Bewegung mehr und mehr dieser Asymptote. 
Wenn der Abstand des Punktes von PU ins Unendliche wächst 
und dabei die Ebene OPU sich einer bestimmten Grenzlage nähert, 
so sa<7t man, daß die durch diese Grenzlage bestimmte unendlich 
ferne Linie eine Asymptote der Kurve im Punkte V ist. Die Wahl 
des Punktes hat keinen Einfluß auf das Resultat. 

In einer Raumperspektive, bei welcher U einem eigentlichen 
Punkt CTj entspricht, entsprechen die gegebene Kurve und ihre 
Asymptote einer neuen Kurve und deren Tangente in TJ^. Um- 
gekehrt, wenn ein eigentlicher Punkt T' auf der Kurve bei der 
Raumperspektive in einen unendlich fernen Punkt F^ übergeht, 
so geht die entsprechende Kurve durch diesen Punkt und ihre 
Asymptote in F^ entspricht der Tangente der ersten Kui've in F. 
Diese Sätze folgen unmittelbar aus unseren Definitionen, wenn 
man den Punkt im Zentram der Perspektive wählt. Die Resul- 
tate können in folgendem allgemeinen Satz zusammengefaßt werden : 

Ein Pmikt und die Tangente in ihm, die zu einer gegebenen 
Kurve gehört, gehen durch eine ivillkürUche HaumperspeJctive über 
in einen PunJct und die Tangente in ihm, die zu der entsprechenden 
Kurve gehört (vgl. 166). 

203. Eine Fläche wird erzeugt durch die Bewegung einer 
Kurve, wobei die Kurve nicht unveränderlich zu sein braucht. Aber 
selbst wenn die Kurve sich verändert, kann man sich doch denken, 
daß ihre einzelnen Punkte bestimmte Bahnen haben. Wenn ein 
Bogen b der Kurve sich aus einer Lage in eine andere bewegt, so 
durchläuft er ein gewisses Stück der Fläche (ein elementares 
Flächenstück), das die von den Punkten des Bogens b durch- 
laufenen Bahnen enthält. Wir setzen voraus, daß das elementare 
Flächenstück folgende Eigenschaften besitzt: 

1. Man kann es sich durch zwei Systeme von gewöhnlichen 
Bögen erzeugt denken, so daß durch jeden Punkt des Flächen- 
stückes ein und nur ein Bogen jedes der beiden Systeme geht. 

2. Zwei beliebige Bögen verschiedener Systeme schneiden 
einander höchstens in einem Punkt, und ihre Tangenten in einem 
solchen gemeinsamen Punkt sind verschieden. 

3. Wenn ein Punkt P sich stetig auf der Fläche bewegt, so 
werden die Tangenten der beiden erzeugenden Kurven in P sich 
auch stetig bewegen. 

Durch einen beliebigen Punkt A der Fläche mögen die 
beiden erzeugenden Kurven a und h gehen und außerdem eine be- 




Allgemeine Erzeugung der Kurven und Flächen 177 

liebige Kurve c der Fläche (Fig. 195). Wir wollen nun zeigen, 
daß die Tangenten der drei Kurven in Ä derselben Ebene ange- 
hören müssen. Eine neue erzeugende Kurve 
aus demselben System wie a sei mit a^ be- 
zeichnet und schneide auf b und c die Punkte 
A^ und Ä^' aus. Eine Ebene durch A, J.^ 
und A^' enthält dann die beiden Geraden 
AA^ und AAj^ und ist zu einer gewissen 
Tangente des Bogens A^A^' parallel. Wenn 
A^' sich auf der Kurve c dem Punkte a 
nähert, gehen die beiden erstgenannten Geraden AA^ nnd AA^ 
in die Tangenten von h und c über, während die Tangente des 
Bogens A^A^' nach unserer dritten Voraussetzung^) in die Tan- 
gente von a übergeht. Es liegen also wirklich die drei Tangenten 
von a, b und c in derselben Ebene. 

Also: In jedem Punkt A des FlächenstücJces findet man eine 
bestimmte Tangentialebene, d. h. eine Ebene, welche die in A be- 
rührenden Tangenten aller Kurven enthält^ die auf der Fläche 
liegen und durch A gehen. 

Das Lot auf der Tangentialebene im Berührungspunkt A 
heißt die Normale in A. Eine Linie, die eine Kurve auf der 
Fläche berühi-t, heißt eine Tangente der Fläche. Wenn die Tan- 
gentialebene in a mit der Fläche keinen durchs gehenden Kurven - 
bogen gemein hat, so sagt man, die Fläche sei in A konvex. Wenn 
hingegen die Tangentialebene die Fläche in einem oder mehreren 
durch A gehenden Bögen schneidet, so sagt man, die Fläche sei 
in A unkonvex. 

204. Man sagt, daß eine Fläche einen unendlich fernen 
Punkt TJ enthält, wenn sie eine Kurve enthält, die durch U geht. 
Wenn die in U berührenden Asymptoten aller Kurven der Fläche, 
die durch ü gehen, in einer bestimmten Ebene liegen, heißt diese 
Ebene eine Asymptotenebene (eine Tangentialebene in U). In einer 
Raumperspektive, die U in einen eigentlichen Punkt U-^ über- 
führt, entspricht die Asymptotenebene der in U^ berührenden 
Tangentialebene der homologen Fläche. Umgekehrt kann man aus 
der Existenz dieser Tangentialebene auf die Existenz der Asymp- 
totenebene schließen. 

205. Zwei Flächen können einander in einer Kurve schnei- 
den. Die Tangente in einem Punkt dieser Kurve wird bestimmt als 



1) Bei dem Beweis brauchen wir so diese Voraussetzung nur für 
das eine der beiden Kurvensysteme zu machen. 

Timerding, Handbuch II 12 



278 Achtes Kapitel. Umdrehungsflächen 

die Schnittlinie der Tangentialebenen der beiden Flächen in dem 
betreffenden Punkte. Fallen die Tangentialebenen zusammen, so 
muß die Aufgabe auf andere Weise gelöst werden. Wenn die 
beiden Flächen in jedem Punkte einer Kurve, die ihnen beiden 
angehört, dieselbe Tangentialebene haben, so sagt man, die Flächen 
berühren sich längs dieser Kurve. 

Wenn zwei Teile derselben Fläche einander schneiden, so 
heißt die Schnittkurve eine Dojjpellurvr der Fläche. Zwei Teile 
einer Fläche können längs einer Kurve /.' so zusammenstoßen, daß 
sie sich durch die Bewegung eines Bogens, der eine auf Je lie- 
gende Spitze besitzt, erzeugen lassen, wobei die Tangente in der 
Spitze niemals mit der Tangente von Je zusammenfällt und die 
zwei von der Spitze ausgehenden Zweige der Kurve jeder einen 
der beiden Flächenteile durchlaufen. Je heißt in diesem Falle 
SpitzJcante der Fläche. 

Der Kegel, den die von einem gegebenen Punkt an eine be- 
stimmte Fläche gelegten Tangenten erfüllen, heißt der Fläche um- 
scJirieben. Er beiührt im allgemeinen die Fläche längs der Kui've, 
die von den Berühiimgspunkten aller Tangenten gebildet wird. 
Der Kegel kann sich in besonderen Fällen in verschiedene ein- 
zelne Kegel, auch in mehrere Ebenen auflösen. 

206. Eine Fläche bringt man zur Anschauung durch die 
Projektion einer Reihe von Kurven, die auf der Fläche liegen. 

Folgende Kurven spielen in dieser Hinsicht eine besondere 
Eolle: 1. die Berührungskurve Ä- der Kegelfläche, die der Fläche 
umschrieben werden kann und deren Spitze im Zentrum der Pro- 
jektion liegt; 2. Doppelkurven d und Spitzkanten s der Fläche. 
Die Projektionen Ä:', d' und 5' von Je, d und s heißen die Haupt- 
Unien in dem Bilde der Fläche. Die Fläche wird als undurch- 
sichtig angenommen, und die Projektionen der sichtbaren Teile aller 
Kurven werden voll ausgezogen, während man die Projektionen der 
unsichtbaren Teile punktiert. In den einfachsten Fällen, wo keine 
Doppelkurven oder Spitzkanten vorhanden sind, bildet die Kurve Je' 
oder ein Teil von ihr die Kontur oder den Umriß des Flächen- 
bildes, nämlich die Begrenzung des Teiles der Bildebene, die von 
dem Bilde der Fläche erfüllt wird. Die Projektion einer Kurve auf der 
Fläche, die /." in einem Punkte P schneidet und deren Tangente in P 
kein Projektionsstrahl ist, berührt 7."' in der Projektion des Punktes P. 

Will man nur einen Teil einer Fläche darstellen, so muß man 
natürlich das Bild der Begrenzung dieses Teiles zeichnen.-^) 

1) Für die in der Praxis vorkommenden Raumkurven und Flächen 
(praJitischen Baumkurven und Flächen) gelten genau ebensolche Be- 



Darstellung einer ümdrehungsfläche in Grund- und Aufriß 179 

Darstellung einer Umdreliungsfläclie in Grund- und Aufriß. 

207. Eine ümdrehungsfläche wird dadurch erzeugt, daß eine 
Kurve k sich um eine feste gerade Linie o, die Achse der Fläche, 
dreht. Bei- der Umdrehung bleibt jeder Schnittpunkt von h und a 
fest. Jeder andere Punkt von h beschreibt einen Kreis, dessen 
Ebene zu a senkrecht ist und dessen Mittelpunkt auf a liegt. Alle 
diese Kreise heißen Parallelkreise. Wenn die Fläche sich um a 
dreht, so verschiebt jeder Parallelkreis sich in sich selbst. Die 
ganze Fläche verschiebt sich auch in sich selbst und kann deshalb 
durch jede Kurve erzeugt werden, die alle Parallelkreise schneidet. 
Die Kurven, in denen die Fläche von den Ebenen durch a, den 
^leridianebenen^ geschnitten wird, heißen Mcrkliankuneu. Alle 
Meridiankurven sind kongruent und bestehen aus zwei symmetri- 
schen Teilen, von denen, wenn der eine gegeben ist, der andere 
sofort gefunden werden kann. 

Ist die erzeugende Kurve k ein gewöhnlicher Bogen, so hat 
jeder Punkt P der Fläche, der nicht auf der Achse liegt, nach 203 
eine einzige bestimmte Tangentialebene. Man muß dabei aber 
voraussetzen, daß k den durch P gehenden Parallelkreis nicht be- 
rührt und nur einen Punkt mit ihm gemein hat. Die Tangential- 
ebene in P läßt sich bestimmen durch die Tangente an k und die 
Tangente an den Parallelkreis in P. Sie ist senkrecht zu der 
Meridianebene aP. Die Normale der ümdrehungsfläche in P muß 
also die Achse schneiden. Dreht man P um a, so schneidet die 
Tangentialebene a immer in demselben Punkt, dieser wird so die 
Spitze eines Rotationskegels, der die Fläche längs dem von P be- 
schriebenen Parallelkreis berührt. Diese Kegelfläche kann in be- 
sonderen Fällen in eine zu a senkrechte Ebene oder eine Zvlinder- 
fläche mit der Achse a übergehen. 

Die Normale in P beschreibt bei der Umdrehung um die 
Achse ebenfalls einen Eotationskegel, dessen Spitze auf der Achse 
liegt. Diese Spitze ist gleichzeitig der Mittelpunkt einer Kugel, 
welche die Umdrehungsfläche längs dem gegebenen Parallelkreis 
berührt. 

Die geraden Linien, die durch die Punkte einer gegebenen 



merkungen, wie wir sie früher für ebene Kurven gemacht haben (S. 141). 
Jede Tangente einer solchen Kurve hat ein endliches Stück mit der 
Kurve gemein, und jede Tangentialebene einer derartigen Fläche hat 
ein endliches Fläcbenstück mit der Flüche gemein. Die Kurve läßt 
sich aus einer endlichen Anzahl von geradlinigen Stücken zusammen- 
setzen und die Fläche aus einer endlichen Anzahl ebener Flächenstücke. 

1-2 • 



180 



Achtes Kapitel. Umdrehungsflächen 



Meridiankurve gehen und auf der Ebene der Meridiankurve senk- 
recht stehen, sind Tangenten der Parallelkreise. Also kann man 
längs jeder Meridiankurve der Fläche einen Zylinder umschreiben, 
von welchem die gegebene Meridiankurve ein senkrechter Quer- 
schnitt ist. 

Wenn die Meridiankurve die Achse a rechtwinklig schneidet, 
dann erfüllen die Tangenten in dem Schnittpunkt eine gewöhnliche 
Tangentialebene. Schneidet hingegen der Meridian die Achse a 
unter einem schiefen Winkel, so erfüllen die Tangenten im Schnitt- 
punkt P einen Rotationskegel. Der Punkt P selbst ist ein singu- 
lärer (konischer) Punkt der Fläche. 

Hat die Meridiankurve einen nicht auf a fallenden unendlich 
fernen Punkt U mit einer eigentlichen Asymptote p, so wird die 
Ebene TT, die wir durch p senkrecht zur Meridianebene legen, 
eine Asymptotenebene der Fläche im Punkt U. Die Asymptoten- 
ebene TT erzeugt bei der Drehung um a einen Rotationskegel, der 
ein Asymptotcnl^eficl der Fläche heißt. Nur wenn p zu a senkrecht 
ist, geht der Asymptotenkegel über in eine Ebene, die die Um- 
drehungsfläche längs einer unendlich fernen geraden Linie berührt. 
208. In Fig. 196 ist eine (Jmdrehungsfläche mit lotrechter 
(zum Grundriß senkrechter) Achse a dargestellt. Die Meridian- 
kurve m (der Hauptmcridian) in der Ebene parallel zur Aufriß- 
ebene sehen wir als gegeben an. Ein Punkt P der Fläche, dessen 

Grundrißprojektion P' 
gegeben ist, wird mit 
Hilfe des Parallel- 
kreises k durch P be- 
stimmt; die Grundriß- 
projektion dieses Par- 
allelkreises kann so- 
fort gezeichnet wer- 
den. Nachdem man die 
Grundrißprojektion Q' 
des Schnittpunktes Q 
von ]c und m bestimmt 
hat, findet man leicht 
die Aufrißprojektion 
Q" (im vorliegenden 
Falle ergeben sich zwei 
Lösungen, aber in der 
Figur ist nui- die eine 
Fig, |(j6. angegeben) und damit 




Darstellung einer Umdrehungsfläche in Grund- und Aufriß 131 



die Aufrißprojektion des Parallelkreises. P" findet man dann durch 
Hinaufloten von P' auf die Aufrißprojektion des Parallelkreises. 
Die Tangentialebene TT in P findet man durch Drehung der 
Tangentialebene in Q. Von dieser letzten Tangentialebene ist die 
Aufrißspur e^' die Tangente der Meridiankurve in Q" und die 
Gnindrißspur e^' zur trennenden Achse senkrecht. Diese Grundriß- 
spur dreht man um die Grundrißprojektion a der Achse herum, 
bis sie zu aP' senkrecht wird. Aus der so gefundenen Grund- 
rißspur e^ ist die Aufrißspur sofort zu finden. Man kann auch die 
Ebene TT daraus finden, daß sie die Tangente PS der Meridiankurve 
in P enthalten und auf der Meridianebene P« senkrecht stehen muß. 

209. An eine gegebene Umclrekungs fläche soll eine Tangen- 
tialebene parallel zu einer durch ihre Spuren e^ und e^ gegebene 
Ebene gelegt ic erden (Fig. 
197 ). Die gegebene Ebene 
dreht man um die lot- 
rechte Linie h, bis sie 
zur Aufrißebene senkrecht 
wird. Dies kann man auf 
zwei Arten erreichen; q^ 
und Tg mögen die zuge- 
hörigen Aufrißspuren sein. 
Man zieht nun die Tan- 
genten an den Hauptme- 
ridian parallel zu q^ und 
/•g, die Berührungspunkte 
seien Q und II. Der Be- 
rührungspunkt der ge- 
suchten Tangentialebene 
liegt dann auf dem Par- 
allelkreis durch Q bzw. P, und auf dem Parallelkreis wird der 
gesuchte Berührungspunkt P durch die zu e^ senkrechte Linie 
aP' bestimmt. 

210. Wenn die Umdrehungsfläche wie in den vorstehenden 
Figuren bestimmt wird, so fällt die Kontur im Aufriß mit der Pro- 
jektion des Hauptmeridians zusammen. Aber es kann Teile des 
Hauptmeridians geben, die von der Fläche vei-deckt werden und 
somit nicht zu der eigentlichen Kontur gehören. Dagegen gehört 
die Aufrißprojektion des höchsten und tiefsten Parallelkreises auf 
der Fläche (wenn solche Kreise existieren) mit zur Kontur. 

Die Grundrißkontur wird durch die senkrechte Projektion 
des größten und kleinsten Parallelkreises auf der Fläche gegeben. 




Fig. 197. 



182 



Achtes Kapitel. Umdrehungsfläclien 




In der folgenden Fig. 198 ist eine Umdrehungsfiäche dar- 
gestellt, deren Achse a eine schräge Frontlinie und deren Haupt- 
meridian m ist. Wir suchen die Kontur der Fläche im Grundriß. 
Längs dem Parallelkreis c legen wir an die Fläche eine berührende 

Kugel mit dem Mittelpunkt 0. 
Der horizontale Hauptkreis h 
dieser Kugel schneidet den Par- 
allelkreis in zwei Punkten, deren 
Tangentialebenen vertikal sind 
und deren Grundrißprojektionen 
somit zur Grundrißkontur ge- 

hören. Der eine dieser Punkte 

sei S. Die Tangente t der Kon- 
tur in S' ist die Grundrißspur 
der Tangentialebene in S und 
fällt mit der Tangente von Je 
zusammen, t schneidet a in der 
Grundrißprojektion der Spitze 
des längs dem Parallelkreis be- 
rührenden Kegels, a ist eine Symmetrielinie der Kontur. Die 
Punkte der Kontur auf a findet man aus den vertikalen Tangen- 
ten von m" und, wo solche nicht existieren, aus den Schnitt- 
punkten von m" und a" . 




Fig. 198. 



Ebene Sclmittkurveii einer Umdreliungsfläche. 

211. Um den Schnitt einer Umdrehungsfläche mit einer 
Ebene TT zu bestimmen, schneidet man diese Ebene mit einer 
Reihe von Hilfsebenen, die zu der Achse der Fläche senkrecht 
sind. Jede solche Ebene schneidet die Fläche in einem Kreis, die 
Ebene TT in einer geraden Linie. Dieser Kreis und diese Gerade 
schneiden einander in Punkten der gesuchten Kurve. Die Tangente 
in einem Punkte der gesuchten Kurve findet man als die Schnitt- 
linie der Ebene TT mit der Tangentialebene der Fläche in dem 
betrachteten Punkt. 

Stellt die Achse der Umdreliungsfläche vertikal, so werden 
die Hilfsebenen horizontal, ihre Schnittkreise werden im Grundriß 
als Kreise dargestellt, und die Schnittkurve läßt sich sofort zeich- 
nen. Dabei sind folgende Punkte besonders zu beachten: 

1. Die Punkte A und B (Fig. 199), die in der Grundriß- 
projektion den Übergang vom sichtbaren zum unsichtbaren Teil 
der Kurve bestimmen, also die Punkte auf dem Konturkreis li. 



Ebene Schnittkurven einer ümdrehungsfläche 



183 



Die Grundrißprojektion der Schnittkurve berührt Je' in der Figur 
in A' und B'. 

2. Die Punkte P und Q, die in der Aufrißprojektion den 
Übergang vom sichtbaren zum unsichtbaren Teil der Kui"ve be- 
stimmen. Diese liegen auf 

dem Hauptmei'idian und wer- O 

den gefunden durch den 
Schnitt dieses Hauptmeri- 
dians mit der Frontlinie /", 
in der die gegebene Ebene TT 
die Ebene des Hauptmeri- 
dians schneidet. Die Aufriß- 
projektiou der Kurve berührt 
in der Figur die Aufrißpro- 
jektion des Hauptmeridians 
in P" und Q". 

3. Die Scheitel der 
Schnittkurve. Eine Ebene 
durch a senkrecht zur Schnitt- 
ebene teilt diese und die Um- 
drehungsfläche symmetrisch 
und ist deshalb auch eine 
Symmetrieebene für die 
Sehnittkurve. Die Schnitt- 
linie s dieser Symmetrieebene mit der Ebene TT ist also eine 
Achse der Kurve und, wenn sie Punkte der Kurve enthält, 
sind diese Scheitel der Kurve. (Wir nehmen an, daß die 
Kurve weder Spitzen noch Doppelpunkte enthält.) Die Scheitel 
finden wir also als die Schnittpunkte von s mit der Fläche. 
Wir drehen s um a in die Hauptmeridianebene hinein, wo- 
bei sie die Lage Sj erreiche. Dann bestimmen wir die Schnitt- 
punkte von s^ mit dem Hauptmeridian und drehen nach s 
zurück. 

4. Unendlich ferne Punkte. Wenn die ümdrehungsfläche eine 
oder mehrere Asymptotenkegel besitzt, so bestimmen die Seiten- 
linien dieser Kegel, die der Schnittebene parallel sind, die unend- 
lich fernen Punkte der Schnittkurve. Schneidet man also jeden 
der Asymptotenkegel mit einer Ebene, die der Ebene TT parallel 
ist und durch die Spitze des Kegels geht, so schneiden die Tan- 
gentialebenen des Kegels längs den gefundenen Seitenlinien die 
Ebene TT in den Asj-mptoten der Schnittkurve (vgl. 218). 

212. Der Krümmungskreis in dem Scheitel 31 eines ebenen 




Fig. 199. 



184 



Achtes Kapitel. Umdrehungsflächen 



N 



Schnittes einer Umdrehungsfläche kann bestimmt werden, indem 
man die Schnittebene TT mit einer Kugel schneidet, welche die Um- 
drehungsfläche längs dem durch il/ gehenden Parallelkreis k berührt. 
Eine Kugel, die durch k und einen Parallelkreis k^ geht, 
der einen Punkt 31^ der Schnittkurve in der Nach- 
barschaft von J/ enthält, trifft nämlich die Schnitt- 
ebene in einem Kreis, der die Kurve in M berührt 
und durch il/^ geht, und dieser Kreis nähert sich 
dem Krümmungskreis in 31, wenn k^ sich k nähert. 
In Fig. 200 ist die Fläche bestimmt durch die 
Achse a und die Meridiankurve m, die beide in der 
Zeichenebene liegen. Die Schnittebene TT ist senk- 
recht auf der Zeichenebene und hat die Spur e. 
Der Krümmungsradius 3IK der Schnittkurve im 
Scheitelpunkt 31 ist dann die Projektion von 31 N auf e, wenn 
MN die Normale von m in 31 bezeichnet. 



K 



Fig. 200. 



Das einschalige Umdreliungshyperboloid. 

213. Ein einschaliges ümdreJmngshyperioloid wird erzeugt 
durch die Drehung einer geraden Linie f um eine Achse a, die f 

nicht schneidet und zu /' nicht 
senkrecht ist. 

Zwei verschiedene Lagen 
der Erzeugenden, f und f^ , kön- 
nen einander nicht schneiden. 
Fände sich nämlich ein Schnitt- 
punkt *S', so müßte dieser bei der 
Drehung von f in f^ entweder 
fest bleiben oder in einen an- 
deren Punkt auf f^ übergeführt 
werden. Das erste ist unmög- 
lich, weil f die Achse a nicht 
schneidet, und das andere ist un- 
möglich, weil /' auf a nicht 
senkrecht steht. 

Der kleinste Parallelkreis 
(Kehlkreis) der Fläche ist der, 
dessen Radius der kürzeste Ab- 
stand von f und a ist. Parallel- 
kreise, deren Ebenen von der 
Fig. 201. Ebene des Kehlkreises gleichen 





Das einschalige fmdrehungshyperboloid 185 

Abstand haben, sind gleich groß. Hieraus folgt: 1. Die Ebene 
des Kehlkreises ist eine Symmetrieebene der Fläche. 2. Der Mittel- 
punkt des KeJdkreises ist auch 3Iittelpnnkt der Fläche. 

In Fig. 201 ist a zum Grundriß senkrecht und f zum Aufriß 
parallel angenommen. A ist die Grundrißspur von f und B der 
Punkt von f, der von der Ebene des Kehlkreises denselben Ab- 
stand hat wie Ä. Die von A und B beschriebenen Parallelkreise 
liefern dieselbe Grundrißprojektion k. Eine beliebige Erzeugende f\ 
der Fläche findet man, indem man auf dem Kreise k gleiche Bögen 
AA-^ und B' By nach derselben Seite abträgt. 

Da f bei der Drehung der Reihe nach alle Punkte der Fläche 
durchläuft, gehört zu einem beliebigen Punkt P auf der Fläche 
eine Lage von f. Die Tangentialebene in P enthält diese Er- 
zeugende und ist senkrecht auf der Meridianebene durch P. 

214. Da jede Meridianebene eine Symmetrieebene der Fläche 
ist, liegt auch die zu /' bezüglich der Hauptmeridianebene sym- 
metrische Linie g auf der Fläche. Sie hat die Grundrißspur 2L 
und schneidet den Parallelkreis durch B im Punkt N. Da die 
Gerade g alle Parallelkreise sehneidet, durchläuft sie bei der 
Drehung um a die ganze Fläche. Jede Lage von g ist symmetrisch 
zu einer beliebigen Lage von /' bezüglich einer Meridianebene. 
Denn 21 und N' liegen bei der Drehung beständig symmetrisch 
zu A und B' bezüglich eines Durchmessers von k. Das Um- 
drehungshyperboloid enthält also zicei verschiedene Systeme von 
geraden Linien. Zu-ei Linien desselben Systems schneiden sich nie, 
zwei Linien verschiedener Systeme schneiden sich immer. Dtirch jeden 
Punkt P der Flüche gehen zwei Erzeugende, eine von jedem System. 
Diese bestimmen die Tangentialebene der Fläche in dem Punkte P. 

Wir sagen von zwei geraden Linien a und /", die einander 
nicht schneiden und nicht zueinander senkrecht sind, daß sie in 
Bechtssiellung sind, wenn ein Beobachter, der sich längs der einen 
Linie aufstellt, die andere vor sich rechts nach unten zeigen sieht. 
Im entgegengesetzten Falle sagen wir, die Linien sind in Links- 
sfellung. Wenn eine Person den linken Arm in die Höhe streckt 
und den rechten Arm vorwärts schräg nach oben hält, können die 
beiden Arme zwei Linien in Rechtsstellung vorstellen. Streckt 
die Person hingegen den rechten Arm in die Höhe und den linken 
Ann vorwärts schräg nach oben, so stellen die Arme zwei Linien 
in Linksstellung dar. In Fig. 201 sind a und f in Rechtsstellung, 
a und g in Linksstellung. Die Erzeugenden des Systems f heißen 
deshalb Bechtstr zeug ende, während die Erzeugenden des Systems g 
Linkserzeugende genannt werden. 



186 



Achtes Kapitel. Umdrehungsflächen 




Fig. 202. 



215. In Fig. 202 schneidet die Erzeugende f die Parallel- 
kreise & und c in den Punkten B und C. Durch f sind zwei 
Ebenen gelegt, von denen die eine h und c in N^ und Pj, die 
andere in N^ und P^ schneidet. Die Linien N^P.^^ und ZVgPo sind 
dann Erzeugende des Systems g. Jede von ihnen liegt nämlich 

symmetrisch zu /' bezüglich einer Meridian- 
ebene. Wir bezeichnen sie mit g^ und g^. 
Wenn nun /' die Fläche durchläuft, wäh- 
rend g^ und ^2 fßst bleiben, bleibt beständig 
K^B P^ C und Is\ B P^ C. Die Ebenen g^ f 
und g^f beschreiben projektive Ebenen- 
büschel, da ihre Schnittlinien mit der Ebene 
von h kongruente Strahlenbüschel durch- 
laufen. Der bewegliche Schnittpunkt F der 
beweglichen Erzeugenden /' und einer festen 
Ebene TT, die g^ oder ^g nicht enthält, ist 
deshalb beständig der Schnittpunkt ent- 
sprechender Strahlen der beiden projektiven 
Strahlenbüschel, in denen TT die genannten 
Ebenenbüschel schneidet. Sind die Strah- 
lenbüschel nicht perspektiv, so wird der geometrische Ort für F 
ein Kegelschnitt. Sind die Strahlenbüschel perspektiv, so schnei- 
den sich entsprechende Strahlen auf einer Erzeugenden g^ und der 
Strahl, den die Büschel gemein haben, ist eine Erzeugende /*. In 
diesem Falle schneidet TT die Fläche in zwei geraden Linien. Folg- 
lich: Eine beliebige Ebene TT sclmeidet das Umdrehungshyperboloid 
in einem Kegelschnitt oder in mvei geraden Linien. 

Da jede Meridianebene zu zwei Erzeugenden desselben Systems 
parallel ist, enthält die Meridiankuiwe zwei verschiedene unend- 
lich ferne Punkte. Die Meridiankurve ist also eine Hyperbel. Der 
Mittelpunkt dieser Hyperbel fällt mit dem Mittelpunkt der Fläche 
zusammen. 

In Fig. 201 bestimmen die Aufrißprojektionen der frontalen 
Erzeugenden die Asymptoten des Hauptmeridiaus. Die Scheitel- 
punkte X und Y liegen auf dem Kehl kreis. Die Fläche hat einen 
Asymptotenkegel, der wie gewöhnlich durch die Drehung der 
Asymptoten des Hauptmeridians um a bestimmt wird, und dessen 
Spitze deshalb im Mittelpunkt der Fläche liegt. Die Asymptoten- 
ebene ff" schneidet das Hyperboloid in den zwei geraden Linien f 
und g und berührt den Asymptotenkegel längs einer geraden Linie, 
die zu f und g parallel ist und zwischen ihnen in der Mitte liegt. 

216. Ist das Hyperboloid durch seine vertikale Achse a und 



Das einschalige Umdrebungshyperboloid 



187 



eine beliebige Erzeugende f (Fig. 203) bestimmt, so kann man 
sofort den Radius des Kelilkreises a S' (_L /"') bestimmen. Die 
Aufrißprojektion des Keblkreises ist eine horizontale Strecke durch 
Ä", und der Scheitelpunkt A" 
des Hauptmeridians wird durch 
0"-4" (= aS') bestimmt. 

Hat /' die Grundrißspur F^ , 
so werden die Asymptoten X^ 0" 
und XgO" des Hauptmeridians 
dadurch bestimmt, daß XX^ = 
XXg = F^S' wird, f schneidet 
die Hauptmeridianebene in einem 
Punkt F des Hauptmeridians. 

Eine beliebige Ebene durch 
f ist eine Tangentialebene des 
Hyperboloids, deren Berilhrungs- 
punJit der SclmittpHyilä von f mit 
der zu der Ebene senkrechten 
Meridianebene ist. 

In Fig. 203 ist eine Ebene 
mit der Grundrißspur e^ ange- 
nommen. Ihr Berührungspunkt 
P bestimmt sich sofort, indem 
man a'P' A.ei zieht. Die Ebene 




Fig. 203. 



Die Tangente des Haupt- 
dargestellt. Wird e, _L f, 



ff" ist die Tangentialebene im Punkt I 

meridians in F wird deshalb durch f" 

so fällt der Berührungspunkt P in unendliche Entfernung. Die 

Ebene wird dann eine Asymptotenebene. Die Ebene ff' senkrecht 

zur Asymptotenebene heißt die Zentralebene der Erzeugenden. Ihr 

Berührungspunkt *S' liegt auf dem Kehlkreis und heißt der Zentral- 

piinkt der Erzeugenden. 

Wenn P sich längs f aufwärts bewegt, dreht e.^ sich nach 
links für einen Beobachter, der längs f mit dem Kopf nach oben 
liegt. Folglich: Wenn ein PunM sich auf einer Bechtserzeugenden 
beivegt, so dreht sich seine Tangentialebene nach linJcs. Wenn ein 
PunTit sich auf einer LinTiserzeugenden bewegt., so dreht seine Tan- 
gentialebene sich nach rechts. Aus der Figur erkennt man, daß, 
wenn P die Erzeugende f mit konstanter Geschwindigkeit durch- 
läuft, e^ sich langsamer und langsamer dreht, je mehr P sich von 
dem Zentralpunkt .S' entfernt. 

Da a P' und c■^^ kongruente Strahlenbüschel beschreiben, 
wenn P die Erzeugende f durchläuft, so erkennt man : Die Punkt- 




138 Achtes Kapitel. Umdrehungsflächen 

reihe auf f ist ])rojektiv zu dem Ebenenbüschel, der von den zu- 
gehörigen Tangentialebenen gebildet wird. 

217. In Fig. 204 ist eine Parallelprojektion von a, f und 
dem kürzesten Abstand OS dieser Linien gezeichnet, a liegt in der 
Zeichenebene und f ist zu ihr parallel, f" 
ist die senkrechte Projektion von f auf der 
Zeichenebene, ff" ist die Asymptotenebene 
für f und die Zentralebene ist der Zeichen- 
ebene parallel. Wir wollen nun auf f einen 
Punkt T suchen, dessen Tangentialebene den 
Winkel zwischen der Asymptoten- und der 
Zentralebene halbiert. Die Normale TN in 
diesem Punkt soll also einen Winkel von 45'' 
mit der Zeichenebene bilden. TT" N soll mit- 
hin ein gleichschenklig-rechtwinkliges Drei- 
eck sein, und da T"N J_ /", findet man, wenn 
Q der Radius des Kehlkreises, und a den Winkel, den die Erzeu- 
gende mit der Achse bildet, bezeichnet, 

AT = OT" = T"N ■ cot a = Q cot «. 

Trägt man also die Länge q cot a auf f vom Zentralpunkt S aus 
nach beiden Seiten hin ab, so gelangt man zu zwei Punkten, deren 
Tangentialebenen die Winkel zwischen der Asymptoten- und der 
Zentralebene halbieren. Die genannte Länge heißt der Parameter 
der Erzeugenden. Er ist gleich der Hälfte des Stückes, das von 
der Scheiteltangente des Hauptmeridians zwischen den Asym- 
ptoten liegt. Wenn man von einer Erzeugenden f den Zentralpunkt, 
die Zentralebene und den Parameter kennt und zugleich weiß, ob 
f eine Rechtserzeugende oder Linkserzeugende der Fläche ist, so 
ist die Tangentialebene in jedem Punkt von f vollständig bestimmt. 
Man kennt nämlich die Tangentialebene in drei Punkten von f 
(S, T und dem unendKch fernen Punkt), und da die Punktreihe 
der Berühi-ungspunkte zu dem Büschel der Tangentialebenen pro- 
jektiv ist, kann die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt 
von f konstruiert werden. 

Liegen zwei Umdrehungshyperboloide so, daß sie eine Er- 
zeugende /■ gemeinsam haben und diese auf beiden Flächen zu 
gleich gearteten Systemen gehört, haben ferner die Hyperboloide 
denselben Parameter, und schneidet der kürzeste Abstand der 
Achsen die gemeinsame Erzeugende f unter rechtem Winkel, so 
haben die Flächen in jedem Punkt von f dieselbe Tangentialebene. 
Von den Flächen kann man dann sagen, daß sie einander längs f 



Anwendungen des Hyperboloids 



189 



berähren. Dreht man jedes der Hyperboloide um sich selbst, so 
berühren sie einander beständig längs einer Erzeugenden. Hierauf 
beruht die Konstruktion der Hyperboloidverzahnung, mit Hilfe 
deren eine Rotation um eine Achse in eine Rotation um eine be- 
liebige zu der ersten windschiefe Achse umgesetzt werden kann. 
218. Das ümdrehungshyperboloid wird von jeder Tangen- 
tialebene in zwei geraden Linien geschnitten. Ist die Ebene TT 
keine Tangentialebene, so wird 
ihre Schnittkurve mit der Fläche 
eine Ellipse, Parabel oder Hy- 
perbel, je nachdem eine zu TT 
parallele Ebene TTj^ durch den 
Mittelpunkt den Asymptoten- 
kegel in 0, 1 oder 2 Seitenlinien 
schneidet. Der letzte Fall ist in 
Fig. 205 behandelt, wobei TT die 
Spuren Cj^ und e^ hat und e^ zur 
trennenden Achse senkrecht ist. 
TTj hat die Spuren e■^^ und c^' und 
schneidet den Asymptotenkegel, 
dessen Grundrißspur k ist, in 
zwei Seitenlinien, deren Gi-und- 
rißspuren P^ und Q^ sind. Die 
Tangentialebenen des Kegels 
längs dieser Seitenlinien haben 
die Grundrißspuren P1-P2 ^^^ 
Qj^ Q2 und schneiden die Ebene 
TT in den Asymptoten jj und q 
der gesuchten Hyperbel. Bestimmt man noch den Schnittpunkt 
P von TT und f, so hat man genügend Stücke zur Bestimmung 
der Hyperbel. Weitere Punkte von ihr findet man, indem man 
die Schnittebene TT mit einer Reihe von Parallelkreisen oder 
Erzeugenden schneidet. 




Fig. 



Anwendimgeii des Hyperboloids. 

219. Konstruktion der Schnittpunkte einer Hyperbel (mit den 

Asymptoten p und q und dem Scheitel A) und einer geraden Linie 
g, die der Hauptachse der Hyperbel parallel ist (Fig. 206). 

Wir benutzen die Zeichenebene als Aufrißebene, drehen die 
Hyperbel um ihre Nebenachse a und beschreiben so ein Hyper- 
boloid; dieses enthält eine Fronterzeugen de /, deren Aufrißprojektion 



190 



Achtes Kapitel. Umdiehungsflächen 




Fig. 206. 



p ist, und deren Abstand von der Aufrißebene gleich OA wird. 
Das Hyperboloid wird von einer durch g senkrecht zur Zeichen- 
ebene gelegten Ebene in einem Par- 
allelkreis Ti geschnitten, und dieser 
schneidet g in den gesuchten Punkten. 
/.■ hat den Mittelpunkt C und geht 
durch einen Punkt F auf f. Die Um- 
klappung Z*„ von Ä" in die Zeichenebene 
hat also den Mittelpunkt C und geht 
durch P„ (P"P„ = OA und _i. g). \ 
schneidet ^r in den gesuchten Punkten iLT 
und X. Da die Tangentialebene in P 
die Erzeugende /"enthält, istP"J? J_^ 
die senkrechte Projektion der Norma- 
len des Hyperboloids in P und EM 
ist mithin die Normale der gegebenen Hyperbel in 31. 

220. KonstruTcHon der Scimittpun'kte einer geraden Linie b 
mit einer Umdrehungsfläche (Fig. 207). 

Die Umdrehungsfläche 
habe die Achse a und den 
Hauptmeridian m. Wir setzen 
voraus, daß b weder a schnei- 
det noch zu a senkrecht ist. 
Wir drehen b um a und be- 
schreiben so ein Hyperboloid, 
dessen halber Hauptmeridian h 
sei. Die Schnittpunkte von h 
und m (vgl. 120) bestimmen 
die Parallelkreise, in denen das 
Hyperboloid und die Umdre- 
hungsfläche einander schneiden. 
Diese Parallelkreise treffen & 
in den gesuchten Punkten P 
und Q. 

221. Konstriiktion der 
Tangentialebenen, die durch 
eine gegebene Linie b an eine Umdrchimgsfläche gehen (Fig. 208). 
Wir setzen voraus, daß 6 weder a schneidet noch zu a senk- 
recht ist. Wir drehen b um a und beschreiben so ein Hyperboloid, 
dessen halber Hauptmeridian /* sei. Da jede Ebene durch b eine 
Tangentialebene des Hyperboloids ist, ward die gesuchte Ebene 
eine gemeinsame Tangentialebene des Hyperboloids und der ge- 




Fig. 207. 



Anwendungen des Hyperboloids 



191 




Fig. 208. 



gebenen ümdrebungsfläche. Die Aufgabe ist dann die, an die beiden 
Flächen eine gemeinsame Tangentialebene zu legen, deren Be- 
rührungspunkt mit dem Hyper- 
boloid auf b fällt. Man denkt 
sich die gesuchte Ebene um a 
gedreht, bis sie senkrecht zur 
Hauptmeridianebene wird. Xach 
der Drehung wird ihre Aufriß- 
spur e^' eine gemeinsame Tan- 
gente von Ji" und m", während 
ihre Grundrißspur e^' zur tren- 
nenden Achse senki-echt ist. 
Man bestimmt deshalb zuerst 
eine gemeinsame Tangente der 
beiden Hauptmeridiane. Den Be- 
rühi'ungspunkt P^ auf h dreht 
man um «, bis er auf b in die 
Lage P kommt, die Tangential- 
ebene des Hyperboloids in P ist 
dann eine der gesuchten Ebenen. 
Ihre Grundrißspur e^ ist senk- 
recht auf der Meridianebene durch P. In der Figur kann man 
noch eine zweite gemeinsame Tangente von h und m zeichnen. 
Die Aufgabe hat deshalb zwei Lösungen. 

222. Konstruktion der gemeinsamen Tangenten einer Hyperbel 
(mit den Asymptoten p xind q und dem Scheitel A) tmd eines kon- 
zentrischen Kreises k (Fig. 209). 

Wir benutzen die Zeichenebene als Aufrißebene und erzeugen 
durch Drehung um a aus der Hyperbel ein Hyperboloid, aus 
dem Kjreis k eine Kugel. Durch 
die Fronterzeugende /" des Hyper- 
boloids, deren Aufrißprojektion p 
wird, legen wir eine Tangential- 
ebene r an die Kugel. Eine Ebene 
Z durch den Mittelpunkt der Kugel 
senkrecht zu^> schneidet die Kugel 
in einem größten Kreis. Ferner 
schneidet sie /' in einem Punkt P, 
dessen Abstand von der Zeichen- 
ebene P"A ist. Eine Tangente aus 
P an den größten Kreis berührt 
diesen in dem Punkte T, in dem Fig. 209. 




192 



Achtes Kapitel. Umdrehungsflächen 



die gesuchte Tangentialebene T der Kugel diese berührt. Um T zu 
finden, klappen wir Z in die Zeichenebene um, der genannte größte 
Kreis fällt dann auf h und P nach P„ {P'' P^ = ^"^)- ^^^® Tan- 
gente aus P„ an 7c berühre den Kreis in T„. T" findet man dann 
daraus, daß T^T" _LZ wird. Drehen wir die Ebene f um a, so 
bleibt sie beständig eine gemeinsame Tangentialebene der Kugel und 
des Hyperboloids, und wenn sie auf der Zeichenebene senkrecht 
wird, wird ihre Spur eine der gesuchten gemeinsamen Tangenten. 
Dreht man also T um a bis in die Lage B auf A^, so wird E der 
Berührungspunkt einer der gemeinsamen Tangenten. Man hat 
folglich nur noch T"B _L u zu zeichnen und die Tangente an Je 
in R zu ziehen. Der Berührungspunkt dieser Tangente mit der 
Hyperbel bestimmt sich nach 142. Die übrigen gemeinsamen 
Tangenten findet man durch Spiegelung der gefundenen Tangente 
an den Achsen der Hyperbel. 

223. KonstnMion der DopjielpitnMangenten des Schnittes 
eines Kreisringes mit einer Tangentialebene (Fig. 210). 

Kreisring nennt man die ringföi'mige Fläche, die durchDrehung 
eines Kreises m um eine in der Ebene des Kreises liegende, aber 

den Kreis m nicht schneidende 
Achse a entsteht. In Fig. 210 
liegen a und m in der Aufriß- 
ebene und a ist vertikal. Die 
Fläche wii'd von dem höchsten 
und tiefsten Parallelkreis in 
einen konvexen und einen un- 
konvexen Teil zerlegt. Die Tan- 
gentialebene in einem Punkt P 
des unkonvexen Teils habe die 
Aufrißspur egi sie schneidet die 
Fläche in einer Kurve, von der 
zwei Zweige durch P gehen, die 
also in P einen Doppelpunkt hat. 
Die Aufgabe ist nun, die Tan- 
genten der Schnittkurve in die- 
sem Doppelpunkt zu konstruie- 
ren. Pj^ sei ein Punkt von m in 
der Nachbarschaft von P. Der Parallelkreis ä;^ durch P^ tretfe die 
Schnittebene in zwei Punkten M und X, deren Verbindungslinien 
PM und PN mit P in die gesuchten Tangenten übergehen, wenn 
Jc^ sich li nähert. Aber vorläufig sind diese Verbindungslinien Er- 
zeugende eines Umdrehungshyperboloids, dessen Achse a ist und 




Fig. 210. 



Umdrehungskegelschnittflächen 193 

dessen Hauptmeridian h den Kreis m in P beiührt und durch Pj 
geht, h schneidet m in einem neuen Punkt Q^^ der so liegt, daß 
P^Qi parallel zu der zu e^ bezüglich einer vertikalen Linie sym- 
metrischen Linie PQ wird (153). Das Hyperboloid enthält also 
den durch Q^ gehenden Parallelkreis, und die Linien PM und PX 
müssen deshalb diesen Kreis schneiden. Wenn nun 1:^ sich fc 
nähert, nähert Q^ sich Q. und die Grenzlagen von PM und PN 
müssen auch den Parallelkreis schneiden, der durch Q geht. Die 
gesucMen Tangenten sind also die Verbindungslinien von P mit den 
PimJctcn Ä lind B, in denen die gegebene Schnittebene den durch Q 
gehenden Parallelkreis trifft. (Li der Figur ist nur die eine Tan- 
gente PA gezeichnet. ) 

Wenn Ic^ sich /.■ nähert, konvergiert das genannte Hyperboloid 
nach einer solchen Grenzlage, daß sein Hauptmeridian im Punkte 
P den Krümmungskreis m bekommt. Diese Grenzlage heißt das 
Schnüegung-^hyperboloid des Kreisringes in k. Eine beliebige Ebene, 
die durch P gehi und nicht nnt der Tangentialebene in P zusammen- 
fällt, schneidet den Kreisring und das Hyperboloid in Kurven, die 
in P einen gemeinsamen Krümmungskreis besitzen. Wenn P auf 
dem kleinsten Parallelkreis des Kreisringes liegt, kann die ange- 
gebene Konstruktion nicht unmittelbar angewendet werden. Aber 
in diesem Falle tindet man leicht die Asymptoten für den Haupt- 
meridian des Schmiegungshyperboloids durch die in Fig. 144 
angegebene Konstruktion. Diese Asymptoten bestimmen dann die 
Richtung der gesuchten Tangenten. 

Umdreliiingskegelsciliiittfläclien. 

224. Jeder Kegelschnitt 1c erzeugt durch Drehung um eine 
seiner Achsen a fine Fläche, die von jeder schneidenden Ebene in 
finem Kegelschnitt (oder in zwei geraden Linien) geschnitttn uird. 
Diese Fläche heißt eine ümdrehtmgsl-egel- 
schnittfläche. *" -p }^ — 

Wenn a den Kegelschnitt A' nicht schnei- ' /^ , j. 

det, so ist fc eine Hyperbel und a deren zweite / 

Achse. Die erzeugte Fläche wird dann ein ~^ ^r r — ■ — 

einschaliges Hyperboloid, das wir bereits im i V 

Vorstehenden genügend behandelt haben. \^ 

Wir setzen also nun voraus, daß « den Kegel- 

. Fig. i\\. 

schnitt /.• in zwei Punkten A und B schnei- 
det, von denen der eine (B) unendlich fern sein kann. Ein Kreis /.'j, 
der 'k'vsi.A berülirt (Fig. 211), entspricht /." in einer ebenen perspek- 
tivischen Kollineation mit dem Zentrum A und der Kollineations- 

Timerdiiig, Haudbucb II 13 



194 Achtes Kapitel. Umdrehungsflilcben 

achse p (J-fl)- ^^^ ^^^' Di'^liuDg um a beschreibt k eine Fläche 
A und \ eine Kugel A^. A und Aj entsprechen einander in einer 
räumlichen perspektivischen Kollineation, in der die genannte ebene 
Kollineation enthalten ist. Die Kollineationsebene ist die Ebene 
TT, die bei der Drehung von p beschrieben vpird, und das Kolli- 
neationszentrum ist A. Ein beliebiger ebener Schnitt von A ent- 
spricht einem ebenen Schnitt von A^ und muß deshalb ein Kegel- 
schnitt sein. Da eine Tangentialebene von A einer Tangentialebene 
von Aj entspricht, ist A in allen Punkten konvex. Da die Kugel 
A| keine geraden Linien enthält, kann auch A keine geraden 
Linien enthalten. 

Außer dem einschaligen Umdrehnngshyperboloid finden wir 
folgende Umdrehungskegelschnittflächen : 

1. Das UmdrehungseUipsoid oder SpMroid, das durch Drehung 
einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht. Das Sphäroid ist ein 
verlängertes oder abgeplattetes, je nachdem die Drehung um die 
große oder kleine Achse der Ellipse stattfindet. Das verlängerte 
Sphäroid ist der geometrische Ort für alle Punkte im Raum, deren 
Abstand von zwei festen Punkten, den BrennpHnlien, eine gegebene 
Summe hat. 

2. Das Umdreimngsparäboloid , das durch Drehung einer 
Parabel um ihre Achse entsteht. Dieses enthält einen unendlich 
fernen Punkt (in der Richtung der Achse), und die Tangential- 
ebene in diesem Punkt ist unendlich fern. Die Fläche ist der geo- 
metrische Ort aller Punkte, deren Abstände von einem festen Punkte 
(dem Brennp^mMe) und einer festen Ebene (der Leiteliene) gleich 
groß sind. 

3. Das ziveisclialige Umdrehungshyperholoid. Dieses wird er- 
zeugt durch die Drehung einer Hyperbel um ihre Hauptachse und 
ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand von zwei 
festen Punkten, den Brennpunkten, eine gegebene Differenz hat. 
Die Asymptoten der Hyperbel beschreiben bei der Drehung einen 
Rotationskegel (den Asymptotenkegel), der die Fläche längs einem 
unendlich fernen Kegelschnitt berührt. Die unendlich fernen Punkte 
der Fläche liegen in den Richtungen, die durch die Seitenlinien 
des Asymptotenkegels bestimmt werden. Der Asymptotenkegel 
wird ebenso wie beim einschaligen Umdrehungshyperboloid benutzt, 
um zu erkennen, ob eine gegebene Ebene die Fläche in einer Ellipse, 
Parabel oder Hyperbel schneidet. 

22&. Die im Vorstehenden angegebenen Konstruktionsme- 
thoden für allgemeine Umdrehungsfiächen können natürlich auch 
auf die UmdrehunsfskegelschnittÜächen anfrew(Mulet werden. Aber 



ümdrehuDffskej^elschnittflächen 



195 




Fig. 212. 



in mancben Fällen kann man leichtere Methoden finden und in 

allen Fällen muß man beachten, daß die Konstruktionen in der 

Hauptmeridianebene so weit wie 

möglich auszuführen sind, obne 

den Hauptmeridian selbst zu 

zeichnen. 

1. Beispiel. Die Sclmitt- 
punkte einf's Umärehungsellip- 
soids und einer gertidm Linie l 
SU finden (Fig. 212). Der Haupt- 
mei-idian des Ellipsoids habe die 
Halbachsen OA und OB {OA 
ist vertikal und OB fällt in die 
trennende Achse), OA sei die 
Achse der Umdrehungsfläche. 
Durch eine leicht zu bestim- 
mende perspektivische Affinität 
mit der Grundrißebene als Affini- 
tätsebene geht das Ellipsoid in eine Kugel mit dem Radius OB 
über, l geht daliei in eine Linie V'' über, die dieselbe Grnndrißspur 
wie l hat und durch den M entsprechenden Punkt 71/* hindurch- 
geht. {31 ist in derselben Höhe wie A angenommen, J/* liegt 
dann in der Höhe OB über der Grund- 
rißebene.) Die (irundrißprojektionen P' 
und Q' der Schnittpunkte von l* mit der 
Kugel findet man nun durch Umklappung 
einer vertikalen Ebene durch l* {3I'3I^* 
= OB). P' und Q' sind zugleich die Grund- 
rißprojektionen der gesuchten Punkte. 

2. Beispiel. Es ist ein zweischaliges 
Umdrehnngshyperholoid gegeben, dessen 
Achse a vertil-al ist und in der Aufriß- 
ebene liegt. Der eine ScheiteJpimlt sei A 
und die eine Asymptote des Hauphnrri- 
diuns p. 3[an soll die Aufrißprojeldion 
eines Punktes P der Fläche finden, tvenn 
die Grundrißprojrltion P' gegeben ist (Fig. 
213). Man dreht die vertikale Linie durch den Punkt /'in die Haupt- 
meridianebene hinein, wobei sie die Lage s erlangt. Darauf be- 
stinunt man nach 219 den Schnittpunkt Q dieser Linie mit dem 
Hauptraeridian und dreht dann Q zurück. Die Aufgabe hat zwei 
Lösungen. 

1-6* 




F' 

Fig. 213. 



Neuntes Kapitel. 
Kegelschnittfläclien. 

Die Tangentialebene und ihre Lage zur Fläche. 

226. Eine Kegelschnitt fläche ist eine Fläche, die von jeder 
Ebene, wenn diese mehr als einen PiinM der Fläche enthält, in einem 
Kegelschnitte oder in zwei geraden Linien oder auch in zwei zu- 
sammenfallenden Linien geschnitten wird}) Wenn die Ebene die 
Fläche iu zwei (verschiedenen oder zusammenfallenden) geraden 
Linien schneidet, so sagt man, die Sehnittkurve sei ein uneigent- 
lichcr Kegelschniit. 

Ln Vorstehenden haben wir bereits mehrere Beispiele für 
Kegelschnittflächen (Kreiskegel, Kreiszylinder und ümdrehungs- 
kegelschnittflächen) kennen gelernt. Wir wollen nun untersuchen, 
welche verschiedenen Formen von solchen Flächen überhaupt 
existieren. Zunächst müssen wir sicherstellen, daß die Fläche in 
jedem ihrer Punkte eine Tangentialebene hat. Dazu wird die 
Forderung hinreichen, daß die an der betreffenden Stelle berühren- 
den Tangenten aller Kegelschnitte auf der Fläche, die durch den 
Punkt hindurchgellen, in einer Ebene enthalten sind. 

227. Zuerst betrachten wir eine willkürliche Kegel- 
schnittfläche K, die keine gerade Linie enthält. Die Fläche wird 



1) Die folgenden Untersuchungen zeigen, daß die Kegel- 
schnittflächen dieselben Typen umfassen wie die aus der analytischen 
Geometrie bekannten reellen Flächen zweiten Grades. Es ist in der 
Tat klar, daß jede (nicht zerfallende) reelle Fläche, die in rechtwink- 
ligen Koordinaten durch eine Gleichung zweiten Grades dargestellt 
werden kann, eine Kegelschnittfläche sein muß, weil jeder ebene 
Schnitt der Fläche durch eine Gleichung zweiten Grades dargestellt 
werden kann. Die Theorie der reellen Flächen zweiten Grades ist 
somit iu der Theorie der Kegelschnittflächen enthalten. Daß aber 
auch jede Kegelschnittfläche eine Fläche zweiten Grades sein muß, 
geht ebenfalls aus den hier folgenden Untersuchungen hervor. 



Die Tangentialebene und ihre Lage zur Fläche 107 

dann von jeder Ebene, die mehr als einen ihrer Punkte enth.ält, 
in einem eigentlichen Kegelschnitt getroffen. Hieraus folgt, daß 
keine gerade Linie mehr als zwei Punkte mit der Fläche gemein 
hat. Eine Tangente t an einen beliebigen Kegelschnitt auf K hat 
nur einen Punkt mit K gemeinsam und berührt deshalb jeden 
Schnitt der Fläche mit einer Ebene durch t. Legt man durch einen 
beliebigen Punkt P auf K zwei Ebenen und schneiden diese K in 
zwei Kegelschnitten, die in P verschiedene Tangenten t und t^ 
besitzen, so wird die Ebene tt^ die Tangentialebene in dem Punkte 
P. Denn die Ebene tt^ kann nur den einen Punkt mit der Fläche 
gemein haben. Wüi-de sie nämlich die Fläche in einem Kegel- 
schnitte schneiden, so müßte dieser Kegelschnitt t und t^ in P 
berühren, was unmöglich ist. Die Ebene hat deshalb auch nur 
einen Punkt mit einem beliebigen Kegelschnitt der Fläche, der 
durch F geht, gemein und enthält mithin die Tangente des Kegel- 
schnittes in P. Folglich: Eine Kegclschmtffläche, die 7ceinc (jerade 
Linie enthält, hat in jedem ihrer Punlde eine bestimmte Tangential- 
ebene. Die Fläche ist in jedem Punkte konvex. Da die Tangential- 
ebene nur einen Punkt mit der Fläche gemein hat, können zwei 
verschiedene Punkte nicht dieselbe Tangentialebene haben. 

228. Wir betrachten jetzt eine Kegelschnittfläche K, die 
mindestens eine gerade Linie /"enthält und beweisen zuerst, daß 
eine solche Fläche unendlich viele gerade Linien enthält. 

Jede Ebene, die durch f und einen Punkt A auf der Fläche 
gelegt Avird, schneidet nämlich K in einer neuen geraden Linie, 
die durch A geht. Durch jeden Punkt von K geht also mindestens 
eine gerade Linie, die auf der Fläche liegt. Nehmen wir nun an, 
daß durch einen Punkt P auf f nur diese eine Linie f auf der Fläche 
gezogen werden kann, so muß eine beliebige Ebene, die durch P 
und noch einen Punkt der Fläche geht und /' nicht enthält, die 
Fläche in einem eigentlichen Kegelschnitt /.■ schneiden. Die Ebene 
ft^i die durch / und die Kegelschnittangente t in P bestimmt 
wird, kann dann nur die Linie f mit der Fläche gemein haben. 
Jede gerade Linie auf der Flüche muß nämlich h in dem Pimktc 
schneiden, in dem sie die Ebene des Kegelschnittes trifft. Eine 
Ebene, die durch f und einen beliebigen Punkt Q auf h gelegt 
wird, schneidet die Fläche in einer neuen geraden Linie /7, die 
durch Q geht und f in einem von P verschiedenen Punkt P schneidet. 
Man erkennt nun, daß durch T kein eigentlicher Kegelschnitt auf 
der Fläche gelegt werden kann, weil ein solcher Kegelschnitt eine 
Tangente im Punkte T hätte, die sowohl in der Ebene ft wie in 
der Ebene fg liegen müßte, was unmöglich ist. Jede Ebene durch 



198 Neuntes Kapitel. Kegelschnittflächen 

T schneidet also die Fläche iu einer oder zwei geraden Linien, 
wenn sie mit der Fläche andere Puntte als T gemein hat. Die 
Fläche ist also ein Kegel mit der Spitze T. Folglich : Wenn auf 
einer Kegelschnittf lache ein Ihinld existiert^ durch welchen eine und 
nur eine gerade Linie geht, die in der Fläche enthalten ist, so muß 
die Fläche ein Kegel sein. 

Weiter wollen wir beweisen, daß eine Kegelschnittfläclic K, 
die drei durch denselben PunM P gehende gerade Linien f, g und 
h enthält, notwendigerweise ein Kegel sein muß. 

Eine beliebige Ebene, die nicht durch P geht, schneidet die 
Fläche in einem Kegelschnitt. Schnitte sie sie nämlich in einer ge- 
raden Linie, so müßten /", g und h in derselben Ebene liegen, was 
unmöglich ist, und schnitte sie sie in zwei geraden Linien, so müßte 
eine der Ebenen fg^ gh und hf die Fläche K in drei geraden Linien 
sclineiden, was ebenfalls unmöglich ist. Alle geraden Linien der 
Fläche gehen also durch J*, d. h. die Fläche ist ein Kegel mit 
der Spitze P. 

Eine Kegelfläche hat eine bestimmte Tangentialebene in jedem 
Punkte, ausgenommen die Spitze. 

Aus den gefundenen Sätzen folgt nun: Auf jeder Kegelschnitt- 
fläche, die gerade Linien enthält, aber l(ein Kegel ist, gehen durch 
jeden Punli ztvei und nur zivci gerade Linien. Die zwei geraden 
Linien, die durch einen beliebigen PunM P der Fläche gehen, be- 
stimmen eine Ebene, welche die Tangentialebene in P ist. Denn 
jeder eigentliche Kegelschnitt, der auf der Fläche liegt und durch 
P geht, hat nur diesen einen Punkt mit der Ebene gemein, und 
seine Tangente in P liegt also in der Ebene. 

Die Fläche ist unkonvex in jedem ihrer Punkte. 

Ztvei verschiedene PunJcte der Fläche können nicht dieselbe 
Tangentialebene haben, denn eine solche Ebene müßte die Fläche 
in mindestens drei geraden Linien schneiden. 

Da eine Linie l, die nicht auf der Fläche liegt, höchstens 
zwei Punkte mit ihr gemein bat, und da durch jeden von diesen 
Punkten zwei gerade Linien der Fläche gehen, kann man durch l 
höchstens zwei Ebenen legen, welche die Fläche in geraden Linien 
schneiden. Hieraus folgt: Durch eine gerade lAnie l, die nicht auf 
der Fläche liegt, kann man immer unendlich viele Ebenen legen, 
welche die Fläche in eigentlichen Kegelschnitten schneiden. 

Pol und Polarebene. 

229. Unter der Polarebene eines Punkks P (des Pols) in bc- 
mg auf eine Kegelschnitij lache K versteht man eine Ebene, toelche 



Pol und Polarebeiie 



199 



die Volaren von P henif/lich aJlrr eiyeidUchen Kcf/elscJmittc der 
lläclic, deren Ebenen durch 1* <jchen, cnthiilt. 

Wir wollen beweisen, daß eine solche Ebene existiert, indem 
wir vorläufig voraussetzen, daß K keine Kegelfläche ist. Liegt 
zunächst 1' auf der Fläche, so sieht man sofort, daß die Polar- 
ebene existiert, indem die in 7' berührende Tangentialebene die 
Bedingung erfüllt. Nehmen wir aber an, daß i' nicht auf der Fläche 
liegt, so kommt es darauf au zu zeigen, daß alle Punkte Pj, die 
mit 1' bezüglich der Schnittpunkte der Fläche mit einer willkür- 
lichen Linie durch 1' harmonisch verbunden sind, in einer und 
derselben Ebene liegen. Eine Linie /, durch V treffe die Fläche in 
zwei verschiedenen Punkten C^ und Z)j (Fig. 214), deren Tan- 
gentialebenen r^ und Aj einander in der Linie s schneiden mögen. 
I\ sei mit 1* bezüglich C'j und Dj harmonisch verbunden. Ferner 
schneide eine beliebige andere Linie /g durch 1* die Fläche K iu 
Cg und i>>2? ^^^ A ^^^ ^^^^^ ^* bezüglich (J^ und I)^ harmonisch ver- 
bunden. Wir setzen einstweilen voraus, daß die Ebene 1^1^ die 
Fläche in einem eigentlichen Ke- 
gelschnitt schneidet. Dieser muß 
dann durch Cj , Dj , Cg und Dg 
gehen, und seine Tangenten q 
und d^ in den beiden erstgenann- 
ten Punkten liegen in den Ebenen 
Fl und Aj und schneiden ein- 
ander in dem Punkte S auf s. 
Die Polare von P bezüglich dieses 
Kegelschnitts geht durch die 
Punkte Pj, Pg "^^^ **^5 ^i^ Linie 
P^P^ muß also s schneiden. 
Läßt man nun l^ variieren, wäh- 
rend Zj fest bleibt, so muß die 
Linie P^ J\ eine Ebene beschrei- 
ben, die durch Pj und s bestimmt 
ist. Gelangt l.^ in eine solche 

Lage, daß die Ebene l^ 1^ die Fläche in zwei geraden Linien tiifft, 
so müssen diese einander auf .s schneiden; P^P^ geht dann durch 
ihren Schnittpunkt und liegt mithin beständig in der Ebene P^s. 
Hiermit ist vollständig bewiesen, daß P eine Polarebene hat, 
nämlich die durch s und Pj bestimmte Ebene. 

Hat der Punkt P die Polarebene TT, und schneidet eine be- 
liebige Ebene durch P die Ebene TT in einer geraden Linie p und 
die Fläche in einem eigentlichen Kegelschnitt /r, so ist p die Polare 




Fig. 214. 



200 Neuntes Kapitel. Kegelschnittflächen 

von P bezüglich /.". So erkennt man, daß ein Punkt, der in seiner 
Polarebene liegt, auf der Fläche enthalten sein muß. Die Polar- 
ebene ist dann die Tangentialebene des Punktes. 

Liegt P niebt auf der Fläche, und schneidet seine Polarebene 
die Fläebe, so wird die Scbnittkurve ein Kegelschnitt, der die 
Berührungspunkte aller Tangenten, die durch P gehen, enthält 
und damit die Berührungskurve eines der Fläche umschriebeneu 
Kegels mit der Spitze P. Jeder umschriebene Kegel berührt also 
die Fläche längs eines Kegelschnittes. Legen wir durch zwei Punkte 
P, P\ die nicht auf der Fläche liegen, eine Ebene, welche die 
Fläche in einem eigentlichen Kegelschnitt li schneidet (was nach 
228 immer dann möglich ist, wenn die Fläche kein Kegel ist), 
so schneidet diese Ebene die Polarebenen der beiden Punkte in 
den Polaren von P und P' bezüglich l\ Mit Hilfe der früher be- 
wiesenen Sätze über Kegelschnitte beweist man dann leicht die 
folgenden Tatsachen: 

1. Wemi ein PunM P in der Polarebene TT' eines anderen 
Punlies P' liegt, so liegt P' auch in der Polarebene TT von P. Die 
beiden Punkte P und P' heißen dann konjugiert. 

2. Die konjugierten Punktepaare auf einer geraden Linie, 
tcelche die Fläche nicht berührt und nicht auf ihr liegt, bilden eine 
Involution; wenn die Linie die Fläche schneidet, sind die Schnitt- 
punkte BoppelpmnMe der Involution. 

3. Zicei verschiedene Punkte können nicht dieselbe Polar- 
ebene haben. 

4. Zu jeder Ebene TT gehört ein bestimmter Pol. 

Nimmt man nämlich in der Ebene drei Punkte Ä, B, C an, 
welche nicht auf derselben Geraden liegen, so wird der Punkt I\ 
der in den drei Polarebenen von A. B, C enthalten ist, der ge- 
suchte Pol sein. 

5. Die Polarebenen der Punkte einer geraden Linie gehen 
toieder durch eine gerade Linie hindurch und die Polarebenen der 
Punkte elieser Linie gehen elurch elie erste Linie. Der Satz folgt 
unmittelbar aus 1. und 4. Zwei miteinander so verbundene gerade 
Linien heißen reziproke Volaren voneinander. 

230. Ist die Fläche K ein Kegel, so können die vorstehen- 
den Sätze nicht alle aufrechterhalten werden. Ein beliebiger 
Punkt P, der nicht in die Spitze S des Kegels fällt, hat indessen 
immer eine bestimmte Polarebene, denn da die ganze Fläche durch 
Projektion eines Kegelschnittes, dessen Ebene durch P geht, aus 
der Spitze S entstehen kann, muß man die Polarebene von P 
finden können, indem man die Polare von P bezüglich des Kegel- 



Mitteliiunktsflächen 201 

Schnittes aus der Spitze des Kegels projiziert, ^fan erkennt so aber 
auch, daß alle Punkte, die auf einem Strahl durch die Spitze liegen, 
(die Spitze selbst ausgenommen) dieselbe Polarebene besitzen. Im 
folgenden wollen wir die Kegelflächen außer Betracht lassen, wenn 
das Gegenteil nicht ausdrücklich hervorgehoben wird. 

231. Wenn zwei parallele Ebenen eine Kegelschnittfläche 
in eigentlichen Kegelschnitten treffen, so können drei Fälle ein- 
treten : 

1. Die unendlich ferae Schnittlinie l der Ebene hat keinen 
Punkt mit der Fläche gemein. Die Schnittkurven sind in diesem 
Falle Ellipsen, und da diese Ellipsen auf der gemeinsamen un- 
endlich fernen Geraden ihrer Ebene dieselbe Involution konju- 
gierter Punkte bestimmen, so sind sie ähnlich und in ähnlicher 
Lage (137). 

2. l berühre die Fläche. Dann sind die Kegelschnitte Para- 
beln, und da sie parallele Durchmesser haben und in parallelen 
Ebenen liegen, sind sie ebenfalls ähnlich und in ähnlicher Lage. 

3. l schneide endlich die Fläche in zwei verschiedenen Punkten 
A und B. Die Schnittpunkte sind in diesem Falle Hyperbeln, und 
da diese durch dieselben unendlich fernen Punkte A und B hin- 
durchgehen, haben sie parallele Asymptoten. Aber da die Asym- 
ptotenwinkel, die die Hyperbeln enthalten, nicht notwendig die- 
selben zu sein brauchen, brauchen die Hyperbeln nicht ähnlich zu 
sein (im elementargeometrischen Sinne des Wortes). 

232. Aus der Lehre von Pol und Polarebene geht hervor, 
daß im Räume eine ebensolche Dualität existiert, wie wir sie 
früher für die Ebene entwickelt haben. Hat mau eine bestimmte 
Kegelschnittfläche, z. B. eine Kugel, vor sich, so entspricht jedem 
Punkt als Pol eine bestimmte Ebene als Polarebene und umge- 
kehrt. Den Punkten einer geraden Linie entsprechen die Ebenen 
durch eine gerade Linie. Man kann deshalb ein DuaJitäisprinzip 
aufstellen, das darauf hinausläuft, daß man aus jedem Satz, der 
projektive Eigenschaften betrifft, einen neuen ableiten kann, indem 
man die Worte „Punkt" und „Ebene'', „gerade Linie durch einen 
Punkt" und „gerade Linie in einer Ebene" vertauschit. 

Mittelpunktsfläclieii. 

233. Wenn der Pol der unendlich fernen Ebene ein eigent- 
licher Punkt ist, wird dieser ein MittelpunM (Symmetriepunkt) 
der Fläche. Die Polarebene eines unendlich fernen Punktes L', der 
nicht auf der Fläche liegt, halbiert alle Sehnen von der Richtung U 



202 Neuntes Kapitel. Kogelschuittflächen 

vand heißt eine Durchmcsserehene. Alle Durchmesserebenen gehen 
durch den Mittelpunkt. 

Die reziproke Polare einer unendlich fernen Linie ??, welche 
die Fläche nicht berührt und nicht auf ihr liegt, enthält die 
Mittelpunkte aller Kegelschnitte, in denen die Fläche von den 
Ebenen durch u geschnitten wird, und heißt ein Durchmesser. Alle 
Durchmesser gehen durch den Mittelpunkt. 

Ein Durchmesser und eine Dui'chmesserebene heißen Tconju- 
f/iert, wenn der Durchmesser dieselbe Richtung hat wie das zu 
der Durchmesserebene gehörende Sehnensystem. Der Durchmesser 
enthält die Mittelpunkte aller Kegelschnitte der Fläche, deren 
Ebenen der Durchmesserebene parallel sind. 

Drei Durchmesser heißen konjugiert, wenn jeder von ihnen 
der Ebene der beiden anderen konjugiert ist. 

234. Da wir die Fläche als stetig voraussetzen, und sie so- 
nach jeden Punkt enthält, dem sie beliebig nahe kommt, muß der 
Abstand des Zentrums von den Punkten der Fläche einen be- 
stimmten erreichbaren Minimalwert haben. Es sei Ä ein Punkt 
der Fläche, dessen Abstand von diesen Minimalwert annimmt. 
Die Gerade OÄ ist dann Symmetrieachse eines jeden Kegelschnittes, 
in welchem die Fläche von einer durch OA gehenden Ebene ge- 
schnitten wird. 

Die durch zu OA senkrecht gelegte Ebene E ist somit 
eine Symmetrieebene der Fläche, und die zu E parallelen Ebenen 
schneiden auf der Fläche Kegelschnitte aus, deren Mittelpunkte 
auf OA liegen. Wenn diese Kegelschnitte Kreise sind, ist die 
Fläche eine Umdrehungsfläche mit der Achse OA-^ sind sie nicht 
Kreise, so haben sie gemeinsame Achseurichtungen (231) und 
Averden von den beiden durch OA gehenden Ebenen, welche ihre 
Achsen enthalten, symmetrisch geteilt. Die letztgenannten Ebenen 
sind daher auch Symmetrieebenen der Fläche. Also: 

Jede M'dtelpnnldsflüche lud wenigstens drei Symmetriechenen 
(llauptehenen), die xtaariveise zueinander senlreeld sind. Ihre Schnitt- 
linien heißen die Achsen der Fläche. Sie bilden ein System von 
drei konjugierten Dui'chmessern, die paarweise zueinander senk- 
recht sind. 

235. Wir wollen im folgenden drei zueinander senkrechte 
Achsen x, y und r voraussetzen und können dann folgende typische 
Formen von Mittelpunktsflächen aufstellen. 

1. Das EUipsoid (Fig. 215). Alle drei Achsen schneiden die 
Flächen. Die Schnittpunkte heißen Scheitelpunhie der Fläche. 
Diese Scheitelpunkte sind die Scheitel der Ellipsen, in welchen 



Mittelpunktsflächen 



2r):3 




die je zwei Achsen 
der Fläche verbinden- 
den Hauptebenen die 
Fläche schneiden. Diese 
drei Ellipsen heißen 
die UaupfschniHc der 
Fläche. Die Ebenen, 
welche zu einer Haupt - 
ebene parallel sind, 
schneiden die Fläche 
in ähnlichen Ellipsen, 
deren Scheitelpunkte 
auf den zu den an- 
deren Hauptebenen ge- 
hörenden Hauptschnit- 
ten liegen. Die Fläche ist durch ihre Achsen vollständig be- 
stimmt. Die Längen der drei Achsen können anderseits beliebig 
gewählt werden (vgl. 245). 

2. Das einschalii/r Hyper- 
boloid. Nur zwei der Achsen, 
etwa X und ?/, schneiden die 
Fläche (Fig. 21 6 j. Der Schnitt 
der ic^-Ebene wird eine Ellipse, 
während die anderen Haupt- 
schnitte Hyperbeln sind. Die 
Fläche kann ebenso wie das 
Ellipsoid dui'ch eine senkrechte 
perspektivische Affinität aus 
einer Umdrehungsfläche er- 
zeugt werden, indem man eine 
Meridianebene der Umdre- 
huugsfläche zur Affinitätsebene 
wählt. Die geraden Linien des 
üradrehungshyperboloids ent- 
sprechen in dieser Affinität ge- 
raden Linien des allgemeinen 
Hyperboloids, auch die Asym- 
ptotenkegel entsprechen einander. Auf diese Weise kann man die 
wesentlichsten Eigenschaften der Fläche leicht ableiten. 

3. Das ziveischalige ] lyperJjoloid (Fig. 217). Nur eine der 
Achsen, etwa o", schneidet die Fläche. Die Schnitte in der ./ </-Ebene 
und a;2- Ebene werden Hyperbeln mit derselben Hauptachse. 




Fig. 216. 



204 



Neuntes Kapitel. Kegel Schnittflächen 



Die ye-~E,hene schneidet die Fläche nicht, aber die zur 7/r-Ebene 
parallelen Ebenen, dei'en Abstand von dieser größer als die i'eelle 
Halbachse der Fläche ist, schneiden sie in ähnlichen Ellipsen. 
Die Fläche kann wieder durch eine senkrechte perspektivische 




Fig. 217. 

Affinität, für welche etwa die a^^-Ebene als Affinitätsebene ge- 
wählt wird, aus einer Umdrehungsfläche erzeugt werden. Sie be- 
sitzt einen Asymptotenkegel, der längs des unendlich fernen Kegel- 
schnittes berührt und enthält keine geraden Linien. 

Bei den vorstehenden Untersuchungen haben wir die Kegel- 
flächen ausgeschlossen. Es ist aber leicht zu zeigen, daß auch 
jede Kegelfläche 0(/t), deren Scheitel ein eigentlicher Punkt und 
deren Leitkurve ein beliebiger Kegelschnitt Ä- ist, drei Symmetrie- 
ebenen besitzt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man Ä" 
als Ellipse annehmen; auf dieser Ellipse gibt es dann zwei Punkte 
A und JB derart, daß der Winkel AGB ein Maximum wird; es 
zeigt sich, daß die Ebene A OB eine Sj'mmetrieebene der Kegel- 
fläche ist, und man findet sonach leicht die beiden anderen.^) 



Die Paraboloide. 

236. Wenn der Pol der unendlich fernen Ebene ein unend- 
lich ferner Punkt JJ ist, besitzt die Kegelschnittfläche kein Zen- 
trum, sondern berührt die unendlich ferne Ebene im Punkt U. Sie 
heißt in diesem Falle ein Paraboloid. Die Polarebene eines un- 



1) Über die Konstruktion der Symmetrieebenen vgl. man Rohn- 
Papperitz, Lehrbuch d. darst. Geometrie, 3. Aufl., III, Leipzig 1906, 
S. 164 ff. 



Die Paraboloide 205 

endlich fernen Punktes V, der nicht auf der Fläche liegt, halbiert 
alle Sehnen von der Richtung V und heißt eine Durchmesser ebene. 
Alle Durchmesserebenen gehen durch f7, d. h. sind der Richtung TJ 
parallel, und schneiden die Fläche in Parabeln mit der Durch- 
messerrichtung ü. Jeder umschriebene Zylinder berührt die Fläche 
längs einer solchen Parabel. 

Zwei parallele Durchmesserebenen schneiden die Flüche in 
Jcongruenten Parabeln. Eine Ebene, welche den zwei Durchmesser- 
ebenen parallel ist und in der Mitte zwischen ihnen liegt, ist näm- 
lich selbst eine Dui-chmesserebene und wird somit eine Symmetrie- 
ebene (mit schiefer oder gerader Symmetrie) für die beiden Schnitte. 

Die reziproke Polare einer unendlich fernen Geraden u (welche 
die Fläche nicht berührt oder auf ihr liegt) heißt ein Durch- 
messer. Sie enthält die Mittelpunkte der Schnittkurven aller durch 
n gehenden parallelen Ebenen. Alle Durchmesser gehen durch 
den Berührungspunkt U der Fläche mit der unendlich fernen 
Ebene. 

Um die Gestalt der Fläche näher zu bestimmen, betrachten 
wir einen eigentlichen Kegelschnitt />:, der durch den Schnitt 
der Fläche mit einer Ebene senkrecht zur Richtung U entsteht 
(Fig. 218). l' muß entweder eine Ellipse oder eine Hyperbel sein, 
da jede Parabel auf der Fläche durch U geht, x und y mögen die 
Achsen von Je sein. Die unendlich fernen Punkte von x und y 
haben dann die Polarebenen y U und x T\ Da jede dieser Ebenen 
auf dem System paralleler Sehnen, die sie halbiert, senkrecht 
steht, wird sie eine Symmetrieebene der Fläche, und wir linden: 
Jedes Paraboloid hat zivei aufeinander senkrechte Symmetrieebenen . 

Die Schnittlinie s dieser Ebenen heißt die Achse der Fläche. 
s geht durch fJ und ' schneidet die Fläche in einem eigentlichen 
Punkt ^, dem Seheitel. Die Symmetrieebenen schneiden die Fläche 
in zwei Paral)eln a und &, den Jlauptschnitten des Paraboloids, 
die einen gemeinsamen Scheitel A und eine gemeinsame Achse z 
besitzen. Die beiden Hauptschnitte bestimmen die ganze Fläche. 
Da nämlich parallele Dui'chmesserebenen kongruente Schnitte 
liefern, kann die Fläche dadurch erzeugt werden, daß die un- 
veränderliche Parabel Ij mit ihrem Scheitel auf a gleitet, währfind 
ilire Achse und ihre Ebene dieselbe Richtung beibehalten. 

237. Es gibt zwei Arten von Paraboloiden: 
1. Das elliptische Paraboloid. a und b sind beim Scheitel 
nach derselben Seite hin konkav (Fig. 218). Die Schnitte senk- 
recht zur Achse werden ähnliche Ellipsen, insbesondere können 
diese Schnitte Kreise sein, und die Fläche ist dann ein Umdrehuugs- 



20(] 



Neuntes Kapitel. Kegelschnittfläcben 




paraboloid. Im anderen Falle 
kann man sie durch eine per- 
spektivische Affinität mit der 
xz-^hene als Affinitütsebene 
aus einem Umdrehungsparal)o- 
loid erzeugen. Das elliptische 
Paraboloid enthält keine ge- 
raden Linien. 

2. Bas hiiperhnUscIu' Para- 
boloid. a und h sind beim 
Scheitel nach entgegengesetzten 
Seiten hin konkav (Fig. 219). 
Die Fläche muß dann unkonvex 
sein. Durch eine Raumper- 
spektive, deren Zentrum der 
Scheitelpunkt A ist, und in wel- 
chem h einem Kreis h^ entpricht, 
während die Fluchtebene Uj 
den Kreis h^ berührt und senk- 
recht zur Achse der Fläche i.st, geht das Paraboloid aus einem ein- 
schaligen ümdrehungshyperboloid hervor. Hierdurch läßt sich zu- 
nächst die Existenz der Fläche 
beweisen, außerdem leiten wir 
so folgende Eigenschaften her: 
Das hyperbolische Paraboloid 
enthält zwei Systeme von ge- 
raden Linien (Begelstrahlen). 
Jeder Regelstrahl des einen Sy- 
stems schneidet jeden Regel- 
strahl des anderen Systems. 
Durch jeden Punkt der Fläche 
gehen zwei Regelstrahlen, von 
jedem System einer. Diese bei- 
den Regelstrahlen bestimmen jedesmal die Tangentialebene in dem 
Punkte. Jede Ebene durch einen Regelstrahl des einen Systems 
schneidet die Fläche in einem Regelstrahl des anderen Systems. 
238. Werden die durch den Scheitelpunkt A gehenden Regel- 
strahlen mit /"und r/ bezeichnet (Fig. 222), und ist Z die Achse der 
l^'läche, so schneiden die Ebenen fg imd gz die Fläche in zwei 
unendlich fernen Regelstrahlen g^ und fy Da alle Rogelstrahlen 
des Systems, zu dem /" gehört, //j schneiden müssen, werden sie 
parallel zu der Ebene fz. Ebenso werden alle Regelstrahlen des 




Geradlinige Kegelschnittflächen 207 

Systems g parallel zu der Ebene gz. Die Ebenen fz und gz oder 
zwei andere zu ihnen parallele Ebenen heißen deshalb Blchtnngs- 
ebenen. 

Da das hyperbolische Paraboloid zwei unendlich ferne ge- 
rade Linien enthält, muß ein ebener Schnitt der Fläche wenig- 
stens einen unendlichen fernen Punkt enthalten. Die Fläche kann 
deswegen keine Ellipse enthalten. Jede Asymptotenebene der 
Fläche enthält entweder f^ oder g.^ und gehört deshalb zu einer 
der ])eiden Scharen von Eichtur.gsebeneu. Umgekehrt ist jede 
Richtungsebene auch eine Asymptotenebene. 

Wenn die Hauptschnitte a und h kongruent sind, heißt das 
Paraboloid gleichseitig, f und g sind in diesem Falle aufeinander 
senkrecht, und dasselbe gilt von den Richtungsebenen. Dieses 
Paraboloid geht durch eine halbe Umdrehung um /' oder g in sich 
selbst über. 

Geradlinige Kegelsclinittfläclien. 

239. Der geometrische Ort für die Schniltlinien entsprechin- 
der Ebenen in zvei xn-ojeltiven (nicht loUokalen und nicht perspih- 
ticen) Ebcnenbüscheln ist eine Kegelschniftfüche. Eine beliebige 
Ebene, die keine der Büschelachsen enthält, wird nämlich von den 
beiden Ebenenbüscheln in projektiven Strahlenbüscheln geschnitten, 
und die entsprechenden Strahlen dieser beiden Büschel schneiden 
sich in den Punkten eines Kegelschnittes, wenn die Büschel nicht 
kollokal und nicht perspektiv sind. Die Schnittlinie der Fläche 
mit einer beliebigen Ebene ist also ein Kegelschnitt oder ein 
Linienpaar, und die Fläche selbst eine Kegelschnittfläche. Schneiden 
die Achsen der Ebenenbüschel einander, so \\"ird die erzeugte 
Fläche ein Kegel, dessen Spitze in dem Schnittpunkt der beiden 
Achsen liegt. Schneiden die Achsen einander nicht, so wird die 
Fläche ein einschaliges Hyperboloid oder ein hyperbolisches Para- 
boloid. Das letztere dann, wenn eine der Büschelachsen unend- 
lich fern ist, oder Avenn die zwei parallelen Ebenen, die in den 
Ebenenbüscheln enthalten sind, einander in der projektiven Be- 
ziehung entsprechen. 

240. J)ie Verbindungslinien entsprechender Punlte in zirei 
projektiven FunJdreihen mit windschiefen Trügern erfüllen eine Kcgcl- 
schnifi fläche. Wenn man nämlich die Punkte einer jeden der beiden 
Pimktreihen aus dem Träger der anderen Punktreihe durch Ebenen 
projiziert, so erhält man zwei projektive Ehenenbüscbel, und die 
Schnittlinien entsprechender Elieuen dieser Ebeneubüschel fallen 



208 



Neuntes Kapitel. Kegelschnittfläclien 



mit den Verbindungslinien entsprechender Punkte der beiden 
Punktreihen zusammen. 

Wenn die Punktreihen einander ähnlich sind, also ihre un- 
endlich fernen Punkte einander entsprechen, so wird die erzeugte 
Fläche ein hyperbolisches Paraboloid. In den übrigen Fällen ist 
sie ein einschaliges Hyperboloid. 

241. Eine gerade Linie, die sich so bewegt, daß sie beständig 
drei feste gerade Linien schneidet, vmt denen keine sivei in einer 
Ebene liegen., erzeugt eine Kegelschnittfläche. Man findet nämlich 
die Linien, welche drei gegebene gerade Linien schneiden, indem 
man aus zweien von diesen die Punkte der dritten durch Ebenen 
projiziert und diese Ebenen zum Schnitt bringt. Die so entstehen- 
den Ebenenbüschel sind aber projektiv, weil sie dieselbe Pnnkt- 
reibe enthalten, und erzeugen deshalb eine Kegelschnittfläche. 

Sind die drei geraden Linien eigentliche Linien, die nicht 
derselben Ebene parallel sind, so wird die Fläche ein Hyperboloid, 

dessen Zentrum man auf folgende 
Weise bestimmen kann. Es seien 
f\ 1 t\i 1 fa <Ji6 drei gegebenen Linien 
(Fig. 220). Man bestimme dann eine 
Linie g^, die /j und f^ schneidet und 
zu f^ parallel ist, eine Linie //g, die 
/ /3 und fi schneidet und zu f^ par- 
allel ist, endlich eine Linie g^, die 
.Q ,:•; ,,-' ■---,_ f^ imd /"g schneidet und zu /g par- 

allel ist. Die Linien g^, g^, g^ sind 
dann Erzeugende und die Ebenen 
f\9i^ /2.92 "n<i fz93 Asymptoten- 

, ebenen der Fläche, da sie diese alle 

J2 ^^^^-^^ in zwei parallelen Linien schneiden. 

Den gesuchten Mittelpunkt findet 
man darauf als den Schnittpunkt der 
drei Asymptotenebenen. Beachtet man, daß der Mittelpunkt des 
Parallepipedons ist, von dem die sechs Geraden /j, f^. f^, g^. g^, ffi 
Kanten sind, so sieht man, daß der Mittelpunkt jeder der Haupt- 
diagonalen in dem windschiefen Sechseck fidifvf/ififf-i ^^'i^^- I^^n 
Asyiuptoteukegel kann man diu'ch die drei Tangentialebenen 
/'i^i, f^f/»' t-i9-i ^"^ ^^^ Berübrungslinien dieser Ebenen finden, 
die der Reihe nach zu /j , /j und /g parallel sind. 



t, 



Fig. 220. 



Konstruktionen 



209 



Konstruktionen. 

242. Für die Parallelprojektion eines Ellipsoids wird die 
Begrenzung eine Ellipse, deren Mittelpunkt die Projektion 0' von 
dem Mittelpunkt des Ellipsoids ist. Der durch die berührenden 
Projektionsstrahlen gebildete Zylinder berührt nämlich das Ellip- 
soid längs einer Ellipse, deren Projektion die ümrißellipse ist. 
Wir wollen nun die ümrißellipse näher betrachten. 

Die projizierende Ebene, die durch die eine Achse .- des Ellip- 
soids geht, schneidet dieses in einer Ellipse r, deren eine Halb- 
achse Or'in z fällt, wäh- 
rend die andere Halb- 
achse OD in der xy- 
Ebene liegt (Fig. 221). 
Die Projektion D' von 
I) kann man also finden 
als den Schnittpunkt der 
Projektion z von z mit 
der Ellipse, von welcher 
die Projektionen ()' Ä 
und ()' B der beiden an- 
deren Halbachsen des 
Ellipsoids zwei konju- 
gierte Halbmesser bil- 
den. Die Konstruktion 
läßt sich nach 135 mit 
Hilfe einer affinen Per- 
spektivität ausführen. Mit Hilfe von 0' C' und O'D' kann man 
nun den Endpunkt M' des Linienstücks, in das e projiziert wird, 
finden. Wie wir früher (136) gezeigt haben, ist nämlich 0' M' 
die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, von welchem 
0' C' und OD' die Katheten sind. 0' M' wird dann ein Halb- 
messer der gesuchten ümrißellipse k. 

Wir bestimmen nun den Halbmesser ON^ der in dem Haupt- 
schnitt der xy-Wo&ne zu OD konjugiert ist, indem wir zur Kon- 
struktion beständig die angegebene Affinität benutzen. Die Tan- 
gentialebene des Ellipsoids in N ist sowohl zu OD als auch zu 
Z parallel und mithin eine projizierende Ebene (die zu der z pro- 
jizierenden Ebene parallel ist). Die Projektion iV" von N gehört 
deshalb mit zum umriß, und da gleichzeitig die Umrißtangente 
in N die Spur der Tangentialebene des Ellipsoids in A^ und 
somit parallel zu z ist, werden 0' K' und 0' M' konjugierte Halb- 

T im erding, Handbuch II 14 




Fig. 221. 



210 Neuntes Kapitel. Kegelschnittflächen 

messer der ümrißellipse, und diese ist derart vollständig be- 
stimmt. 

Die Konstruktion bleibt unverändert bestehen, wenn man 
für OÄ, OB und OC irgendwelche konjugierte Halbmesser des 
Ellipsoids nimmt. 

243. Wenn nun wie in Fig. 221 der Umriß h zugleich mit 
den Linien x' und / samt dem Punkte C' gegeben ist, so ist die 
ganze Figur festgelegt, z' schneidet nämlich zunächst Je in J/', hierauf 
wird 0' N' als der zu 0' M' konjugierte Halbmesser bestimmt; da 
weiter OD' durch O' C und O'M' bestimmt ist, sieht man leicht, 
wie man A' und B' finden kann. 

So kann man erkennen, daß die Figur die Parallelprojektion 
eines jeden Ellipsoids bilden kann, das einem Zylinder mit der 
Spur Je in der Bildebene einbeschrieben ist, wenn man die Pro- 
jektionsrichtung den Seitenlinien des Zylinders parallel annimmt. 
Ein derartiges Ellipsoid enthält nämlich notwendigerweise ein 
System konjugierter Halbmesser OÄ, OB und OC, die in O'A', 
0' B' und 0' C' projiziert werden. Zunächst wird nämlich C' die 
Projektion eines Punktes auf der Fläche (es gibt hiei'bei zwei 
Möglichkeiten, von denen wir aber nur die eine ins Auge fassen), 
und sodann kann man in der Durchmesserebene, die zu OC kon- 
jugiert ist, einen Durchmesser x finden, dessen Projektion x' ist. 
Damit sind aber, wie wir oben gesehen haben, alle Bedingungen erfüllt. 

Unter allen EUipsoiden, die durch die angegebene Figur 
dargestellt werden können, finden sich auch Kugeln, da jede 
Kugel, die einem durch Ji hindurch gelegten Rotationszylinder 
einbeschrieben ist, die Bedingungen erfüllt. Drei konjugierte Halb- 
messer der Kugel sind aber gleich groß und paarweise aufeinander 
senkrecht, und wir haben somit den PoJilJxescJien Saiz^) bewiesen: 



1) K. Pohlke, Darstellende Geometrie, Berlin 1860. 4. Aufl. 
1876, S. 109 fi". 

H. A. Schwarz, Elementarer Beweis des PolüJcescJien Funda- 
mentalsatzes, Journal für die r. u. a. Math. Bd. 63, S. 309—314, 1864. 

Fr. Schur, Über den PohlJceseJien Satz, Journ. f. d. r. u. a. Math. 
Bd. 117, S. 24 — 28, 1897 (wo man auch eine einfache Konstruktion 
der Umrißellipse findet); Math. Annalen Bd. 25, S. 596 f., 1885 (hier 
die projektive Verallgemeinerung). 

Fr. Schilling, Cber den PoJdJceschen Satz, Zeitschrift f. Math, 
u. Phys. Bd. 48, S. 487 — 494, 1903, wo weitere Literatur zusammen- 
gestellt ist. 

Th. Schmid, Zur Konturhestimmnng d. Flächen .2. Grades 
(PohlJces Satz), Wien. Ber. 113. Abt. IIa, S. 1423—33, 1904. 



Konstruktionen 211 

Drei willlnrUche Llnienst'dckfi OÄ, OB' und 0' C, die von dem- 
selben Punkt 0' ausgehen und in derselben Ebene liegen, aber nicht 
zu derselben Linie gehören, lassen sich immer als Parallelpro- 
jektion von drei gleich großen Strecken im Baume, die paanceise 
zueinander senkrecht sind, ansehen. Da man durch k im allge- 
meinen zwei Rotationszylinder legen kann, sieht man, daß die 
Projektionsrichtuug auf zwei verschiedene Arten angenommen 
werden kann. 

244. Wird ein Ellipsoid in der Parallelprojektion durch die 
Projektionen 0'A\ OB' und O' C' von drei konjugierten Halbmessern 
dargestellt, so ist die Fläche dadurch nicht bestimmt, aber manche 
Konstruktionen lassen sich doch ohne weitere Kenntnis der Fläche 
ausführen. So ist z. B. klar, daß die Projektion der Schnitte der 
Fläche mit den je zwei der gegebenen Durchmesser verbindenden 
Ebenen vollständig bestimmt sind, und wenn man wie in 46 das 
durch die drei Halbmesser bestimmte Koordinatensystem zur Dar- 
stellung benutzt, so kann man den Schnitt der Fläche mit jeder 
Linie und jeder Ebene darstellen, ebenso wie man die Tangential- 
ebenen an die Fläche durch eine gegebene Linie legen und ihr einen 
Kegel mit gegebener Spitze umschreiben kann. 

Alle Konstruktionen, die man so ausführt, sind gemeinsam 
für alle Ellipsoide, die durch die gegebene Figur dargestellt werden, 
und da unter diesen Ellipsoiden sich auch Kugeln finden, kann 
man die Aufgaben lösen unter der Voraussetzung, daß die Fläche 
wirklich eine Kugel ist. Man kann also die Aufgaben immer auf 
die entsprechenden Aufgaben für die Kugel in doppelter Projek- 
tion zurückführen, indem man die Transformation in 51 benützt. 

245. Bei einer doppelten Projektion, bei der die Achsen des 
Ellipsoids so liegen, daß zwei der Hauptebenen den Projektions- 
ebenen parallel sind oder mit ihnen zusammenfallen, kann die 
Fläche durch zwei senkrechte perspektivische Affinitäten mit diesen 
zwei Hauptebenen als Affinitätsebenen in eine Kugel verwandelt 
werden. Bei der einen dieser beiden Affinitäten bleiben die Grund- 
rißprojektionen an ihrer Stelle, während die Aufrißprojektionen 
sich in ihren Vertikalen verschieben, bei der anderen bleiben die 
Aufrißprojektionen unverändert. Man kann den Schnitt der Fläche 
mit einer irgendwie gegebenen geraden Linie so leicht bestimmen, 
indem man zunächst den Schnitt der entsprechenden Kugel mit 
der transformierten geraden Linie bestimmt. 

246. Ist ein einschaliges Hyperboloid in einer beliebigen 
Parallelprojektion so gegeben, daß die zwei Halbachsen OA und 
OB in die Strecken 0' Ä und OB' auf x und y' projiziert werden, 

14* 



212 



Neuntes Ka^jitel. Kegelschnittflächen 



während die dritte Achse durch z dargestellt wird, und ist ferner 
eine der Asymptoten in dem Hauptschnitt der a^^-Ebene gegeben, 
so kann man unmittelbar die Projektion als von einem üm- 
drehungshypex'boloid herrührend deuten, indem man die Projek- 
tion des Hauptschnittes der a:?/-Ebene als von einem Kreis her- 
rührend auffaßt, und die in 51 angegebene Transformation anwendet. 

Ist das Hyperboloid in doppelter Projektion dargestellt, und 
die Achse ^, die die Fläche nicht schneidet, senkrecht zum Grundriß, 
so kann man die Fläche durch eine Affinität, von der die a:;*;-Ebene 
die Affinitätsebene bildet, in ein Umdrehungshyperboloid über- 
führen. Ist die a;-Achse der Aufrißebene parallel, so ändern sich 
bei dieser Transformation nur die Grundrißprojektionen. 

247. In Fig. 222 ist die Parallelprojektion eines hyperbo- 
lischen Paraboloids gezeichnet, dessen Hauptebenen xz und yz sind. 




Fig. 222. 

Der Scheitel A ist gegeben, und von den beiden Hauptschnitten 
a und ft kennt man die Punkte M und P (Jf liegt auf der 2/- Achse 
und P ist ein willkürlicher Punkt der aj^J-Ebene). Symmetrisch 
zu M und P bezüglich der 5'- Achse findet man sofort die Punkte 
N und Q. Die Projektionen a und &' der Hauptschnitte kann man 
dann leicht zeichnen. Die Ebenen, die man durch P und Q parallel 
zur 2/5;-Ebene legt, schneiden die Fläche in zwei Parabeln, c und f7, 
die mit h kongruent sind. Ihre Projektionen e und iX sind eben- 
falls kongruent mit It . Die Punkte Y und 7', in denen c die xy- 
El}ene schneidet, kann man deshalb finden, indem man zunächst 



stereographische Projektion 213 

auf b' die Punkte sucht, für welche der Abstand von der zu der 
xy-Ebene parallelen Tangentialebene des Scheitels gleich dem 
Abstand der Punkte P und Q von der :f -Achse wird. Die icy-Ebene 
schneidet die Fläche in einer Hyperbel mit den Scheitelpunkten 
31 und N, die durch V und T geht. Diese Hyperbel kann leicht 
konstruiert werden. Die Schnittlinien f und g der Fläche mit dei- 
Tangentialebene im Scheitel A findet man, indem man auf den 
Parabeln c und d die Punkte bestimmt, deren Abstand von der xy- 
Ebene gleich OÄ wird. 

Da eine umschriebene Zylinderfläche das Paraboloid längs 
einer Parabel berührt, wird der Umriß k der Projektion eine 
Parabel. Die Richtung der Erzeugenden des längs d der Fläche 
umschriebenen Zylinders wird durch die Tangente von a im 
Punkte Q gegeben. Eine Tangente von d' parallel zur Tangente 
von a' in Q' berührt deshalb d' in einem Punkte .S' des Umrisses. 
Denn in dem so bestimmten Punkte S auf d ist die Tangential- 
ebene des längs d umschriebenen Zylinders, also auch des Para- 
boloids eine projizierende Ebene. Der Umriß berührt d' in S' 
Ebenso kann man auch den Punkt finden, in dem c von der Umriß- 
kurve berührt Avird. Diese ist so vollständig bestimmt, da man zwei 
ihrer Punkte mit den zugehörigen Tangenten kennt. / wird von 
ihr ein Durchmesser. Sie muß /'' und g' berühren, da die proji- 
zierenden Ebenen durch /' und g Tangentialebenen der Fläche sind. 
Allgemein ergibt sich, daß die Umrißkurve die Projektion aller 
Erzeugenden der Fläche berührt.^) 

StereograpMsche Projektion. 

248. Wenn eine konvexe Kegelschnittfläche aus einem ihrer 
Punkte S auf eine Ebene TT projiziert wird, welche die Tangen- 
tialebene Z in 5 in unendlicher Entfernung schneidet, so wird ein 

beliebiger Kegelschnitt k auf ^g s l 

der Fläche, der nicht durch 
S geht, in einen Kegel- 
schnitt k' projiziert, der zu 
dem Kegelschnitt k^, in dem 
TT oder eine dazu parallele 
Ebene die Fläche schneidet, 
ähnlich und in ähnlicher Lage 
ist (Fig. 223). 

1) Zu diesem Abschnitt vgl. man Rohn-Papperitz, Lehrbuch 
d. darst. Geometrie, III. Bd., 3. Aufl , 1906, S. 161 ff. 




214 



Neuntes Kapitel. Kegelschnittflächen 



Beiveis: Die Ebene von h schneide X in der Linie Z. Es 
mögen A und A.^ ein Paar konjugierter Punkte auf l sein, SA 
und *S'-4j sind dann reziproke Polaren bezüglich der Fläche, und 
die unendlich fernen Punkte A' und A.^ dieser Linien sind deshalb 
konjugiert bezüglich der Fläche, also auch bezüglich k^ . Da nun 
A' und A^' bei der betrachteten Projektion die Bildpunkte von A 
und A.^ werden und diese letzteren Punkte bezüglich k konjugiert 
sind, sind Ä und A^ auch konjugiert bezüglich Ic . \ und Ic haben 
also die konjugierten unendlich fernen Punktepaare gemeinsam 
und sind deshalb ähnlich (137). 

Der Mittelpunkt von 7/ ist der Pol der unendlich fernen 
Linie und deshalb der Bildpunkt des Poles L der Linie l bezüg- 
lich /(•. Aber L liegt auf der Polare von l bezüglich der Fläche, 
und diese Polare ist die Verbindungslinie von *S' mit dem Pol der 
Ebene des Kegelschnittes h. Folglich: Der Mittelpunld von Je ist 
der Bildpwikt des Poles der Ebene, in der Je liegt. 

249. Wenden wir diese Projektion auf eine Kugel an, so 
werden alle Kreise auf der Kugel wieder als Kreise abgebildet. 

In diesem besonderen Falle wird 
die Abbildung gleichzeitig kon- 
form, d. h. die Winkel, unter 
denen zwei beliebige Kurven auf 
der Fläche einander schneiden, 
werden in ihrer wahren Größe 
dargestellt. Sind nämlich (Fig. 
224) AB und AC Tangenten 
der Kugel in A, die in A' B' und 
A'C' projiziert werden und die 
Tangentialebene in S in B und C schneiden, so findet man 
<): B'A'C' = ^BSG==^.BAC. Die beiden letzten Winkel sind 
gleichliegende Winkel in den zwei kongruenten Dreiecken BSC 
und BAG. 

Die stereographische Projektion findet eine praktische An- 
wendung beim Kartenzeichnen. Will man auf diese Weise die 
östliche Halbkugel auf die begrenzende Meridianebene JM abbilden, 
so wählt man das Projektionszentrum in dem Punkte der west- 
lichen Halbkugel, dessen Tangentialebene zu M parallel ist. Die 
Mei-idiane werden dann als ein Kreisbüschel dargestellt, dessen 
Grundpunkte in den Nord- und Südpol fallen, während die Breiten- 
kreise als ein Büschel von Kreisen dargestellt werden, die die 
Kreise des ersten Büschels unter rechten Winkeln schneiden. 

250. Projiziert man ein elliptisches Paraboloid aus dem 




Fig. 224. 



Kreisschnitte 



215 



unendlich fernen Punkt der Fläche, so wird in der vorhin charak- 
terisierten Projektion die Ebene Z unendlich fern, und die Bild- 
ebene TT kann man willkürlich wählen, nur nicht parallel zur 
Achse. Hieraus erkennt man, daß die Kurve, in der eine beliebige 
Ebene TT das Paraboloid schneidet, 
ähnlich ist zu der Kurve, in der die- 
selbe Ebene einen Zylinder schneidet, 
dessen Seitenlinien parallel zur Achse 
des Paraboloids sind und dessen Leit- 
kurve ein ebener Schnitt des Para- 
boloids ist. Mit Hilfe dieses Satzes 
kann man sofoi-t die Kreissdmittc des 
Paraboloids finden. In Fig. 225 ist C 
der Scheitelpunkt der Fläche, die Achse 
ist vertikal, und die horizontale Spur 
ist eine Ellipse mit den Halbachsen 
OA und OB. Die Ebenen, die den ver- 
tikalen Zylinder, der durch diese El- 
lipse geht, in Kreisen schneiden, schneiden auch das Paraboloid in 
Kreisen. Macht man Ä3I _L OA und OM = OB, so geben OM 
und die dazu bezüglich OC S3^mmetrische Linie 021' die Stellungen 
der Kreisschnitte des Paraboloids an. 

Die ebenen Schnitte eines ümdrehungsparaboloids gehen 
durch senkrechte Projektionen auf eine zur Achse der Fläche senk- 
rechte Ebene in Kreise über. 




Fig. 225. 



Kreisscimitte. 

251. Wenn ein Kegel und eine beliebige Kegelsdmittfläclie 
einen Kegelschnitt gemeinsam haben, so schneiden sie einander in 
noch einem Kegelschnitte oder berühren einander im besonderen 
Fall längs des gegebenen Kegelschnittes. Es ist dabei vorausgesetzt, 
daß die Spitze des Kegels nicht auf der Fläche liegt. 

In einer harmonischen perspektivischen Kollineation, von 
welcher die Spitze des Kegels das Zentrum ist, während dessen 
Polarebene bezüglich der Kegelschnittfläche als Kollineationsebene 
gewählt wird, entspi'icht jede der beiden Flächen sich selbst. Der 
gegebene Kegelschnitt J: entspricht dann einem neuen Kegel- 
schnitt k^, der auf beiden Flächen liegt. Insbesondere kann Jc^ 
mit Je zusammenfallen, dies geschieht, wenn die Polarebene der 
Kegelspitze mit der Ebene von k zusammenfällt, die beiden Flächen 
berühren dann einander längs k. 



216 Neuntes Kapitel. Kegelschnittfläclien 

Der Satz kann insbesondere auf zwei Kegel angewendet werden. 

252. Wenn ein Kegel ziveiter Ordnung und eine beliebige 
Kegelschnittfläche einander in zwei Punkten P und Q berühren, so 
besteht die Schnittkurve der Ilächcn, u-enn sie überhaupt existiert, 
ans zwei Kegelschnitten, die beide durch P und Q hindurchgehen. 
Die beiden Kegelschnitte können insbesondere zusammenfallen, 
indem dann der Kegel der Kegelscbnittfläche umschrieben ist. Wir 
setzen voraus, daß die Kegelspitze ;S' nicht auf der Kegelschnitt- 
fläche liegt; die Linie PQ ist dann in keiner der Flächen ent- 
halten. 

Sei R ein gemeinsamer Punkt der beiden Flächen, der von 
P und Q verschieden ist. R kann dann nicht auf PQ liegen, da 
PQ sonst auf den beiden Flächen liegen müßte, was der Voraus- 
setzung widerspricht. R kann auch nicht der Tangentialebene in 
P oder Q angehören, sonst müßte nämlich RP oder RQ eine ge- 
meinsame Gerade der beiden Flächen sein. Die Ebene PQR muß 
also notwendigerweise die zwei Flächen in eigentlichen Kegel- 
schnitten treffen, aber diese Kegelschnitte müssen zusammenfallen, 
da sie durch P, Q und R gehen, und die Tangenten in P und Q 
für beide Kegelschnitte die Schnittlinien der Ebene PQR mit den 
gemeinsamen Tangentialebenen der Flächen in P und Q werden. 
Die Flächen haben also auf jeden Fall einen Kegelschnitt gemein- 
sam und deshalb nach dem vorhergehenden Satz im allgemeinen 
auch noch einen anderen Kegelschnitt. 

253. Wenn eine Ebene TT eine Kegelschnittfläche in einem 
Kreise schneidet, so wird dieser auch von jeder zu TT parallelen 
Ebene in einem Kreise geschnitten, und die Mittelpunkte dieser 
Kreise liegen auf einem Durchmesser d. Ist d senkrecht zu TT, so 
muß die Fläche eine Umdrehungsfläche sein. Ist d nicht senkrecht 
zu TT, so muß eine Ebene durch d, die auf TT senkrecht steht, alle 
Kreise symmetrisch teilen, diese Ebene ist deshalb eine Symmetrie- 
ebene der Fläche. Folglich: Jeder Kreisschnitt liegt in einer Ebene, 
die zu einer Symmetrieebene der Fläche senJcrecht ist. 

Was wir hier ausgeführt haben, gilt für alle Kegelschnitt- 
flächen, auch für Kegel, und wir wollen es anwenden, um die 
Kreisschnitte eines Kegels mit vertikaler Achse zu finden (Fig. 226), 
dessen Spitze .S' und dessen Grundrißspur eine Ellipse mit den -Halb- 
achsen OÄ und OB ist (OB fällt in die trennende Achse). Wenn 
die zur Aufrißebene senkrechte Ebene P den Kegel in einem 
Kreis schneidet, so schneidet die zu f bezüglich der Symmetrie- 
ebene SOA symmetrische Ebene f' den Kegel auch in einem 
Kreis. Da die beiden Kreise sich in zwei Punkten schneiden, 



KreisBchnittc 



217 




Fig. ;26. 



liegen sie auf einer Kugel, 
und diese berührt den Kegel 
in den Schnittpunkten der 
Kreise. Der Kugelmittel- 
punkt fällt auf die Kegel- 
achse O.S'. Umgekehrt hat 
eine Kugel, welche den Kegel 
in zwei Punkten berührt und 
weitere Punkte mit der 
Fläche gemein hat, zwei 
Kreisschnitte mit ihm ge- 
mein. Wir finden deshalb die 
Stellung der Kreisschnitte 
durch folgende Konstruktion: 
Man drehe SÄ um die Kegel- 
achse herum in die Aufriß- 
ebene hinein, auf der so entstehenden Linie SÄ^ wähle man einen 
Punkt Pj und schlage einen Kreis, dessen Mittelpunkt C auf SO 
liegt und der SÄ^ in P^ berührt. Die Kugel, von welcher dieser 
Kreis ein größter Kreis ist, schneidet dann den Kegel in zwei 
Kreisen, deren Aufrißprojektionen a und h sind. 

254. Wir suchen nun die Kreisschnitte eines EUipsoids, 
dessen Halbachsen OÄ, OB und OC seien (Fig. 227). In der 
Figur ist 0-4 > OB ^ OC angenom- 
men; O.Ä,C liegen in der Aufriß- 
ebene, 0, J-, B in der Grundrißebene. 
Wenn wir zunächst die Kreisschnitte be- 
stimmen wollen, deren Ebenen durch 
den Mittelpunkt gehen, und dabei be- 
nützen, daß jede der gesuchten Ebenen 
auf einer Symmetrieebene des Ellipsoids 
senkrecht steht, so sehen wir, daß die 
gesuchte Ebene durch eine der Linien 
OÄ, OB und OC hindurchgehen muß: 
OÄunä OC'(die größte und die kleinste 
Halbachse) liefern aber keine reellen Lösungen, hingegen kann 
man durch OB wirklich zwei Ebenen legen, welche die Fläche in 
Kreisen schneiden. Die Ellipse ÄC hat nämlich zwei Halbmesser, 
deren Längen gleich OB sind, denn der Kreis mit dem Mittel- 
punkt und dem Radius OB schneidet die Ellipse in vier Punkten. 
Die Verbindungslinien e und e' dieser Schnittpunkte mit dem 
Mittelpunkt fallen mit den Aufrißprojektionen der gesuchten 




Of- 



Fig. 227. 



218 Neuntes Kapitel. Kegelschnittflächen 

Kreise zusammen. Die Kreise selbst sind die Schnittknrven des 
Ellipsoids und einer Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius 
OB. Die anderen Kreise des Ellipsoids werden erzeugt durch dessen 
Schnitt mit Ebenen, die zu den gefundenen Ebenen parallel sind. 

Die Punkte auf dem Ellipsoid, deren Tangentialebenen den 
Ebenen der gefundenen Kreisschnitte parallel sind, heißen Kugel- 
punJcte (Nabelpunkte). Das allgemeine Ellipsoid enthält vier Kugel- 
punkte. 

255. Auf dem Hyperboloid kann man die Stellung der 
Kreisschnitte bestimmen, indem man die Kreisschnitte des Asym- 
ptotenkegels sucht. Eine Ebene TT, die den Asymptotenkegel in 
einem Kreis schneidet, schneidet nämlich auch das Hyperboloid 
in einem Kreise, denn der Asymptotenkegel und das Hyperboloid 
haben dieselbe Schnittkurve mit der unendlich fernen Ebene gemein- 
sam und haben sonach auch in dieser Ebene alle konjugierten 
Punktepaare gemeinsam; die beiden Scbnittkurven in der Ebene TT 
haben also gemeinsame konjugierte Punktepaare auf der unendlich 
fernen Linie von TT und sind deswegen ähnlich. Das allgemeine 
zweischalige Hyperboloid enthält vier Kugelpunkte. 

Auf dem einschaligen Hyperboloid kann man die Kreis- 
schnitte durch das Zentrum auch dadurch bestimmen, daß man 
den Schnitt des Hyperboloids mit einer Kugel über der großen 
Achse der Kehlellipse als Durchmesser sucht. Dieses erkennt man 
durch eine ähnliche Überlegung, wie wir sie oben für das Ellipsoid 
angestellt haben. Die Konstruktion führt man am leichtesten aus, 
indem man die Schnittpunkte S und T der Kugel mit einem Regel- 
strahl des Hyperboloids bestimmt. Die gesuchten Ebenen gehen 
dann durch S und T hindurch. Das einschalige Hyperboloid ent- 
hält keine Kugelpunkte. 

Wie man die Kreisschnitte eines elliptischen Paraboloids 
findet, haben wir bereits in 250 angegeben. Das hyperbolische 
Paraboloid hat keine Kreisschnitte. 



Zehntes Kapitel. 
Raumkuneu. 

Einfache Bögen im Räume. 

256. üntei- dem Bichtungskegel eines luirvenhogcns im 
Baume verstehen wir einen Kegel, dessen Seitenlinien zu den Tan- 
genten des Bogens parallel sind. Die Spitze des Kegels kann be- 
liebig gewählt werden. 

Der Bogen heißt einfach^ wenn folgende Bedingungen erfüllt 
sind: 1. Kein Teil des Bogens darf eben oder geradlinig sein. 
2. Jeder Punkt des Bogens muß zwei entgegengesetzt gerichtete 
Halbtangenten haben. 3. Der Richtungskegel muß einfach ^ein, 
d. h. es muß wenigstens eine Ebene existieren, die ihn in einem 
einfachen ebenen Bogen schneidet, dieser Bogen kann dann als 
Leitkurve des Kegels benutzt werden. 4. Wenn ein Punkt 31 den 
gegebenen Bogen AB in einem bestimmten ümlaufssinne durch- 
läuft, soll die Tangente in 31 ihre Eichtung beständig derart 
ändern, daß die zugehörige Seitenlinie des Richtungskegels diesen 
kontinuierlich und monoton durchläuft (d. h. so, daß sie sich be- 
ständig nach derselben Seite hin auf dem Kegel bewegt). Die eine 
Mantelhälfte des Richtungskegels bestimmt die Richtung der vor- 
wärtslaufenden Halbtangente, die andere Mantelhälfte die Richtung 
der rückwärtslaufenden Halbtangente. 

Da von dem Richtungskegel höchstens zwei Seitenlinien einer 
gegebenen Ebene parallel sind, können von dem Bogen höchstens 
zwei Tangenten der Ebene parallel sein. So kann man erkennen, 
daß eine Ebene nicht vier Punkte J\ (^, B, S mit dem Bogen 
gemein haben kann, denn sonst müßte (nach 201) jeder der Bögen 
PQ^ QB^ BS (wenn P, Q, B, S einander in dieser Reihenfolge auf 
dem Bogen folgen) mindestens einen Punkt enthalten, dessen Tan- 
gente der Ebene parallel ist (dieses wäre nämlich der Punkt, der 
auf dem betrachteten Bogen von der Ebene den größtmöglichen 
Abstand hat). Folglich: Ein einfacher Bogen im Baume hat höch- 
stens drei Punkte mit einer Ebene gemein. 



220 



Zehntes Kapitel. Raumkurven 




Fig. 228. 



257. Unter der Schmiegungsebene eines einfachen Bogens 
in einem Punkte 31 versteht man die Grenzlage, der eine Ebene 
zustrebt, wenn sie beständig die Tangente m in M enthält und 
noch durch einen anderen Punkt N des Bogens 
geht, der nach 31 konvergiert. Daß die Schmie- 
gungsebene eindeutig bestimmt ist, erkennt man 
wie folgt (Fig. 228): Der Bogen JllSf muß einen 
Punkt P enthalten, dessen Tangente p der Ebene 
niN parallel ist (201). Der Richtungskegel ent- 
hält zwei Seitenlinien m^ und p^ , die zu m und 
p parallel sind, die Ebene mN ist deshalb der 
Ebene m^p^ parallel. Wenn nun N nach 31 kon- 
vergiert, konvergiert auch P nach 31 und gleich- 
zeitig konvergiert p^ nach »i^, so daß die Ebene 
m^Pi nach der Tangentialebene des Kegels längs 
m^ konvergiert. Also hat die Ebene niK eine 
eindeutig bestimmte Grenzlage f, die der Tan- 
gentialebene r^ des ßichtungskegels längs m^ 
parallel ist. Damit ist die Existenz der Schmie- 
gungsebene bewiesen: Jeder PunM 31 eines einfachen Bogens hat 
eine bestimmte Schmiegungsebene. Diese ist der Tangeniialehene des 
BichtimgsJcegels längs der dem PunM 31 entsprechenden Seitenlinie 
parallel. 

Eine Ebene, die drei beliebige Punkte Ä, B, C des Bogens 
enthält, ist zwei Tangenten p und 5, einer an den Bogen AB, der 
anderen an den Bogen BC parallel, sie ist deshalb auch zwei 
Seitenlinien Pj^ und q^ des Richtungskegels, mithin der Hhene p^q^, 
die diese Seitenlinien bestimmen, parallel. Läßt man A, B und C 
nach einem bestimmten Punkte 31 konvergieren, so konvergieren 
die beiden Seitenlinien p^ und q^ gleichzeitig nach der Seiten- 
linie JWj des Kegels, die der Tangente in 31 parallel ist, während 
die Ebene p^q^^ nach der Tangentialebene des Kegels längs w^ 
konvergiert. Aber die Ebene ABC konvergiert damit nach der 
Schmiegungsebene des Bogens in il/, folglich: 

Wenn drei veränderliche PunJcfe A, B. C des Bogens nach 
dem Punkte 31 Iconvcrgicren, muß die Ebene ABC notivendiger- 
iveise nach der Schmiegungsebene in 31 konvergieren. Der Punkt A 
kann insbesondere in 31 fest liegenbleiben. 

Auf ganz ähnliche Weise beweist man, daß eine Ebene., die 
durch einen festen Punkt 31 und die Tangente n in einen beweg- 
lichen Punkt N des Bogens gelegt ivird, nach der Schmiegungsebene 
in 31 konvergiert, wenn N nach 31 konvergiert. 



Die Parallelprojektion eines einfachen Bogens 



221 



Die Parallelprojektion eines einfachen Bogens. 

258. Wir wollen nun dazu übergehen, die Parallelprojektion 
eines einfachen Bogens AB zu untersuchen, indem wir diesen auf 
eine gegebene Ebene TT in einer Richtung, die wir vorläufig als 
zu keiner Tangente des Bogens parallel voraussetzen, projizieren. 
Jede Tangente des Bogens AB projiziert sich dann als eine Tan- 
gente der Projektion A' B\ und jede Halbtangente, die zu einem 
Umlaufssinne von ^J5 gehört, projiziert sich als eine Halbtangente, 
die zu dem entsprechenden Umlaufssinne von A' B' gehört. 

Die Fig. 229 zeigt den Bogen AB mit einem Punkte M und 
der zugehörigen Halbtangente )n (für den Umlaufssinn AB) samt 
der -Projektion A' B' 
des Bogens mit dem 
Punkte M' und der 
zugehörigen Halbtan- 
gente m', weiter er- 
blickt man den Rich- 
tungskegel (die Man- 
telhälfte, die zum 
ümlaufssinne AB 
gehört) mit der Spitze 
0, die Seitenlinie 
m^ II m und die Pro- 
jektion des Rich- 
tungskegels (wij' jl 
w). Denken wir uns, 
daß der Punkt M 
den Bogen AB von 
A bis B durchläuft, 
so durchläuft M' die 

Projektion -4'^', und m bleibt beständig zu m^ parallel, so daß seine 
Richtungsänderung ausschließlich durch m^' bestimmt wird. Da 
nun ?»/ sich beständig nach derselben Seite dreht, solange die Tan- 
gentialebene des Richtungskegels längs m.^^ keine projizierende Ebene 
wird, während es seine Bewegungsrichtung umkehrt, wenn es eine 
solche Lage passiert, für welche die genannte Tangentialebene eine 
projizierende Ebene wird, und dieses höchstens zweimal eintreten 
kann, so erkennt man, daß der Bogen A' B' aus einfachen Bögen 
besteht, daß er jedesmal einen Wendepunkt bekommen muß, wenn 
«lie Schmiegungsebene von AB eine projizierende Ebene wird, und 
daß es höchstens zwei solcher Wendepunkte geben kann. 




Fig. 2-.'9. 



222 



Zehntes Kapitel. Eaumkurven 



Der Bogen AB' kann möglicherweise einen Doppelpunkt 
besitzen, indem es einen Projektionsstrahl geben kann, der zwei 
Punkte M und 'S des vorgelegten Bogens enthält. — In diesem 
Falle werden M und iV in denselben Punkt projiziert, und dieser 
wird ein Doiypd^im'kt der Projektion. Mehr als ein Doppelpunkt 
kann nicht vorkommen, da es sonst zwei Projektionsstrahlen geben 
müßte, die je zwei Punkte des Bogens AB enthielten, und sonach 
eine projizierende Ebene, die vier Punkte mit dem Bogen gemein 
hat, was unmöglich ist. 

259. Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, daß keine Tangente 
des betrachteten Bogens ein Projektionsstrahl ist. Wir geben nun 

^A 




Fig. 230. 



diese Voraussetzung auf, indem wir die Parallelprojektion in dem 
Palle untersuchen, wo der Bogen einen Punkt M enthält, dessen 
Tangente m ein Projektionsstrahl ist (Fig. 230). Die Spitze des 
Richtungskegels liege außerhalb der Projektionsebene TT, und die 
Seitenlinie m^ des Richtungskegels, die zu m parallel ist, werde 
von der Ebene TT im Punkte il/j geschnitten. Wir betrachten ein 
Stück AB des Bogens, das M enthält, so daß der zugehörige Teil 
des Richtungskegels die Ebene TT in einem einfachen Bogen A^ B^ 
schneidet, und wählen die Orientierung so, daß die Halbstrahlen, 
die von nach dem Bogen A-^B^ gehen, den Halbtangenten des 
Bogens AB für den Umlaufssinn AB parallel sind. Es entspricht 
so die Halbtangente n im Punkte N dem Halbstrahl n^ = OK^ 
auf dem Richtungskegel; die Parallelprojektiou n' von n ist dann 
zu M^N^ parallel. 

Wenn der Punkt N den Bogen AM von A bis M durch- 
läuft, so durchläufti\^j den Bogen ^j^l/^, und der Halbstrahl il/j i\"j 
dreht sich beständig nach derselben Seite und konvergiert nach 



Die Parallelprojektion eines einfachen Bogens 223 

der Halbtangente ^j des Bogens J/x-^i ^^ -^^n wenn N nach 31 
konvergiert. Infolgedessen dreht sieb auch der Halbstrahl ;?', der 
J/jiVj parallel ist, nach derselben Seite in demselben Sinne und 
konvergiert nach dem Halbstrahl ^ || ^i, wenn K nach JI kon- 
vergiert; da ferner der Halbstrahl N' 31' zu einer Halbtangente 
des Bogens N'3I' parallel ist, so wird dieser Halbstrahl nach t 
konvergieren, wenn N' nach J/' konvergiert, und es folgt hieraus, 
daß die Parallelprojektion Ä'3l' von A3I ein einfacher Bogen 
wird, dessen Halbtangente s in 31' zu t entgegengesetzt gerichtet 
ist. — Der durch den Umlauf J.'il/' des Bogens Ä' 31' bestimmte 
Drehsinn in der Ebene TT ist derselbe wie der durch den Umlauf 
J.jil/j des Bogens A^3I^^ bestimmte ümlaufssinn. 

Ebenso beweist man, daß der Bogen B' 31' ein einfacher 
Bogen ist, dessen Halbtangente in 31' ebenfalls s ist, während 
der dem Umlauf B' 31' entsprechende Umlaufssinn übereinstimmt 
mit dem durch den Umlauf B-^ il/j des Bogens B^ 3f^ bestimmten 
Umlaufssinn. Die beiden Bögen A' 31' und B' 31' bilden deshalb 
in 31' eine Spitze erster Art mit der Halbtangente s (vgl. auch 261). 

Die Ebene mt wird die Schmiegungsebene in il/, da sie der 
Tangentialebene ni^ti des Richtungskegels parallel ist. Da die 
Schmiegungsebene mt die beiden Bögen Ä'3I' und B' 31' von- 
einander trennt, trennt sie auch die Bögen Ä3I und B3I. Folglich: 

Die Schmiegungsebene teilt den Bogen in ztoei Bögen, einen 
auf jeder Seite der Ebene. 

Hingegen liegt bei jeder anderen Ebene durch die Tangente m 
die Umgebung des Punktes 31 auf derselben Seite der Ebene. 

Wir vereinigen die für die Parallelprojektion des einfachen 
Bogens gefundenen Resultate in folgendem Satze: 

Durch ParallelprojeTition eines einfachen Bogens h im Baume 
entsteht eine ebene Kurve b' , die aus einfaclun ebenen Bögen be- 
steht. Hat b eine Tangente^ die ein Projeldionsstrahl ist, so hat b' 
in dem entsprechenden Punkte eine Spitze erster Art, und die Tan- 
gente in dieser Spitze ist die Spur der Schmiegungsebene. Ist eine 
Schmiegungsebene eine projizierende Ebene, ohne daß die zugehörige 
Tangente ein Projeldionsstrahl ist, so tvird der arm Berährungs- 
purild entsprechende Punld von b' ein Woidepunld. Ist eine Sekante 
von b ein Projeldionsstrahl, so entsteht ein Doppelpunld von b'. 

260. Eine feste Ebene TT, die durch die Tangente m in 31 
geht, werde von der in einem anderen Punkte X berührenden 
Tangente n in einem Punkte S geschnitten. Wenn N dann nach 
31 konvergiert, so konvergiert auch S nach diesem Punkte. 

Dies zeigt man leicht mit Hilfe einer doppelten Projektion 



224 



Zehntes Kapitel, liaumkurven 




(Fig. 231), bei der die Ebene TT zu der trennenden Achse senkrecht 
wird, während die Tangente m zu keiner Projektionsebene senk- 
recht ist. Man erkennt dann unmittelbar, 
daß S' und S" nach 31' und 31" konver- 
gieren, d. h, S konvergiert nach 31. 

Die Schnittlinie der Schmiegungs- 
ehene A in einem Punkte A und der 
Schmiegungsehene B in einem anderen 
Funlie B konvergieren nach der Tangente 
~ in A, wenn B nach A konvergiert. Die 
genannte Schnittlinie kann nämlich einer- 
seits durch den Schnittpunkt *S' der 
Schmiegungsehene A mit der Tangente 
in B und andererseits durch ihre Richtung 
bestimmt werden. Diese Richtung wird 
gegeben durch die Schnittlinie s der bei- 
den Tangentialebenen Aj^, B^ des Richtungs- 
kegels, die zu A und B parallel sind. 
Wenn B nach A konvergiert, konvergiert nach dem Vorstehenden auch 
S nach A^ während s in die Seitenlinie des Kegels, die der Tan- 
gente in A parallel ist, übergeht. So erkennt man, daß die Schnitt- 
linie von A, B auch nach dieser Tangente konvergieren muß. 




Fig. 231. 



Die Schmiegungslialbebene. 

261. Wir denken uns einen einfachen Bogen im Räume 
derart auf der Zeichenebene projiziert, daß keine Schmiegungs- 
ehene eine projizierende Ebene wird (Fig. 232). Wir betrachten nun 

einen bestimmten Punkt 31 des 
Bogens und gienzen um ihn ein 
solches Teil AB des gegebenen Bo- 
gens ab, daß die Projektion A' B' 
ein einfacher Bogen wird. Wir 
wählen ferner einen Punkt X auf 
dem Bogen AB und bezeichnen die 
Halbtangenten in 3L und K, die 
dem Umlaufssinne y 31 bzw. 3IN 
Die Halbebene, die von der Tan- 
gente in 3L begrenzt wii'd und die von den Punkten dieser Tan- 
gente ausgehenden, mit n gleich gerichteten Halbstrahlen ent- 
hält, bezeichnen wir mit m (w). Biese llalhehene konvergiert, 
wenn K in 31 übergeht, nach einer bestimmten G-renzlage. Ihre 




Fig. 232. 



entsprechen, mit m' bzw. n' 



Die Tangentenfläcbe eines einfachen Bogens 225 

Projektion auf die Zeichenebene ist einmal eine feste Halbebene, die 
von m' begrenzt wird und den Bogen A' B' enthält, und die Ebene, 
in der sie liegt, konvergiert nach der Schmiegungsebene in M. Die 
gesuchte Grenzlage der Halbebene wird also die Halbebene, die in 
der Schmiegungsebene liegt und auf die Zeichenebene in der Halb- 
ebene projiziert wii'd, die von m begrenzt wird und AB' enthält. 
Die so bestimmte Halbebene heißt die Schmiegungshalhihene in M. 

Wir erkennen nun sofort durch eine analoge Betrachtung, 
daß die Halbebene m {N\ die von der Tangente in M begrenzt 
wird und den Punkt N enthält, nach derselben Grenzlage kon- 
vergiert. Hieraus folgt aber weiter, daß eine beliebige Halbebene 
m (P), die von der festen Tangente in M begrenzt wird und einen 
beliebigen Punkt F der veränderlichen Halbtangente n enthält, 
nach derselben Grenzlage konvergiert. Denn die Halbebene m (P) 
liegt in dem konvexen Flächenwinkel, der von den Halbebenen 
m (>^) und m {N) begrenzt wird, und da nun diese beiden nach 
der Schmiegungshalbebene konvergieren, gilt das gleiche auch für 
die erstgenannte Halbebene. 

Mau beweist auf genau dieselbe Weise, daß die Halbebenen, 
die von der veränderlichen Tangente in N begrenzt werden und 
einen beliebigen Punkt des Halbstrahls m (den Punkt M mitge- 
rechnet) enthalten, nach der Schmiegungshalbebene in M konver- 
gieren, wenn N in M übergeht. 

Die Tangentenfläclie eines einfachen Bogens. 

262. Die Fläche, welche von den Tangenten eines Bogens 
gebildet wird, heißt die Tancjentenfh'iche des Bogens. Ihre Schnitt- 
kurve mit einer Ebene TT ist der geometrische Ort für die Schnitt- 
punkte der Tangenten mit dieser Ebene. Wir setzen vorläufig vor- 
aus, daß der Bogen keinen Punkt mit der Ebene gemein hat. 

Seien M, X, P drei aufeinanderfolgende Punkte des Bogens 
vind üfj, Ky und P^ die Schnittpunkte der im Umlaufssinne PNM 
genommenen Halbtangenten m, n und jj mit der Ebene (Fig. 233). 
Lassen wir N und damit N^ fest, während M und P nach N kon- 
vergieren, so konvergieren die Halbebenen i)(iV\) und ??(il/j) 
nach dem vorstehenden gegen dieselbe Halbebene, nämlich die 
Schmiegungshalbebene des gegebenen Bogens in iV. Aber die Spuren 
der beiden genannten veränderlichen Halbebenen in TT sind diu 
Halbstrahlen Pj iV\ und N^M^, und diese beiden müssen also nach 
einer gemeinsamen Grenzlage konvergieren. Daraus geht hervor, 
daß die gesuchte Sehnittkurve im Punkte N^ bestimmte eutgegen- 

Timerding, Handbuch 11 15 



226 



Zehntes Kapitel. Raumkurven 




Kg. 233. 



gesetzte Halbtangenten hat, 
und daß die Tangente der 
Schnittkm-ve die Spur der 
Schmiegungsebene des ge- 
gebenen Bogens in N ist. 

Wenn man weiter be- 
denkt, daß die Schmiegungs- 
ebene der Tangentialebene 
des Richtungskegels parallel 
ist, und daß die Spur dieser 
Tangentialebene in TT sich 
beständig nach derselben 
Seite dreht (solange keine 
Seitenlinie des Kegels zu TT parallel ist), so folgt hieraus, daß 
die Schnittkui've in der Umgebung von N^ ein einfacher Bogeu 
sein muß. 

263. Wir wollen nun annehmen, daß die Ebene TT einen 
Punkt 31 mit dem gegebenen Bogen gemein hat, aber die Tangente 
in M nicht enthält, und daß N und P ein voraufgehender und 
nachfolgender Punkt seien, mit den Tangenten n und^ (Fig. 234). 

Lassen wir nun N und P nach 
31 konvergieren, so konvergiert 
die Halbebene n (31) und j; (Jf ) 
nach der Schmiegungshalbebene 
in üf, und ihre Spuren, die Halb- 
strahlen N^ 31 und P-^M^ konver- 
gieren also nach einer gemein- 
samen Grenzlage, der Spur der 
Schmiegungshalbebene. Daraus 
folgt, daß die beiden Bögen MN^ 
und Ü/Pj^ in 31 eine gemein- 
same Halbtangente haben, so 
daß die Schnittkurve in diesem 
Punkte eine Spitze bekommt. Mit Hilfe des Richtungskegels erkennt 
man nun weiter, daß die Tangente der Schnittkurve sich nach der- 
selben Seite dreht, wenn die Kurve in der Richtung N^ 3IP^ durch- 
laufen wird. Die Spitze muß also von der ersten Art sein. 

So findet man, daß die beiden Mäntel der Fläche, von denen 
der eine durch die vorwärts gehende Halbtangente, der andere 
durch die rückwärts gehende Halbtangente gebildet werden, so 
zusammenstoßen, daß längs des gegebenen Bogens eine scharfe 
Kante {Eücllcehr'kante oder SpUsMnte) der Fläche entsteht. 




Fig. 234. 



Einfache Raumkurven 



227 



Schneidet man die Fläche mit einer Ebene TT, welche die 
Tangente m in einem Punkte M der Spitzkante enthält, aber keine 
Schmiegungsebene ist, so schneidet die Ebene die Flüche zunächst 
in w, aber wie schon die Zeichnung vermuten läßt, außerdem in 
einer Kurve, von der M ein Wendepunkt und m die zugehörige 
Wendetangente ist (Fig. 235). Man beweist dieses durch ähnliche 




Überlegungen, wie sie bei den vorstehenden Untersuchungen ver- 
wendet worden sind. 

Endlich wollen wir hervorheben, daß, wenn die Ebene TT die 
Schmiegungsebene in M ist, die Schnittkurve in der Umgebung 
von 31 ein einfacher Bogen wird. 

Aus unserer Betrachtung geht hervor, daß die Tangenten- 
fläehe eines einfachen Boyens im Jiamne von einer heUehigen Ebene 
in einer einfachen ebenen Kurve geschnitten wird. 



Einfaclie Ranmkurven. 

264. Unter einer einfachen Raumkurve verstehen wir 
eine solche Eaumkurve, die man sich aus einfachen Bögen ent- 
standen denken kann, indem zwei solche Bögen, wo sie zu- 
sammenstoßen, immer eine gemeinsame Tangente und eine ge- 
meinsame Schmiegungsebene haben. Haben die beiden Bögen 
entgegengesetzt gerichtete Halbtangenten, so sind vier verschie- 
dene Fälle zu unterscheiden, entsprechend den vier Hauptfor- 
men, welche die Projektion der Kurve in der Richtung der 
Tangente annehmen kann. Diese vier Formen sind in den 
Figuren 236a, b, c, d dargestellt, wobei in jeder Figur ein' 



228 



Zehntes Kapitel. Raumkurven 



Stück der projizierenden Zylinderfläche gezeichnet ist. Die Lage 
der Schmiegungsebene zur Kurve erkennt man unmittelbar aus 
den Figuren. 

Außer diesen vier Formen von einfachen Kurven kann man 
noch vier aufstellen, die dem Falle entsprechen, wo die zusammen- 




Fig. 236 a. 



Fig. 236 b. 




Fig. 236 c. 



Fig. 236 d. 



stoßenden einfachen Bogen gemeinsame Halbtangenten haben, so 
daß die Raumkurve eine Spitze bekommt. Wir überlassen es dem 
Leser, diese Formen analog den soeben betrachteten aufzuzeichnen. 

In allen Fällen geht eine einfache Raumkurve durch Parallel- 
projektion in eine einfache ebene Kurve über. 

265. Aus den Betrachtungen in 262 — 263 kann man ferner 
schließen, daß die TangentenÜäche einer einfachen Raumkurve von 
einer beliebigen Ebene in einer einfachen ebenen Kurve geschnit- 
ten wird. 

Hiernach kann man weiter beweisen, daß durch eine perspek- 
tivische liaumtrausformution eine einfache JRaunikurve k immer in 
eine einfache Baumkurre k^ übergeht. • 



Einfache Raiimkurven 



229 



Für eine affine Transformation ist dies unmittelbar einleuch- 
tend, weil der Richtungskegel von Je in den Richtungskegel von 
K\ übergeht. Ist die Transformation nicht affin, so benutzt man 
folgende Überlegung: Die Fluchtebene in dem System, zu dem k 
gehört, schneidet die Tangentenfläche von Je in einer einfachen 
ebenen Kurve, und diese ist die Leitkurve für den Richtungskegel 
von Äj, wenn man die Spitze des Kegels im Perspektivitäts- 
zentrum annimmt. Folglich ist Jc^ eine einfache Raumkurve. 

Wir können nun ferner beweisen, daß eine einfache Bavm- 
kurve k durch Zcntralprojekfion in eine einfache ebene Kurce k' 
übergeht. 

Eine perspektivische Raumtransformation, welche das Zentrum 
der Zentralprojektion in einen unendlich fernen Punkt überführt, 
führt die Kurve k in eine einfache Raumkurve k^ über, während 
7c' gleichzeitig in eine Parallelprojektion von k^ übergeht, also in 
eine einfache ebene Kurve, k' muß deshalb selbst eine einfache 
ebene Kurve sein (vgl. noch die Bemerkung in 266). 

Ein wichtiger Satz, der gestattet zu beurteilen, ob eine vor- 
gelegte Raumkurve eine einfache Kurve ist, ist der folgende: Wenn 
eine Raumkurve in jedem Punkte bestimmte entgegengesetzt gerich- 
tet e Halbtangenten hat, und ihre Tangentenfläche eine ebene Schnitt- 
kurve enthält, die eine einfache Kurve ist, so ist die Raumkurve 
selbst stets eine einfache Kurve. 

Durch eine perspektivische Raumtransformation, welche den 
gegebenen ebenen Schnitt in die unendlich ferne Ebene überführt, 
geht nämlich die gegebene Raumkurve in eine einfache Raum- 
kurve über. 

266. Betreffs der Zentralprojektion eines einfachen Bogens 
ist noch zu bemerken, daß ganz ähnliche Verhältnisse hinsichtlich 
der Entstehung von Wendepunkt, Spitze 
und Doppelpunkt obwalten wie bei der 
Parallelprojektion. Dieses folgt sofort 
aus den aufgestellten Sätzen über die 
Schmiegungsebene und Schmiegungs- 
halbebene. 

Eine Bemerkung müssen wir noch 
machen, welche den Fall betrifft, wo 
das Zentrum der Zentralprojektion 
auf der Kurve selbst liegt (Fig. 237). 
In diesem Falle liefert der Punkt 
ja nicht eigentlich eine Projektion, 
aber da die Linie OM nach der Tan- Fig. 237. 




230 



Zehntes Kapitel. Raumkurven 



gente in 0' konvergiert, wenn M nach konvergiert, liegt es 
nahe, die Spur 0' dieser Tangente als Projektion von aufzAifassen. 
Tut man dieses, so erreicht man, daß man einen zusammenhängen- 
den Bogen M'O'N' als Projektion des Bogens il/OiV erhält. Hier- 
auf ist die Tangente des Bogens M'O' N' in 0' bestimmt als die 
Grenzlage der Linie 0' M\ wenn M' nach 0' konvergiert, und 
diese Tangente ist folglich die Spur der Schmiegungsebene des 
gegebenen Bogens in 0. Die Halbstrahlen 0' X' und 0' M' kon- 
vergieren nach entgegengesetzt gerichteten Grenzlagen, und da 
M und N auf entgegengesetzten Seiten der Schmiegungsebene in 
liegen, liegen M' und N' auf derselben Seite der Tangente in 
0'. Der Bogen M' 0' N' ist also in der Umgebung von 0' ein ein- 
facher Bogen. 

267. Den unendlich fernen Punkten haben wir bis jetzt noch 
keine besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Sie können bei den 
betrachteten Kurven ja nur in endlicher Anzahl vorkommen, und 
jeder von ihnen kann mit Hilfe einer perspektivischen Raumtrans- 
formation untersucht werden. Da die Definitionen, welche unend- 
lich ferne Punkte betreifen, beständig so getroffen werden, daß 
man sie durch Anwendung einer perspektivischen Transformation 
auf gewöhnliche Punkte zurückführt, bieten sie auch hier keiner- 
lei Schwierigkeiten dar. 



D 



V>; 



Krüminungskreis. 

268. Der Schmiegungskreis für eine Raumkurve wird ebenso 
definiert wie für ebene Kurven. Er liegt in der Schmiegungsebene, 

und sein Mittelpunkt ge- 
hört der Normalen an, 
die in dei" Schmiegungs- 
ebene enthalten ist. 
Diese Normale heißt die 
Hauptnormale. Faßt man 
eine ebene Kurve als 
eine spezielle Raum- 
kurve auf, so ist die 
Ebene der Kurve als 
Schmiegungsebene auf- 
zufassen und die Kur- 
vennormalen, die in der 
Ebene liegen, als Haupt- 
Fig. 238. normalen. 




Krnmmungskreis 231 

Der Schmiegungskreis wird auch Krümmungskreis genannt, 
und sein Radius gewöhnlich als Krümmungsradius bezeichnet. 

In Fig. 238 ist J. ein fester, B ein beweglicher Punkt auf 
der Kurve Ic. Ein Kreis, der die Tangente a in ^ berührt und 
durch B geht, möge die Linie BC (wobei C ein willkürlicher 
Punkt auf a ist) in D schneiden. Man findet dann durch genau 
ebensolche Betrachtungen, wie sie bei den ebenen Kurven ange- 
stellt worden sind, 

CD = ^- • 

Wenn nun B sich A und BC sich einer bestimmten Grenz- 
lago 5 nähert, so nähert sich der veränderliche Kreis dem Krüm- 
mungskreis und dieser muß dann s in einem Punkte D^ schneiden, 
der durch die Beziehung bestimmt ist 

ÄI)^= lim ^^• 

Ist B C beständig senkrecht auf a oder jedenfalls die Grenzlage von 
BC J_ fl, so wird s die Hauptnormale in Ä und Ä Dj ein Durchmesser 
des Krümmungskreises. Zur Bestimmung des Krümmungsradius q 
hat man dann die Gleichung: 

29==lim^-^. 

Durch senkrechte Projektion auf eine Ebene TT |1 a erhält man nun 
einen Bogen k\ dessen Krümmungsradius ()j durch die Gleichung 
bestimmt ist: 

2^1 = lim ^;^, , 

7? ' C 
aber da Ä' C = ÄC und lim „^ = cos«, wenn a die Neigung 

der Hauptnormalen oder auch der Schmiegungsebene gegen die 
Ebene TT ist, so findet man 

(I) — = cosa. 

Projiziert man hingegen k auf eine Ebene, die parallel zur Hauptnor- 
malen ist und einen Winkel ß (=4= 90°) mit der Tangente bildet, so er- 

hält man lim j^r^^ = 1, während lim j ^ = cos|3 ist, mithin wird 

W - =- \ , ■ 

^ ^ ßi cos ^ p 



232 



Zehntes Kapitel. Raumkurven 



269. Als ein wichtiges Beispiel für die Konstruktion des 
Krümmungskreises und der Schmiegungsebene einer Raumkurve 
in besonderen Punkten nehmen wir das folgende : Wir betrachten 
die Burchdringungslairve stveier Umdrehungsflächen, deren Achsen 
a und b in der Zeichenebene liegen und deren Meridiankurven m 
und n sind (Fig. 239). Man kann die Punkte der Durchdringungs- 
kurve mit Hilfe von Kugeln bestimmen, deren Mittelpunkt in dem 
Schnittpunkte *S' der Achsen liegt, wobei jede dieser Kugeln die 
Umdrehungsflächen in Parallelkreisen schneidet, die ihrerseits Punkte 

der gesuchten Durchdrin- 
gungskurve gemein haben. 
Die Tangente der Durch- 
dringungskurve in einem 
der gefundenen Punkte 
steht senkrecht auf der 
Ebene, die durch die Nor- 
malen der beiden Flächen 
in dem Punkte bestimmt 
wird. Die Schnittkurve 
wird von der Zeichen- 
ebene in zwei symme- 
trische Hälften geteilt, 
und von ihr liegen bei Fig. 
239 zwei Punkte P und 
Pj in der Zeichenebeno. 
In diesen Punkten (den 
Scheitelpunkten der Kur- 
ve) steht die Tangente 
senkrecht auf der Zeichen- 
ebene, es ist deshalb von Wichtigkeit, die Schmiegungsebene in diesen 
Punkten zu finden, da die Spuren der Schmiegungsebene die Projek- 
tion der Durchdringungskurve berühren. Wir betrachten den PunktP 
und einen benachbarten Punkt P* auf der Kurve. Zwei Kugeln, die 
gleichzeitig durch P und P* gehen, und deren Mittelpunkte bezieh- 
ungsweise auf a und b liegen, schneiden einander in einem Kreise, 
der die ßaumkurve in P berührt und durch P* geht. Dieser Kreis 
nähert sich, wenn P* nach P konvergiert, dem Krümmungskreise in 
P. Aber bei diesem Grenzübergange konvergieren die Kugeln nach 
Kugeln, welche die Umdrehungsfläche längs der durch P gehenden 
Parallelkreise berühren. Die Radien dieser letzten Kugeln sind 
die Normalen PQ und PB der beiden Meridiankurven, und der 
gesuchte Krümmungskreis wird der Schnittkreis dieser Kugeln. 




Kriimmungskreis 233 

Das von P auf die Linie QR gefällte Lot PO bestimmt 
den Krümmungsmittelpuntt 0. Die Linie PO ist zugleich die Spur 
der Schmiegungsebene und berührt deshalb die Projektion der 
Schnittkurve auf die Zeichenebene. 

Sucht man die Projektion der Kurve auf eine beliebige zur 
Zeichenebene senkrechte Ebene, so kann der Krümmungsradius 
der Projektionskurve in einem P entsprechenden Punkte unmittel- 
bar aus der Formel (I) auf S. 231 gefunden werden. 

270. Die Länge des Bogens im Räume wird ähnlich wie bei 
den ebenen Kurven definiert. Das Verhältnis zwischen dem Bogen 
und der Sehne nähert sich der Einheit, wenn der Bogen sich der 
Null nähert. 

Wenn ein einfacher Bogen in jedem Punkte einen bestimm- 
ten mit dem Punkte stetig veränderlichen Krümmungsradius hat, 
so läßt sich zeigen, daß der Krümmungsradius der Grenzwert ist 
für das Verhältnis zwischen der Bogenlänge, wenn diese gegen 
Null konvergiert, und dem Kontingenzwinkel (d. h. dem von den 
beiden Tangenten in den Endpunkten des Bogens gebildeten spitzen 
Winkel). Auf den Beweis gehen wir aber nicht ein. 



Elftes Kapitel. 
Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen. 

Allgemeine abwickelbare Flächen. 

271. Wir betrachten ein geordnetes System von Ebenen, das 
wir uns durch die Bewegung einer Ebene erzeugt denken, und 
setzen dabei voraus, daß niemals die Ebene beim Übergang aus 
einer Stellung in eine andere beständig durch dieselbe Linie geht. 
Unter der Schnittlinie einer Ebene TT des Systems mit der kon- 
sekutiven Ebene verstehen wir die Grenzlage für die Schnittlinie 
zwischen TT und einer veränderlichen Ebene, die sich TT nähert, 
indem sie eine geordnete Reihe von Lagen durchläuft, die zu dem 
gegebenen System gehören. Die Gesamtheit der Schnittlinien aller 
Ebenen mit ihren konsekutiven Ebenen bilden eine Fläche, welche 
die HäUfläche des Systems heißt. Die Fläche heißt dbwidcelbar, 
und die genannten geraden Linien heißen ihre Erzeugenden. Wenn 
alle Ebenen in dem gegebenen System durch einen Punkt Ä gehen, 
so gehen auch alle Erzeugenden durch diesen Punkt, und die Fläche 
wird eine Kegelfläche. Als Leitkurve für diese Fläche kann man 
die Hüllkurve für die Schnittlinie der gegebenen Ebene mit einer 
festen Ebene, die nicht durch Ä geht, benutzen. Die Kegelfläche 
wird von allen Ebenen des gegebenen Systems berührt. Ist A un- 
endlich fern, so wird die Fläche eine Zylinderfläche. Im folgenden 
lassen wir Kegel und Zylinder außer Betracht, indem wir voraus- 
setzen, daß die veränderliche Ebene, die das gegebene System 
durchläuft, niemals beim Übergang aus einer Lage in eine andere 
durch denselben Punkt geht. 

Schneidet man das gegebene System mit zwei Parallelebenen 
r und A, von denen keine zum System gehört (Fig. 240), so um- 
hüllen die Spuren c und d der beweglichen Ebene TT des Systems 
in r und A zwei Kurven i und Je, die als Normkurven (183) 
vorausgesetzt werden sollen. Ebenso setzen wir voraus, daß die 
Spur der beweglichen Ebene in jede andere zu f und A parallele 



Allffeineine abwickelbare Flächen 



235 




Ebene eine Norm- 
kurve erzeugt, c und 
d mögen die beiden 
Kurven / und k in 
C und D bei-ühren, 
eine neue Lage TTj 
der beweglichen 
Ebene TT möge die 
Spuren q und d^ mit 
den Berührungs- 
punkten Ci und D^ 
liefern, c und q 
mögen sich in y, d 
und (7j in ö schnei- 
den. Wenn TT^^ sich 
TT nähert, so nähert 
ihre Schnittlinie 
mit dieser Ebene 
sich CD, indem y 
sich C und S sich 
D nähert. Die Linie 
CD ist deshalb eine 
Erzeugende der Fläche. Jede Erzeugende der Fläche ist mit/iin die 
Verhindtingslimc ziceier Punkte auf den Kurven i und A-, deren 
Tangenten purallel sind. Man erkennt zugleich, daß alle ebenen 
Schnitte der Fläche, die zu f und A parallel sind, in den Punkten, 
die auf derselben Erzeugenden liegen, parallele Tangenten haben. 

Jede Ebene TT des gegebenen Systems berührt die Eüllfläche 
längs der m W gehörenden Erzeugenden p. 

Beweis: Wenn die Erzeugendem^ sich j) nähert (Fig. 240), 
so nähert sich die Ebene Cp■^^ der Grenzlage cp\ CC^ nähert sich 
nämlich c und p^ nähert sich 2>. Wenn nun eine beliebige Kurve, 
die auf der Fläche liegt und durch C geht, die bewegliche Er- 
zeugende pii ^ Pi schneidet, so wird die Grenzlage für die Linie 
CPj in der Ebene cp), also in TT enthalten sein, d. h. diese Ebene 
ist die Tangentialebene der Fläche im Punkte C. Auf dieselbe 
Weise erkennt man, daß die Ebene TT Tangentialebene in jedem 
Punkte von 2> ist. Hiermit ist der Satz bewiesen. 

Die Erzeugenden einer äbivickelbaren Flüche sind Tangenten 
einer bestimmten Eaumkurve. 

Beiceis: In den Ebenen V und A zeichnen wir die Normalen 
CM und DN der Kurven i und k. Diese Normalen sind parallel. 



Fig. 240. 



236 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 

Wenn p die gegebene Fläche durchläuft, so umhüllen CM und 
DN die Evoluten i^ und \ der Kurven i und /.*, und die durch 
CM und DN bestimmte Ebene umhüllt eine neue abwickelbare 
Fläche, welche die Kurven i^ und Z'^ enthält. Eine Erzeugende 
MN der neuen Fläche schneide CD in einem Punkte S. Wenn 
p die gegebene Fläche und MN die neue Fläche durchläuft, so 
beschreibt der Punkt S eine Kurve s, die auf beiden Flächen liegt, 
und deren Tangente in S deshalb die Schnittlinie der Tangential- 
ebenen beider Flächen längs CD und 3LN ist, aber diese Schnitt- 
linie ist eben p^ und somit ist p die Tangente der Kurve s in S. 
Unsere Fläche ist also die Tangentenfläche einer bestimmten 
Raumkurve s (der Spiizlruifc der Fläche) ; für den Fall, wo s eine 
einfache Raumkurve ist, haben wir somit bereits früher (262 ff.) 
wesentliche Eigenschaften der Fläche gefunden, und auf diesen 
Fall werden wir uns auch im folgenden beschränken. 

272. Die Tangentialebenen der ahwichelharen Fläche sind 
Schmiegungsebenen der Kurve s. 

Beiveis: Da^^ eine Tangente von s ist, konvergiert die Ebene 
Spi , wenn p^ sich p nähert, nach der Schmiegungsebene der Kurve 
in S, aber sie konvergiert auch nach der Tangentialebene der 
Fläche längs p (vgl. auch 262). 

Daß die Tangenten einer beliebigen einfachen Raumkurve 
immer eine abwickelbare Fläche bilden, folgt aus dem früher be- 
wiesenen Satz, daß die Grenzlage der Schnittlinie einer Schmie- 
gungsebene mit einer benachbarten Schmiegungsebene eine Tan- 
gente der Kurve ist (260). 

273. Der Richtungskegel der Spitzkante s heißt auch Rich- 
tungslcegel der ahivickelbarcn Fläche. Die Erzeugenden des Richtungs- 
kegels sind mithin parallel zu den Erzeugenden der Fläche, und 
die Tangentialebenen des Richtungskegels sind parallel zu den 
Tangentialebenen der Fläche. 

Der Richtungskegel bestimmt die unendlich fernen Punkte 
der Fläche. Doch kann die Fläche insbesondere eine oder mehrere 
unendlich ferne Erzeugende enthalten, und die derart bestimmten 
unendlich fernen Punkte der Fläche bilden eine Gesamtheit für 
sich, die nicht unter den durch den Richtungskegel bestimmten 
unendlich fernen Punkten enthalten ist. 

Bei der Projektion der abwickelbaren Fläche ist in erster 
Linie die Projektion der Spitzkante von Bedeutung. Weiter kommen 
die Umrißerzeugenden, deren Tangentialebenen projizierende Ebenen 
sind, in Betracht. Handelt es sich um eine Parallelprojektion, so 



Allgemeine abwickelbare Flächen 237 

sind diese ümrißerzeugenden parallel zu den Umrißerzeugenden 
des Richtungskegels. 

Eine Doppelkurve der Fläche entsteht als der geometrische 
Ort der Punkte, von denen zwei Erzeugende ausgehen. Wenn zwei 
solche Erzeugende sich auf der Fläche bewegen, beschreibt näm- 
lich jede von ihnen einen Teil der Fläche, und ihr Schnittpunkt 
eine Schnittkurve der beiden Flächenteile. In der Projektion der 
Fläche muß die Doppelkurve angegeben werden. 

274:. Wii- wollen nun erklären, warum die im vorstehenden 
beschriebenen Flächen abwickelbare Flächen genannt werden. Zu- 
nächst betrachten wir eine Eeihe dicht aufeinander folgende Lagen 

der Ebenen, die die Fläche umhüllen; a, &, r, (^, (Fig. 241) 

seien die Schnittlinien von je zwei aufeinanderfolgenden dieser 
Ebenen. Die so bestimmten schmalen 

Keile ah, bc, cd, bilden eine 

Figur, die wir kui-z als eine Polygon- 
fläche bezeichnen wollen. Sie kann 
auf eine Ebene V abgewickelt wer- 
den, indem man diese ei'st mit ah 
zusammenfallen läßt, darauf Z^c durch 
eine kleine Drehung um h in die 
Ebene fallen läßt, darauf cd durch 
eine Drehung um c usw. Die Keile 

ah, hc, cd, legen sich dann ^~piB '>ii 

der Reihe nach in die Ebene um und 
bilden in ihr eine zusammenhängende Figur ahc'd' . . . ., welche 
die Abwicklung der Poljgonfläche heißt. Bei der Abwicklung 
der Polygonfiäche beschreibt ein beliebiger Punkt P von ihr eine 
Kurve, die aus einer Reihe kleiner Kreisbögen besteht; der erste 
dieser Bogen entsteht durch die Drehung um h, seine Ebene 
ist senkrecht zu h. Der zweite Bogen entsteht durch die Dreh- 
ung um c und liegt deshalb in einer zu dieser Linie senkrechten 
Ebene usw. 

Wenn nun die Anzahl der Ebenen in der Polygonfläche ins 
unendliche wächst, indem die Keile a h,bc, . . . schmäler und schmäler 
werden, nähert sich die Polygonfläche mehr und mehr der ab- 
wickelbaren Fläche, und diese wird immer die genannte Eigen- 
schaft behalten, daß sie auf einer Ebene rollen und derart auf diese 
abgewickelt werden kann. So erkennt man, daß auch die Fläche 
selbst auf der Ebene rollen und derart auf diese abgewickelt werden 
kann, d. h. die Fläche kann sich so bewegen, daß sie beständig die 
Ebene längs einer Erzeugenden berührt und alle Punkte auf der 




238 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 



Fläche im Verlauf der Bewegung in die Ebene übergehen, der- 
art, daß 

1. jeder PunM Ä der Fläche in einen entsprechenden Punkt 
Ä der Ebene füllt, 

2. ZK- jeder Kurve Je auf der Fläche eine entsprechende Kurve 
Tc in der Ebene gehört und entsprechende Bögen dieser Kurven 
gleicJie Längen haben, 

3. die Winkel zwischen zwei Kurven auf der Fläche gleich 
den Winkeln zwischen den entsprechenden Kurven in der Ebene 
werden und insbesondere die Winkel, unter denen eine Kurve die 
Erzeugenden schneidet, unverändert bleiben. 

Bei der Abwicklung beschreibt ein beliebiger Punkt P der 
abwickelbaren Fläche eine Raumkurve, von der die Normalebene 
in jedem Augenblick durch die Erzeugende hindurchgeht, bis zu 
welcher die Abwicklung gerade fortgeschritten ist, so daß die Kurve 
die Ebene f selbst unter einem rechten Winkel trifft. 

Durch die Betrachtung der Polygonfläche und der zu ihr ge- 
hörenden Richtungspyramide erkennt man, daß die Abwicklung 
der Fläche und die Abwicklung ihres Richtungskegels so einge- 
richtet werden können, daß entsprechende Erzeugende bei der Ab- 
wicklung parallel bleiben. 

275. Z'wischen den Krümmungsradien q und q^ m entsprechen- 
den Punkten einer Kurve k auf einer abwickelbaren Fläche und 
der entsprechenden Kurve k' in der ebenen Abivicklung der Fläche 
besteht folgende einfache Beziehung: 



?i 



cosa ' 



wenn cc den Winkel zwischen der Tangentialebene der Fläche und 

der Schmiegungsebene der Kurve in dem betrachteten Punkt bezeichnet. 

Beweis: Die Fläche berühre die Ebene V längs der Erzeugenden 

p, die einen Punkt A der 
gegebenen Kurve k ent- 
hält (Fig. 242), ein an- 
derer Punkt der Kurve 
sei B. Wenn die Fläche 
auf der Ebene rollt, ge- 
langt B nach B' und der 
Bogen AB wird in den 
Bogen AB' aboewickelt. 
Der von B beschrieben t^ 
Bo^en BB' trifft T 




Kegelflächen 239 

unter einem rechten Winkel. Wir tragen nun auf der Tangente 

a in Ä AB^ = AB = AB' ah, und zeichnen die Bahnen BB^ und 
B' Bi bei der Abwicklung von Je und k'. Wenn B sich Ä nähert, 
werden die Seiten in dem ' krummlinigen Dreieck B^B' B unend- 
lich klein, während der krummlinige Winkel B B^ B' den konstanten 
Wert a hat; die durch a und die Tangente des Bogens BB^ in 
B^ bestimmte Ebene ist nämlich die Schmiegungsebene der Kurve 
h in A. Da gleichzeitig der Winkel BB' B^ in dem krummlinigen 
Dreieck beständig 90^ beträgt, hat man 

hm ^T, = cos«, 

AJB ' AB ' 

aber da 2o = lim ^ ' und 2p, = lim "^„ ' wird, finden wir 

= hm ^.~ = , 

Q B B^ cosk' 

w. z. b. w. Ist c = 0, so hat man pj = p, woraus man erkennt, 
daß die Abwicklung der Spitzkante denselben Radius besitzt wie 
die Spitzkante selbst. 

Daraus, daß das krummlinige Dreieck BB^B' den spitzen 
Winkel a enthält, geht gleichzeitig hervor, daß die konkave Seite 
von k' eben da liegt, wo die konkave Seite der Projektion von Je 
auf die Tangentialebene liegt. Weiter erkennt man, daß, wenn 
die Kurve k einen Punkt A enthält, für den a = 90° wird, die 
Möglichkeit besteht, daß der A entsprechende Punkt von Je ein 
Wendepunkt wird. Die Bedingung dafür ist, daß a, während der 
Punkt auf der Kurve k die Stelle A passiert, entweder beständig 
wächst oder beständig abnimmt. Wenn der Winkel zwiscJien der 
Schmiegimg sehene und der Tangentialebene für jeden PunJd von k 
ein rechter wird, tvird k in eine gerade Linie ausgebreitet. Die 
Kurve /.■ ist dann eine geodätische Kurve (kürzester Weg) auf der 
Flüche. 

Kegelflächen. 

276. Der Mantel eines Rotationskegels wickelt sich als ein 
Kreisausschnitt ab. Da der Umfang des Grundkreises dieselbe 
Länge wie der Bogen des Ausschnitts hat, wird die Gradzahl 
dieses Bogens == 360" • sin u, wo u den Achsenwinkel des Kegels 
bezeicliuet. Tn Fig. 243a ist w = 30". Die Abwicklung des Mantels 
wird dann ein Halbkreis. Ein hyperbolischer Schnitt des Kegels, 



240 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllfläclien 




Fig. 243 b. 



der durch eine Ebene e^ e^ senkrecht zur Aufrißebene erzeugt wird, 
wird abgewickelt, indem man den Kegel längs der Erzeugenden 
SN aufschneidet (Fig. 243 a, b). Der Scheitelpunkt A des Hyperbel- 
astes fällt nach ^*, wobei S*Ä* = S" A' wird. Der Krümmungs- 



Kegelflächen 241 

kreis k der abgewickelten Kurve in A"' hat den Radius Ä'c^ 
= ä"c : cos« (-75). Ä'c ist nämlich der Krümmungsradius der 
Hyperbel im Punkte Ä, den wir nach 212 bestimmen. Der Wende- 
punkt P* der abgewickelten Kurve entspricht einem Punkte F 
der Hyperbel, in welchem die Tangentialebene des Kegels auf der 
Ebene der Hyperbel senkrecht steht (275). Man findet also P, 
wenn man durch das aus *S' auf die Ebene der Hyperbel gefällte 
Lot eine Tangentialebene an den Kegel legt und den Schnittpunkt 
der Berührungslinie SQ^ mit der Schnittebene sucht. Es ergeben 
sich zwei Lösungen, von denen aber nur die eine in der Figur 
angegeben ist. Den Q^ bei der Abwicklung entsprechenden Punkt Q*\ 
findet man, indem man von N* aus einen Bogen abträgt, der 
gleich dem Bogen NQ^ wird. Macht man darauf ;S'*P* gleich der 
wahren Länge S" I\ von SP, so erhält man den gesuchten Punkt P*. 
Die Tangente der Hyperbel in P hat eine Grundrißspur (>, die auf 
e^ liegt, und da die Lage der Tangente zur Seitenlinie bei der 
Abwicklung erhalten bleibt, so kann man die Tangente in P* 
finden, indem man Q^^Q* = QiQ auf der Tangente des abgewickel- 
ten Grundkreises abträgt, Q*P^ ist dann die ge.suchte Taugente. 
Man sieht leicht, daß die früher angegebene Bedingung (275) 
dafür, daß die gefundene Tangente wirklich eine Wendetangente 
wird, hier erfüllt ist. 

Wir erkennen zugleich, wie man einen beliebigen Punkt der 
abgewickelten Kurve samt seiner Tangente finden kann. Die 
Methode läßt sich auch auf unendlich ferne Punkte anwenden. In 
der Figur ist noch die eine Asymptote konstruiert, indem der Kegel 
mit einer zu der Ebene der Hyperbel parallelen Ebene durch die 
Spitze geschnitten wurde. 

277. Die Durchdringungskurve ziveier Kegd kann man da- 
durch konstruieren, daß man durch die Verbindungslinie der 
Spitzen Hilfsebenen legt, die beide Kegelflächen schneiden. Jede 
dieser Ebenen schneidet dann jede Kegelfläche in einer oder meh- 
rei'en Seitenlinien. u.nd diese Seitenlinien treff"en einander in Punkten 
der gesuchten Kurve. In Fig. 244 a sind a und h die Spuren der 
Kegel in der Bildebene, A und B die Kegelspitzcn, AB hat die 
Spur S. Eine Linie durch S, die a und h schneidet, ist die 
Spur einer der genannten Hilfsebenen. Einer der gesuchten Punkte 
in dieser Hilfsebene ist P, nämlich der Schnittpunkt von AP^ 
und PP2. Die Tangente in P wird gefunden, indem man P mit 
dem Schnittpunkt T der Tangenten au die Spurkurveii in Pj und 
P» verbindet. 

Eine der Hilfsebenen durch AB berührt den Kegel A{a) 

Timerding, Handbuch II IG 



242 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 

längs AQ^ und schneidet den Kegel B(b) in zwei Seitenlinien. 
In dieser Hilfsebene erhält man also nur zwei Punkte der Schnitt- 
kurve, während man sonst vier erhält. Die Tangenten dieser zwei 
Punkte sind die Seitenlinien, in denen die Ebene den Kegel -B(6) 




/ l 




\ \ ]h 




\ ' 


'i^ 


3Hv..:. 


::----" 


\t 


/ 






"~- '•,''' 






Fig. 244 a 



schneidet, und die Schmiegungsebene der Kurve in den zwei 
Punkten sind die Tangentialebenen des Kegels längs der genann- 
ten Seitenlinien. 

Die Hilfsebene SÄBQ^ zerlegt den Kegel B(b) in zwei Teile, 
von denen nur der eine für die Durchdringung in Betracht kommt; 
jede Seitenlinie dieses Teiles der Kegelfläche (mit Ausnahme der 
begrenzenden Seitenlinien) hat mit der anderen Fläche zwei Punkte 
gemein. Man erkennt so, daß die Durchdringung aus einer einzigen 
geschlossenen Kurve besteht. 

In Fig. 244b ist eine andere Orientierung dargestellt, bei 
der man von S zwei Tangenten an a ziehen kann, die h schneiden, 
so daß von der Kegelfläche B(h) zwei Stücke abgetrennt werden, 
die an der Durchdringung mit dem anderen Kegel nicht teil- 
nehmen, während von den übrigen beiden Stücken jedes von dem 
Kegel Ä{a) in einer geschlossenen Kurve durchdrungen wird. Die 



Kesrelflächen 



243 



Durchdringungskurve besteht also in diesem Falle aus zwei ver- 
schiedenen geschlossenen Zweigen. 

278. Wenn die Kegelflächen von der zweiten Ordnung sind, 
hat die Durchdringungskurve höchstens vier Punkte mit einer be- 
liebigen Ebene TT gemein ; dies folgt daraus, daß die beiden Kegel- 

B 




■'S 



Fig. 244 b. 



schnitte, in denen die Ebene die Kegel schneidet, höchstens vier 
Punkte miteinander gemein haben (wenn sie nicht ganz zusammen- 
fallen, in welchem Falle die Kegel einander in zwei Kegelschnitten 
durchdringen). Die Projektion der Schnittkurve auf eine beliebige 
Ebene hat deshalb auch höchstens vier Punkte mit einer geraden 
Linie gemein. 

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem werden die 
Flächen durch zwei Gleichungen zweiten Grades dargestellt, 
welche Gleichungen die Raumkurve bestimmen. Wenn eine der 
Koordinatenebenen, z. B. die xy-'Ehene eine Symmetrieebene beider 
Flächen ist, werden die Gleichungen in z rein quadratisch, und die 
Projektion der Schnittkurve auf die r?/- Ebene wird durch eine 
Gleichung zweiten Grades in x und i/ dargestellt, sie ist also ein 
Kegelschnitt, ein Fall, der in der l^raxis häutig vorkommt. 

Durch eine perspektivische Raumtransformatioii kann man 

16* 



244 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere HüUüäcben 



das gefundene Resultat leicM dahin erweitern, daß die Schnitt- 
kurve zweier Flächen zweiter Ordnung, die für einen Punkt eine 

gemeinsame Polarebene 
besitzen, aus durch 
einen Kegel zweiter Ord- 
nung projiziert wird. 

In der Fig. 245 
ist z. B. die senkrechte 
Projektion zweier Rota- 
tionskegel gezeichnet, 
deren Achsen in der Zei- 
chenebene liegen; die 
Spitzen sind Ä und J?, 
\ind die Grundflächen 
werden in die Strecken 
Ä^A^ und B.yB.2 proji- 
ziert. Die Projektion 
der Schnittkurve ist ein Kegelschnitt, von dem man sofort 
vier Punkte kennt. Die Tangenten in diesen Punkten konstruiert 
man am leichtesten mit Hilfe der früher angegebenen Methode für 
die Schnittkurve zweier Umdrehungsflächen (269). 

279. Wenn die Spitze des einen Kegels A (a) auf dem anderen 
Kegel liegt, aber die Kegel keine Seitenlinie gemein haben, so 




Fig. 245. 



K 




Fig. 246. 



erhält die Schnittkurve in A entweder einen isolierten Punkt 
oder einen Doppelpunkt. Die Tangeuten iu dem Doppelpunkt sind 
die Schnittlinien des Kegels A(a) mit der Tangentialebene des 
anderen Kegels in A. 



Kegelflächen 245 

Haben die beiden Kegel eine gemeinsame Tangentialebene 
mit verschiedenen Berührungslinien, so schneiden diese Berühinings- 
linien einander in einem Punkte P, der für die Schnittkurve im 
allgemeinen ein Doppelpunkt wird (Fig. 246). Wir wollen nun 
zeigen, wie man die Tangenten in einem solchen Doppelpunkt i* 
finden kann, indem wir vorläufig voraussetzen, daß a und b Kreise 
sind. In diesem Fall kann man beweisen, daß die Zentralprojektion 
der Schnittkurve aus P auf die Zeichenebene ein Kreis wird, der 
dem durch a und b bestimmten Kreisbüschel angehört. Indem wir 
die Spur der Verbindungslinie AB der Kegelspitzen beständig 
mit S bezeichnen und annehmen (Fig. 247), eine willkürliche 





ßyQ. 



Fig. 247. 



Linie durch S schneide a und b in P^ und Pgi während Q^, Q^ 
die Eerühnmgspunkte der gemeinsamen Tangente seien, so gehen 
P^Qi und P^Qo durch eine Zentralprojektion mit dem Zentrum P 
aus den beiden Seitenlinien AP^ und B P^ hervor und ihr Schnitt- 
punkt M ist ein Punkt auf der Zentralprojektion der Schnitt- 
kurve. Wir müssen nun zeigen, daß der geometrische Ort für 
M ein Kreis ist. Aus der Figur erhält man nach dem Satz 
des Menelaos, den man auf das von P^P^ geschnittene Dreieck 
21 Qy Q2 anwendet : 







MP, Q,S P,Q, 
MF, Q,S' P,Q,^ 




und da gleichzeitig 
wird, findet man 




MQ^ sin ß 
MQ^ sin a 




MP, ■ M 


Qr 


Qi S sin a ' sin ß 


Q,S B 


MP, ■ M 


Q. 


Q,S- r 



246 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 

Da die letzte Größe konstant ist, ist bewiesen, daß die Potenzen 
des Punktes M für die beiden Kreise ein konstantes Verhältnis 
haben. Der geometrische Ort für M ist also ein Kreis k, der zu 
dem durch a und & bestimmten Büschel gehört. Die Punkte des 
neuen Kreises kann man konstruieren, indem man durch S ver- 
schiedene Hilfslinien zieht. Zieht man z. B. die Tangente SB an a 
(Fig. 248), so gelangt man zu den Punkten M und N mit den 
Tangenten Q2M und Q2N', wodurch 1c vollständig bestimmt ist. 




Fig. 248. 



Die Sjjuren der gesuchten Doppelpunktstangenten sind die 
Punkte 1\ und 2\, in denen Je die Yerbindung.slinie Q^ Q.^ schneidet. 
Aus der Figur geht hervor, daß 1\ und T^ mit Q^ und Q^ har- 
monisch verbunden sind, Q^ liegt nämlich auf der Polaren von 
Q„ in bezug auf Je. Gleichzeitig erkennt man, daß die Spuren der 
beiden Schmiegungsebenen im Doppelpunkt die Tangenten von 
7t' in 2\ und 1\ sind. 

Wenn die Spuren der Kegel keine Kreise sind, so geht aus 
ganz ähnlichen Überlegungen hervor, daß man sie durch die Krüra- 
mungskreise ersetzen und darauf die vorstehende Konstruktion 
anwenden kann. Die Schmiegungsebenen können jedoch nicht 
auf diese Weise erhalten werden. 

280. Haben zwei Kegel in der Projektionsebene eine gemein- 
same Spur a, so schneiden sie einander in einer neuen Kurve s. Kann 
man von S aus Tangenten an a ziehen (Fig. 249), so geht die 
neue Schnittkurve durch die Berührungspunkte F und Q dieser 
Tangenten. Die Tangenten von s in P und Q müssen ÄJB in einem 
Punkt *S'j schneiden, der mit S bezüglich Ä und JB harmonisch 
verbunden ist (279). Ist a ein Kegelschnitt, so wii-d auch s ein 
Kegelschnitt (251). 

Haben zwei Kegel zweiter Ordnung mit verschiedenen Spitzen 



Kegelflächen 



247 



zwei gemeinsame Tangentialebenen, so besteht ihi-e Schnittkurve, 
wenn sie überhaupt existiert, aus zwei Kegelschnitten (252). 

Diesen Satz kann man auch benutzen, um einen ebenen 
Schnitt eines gegebenen Kegels zweiter Ordnung zu finden, dessen 

A 




■'^^ S 



Fig. 249. 



Projektion auf eine bestimmte Ebene ein Kreis wird. Man zeichnet 
einen Kreis, der die begrenzenden Seitenlinien der Projektion des 
gegebenen Kegels berührt und innerhalb dieser Projektion liegt-, 
dann gibt es nach dem angeführten Satz zwei ebene Schnitte des 
Kegels, die in diesen Kreis projiziert werden. Wenn die Projektion 
des Kegels keine begrenzenden Seitenlinien aufweist, kann man 
indessen diese Betrachtung nicht anwenden. 

281. Wenn zwei Kegel zweiter Ordnung keine gemeinsame 
Tangentialebene haben und die Spitze des einen Kegels nicht auf 
dem anderen liegt, so hat die Durchdringungskurve keinen Doppel- 
punkt. Trotzdem kann es auf der Projektion der Durchdringungs- 
punkte Doppelpunkte geben, indem ein Projektionstrahl die Kurve 
in zwei Punkten schneiden kann. Fig. 250 hat man als Zentral- 
projektion oder Parallelprojektion von zwei Kegeln Ä(a) und B{b) 
zu deuten, deren Grundkurven a und h in derselben Ebene liegen. 
Wir wollen eine gemeinsame Sehne der beiden Kegel finden, die 
durch das Projektionszentrum geht. Die Polarebenen Ap und Bq 
von mögen einander in der Linie 3IN schneiden. K wii-d be- 
stimmt mit Hilfe der Ebene ÄBq^, welche die beiden Polarebenen 
in AQ und BN schneidet. Die projizierende Ebene durch MN 
schneidet die Kegelflächen in zwei Kegelschnitten, in bezug auf 



248 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 

welche MN die Polare von ist. Da jeder dieser Kegelschnitte 
in einer Perspektiven Kollineation mit dem Zentrum und der 
Kollineationsachse MN sich selbst entspricht, liegen ihre Schnitt- 
punkte paarweise auf Geraden durch 0. Die Projektion der Durch- 



..--/ 



A^' 




>S 



"ii 



dringungskurve beider Kegel enthält also höchstens zwei Doppel- 
punkte, die auf der Linie M' N' liegen müssen. 

282. In dem Falle, wo die Polarebenen Ap und Bq des 
Punktes zusammenfallen, werden die Punkte der Raumkurve 
paarweise in denselben Punkt projiziert: der projizierende Kegel 
mit der Spitze wird dann, wie wir in 278 gesehen haben, von 
der zweiten Ordnung. 

Um die Punkte zu finden, deren Polarebenen bezüglich der 
beiden Kegel zusammenfallen, benutzt man, daß eine solche Polar- 
ebene durch A und J5, also durch die Linie AB gehen muß. 
t) muß deshalb auf der Schnittlinie s der Polarebenen des Punktes t> 
liegen. Sucht man aufs ein Punktepaar, das bezüglich der beiden 
Kegel konjugiert ist, so erhält man die gesuchten Punkte 0. 
Wenn die Schnittkurve zweier Kegel A{a) und Bih) zweiter 
Ordnung keinen Doppelpunkt hat und nicht aus zwei Kegelschnitten 
besteht, findet man außer A und B höchstens zwei Punkte, aus 



Kegelflächen 240 

denen die Schnittkurve durch Kegel zweiter Ordnung proji- 
ziert wird. 

Bei Fig. 244b kann man zwei Punkte von der genannten 
Beschaffenheit finden, so daß die Raumkurve im ganzen auf vier 
Kegeln zweiter Ordnung liegt. Bei Fig. 244 a existieren die Punkte 
hingegen nicht. 

283. Unendlich ferne Punkte auf der Durchdringungskurve 
zweier Kegel entstehen als Schnitt paralleler Seitenlinien. Um 
solche Seitenlinien zu finden, verschiebt man den einen Kegel par- 
allel, so daß seine Spitze mit der des anderen Kegels zusammen- 
fällt. Die gemeinsamen Seitenlinien beider Kegel liefern dann die 
gesuchten Eichtungen. 

Alles, was wir im Vorstehenden über Kegelflächen gesagt 
haben, kann mau insbesondere auf Zylinderflächen anwenden, nur 
hinsichtlich der unendlich fernen Punkte bieten diese besondere 
Verhältnisse dar. Die Durcbdringungskurve eines Kegels mit einem 
Zylinder, der keine unendlich ferne Seitenlinie enthält, kann nur 
dann einen unendlich fernen Punkt enthalten, wenn die Seiten- 
linien des Zylinders einer Seitenlinie e des Kegels parallel sind. 
Die unendlich ferne Spitze des Zylinders liegt in diesem Fall auf 
dem Kegel und wird entweder ein isolierter Punkt oder ein Dop- 
pelpunkt der Durchdringungskurve. Die Tangentialebene längs c 
schneidet den Zylinder in den Asymptoten der Schnittkurve. Hat 
der Zylinder eine unendlich ferne Seitenlinie, die den Kegel schneidet, 
so bestimmen die Schnittpunkte neue unendlich ferne Punkte auf 
der Durchdringungskurve. 

Die Schnittkurve zweier Zylinder, die keine unendlich fernen 
Seitenlinien enthalten, kann keinen unendlich fernen Punkt ent- 
halten, ausgenommen wenn die Seitenlinien der Zylinder parallel 
sind, in welchem Fall sich die Schnittkurve in lauter gerade Linien 
auflöst. 

284. Die Durchdringungskurve einer Kegelfläche mit einer 
beliebigen anderen Fläche kann man bestimmen, indem man die 
verschiedenen Seitenlinien des Kegels mit der Fläche zum Schnitt 
bringt. 

Soll man so die Durchdringung einer Kugel mit einem Kreis- 
kegel, der auf der Grundrißebene aufsteht, finden, so handelt es 
sich bloß darum, die Schnittpunkte der Seitenlinien des Kegels 
mit der Kugel zu bestimmen. Dieses kann z. B. dadurch geschehen, 
daß man vertikale Hilfsebenen durch die Spitze S des Kegels legt, 
diese dann mit den in ihnen enthaltenen Seitenlinien des Kegels 
und dem Schnittkreise der Kugel in eine Frontebene herumdreht. 



250 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 

s" 




* Fig. 251. 

in der sich die Schnittpunkte sofort bestimmen lassen, und darauf 
in die ursprüngliche Lage zurückdreht. 

Um zu ermitteln, welcher Teil des Kegels an der Durch- 
dringung teilnimmt, legt man von S aus einen Tangentialkegel 
an die Kugel, dieser Kegel schneidet die Grundrißebene in einem 
Kegelschnitt (in Fig. 251 einer Ellipse), dessen Brennpunkte 
in den Projektionen der Endpunkte des vertikalen Kugeldurch- 
messers aus S liegen; jeder dieser Endpunkte ist nämlich Brenn- 



Kegelflächen 251 

punkt in einem horizontalen Schnitte des Tangentialkegels. Diese 
Brennpunkte sind in der Figur mit 0' und F bezeichnet. Die 
Grundrißspur i einer zur Aufrißebene senkrechten Tangential- 
ebene der Kugel, die durch .S' geht, berührt die Ellipse, und der 
zu 0' bezüglich t symmetrische Punkt L liefert einen Punkt des 
Leitkreises /, dessen Mittelpunkt ¥ ist. Hierauf findet man durch 
Probieren die Schnittpunkte A und B der Ellipse mit dem Grund- 
kreise des Kegels (120). Die Seitenlinien »S'^4 und SB bilden dann 
die Grenze zwischen zwei Teilen des Kegels, einem Teile, der die 
Kugel schneidet, und einem Teile, der außerhalb der Kugel liegt. 
SA und SB sind selbst Tangenten der Kugel. In der Figur ist 
die vertikale Hilfsebene dui'ch *S'^ benutzt, um den Punkt der 
Durchdringung, der auf dieser Linie liegt, zu bestimmen. In diesem 
Punkte berührt SA die Durchdringungskm-ve. 

Doppelpunkte auf der Projektion der Durchdiingungskurve 
findet man durch ähnliche Betrachtungen, wie wir sie bei Kegel- 
flächen angewendet haben. In der Aufrißprojektion erhalten wir 
Doppelpunkte, indem wir die Schnittlinie der Ebenen, welche 
die zur Aufrißebene senkrechten Sehnen des Kegels und der Kugel 
halbieren, bestimmen. Diese Schnittlinie ist horizontal, und den ge- 
suchten Punkt gewinnen wir aus ihr, indem wir durch sie eine 
horizontale Ebene legen und die Schnittkreise des Kegels und der 
Kugel mit dieser Ebene bestimmen. 

Während die Konstruktion des Doppelpunktes im Aufriß 
auf diese Weise recht einfach ist, wird sie für den Grundriß etwas 
schwieriger. Die Durchmesserebene, w^elche die vertikalen Sehnen 
halbiert, ist für die Kugel die Ebene des horizontalen größten 
Kreises, für den Kegel die Ebene, die durch die begrenzenden 
Seitenlinien in der Grundrißprojektion bestimmt wird. Die beiden 
Ebenen schneiden einander in einer horizontalen Linie, deren 
Grundrißprojektion p' sei. Auf dieser Linie muß der Doppelpunkt 
liegen. Seine Lage finden wir am einfachsten durch Probieren, 
indem wir uns durch die übrigen Punkte der Kurve eine vor- 
läufige Vorstellung von ihrem Verlauf verschaffen und hierauf mit 
einem Punkt von jp', den wir als den richtigen annehmen, die 
Probe machen, indem wir bloß die Punkte des Kegels bestimmen, 
die in diesen Punkt projiziert werden, und zusehen, ob sie sym- 
metrisch bezüglich der Ebene des horizontalen größten Kreises 
liegen. 

Die Punkte der Durchdringungskurve auf dem Umriß der 
Kugel finden wir im Grundriß unmittelbar, indem wir den hori- 
zontalen größten Kreis der Kugel mit dem in seiner Ebene liegen- 



252 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere HüUtiäclieu 

den Kreise des Kegels schneiden. Im Aufriß finden wir die Punkte 
auf dem Umriß der Kugel als die Schnittpunkte des Kegels mit 
dem zur Aufrißebene parallelen größten Kreise der Kugel. Man 
ermittelt sie am besten durch Probieren. Ihre C4rundrißprojek- 
tion soll auf der durch 0' parallel zur trennenden Achse ge- 
zogenen geraden Linie liegen. Die übrigen Punkte der Kurve 
in der Grundrißprojektion geben eine ungefähre Vorstellung von 
der Lage der Punkte, und man kann leicht so lange probieren, bis 
man die passenden Punkte gefunden hat. 



Sdiraubenlinieii und abwickelbare Scbraubenfläclien. 

285. Jede Kurve, deren Richtungskegel ein Rotationskegel 
ist, heißt eine Windellinie-^ wenn sie keine Spitzen hat, ist sie 
nach 256 überall einfach. Die Fläche, die von den Tangenten der 
Kurve gebildet wird, heißt eine Winddfläche. Hat der Kegel eine 
vertikale Achse, so haben die Kurve und die Fläche konstante 
Neigung, indem die Tangenten der Kurve und die Tangential- 
ebenen der Fläche mit einer horizontalen 
Ebene einen konstanten Winkel bilden. 
Der Zylinder, der die Windellinie ent- 
hält und dessen Seitenlinien der Achse 
des Richtungskegels parallel sind, heißt 
der rektifizierende Zylinder der Kurve. 
Seine Seitenlinien schneiden die Kurve 
unter konstantem Winkel (dem Achsen- 
winkel des Kegels). Breitet man die Zy- 
linderfläche aus, so wird also die Kurve 
rektifiziert (daher der Name) und, wenn 
umgekehrt eine Ebene TT (Fig. 252) auf 
der Zylinderfläche rollt, und die in der 
Ebene TT enthaltene Tangente t sich da- 
bei mit bewegt, so durchläuft t der Reihe 
nach alle Tangenten der Windellinie, 

woraus folgt, daß die Spur der Windelfläche in einer gur Achse 
des Richtung skeg eis senkrechten Ebene eine Evolvente des in dieser 
Ebene liegenden Normalschnittes des Zylinders wird. Die Schmie- 
gungsebene der Windellinie ist beständig senkrecht auf der Tan- 
gentialebene des Zylinders. 

286. Ist der rektifizierende Zylinder ein Rotationszylinder, 
so heißt die Windellinie eine Schraubenlinie. Wickelt man eine Ebene 




Fig. 252. 



Schraubenlinien und abwickelbare Schraubenflächen 253 

TT um einen Rotationszylinder herum, so legt sich jede zur Zylinder- 
achse schräge gerade Linie dieser Ebene um den Zylinder als 
eine Schraubenlinie herum. Die Schraubenlinie kann deshalb durch 
eine Schraubenbeicegiotg erzeugt werden, d. h. durch eine Bewegung, 
die sich aus einer Drehung um eine feste Achse (die Scliranhen- 
acJise) und einer Verschiebung parallel zur Achse zusammensetzt, 
indem zwischen den Geschwindigkeiten dieser beiden Bewegungen 
ein konstantes Verhältnis vorausgesetzt wird. Der Teil der Schrauben- 
linie, der einer ganzen Umdrehung entspricht, heißt ein SrJiraulen- 
gang, die Verschiebung H längs der Achse, die zu einer ganzen 
ümdi-ehung gehört, heißt die Ganghöhe. Jeder Teil einer Schrauben- 
linie, der kleiner als ein Schraubengang ist, ist ein einfacher Bogen 
(256). Die Schraubenlinie schneidet jede Seitenlinie des rekti- 
fizierenden Zylinders in einer Reihe von Punkten, von denen zwei 
aufeinander folgende immer den Abstand H haben. Die von den 
Tangenten der Schraubenlinie gebildete Fläche heißt eine abwickel- 
hare Schrauben fläche. Ihre Spur in einer beliebigen zur Sclirauben- 
achse senkrechten Ebene ist eine Kreisevolvente. 

Je nachdem die Tangente und die Achse der Schraubenlinie 
in Rechts- oder Linksstelluug sind, nennt man die Schraubenlinie 
rechtsgängig oder linksgängig. In Fig. 253 ist eine rechtsgängige 
Schraubenlinie mit vertikaler Achse dargestellt, deren Grundriß- 
spur A und deren Grundrißprojektion der Kreis k ist. Indem man 
diesen Kreis z. B. in acht gleich große Teile teilt, wobei A der erste 
Teilungspunkt ist, findet man leicht auf jedem Schraubengang acht 
Punkte. Ein Punkt C, dessen Grundrißprojektion C' dem Punkt A 
diametral gegenüberliegt, liegt in der Höhe .V H über A. Die Tan- 
gente in ihm schneidet die Grundrißebene im Punkt 6j, der von C' 
um die Hälfte des Kreisumfanges entfernt ist. Die Tangenten in 
den übrigen Punkten findet man auf ähnliche Weise. 

Den Richtungskegel legt man so, daß seine Grundrißspur /.• 
wird. Die Spitze S bestimmt sich dann dadurch, daß die eine 
frontale Seitenlinie SR des Kegels zu CC^ parallel ist. Da die 
Dreiecke S" A" R" und C" A" C-^" ähnlich sind, findet man 

S" A" CA" ^H - ,,,, ,„ // 

,,. -r... = ^T77T7> = — ^,. jj., also .S ^ = „ = //. 
AR A C.^ 7t ■ A M 2 7t 

Diese Größe // heißt die reduzierte franc/höhe der Schraubenlinie. 

Die Schmiegungsebene der Schraubenlinie im Punkt C ist 

parallel der Tangentialebene des Richtungskegels längs SR, also 

senkrecht auf der Aufrißebene. Die Nonnalebene in (J (_L CC\) ist 



254 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere HüUflächen 



ebenfalls auf der Aufrißebene senkrecht und dasselbe gilt von der 
Hauptnormalen in C Man sieht so, daß alle Hauptnormalen die 
Schraubenachse unter rechten Winkeln schneiden. Jede Haupt- 
normale ist eine Symmetrieachse für die ScJiraubenlime. Bei einer 




Fig. 253 



halben Umdrehung um die Hauptnormale in C bleiben nämlich 
die Punkte C und die Tangente CC^ samt der Schraubenachse 
unverändert, so daß die Schraubenlinie nach dieser Drehung mit sich 
selbst zur Deckung kommt. Die Aufrißprojektion der Schrauben- 
linie ist also symmetrisch bezüglich C" und hat an dieser Stelle 
einen Wendepunkt. Im Punkt J) ist die Hauptnormale parallel 
zur Aufrißebene und die Aufrißprojektion der Kurve hat deshalb 



Schraubenlinien und abwickelbare Scbraubenflächen 255 

in D" einen Scheitelpunkt. Nehmen wir einen beliebigen Punkt B 
auf der Schraubenlinie an, für den im Grundriß der Bogen AB' 
gleich (p wird, so ergibt sich im Aufriß für die Projektion B" l '" 
der Hauptnormale die Länge x = a sin 9), wenn wir Ä' B" = a 
setzen, und es wird A" U" = e = h 9?, also ergibt sich 

z 

h 

Die Aufrißprojektion der Schraubenlinie ist also eine sogenannte 
SinusUnie. 

287. Da die Hauptnormale horizontal und die Grundriß- 
projektion der Schraubenlinie ein Kreis mit dem Radius A" B" 
ist, können wir sofort den Krümmungsradius q mit Hilfe der 
früher aufgestellten Beziehung (268) finden. Indem wir mit ß den 
konstanten Richtungswinkel der Tangente bezeichnen, finden wir 

_ A"R-' 
^ ~ cos* j3 ■ 

Ziehen wir S" M A S" B'\ so wird 

cos- p 

und dies ist also die Länge des Krümmungsradius. Daß 9 den- 
selben Wert hat für alle Punkte der Schraubenlinie, weiß man ja 
von vornherein, da sich die Schraubenlinie bei der Schrauben- 
bewegung in sich selbst verschiebt. Der geometrische Ort für den 
Krümmungsmittelpunkt wird eine neue Schraubenlinie von der- 
selben Art wie die gegebene mit derselben Ganghöhe und mit 
einem Richtungskegel, dessen Seitenlinien zu den Seitenlinien des 
gegebenen Richtungskegels senkrecht sind. Zwischen den beiden 
Schraubenlinien besteht die merkwürdige Beziehung, daß die 
ursprüngliche Schraubenlinie auch der geometrische Ort für die 
Krihnmungsmittelpunlde der neuen Schraubenlinie ist. 

Für den Krümmungsradius q^ der Aufrißprqjektion der 
Schraubenlinie im Punkte IJ" findet man den Wert 

Q^^Q sin2 ß = A"B" tg2 ß = A"3L 

288. Die abwickelbare Schraubenfläche wird von jeder hori- 
zontalen Ebene in einer Kreisevolvente geschnitten und kann 
deshalb erzeugt werden, indem man eine solche Evolvente um die 
Achse herumschi'aubt. Die Spitze der Evolvente durchläuft daljei 
die Spitzkante der Fläche, und jeder Doppelpunkt der Evolvente 
beschreibt eine Doppelkurve auf der Fläche. Da die Schrauben- 



256 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen ujid andere Hüllflächen 



linie durch eine halbe Umdrehung um eine Hauptnormale mit 
sich selbst zur Drehung kommt, gilt dasselbe von der Schrauben- 
fläche. Hieraus folgt: 

1. Eine Ebene durch eine der Hauptnormalen schneidet die 
Fläche in einer Kurve, für welche diese Hauptaormale eine Sym- 
metrieachse ist. 

2. Eine Ebene senkrecht zu einer Hauptnormale schneidet 
die Fläche in einer Kurve, die in dem Schnittpunkt der Haupt- 
normale mit der Ebene einen Mittelpunkt besitzt. Eine Ebene, 
die der Schraubenachse parallel ist, schneidet also die Fläche in 
einer Kurve, die unendlich viele Mittelpunkte hat. Die gemein- 
same Grundrißprojektion dieser Mittelpunkte ist der Fußpunkt 
des Lotes, das man aus S' auf die Grundrißspur der Ebene fällt. 

Man erhält einen Überblick über die Schraubenfläche in ihrer 
ganzen Ausdehnung, indem man ihre Meridiankurve (z. B. den 
Schnitt mit der frontalen Ebene durch die Achsej konstruiert. 

Dies erreicht man, in- 
dem man die frontale 
Ebene mit den Tan- 
genten der Schrauben- 
linie schneidet. Die 
Asymptoten der Meri- 
diankurve bestimmen 
sich dabei durch die 
Aufrißprojektion der 
Tangenten in C und 
E. Die ganze Meridian- 
kurve besteht aus un- 
endKch vielen Zweigen, 
die den bereits konstru- 
ierten kongruent sind. 
In Fig. 254 sind meh- 
rere solche Zweige ge- 
zeichnet. Sie teilen die 
Ebene in eine Reihe ki'ummliniger Vierecke, und da man die 
Schraubenfläche durch eine Schraubung der Meridiankurve um 
ihre Achse erzeugen kann, erkennt man, daß die Fläche den Raum 
in unendlich viele schraubenförmige Röhren teilt, die von den 
genannten Vierecken beschrieben werden, jede dieser Röhren wird 
von vier Flächenstreifen begrenzt, die längs der vier, von Doppel- 
kurven (oder der Spitzkante) der Schraubenfläche gebildeten Kanten 
zusammenstoßen. 




Schraubenlinien und abwickelbare Schraubenflächen 257 



289. Bei der Abwickelung der Schraubenfläche hat die Ab- 
wickelung der Spitzkante einen konstanten Kiümmungsradius und 
wird also ein Kreis mit dena Radius q = R"J[ (Fig. 258). Man kann 
mit der Zeichnung dieses Kreises .s* beginnen (Fig. 255). Indem man 
sich den Richtungskegel längs der zu der Tangente der Schrauben- 
linie in A parallelen Seitenlinie aufgeschnitten und so ausgebreitet 
denkt, daß diese Seitenlinie senkrecht zur Tangente von s* in A* 
zu liegen kommt, findet man leicht die Lage, welche die verschiedenen 
Erzeugenden der Schraubenfläche bei der Abwickelung einnehmen. 
Der Schraubengang 
AE deckt bei der s> 
Abwickelung einen 
Kreisbogen A*E* 
mit dem Gradmaß 
360** • sin a, wenn 
a = 90"— |3 den 
Achsenwinkel des 
Kegels bedeutet 
(276). Der Bogen 
A*E* kann auch 
durch direkte An- 
wendung der Ab- 
wickelung der 
Schraubenlinie be- 
stimmt werden, in- 
dem seine Länge 
gleich der Länge 
eines Schraubenganges, also = 2C(\ wird. Die Grundrißspur der 
Schraubenfläche wird als eine Evolvente des Kreises s* abgewickelt. 
Der Punkt P auf der Tangente in B wird in P* übergeführt, und 
es wird B* P* = B^P^ (wobei B" B^ und P'P» horizontal gezogen 
sind). In den Figuren ist angegeben, wie man die Tangente an die 
Abwickelung c* einer beliebigen Kurve c auf der Schraubenfläche 
konstruieren kann. Das Prinzip ist dasselbe, das wir bereits auf 
Kegelflächen angewendet haben (vgl. 276). 

290. JJie schräge ParaUeJproJ(ktion einer Schrauhenlinie auf 
eine zur Achse senkrecMe Ebene ist eine ZyJdoide. 

Wir projizieren auf die Grundrißebene und nehmen die Pro- 
jektionsrichtung vorläufig parallel zu den Tangenten in den vor- 
dersten Punkten der Schraubenlinie an (^Fig. 256). Wenn die von 
dem Kreis k und dem Punkte A gebildete unveränderliche Figur 
in vertikaler Richtung verschoben und gleichzeitig um den Mittel- 

Timerdiug, Handbuch II 17 




258 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 



punkt des Kreises gedreht wird, so daß /o in die Lage k* und A 
in einen neuen Punkt B auf der Schraubenlinie gelangt, bleibt 
das Verhältnis zwischen der Verschiebung und der Drehung kon- 
stant. Die Figur ]c*B wird also durch die genannte Parallelpro- 
jektion in eine Figur k^B-^ projiziert, die in der Grundrißebene 
aus hA durch eine Verschiebung in der Richtung AE■^^ in Ver- 
bindung mit einer Drehung um den Mittelpunkt von /i, die der 




.-Ä- 




Fig. 25G. 



Verschiebung proportional ist, erzeugt wird, und da eine Ver- 
schiebung von der Größe ^7*/'^ einer ganzen Umdrehung des Kreises 
entspricht, wird der geometrische Ort füi- B^ eine Zykloide, die 
man erzeugt, indem man h auf a rollen läßt. Die Projektion der 
Schraubenlinie wird also eine Zykloide, deren Spitzen in A und Ji^ 
liegen. 

Ist die Projektionsrichtung nun durch eine beliebige Front- 
linie /", die durch die Spitze S des Richtungskegels geht, gegeben, 
so betrachten wir einen Kreis K mit dem Mittelpunkt S\ der 
durch die Grundrißspur I\ von f geht. Die unveränderliche Figur 
AMK schrauben wir ähnlich wie früher in die Lage BNK*, wo- 
bei B auf der gegebenen Schraubenlinie liegt, Js liegt dann auf 
einer Schraubenlinie, deren Tangenten in den vordersten Punkten 
zu f parallel sind. Hieraus folgt, daß die Parallelprojektion 



Schraubenlinien und abwickelbare Schraubenflächen 



259 



BiN^Kj* aus A2IK entsteht, indem man K auf der zur tren- 
nenden Achse parallelen Linie m rollen läßt. Der geometrische 
Ort für B^ ist also eine Zykloide, und zwar eine gestreckte, wenn f 
(wie in der Figur) außerhalb des Richtungskegels fällt. Fällt /" 
innerhalb des Richtungskegels, so ist die Zykloide yerschlungen 
und hat Doppelpunkte. Diese Doppelpunkte entsprechen den Pro- 
jektionsstrahlen, welche die Schraubenlinie zweimal schneiden. 
Man findet sie, indem man zunächst die Hauptnormalen bestimmt, 
die auf der Projektionsrichtung senkrecht sind. Diese Hauptnor- 
malen sind zur Aufrißebene senkrecht, wenn die Projektionsrich- 
tung, wie in der Figur, der Aufrißebene parallel angenommen 
wird. Eine von ihnen wii"d also im Aufriß durch den Punkt E" 
dargestellt, und die Aufrißprojektion des Projektionsstrahles durch 
E" sehneidet die Aufrißprojektion der Schraubenlinie in zwei 
Punkten, die in der Parallelprojektion Doppelpunkte liefern. 

291. Alle Kormahn einer Schrauhenlinie, die zu einer festen 
Linie f senkrecht sind, treffen eine und dieselbe Linie, die zur Achse 
der Schraubenlinie parallel ist. 

Die Linie /' denken wir uns durch die Spitze S des Richtungs- 
kegels gelegt. Die Grundrißspur sei F^ . Je sei die horizontale 
Projektion der Schraubenlinie ^^ 

(Fig. 257). Wii- suchen die Nor- i\ 

male n, die zu einem beliebigen ; '■, 

Punkt B auf der Schraubenlinie " 

gehört und zu f senkrecht ist. Da 
n zur Tangente der Schrauben- 
linie in B senkrecht ist, ist es 
auch senkrecht auf der dazu par- 
allelen Seitenlinie r des Richtungs- 
kegels. Diese Seitenlinie habe 
die Grundrißspur 2?^ ("^'^i -L 
S' B'). Da n so auf der Ebene rf 
senki'echt ist, wird die Grundriß- 
projektion von n zu der Grund- 
rißspur -Rj-F^ der Ebene r/' senkrecht. Dreht man nun S' F^ durch 
einen rechten Winkel um S' in die Lage S'F, so daß B^ durch 
dieselbe Drehung nach // fällt, dann ist FB' 1_ B^F^ und FB' 
ist deshalb die Grundrißprojektion der gesuchten Normalen. So 
erkennt man, daß die Grundrißprojektionen dieser Normalen alle 
durch den festen Punkt /' gehen. Die Normalen selbst schneiden 
mithin eine vertikale Linie «j mit der Grundrißspur F. Ist /"hori- 
zontal, so liegt F unendlich fern. Du F von dem Kreis k nicht 

17* 




Fig. 257. 



260 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllfläcben 

abhängt, sondern nur von der Schraubenachse und Ganghöhe, 
können wir denselben Punkt J^ für alle Schraubenlinien, die die 
gegebene Achse, die gegebene Ganghöhe und den gegebeneu 
Schraubensinn haben, benutzen. Folglich: Bei einer beliebigen 
Sclirauhenheivegung schneiden alle Balmnormalen^ die zu einer ge- 
gebenen Linie f senlreclit sind, eine und dieselbe Linie a^, die zur 
Schrauhenachse parallel ist. 

Leitkurven und Leitfläclien. 

292. Eine abwickelbare Fläche kann durch zwei Leitkurven 
bestimmt werden, d. h. zwei Kurven, die alle Tangentialebenen 
der Fläche berühren. Eine Tangentialebene TT der Fläche muß von 
jeder der beiden Kurven eine Tangente enthalten. Die Erzeugende, 
längs der die Ebene berührt, ist dann die Verbindungslinie der 
Berührungspunkte Ä und B dieser beiden Tangenten. Wenn 
nämlich eine andere Tangentialebene TT^ die Kurven in Ä^ und 
B^ berührt und man TTj sich TT nähern läßt, indem Ä^ und B^ 
sich Ä und B nähern, so nähern sich (nach 260) die Schnitt- 
punkte von TT mit den beiden Tangenten in A^ und B^ den 
Punkten Ä und B und die Schnittlinie von TT^ und TT nähert sich 
AB. (Fallen die Berührungspunkte A und B zusammen, so muß 
man die Erzeugende auf andere Weise bestimmen.) 

Eine allgemeine Methode zur Bestimmung einer beliebigen 
Erzeugenden ist die folgende: Man wählt einen Punkt A auf der 
einen Leitkurve und zieht die Tangente a in diesem Punkt. Von 
einem beliebigen Punkt (z. B. A) auf a projiziert man die andere 
Leitkurve durch eine Kegelfläche. Eine Tangentialebene durch a an 
diesen Kegel ist dann eine Tangentialebene der Fläche, denn sie 
enthält eine Tangente jeder der beiden Kurven. 

Gehen zwei oder mehr Tangenten durch jeden Punkt der 
Leitkurve, so wird diese eine doppelte oder mehrfache Kurve auf 
der Fläche. Gibt es auf der Kurve Teile, von deren Punkten man 
keine Erzeugende ausgehen lassen kann, so gehören diese Kurven- 
teile in Wirklichkeit nicht zur Fläche. 

In dem Falle, wo die Leitkurven eben sind und in parallelen 
Ebenen liegen, wird die Konstruktion sehr einfach, indem dann 
jede Erzeugende die Berührungspunkte von zwei parallelen Tan- 
genten verbindet, und wir haben bereits (271) gesehen, daß der 
Punkt, in dem die Erzeugende die Spitzkante 'berühi-t, auf der 
Linie liegt, welche die Krümmungsniittelpunkte der Leitkurven 
für deren Schnittpunkte mit der Erzeugenden verbindet. 



Leitkurven und Leitflächen 261 

Die Leitkurve kann unendlich fern liegen und wird dann 
durch einen Richtungskegel gegeben. Die angegebene allgemeine 
Konstruktion der Erzeugenden läßt sich auch auf diesen Fall 
anwenden. 

Schließlich kann eine abwickelbare Fläche durch zwei Leit- 
flächen bestimmt werden, d. h. durch zwei Flächen, die alle Tan- 
gentialebenen der abwickelbaren Fläche berühren. Wenn eine Ebene 
TT die zwei Leitflächen in A und B berührt, während eine andere 
Ebene TT^ sie in den Punkten Ä^^ und B^ bemhrt, und man die 
Ebene TT^ sich TT nähern läßt, indem sie beständig die beiden Flächen 
berührt, so daß A^, B^ sich A, B nähern, dann strebt die Schnitt- 
linie der Ebenen der Grenzlage AB zu (wir setzen voraus, daß A 
und B verschieden sind). Die Berührungspunkte A^ und B^^ durch- 
laufen nämlich bestimmte Kurven auf den beiden Flächen, und die 
Tangenten a^ und h^ dieser Kurven in A^ und B^ schneiden die 
Ebene TT in Punkten, deren Grenzlagen A und B sind. Aber da TT^ 
«1 und hj^ enthält, strebt die Schnittlinie von TT^ mit TT eben der 
Grenzlage AB zu. Wenn die eine Leitfläche sich auf einen Punkt 
reduziert, wird die abwickelbare Fläche eine Kegelfläche, die diesen 
Punkt zur Spitze hat und der anderen Leitfläche umschrieben ist. 

293. Beispiel: In Fig. 258 sind in einem rechtwinkligen 
Koordinatensystem {xyz) zwei kongruente Parabeln a und 6 mit 
gemeinsamer Achse z gegeben, a liegt in der j/^-Ebene und 5 in 
der a^i'-Ebene. Die Scheitel A und B liegen auf der ^-Achse. Wir 
bestimmen eine beliebige Erzeugende auf der abwickelbaren Fläche, 
die a und h zu Leitkurven hat, und wählen zu diesem Zweck einen 
Punkt T auf der ^-Achse, von dem aus wir Tangenten TR und TS 
an die zwei Parabeln ziehen. (Wir tun das, indem wir AB^ = TA 
machen und B^R ^ y ziehen, ebenso wird BS^ = TB, S^S \\ x.) 
Die Linie RS ist dann die gesuchte Erzeugende, ihre horizontale 
Projektion wird R'S'. Bezeichnet man die Subnormale mit Ä:, so 
hat man 

(S^sy = 7: • TS^ , und (R^ Rf = k - R^ T, 
also 

{Rsy = ]C'R,s, + (R,s,y, 

und dies ist konstant, äa. R^Si ^ 2 ■ AB. Folglich hat RS eine 
konstante Länge, und da seine Projektion auf die ^-Achse eben- 
falls konstant ist, wird auch der Winkel, den 7?.S' mit der r-Achse 
bildet, konstant. Die gesuchte abwickelbare Fläche hat also kon- 
stanten Fall. Da R'S' konstante Länge hat, mrd die Grundriß- 
projektion eine Astroide. Die Spitzkante selbst wird eine Raum- 



262 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllüächen 



\S, 



\B 



Tr 



y'N 



/^, , 



'&- 



[S 



/M 

y 



Fig. 258. 



kurve mit Spitzen in den Parabelpunkten Jl/, iV, P, Q. In der 
Figur ist der Berührungspunkt G von RS mit der Spitzkante mit 
Hilfe der Grundrißprojektion konstruiert. Da die «/^■-Ebene eine 
Symmetrieebene für die Fläche ist, wird a eine Doppelkurve. 
Ebenso erkennt man, daß auch & eine Doppelkurve ist. 



Allgemeine Hüllfläclieii. Kanalfläclien. 

294. Nachdem wir im vorigen die Hüllflächen eines Systems 
von Ebenen untersucht haben, wollen wir nun zu den Hüllflächen 
eines beliebigen Flächensystems übergehen, d. h. zu den Flächen, 
die durch kontinuierliche Bewegung einer veränderlichen oder un- 
veränderlichen Fläche erzeugt werden. Die Schnittkurve h einer 
Fläche F des Systems und der konsekutiven Fläche heißt eine 
CliaraMeristiMinie. k ist die Grenzlage für die Schnittkurve von F 
mit einer anderen Fläche des Systems, die nach F konvergiert. 
Wir betrachten im folgenden nur ein elementares Flächenstück 



Allgemeine Hüllflächen 268 

von F und setzen voraus, daß der zugehörige Teil der Charak- 
teristiklinie eine einfache Kurve ist. Weiter setzen wir voraus, 
daß nienaals die bewegliche Fläche beim Übergang aus einer Lage 
in eine andere durch eine feste Kurve geht. Die Hüllflächc uird 
dann definiert als der geometrische Ort aller Charakter istiMinien. 
Sie berührt für gewöhnlich jede Fläche F des Systems längs der 
zugehörigen CharoJderistiMinie Je. Ist nämlich A ein beliebiger 
Punkt auf Ic und legt man eine Ebene TT durch A, so schneidet 
diese Ebene die Elächen des Systems in einer Reihe von Kurven, 
deren Hüllkurve der Schnitt der Ebene mit der Hüllfläche ist. 
Da also TT die Hiillfläche und die Systemfläche F in zwei Kurven 
schneidet, von denen uns die Anschauung lehrt, daß sie einander 
in A berühren, und da dies für eine beliebige Ebene TT durch 
A gilt, sehen wir in der Tat, daß die Hüllfläche und die 
Systemfläche in A dieselbe Tangentialebene haben. Auf genauere 
Untersuchimgen über die Gültigkeit des Satzes gehen wir 
nicht ein. 

Wenn sich auf der Hüllfläche eine Kurve s findet, die alle 
Charakteristiklinien berührt, so läßt sich erwarten, daß 5 eine 
Spitzkante der Hüllfläche sein wird. Auf den Beweis hierfür 
können wir ebenfalls nicht näher eingehen, es mag genügen, auf 
die abwickelbaren Flächen und die auf den folgenden Seiten be- 
handelten Beispiele hinzuweisen. 

Eine gegebene Fläche kann man sich auf unendlich viele 
Arten als Hüllfläche erzeugt denken, so kann man z. B. eine üm- 
drehungsfläche erzeugen als die Hüllfläche der Zylinder bzw. 
Kugeln oder Kegel, die sie längs ihrer Meridiankurven bzw. Par- 
allelkreise berühren. Doch ist hierzu zu bemerken, daß man unter 
Umständen durch eine solche Erzeugung fremde Elemente mit 
hineinzieht, die bei der ursprünglichen Fläche nicht enthalten 
sind. Z. B. kann man ein Umdrehungsellipsoid als die Hüllfläche 
der Zylinder erzeugen, die es längs seiner Meridiankurven be- 
rühren. Aber zu dieser Hüllfläche gehören auch die Tangential- 
ebenen in den Scheitelpunkten des Ellipsoids. 

Wenn eine Fläche als Hüllfläche erzeugt wird, kann man oft 
mit Hilfe dieser Erzeugung die Tangentialebenen finden, die eine 
gegebene Bedingung erfüllen. Soll man z. B. der Hällfläche einen 
Kegel mit gegebener Spitze S umschreiben, also die Tangential- 
ebenen finden, die durch S gehen, so kann man zu jeder Lage der 
erzeugenden Fläche die Tangentialebenen suchen, die durch S 
gehen und deren Berührungspunkte auf die zugehörige Charak- 
teristiklinie fallen, diese Tangentialebenen erfüllen dann die ge- 



264 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen 

gebenen Bedingungen. Dies ergibt z. B. bei ümdrehungsflächen 
drei verschiedene Methoden (vgl. oben S. 263). 

Wenn eine Fläche von einem Kreis erzeugt wird, dessen 
Ebenen beständig dieselbe Stellung haben, so kann man längs 
jedes der erzeugenden Kreise eine berührende Kegelfläche finden, 
deren Spitze auf der Tangente der von dem Mittelpunkt des Kreises 
beschriebenen Kurve liegt. Eine solche Fläche kann also auch als 
Hüllfläche einer Reihe von Kreiskegeln erzeugt werden. Hat der 
Kreis konstanten Radius, so gehen die Kegelflächen in Zylinder- 
flächen über. 

295. Die Hüllfläche einer unveränderlichen Kugel, deren 
Mittelpunkt eine gegebene Kurve c durchläuft, heißt eine Kanal- 
fläche, c heißt die Zentralkurve der Fläche. Zwei Lagen der Kugel 
K und K^ mit den Mittelpunkten und 0^ schneiden einander in 
einem Kreis, dessen Ebene auf 00^ in der Mitte senkrecht ist. 
Wenn 0^ sich nähert, nähert sich diese Ebene der Normalebene 
von c in 0. Die CharaJcteristiJclmie Je ist also der größte Kreis der 
Kugel^ der in der sugehörigen Normalehene der Zentralkurve liegt. 
Die Kanalfläche kann deshalb von einem Kreis k mit unveränder- 
lichem Radius erzeugt werden, dessen Mittelpunkt eine Kurve c 
durchläuft, während seine Ebene die Normalebene von c ist. 

Die Normalebenen der Kurve c umhüllen eine gewisse ab- 
wickelbare Fläche, welche die Polarfläche von c heißt. Nur wenn 
c eine gerade Linie oder ein Kreis ist, gibt es keine solche Fläche. 
Wenn die Normalebene von c in dem Punkt auf der Polarfläche 
rollt, so durchläuft 0, indem es der Bewegung der Ebene folgt, 
die Kurve c, und wenn auch der Kreis k an der Bewegung teil- 
nimmt, so erzeugt er die Kanalfläche. Jede Kanalfläche kann also 
von einem Kreis k erzeugt werden, dessen Ebene auf einer ab- 
wickelbaren Fläche rollt oder insbesondere durch eine feste Achse 
geht. Das letztere tritt ein, wenn c ein Kreis ist; die Kanalfläche 
wird dann ein Kreisring oder Torus. 

Schneidet k bei seiner Bewegung die Berührungslinie seiner 
Ebene mit der Polarfläche, berührt 7c also selbst die Polarfläche 
(im allgemeinen in zwei Punkten), so bilden die Berührungs- 
punkte augenscheinlich eine Spitzkante der Kanalfläche. 

Die Normalen der Kanalfläche sind Normalen der Zentral- 
kurve und umgekehrt. 

Die senkrechte Projektion einer Kanalfläche auf eine beliebige 
Ebene TT tvird begrenzt von zwei Kurven, die zu der Projektion c' 
von c auf die Projektionsebene parallel und im Abstand des Kugel- 
radius verlaufen. Wir betrachten eine Lage der Kugel mit dem 



Kanalflächen 



265 



Zentrum (Fig. 259). Die Punkte der zugehörigen Charakteristik- 
linie, deren Tangentialebenen senkrecht zu TT sind, müssen 
auf dem größten Kreis der Kugel liegen, der zu TT parallel 
ist, also auf der zu TT parallelen Normale AB von c. Die Pro- 
jektion von AB wird eine 
Normale von c' und 0' A = 
0' B' wird gleich dem Kugel- 




Fig. 259. 



Fig. 260. 



radius. Wenn eine der parallelen Kurven eine Spitze bekommt, 
bedeutet dies im allgemeinen einen Übergang von einem sichtbaren 
zu einem unsichtbaren Teil der zugehö- 
rigen Kurve auf der Kanalfläche. Man 
sehe Fig. 260, wo ein Teil einer Kanal- 
fläche gezeichnet ist. 

296. ScMangeniläche nennt man 
eine Kanalfläche, deren Zentralkurve 
eine Schraubenlinie ist (Fig. 261). Wir 
denken uns die Fläche erzeugt von dem 
Kreis k mit der Aufrißprojektion A" B" 
(Fig. 262). Die von dem Mittelpunkt 
beschriebene Schraubenlinie habe die 
Grundrißprojektion s' . hu gibt die Um- 
drehung des Kreises in die Frontebene 
durch an. Wir wollen nun zeigen, wie 
man die Schnittkurve dieser Fläche mit 
einer horizontalenEbeneTT durch Ofinden 
kann. Die Fläche kann erzeugt werden 
durch eine Schraubenbewegung des ge- 
gebenen Kreises Ä, wobei die Tangente 
der von beschriebenen Schraubenlinie 
in senkrecht zu der Ebene von k 
ist. Nimmt man (j" li _L A" B" und Fig. 26i. 




266 Elftes Kapitel. Abwickelbare Flächen und andere Hüllfläclien 

MS # QO', welch letztere Strecke durch Rektifikation von Yg des 
Kreises s' entsteht, so gibt 0"S Yg der Ganghöhe an. Die Tan- 
gente der Schraubenlinie in schneidet nämlich eine horizontale 
Ebene, die um Ys ^^'^' Ganghöhe unter liegt, in dem Punkt, den 
man durch Abwickelung von Ys "^^s Kreisumfanges finden kann. 




Wir wählen nun auf Je einen Punkt P, dessen Abstand von TT 
z. B. Yi6 '^6'^ Ganghöhe ist, und schrauben diesen Punkt hinauf 
nach TT. Dann gelangt nach 0^ , indem man für den Bogen 0' 0^' 
^/jg des ümfanges nimmt. Die Grundrißprojektion von P nach 
dieser Schraubung ist P/ {0^ D = P*P" und DP/ = P"Pj; 
Pj' ist dann die Grundrißprojektion eines Punktes auf der ge- 
suchten Kurve. Die Tangente ist senki-echt auf Pj 0^ , und da sie 



Kanalflächen 267 

horizontal ist, ist ihre Grandiißprojektion t^ _L ö/P^'. Gleichzeitig 
wird symmetrisch zu F^' bezüglich Oj'D ein anderer Punkt I'^' 
samt der Tangente t^ bestimmt. Der Durchmesser 3IK des ge- 
gebenen Kreises, der senkrecht auf der Schraubenachse steht, wird 
eine Symmetrieachse der gesuchten Kurve. 

Man kann die gesuchte Schnittkurve auch auf einem anderen 
Wege bestimmen. Man kann die Schlangenfläche nämlich betrachten 
als die Hüllfläche einer Reihe kongruenter Rotationszylinder, deren 
Achsen die Tangenten der Zentralkurve sind, und deren Radius 
gleich dem Radius des erzeugenden Kreises wird. Die Schnittkurve 
der Fläche mit der horizontalen Ebene TT wird also die Hüllkurve 
für* die Spuren der genannten Zylinder in dieser Ebene. Der Zy- 
linder, von welchem k ein Xormalschnitt ist, schneidet aber TT in 
einer Ellipse l\ , von welcher JIK die kleine Achse ist und deren 
große Achse auf die Tangente des Kreises s' in 0' fällt. Läßt 
man nun diese Tangente auf s' rollen und die Ellipse l\ der Be- 
wegung folgen, so werden die verschiedenen Lagen von l\ eben 
die Spuren der genannten Zylinder, und die Hüllkurve von l\ ist 
die gesuchte Kurve. Die in der Figur dargestellte Schlangenfläche 
hat keine Spitzkante; ist aber der Radius von Tc größer als der 
Krümmungsradius der von beschriebenen Schraubenlinie, so 
entsteht auf der Fläche eine Spitzkante. 



Zwölftes Kapitel. 

Windscliiefe Flächen. 

Erzeugung der windschiefen Flächen. 

297. Eine Fläche, die durch Beicegung einer geraden Linie 
erzeugt wird und kein abivickelbarcs Flächenstück enthält, heißt 
windschief. Jede Lage der beweglichen geraden Linie heißt eine 
Erzeugende der Fläche. Das einschalige Hyperboloid und das 
hyperbolische Paraboloid sind Beispiele von windschiefen Flächen. 
Wie wir gesehen haben, können diese Flächen von einer geraden 
Linie erzeugt werden, die auf drei festen geraden Linien gleitet, 
von denen keine zwei in derselben Ebene liegen. Die allgemeine 
windschiefe Fläche kann man sich auf ähnliche Weise erzeugt 
denken, indem man eine gerade Linie auf drei festen Kurven a, h 
und f, den Leifkurren, gleiten läßt. 

Die Erzeugende /", die durch einen beliebigen Punkt Ä vou a 
geht, kann man bestimmen als die Schnittlinie der beiden Kegel, 
die h und c aus Ä projizieren. Diese Kegel haben möglicherweise 
mehrere Seitenlinien gemeinsam, dann gehen durch A mehrere 
Erzeugende der windschiefen Fläche. Ist die Anzahl der Erzeugen- 
den w, so beschreiben diese, wenn Ä sich bewegt, w verschiedene 
Flächenteile, die alle a oder einen Teil von a enthalten, man nennt 
deshalb dann a eine w fache Kurve der Fläche. Bei der Bewegung 
von A kann sich die Anzahl n verändern und möglicherweise A 
in eine solche Lage kommen, daß weiterhin kein Schnitt zwischen 
den Kegeln eintritt. Es gibt dann einen oder mehrere Teile von a, 
die nicht zu der windschiefen Fläche gehören. Die gleichen Be- 
trachtungen lassen sich auch für die anderen Leitkurven b und c 
anstellen. 

Beispiel: a und b seien Kreise, die in parallelen Ebenen 
liegen, während c eine gerade Linie ist, die von diesen beiden Kreisen 
umschlossen wird (Fig. 264). Durch jeden Punkt von a oder b 
gehen dann zwei Erzeugende, also sind a und b Doppelkurven der 



Erzeugung der windschiefen Flächen 



269 




Fig. 2R3. 



be- 



Fläche. Eine beliebige Ebene TT durch c schneidet a und b in je 
zwei Punkten und enthält also vier Erzeugende der Fläche. Von 
den sechs Schnittpunkten dieser vier Linien fallen vier auf a und b, 
vv^ährend die übrigen im allgemeinen weder 
auf a noch auf b oder c liegen. Dreht man 
TT um c, so beschreiben die letztgenannten 
Punkte also eine neue Doppelkurve der 
Fläche. Um zu bestimmen, welche Teile 
von c zu der Fläche gehören, müssen wir 
alle Punkte auf c finden, von denen aus 
man Linien ziehen kann, die a und b schnei- 
den. Zuerst ermitteln wir, welche Punkte 
im Raum überhaupt diese Eigenschaft 
haben. Wir legen zu diesem Zweck eine 
Ebene f durch die Mittelpunkte von a und 
b^ sie möge a in ^ und B, b in C und 7) 
schneiden (Fig. 263). Die Linien AD, BC, 
AC und BD teilen nun die Ebene V in 
mehrere Teile, und man erkennt sofort, daß 
nur die Punkte der Ebene, die in den mit den Zahlen 1 — 6 
zeichneten Teilen liegen, die Bedingungen erfüllen können. 

Dreht man V um die Verbindungslinie der Kreismittelpunkte, 
so beschreiben AC^ BD, AD und BC zwei Kegelflächen, die beide 
die Kreise a und b enthalten; die von diesen Kegelflächen begrenz- 
ten Raumteile, die den genannten Ebenenstticken entsprechen, ent- 
halten dann die sämtlichen gesuchten 
Punkte. 

Die Teile von c, die zur Fläche 
gehören, werden also begrenzt dui'ch 
die Schnittpunkte von c mit den bei- 
den Kegelflächen. Diese Schnittpunkte 
gibt Fig. 264 in Parallelprojektion 
an. c sehneidet die Ebenen der Kreise 
in R und H. Die Spitzen der beiden 
Kegel sind P und Q. Um die Schnitt- 
punkte M und iV" der Linie c mit der 
Kegelfläche P{a) zu finden, legen wir 
eine Ebene durch P und c. Diese 
Ebene schneidet die Ebene von a in 
i2*S'j ißy ist die Spur von PS in der 
Ebene von a), und diese Linie schnei- 
det wieder a in zwei Punkten, deren Kig. -'u. 



Q 




270 Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 

Verbindungslinie mit P die zwei Ei'zeugenden sind, in denen der 
Kegel P(a) von der Ebene Pc geschnitten wird. Diese beiden Er- 
zeugenden schneiden c in Jf und N. Auf ähnliche Weise be- 
stimmen sich die Schnittpunkte ilf^ und JVj von c mit der anderen 
Kegelfläche Q{a). Die in der Figur voll ausgezogenen Teile von c 
gehören zur Fläche, während die punktierten Teile nicht zur Fläche 
gehören. Durch jeden Punkt der brauchbaren Stücke von c gehen 
zwei Erzeugende, durch jeden der Grenzpunkte Jf, N, M^ und iVj 
nur eine. Geht c durch P oder Q, so löst sich die Fläche in eine 
Kegelfläche und eine einfachere windschiefe Fläche auf. Geht c 
durch die beiden Punkte P und Q, so reduziert sich die ganze 
Fläche auf die durch a und b bestimmten Kegelflächen, ist also 
nicht mehr eine windschiefe Fläche. 

Tangentialebenen. 

298. Die Erzeugende f schneide die Leitkurven a, h und c 
in Ä, B und C. Wir setzen voraus, daß die Leitkurven in diesen 
Punkten bestimmte Tangenten ttj^, öj und q haben, und keine zwei 
von diesen Taugenten in einer Ebene liegen (Fig. 265). Unend- 
lich ferne Elemente lassen wir vor- 
läufig außer Betracht. Die Ebenen 
ttj/", ftj/", c-^f sind die Grenzlagen, 
denen sich die Ebenen, welche A^ B 
und G mit einer anderen Erzeugen- 
den /"j der Fläche verbindet, nähern, 
wenn f^ sich der Erzeugenden f 
nähert, und sie sind also Tangen- 
tialebenen der Fläche in A^ B und 
C. Betrachten wir nun einen neuen 
Punkt D auf /", so sehen wir, daß auch die Ebene, welche J) mit 
f^ verbindet, sich einer bestimmten Grenzlage nähert. Dies erkennt 
man daraus, daß die Punktreihe {AB CD) projektiv ist zu dem 
Ebenenbüschel f^i^ABCD). Jeder Punkt von /'hat sonach eine be- 
stimmte Tangentialebene, die /' enthält, und die PunJctreihe, die von 
den Punkten auf f gebildet wird, ist projektiv gu dem Ebenenh'ischel, 
den die zugehörigen Tangentialebenen bilden. Mit Hilfe dieses Satzes 
erkennt man, daß jede Ebene durch /" eine Tangentialebene in einem 
bestimmten Punkt von f ist. Da die Ebene nämlich zu dem ge- 
nannten Ebenenbüschel gehört, entspricht ihr ein bestimmter Punkt 
der Punktreihe. 

Was wir für die im Endlichen liegenden Elemente bewiesen 




Tangrentialebeneu 



271 




Fig. 266. 



haben, gilt sofort auch für die unendlich fernen Elemente, da eine 
windschiefe Fläche durch eine Raumperspektive immer wieder in 
eine windschiefe Fläche übergeht. 

Aus dem gefundenen Satz erfolgt sofort eine Konstruktion 
für die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt D von /", wenn 
die Tangentialebenen in 
drei Punkten A^ 1> und 
C von /' bekannt sind 
(Fig. 266). /'schneide die 
Ebene TT in P, während 
die Spuren der drei gege- 
benen Tangentialebenen 
in TT der Reihe nach a, h 
und c seien. Die Spur d 
der gesuchten Tangential- 
ebene bestimmt sich dann 
dadurch, daß der Strahlen- 
büschel (ah cd) zu der 
Punktreihe (AB CD) pro- 
jektiv sein soll. Die Kon- 
struktion kann in einer perspektivischen Darstellung, wie sie die 
Figur gibt, sofort nach 92 ausgeführt werden. 

Aus dem be^viesenen Satz folgt auch unmittelbar, daß zwei 
windschiefe Flächen, die eine Erzeugende gemein und in drei 
Punkten von ihr dieselben Tangentialebenen haben, sich längs der 
ganzen Erzeugenden berühren müssen. 

Für eine beliebige windschiefe Fläche gilt somit auch der 
Satz, daß die Tangenten an eine Reihe paralleler Schnitte in Punkten 
derselben Erzeugenden f ein hyperbolisches Paraboloid bilden, das 
die Fläche längs /' berührt. Nehmen wir die Schnitte senkrecht 
zu f an und drehen die Tangenten durch einen rechten Winkel 
um f herum, so gelangen wir zu den Normalen der Fläche längs /', 
f's müssen also die Normalen einer icindsdiiefen Fläche längs einer 
beliebigen Erzeugenden ein hyprrbolisches Paraboloid bilden. 

299. Wenn eine der drei Leitkurven a, b und r, z. B. c, un- 
endlich fern ist, wird sie durch einen Kegel dargestellt, dessen 
Seitenlinien den Erzeugenden der windschiefen Fläche parallel 
sind, und der deshalb der Rlchhingslegel der Fläche heißt. Ist ins- 
besondere die unendlich ferne Leitkurve eine gerade Ijinie, so wird 
der Richtungskegel zu einer Richtungsebene. Die Asymptotenebeue, 
die zn einer Erzeugenden /'gehört, i.st parallel zu der Tangential- 
ebene des Richtungskegels längs der zu /' parallelen Seitenlinie, 



272 



Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 



die Asymptotebene ist also die Grenzlage für eine durch f parallel 
zu einer Erzeugenden f\ gelegte Ebene, die sich f nähert. 

Fig. 267 stellt in Parallelprojektion die Leitkurven a und h 
samt einer Erzeugenden f einer windschiefen Fläche dar, für welche 
die Ebene TT die Tangentialebene des Richtungskegels längs der zu f 
parallelen Seitenlinie ist. TT darf nicht durch f gehen. Längs f 



n 



f c 




/^ 


^r 


s 


v-i 




/ 

/ 






C :.--'' 


1 




y\ ./ 





Fig. 267. ö' 

kann man nun ein berührendes Paraboloid an die Fläche legen, 
von dem die Tangenten der Leitkurven in A und B Leitlinien 
sind, während TT von ihm eine ßichtungsebeue ist. Schneiden die 
genannten Tangenten TT in J.^ und 5^, so wird A^B^ eine Er- 
zeugende des Paraboloids; eine Erzeugende des Paraboloids, die 
zu dem anderen System gehört, teilt also AB und A^B.^ im gleichen 
Verhältnis. Um die Tangentialebene in C zu finden, bestimmt 

A C AC 
man deshalb auf A^B^ einen Punkt C^, für den ^„"^ = ^^wird 

(CCg II -B-Bi, C^C^\\AA^. Da CCy dann eine Erzeugende des 
Paraboloids ist, wird die Ebene fC^ die Tangentialebene in C. 
Ihre Spur c in TT geht durch C^ und ist parallel zu f. 

Sucht man auf f einen Punkt ^S' des Umrisses der Fläche, so 
lasse man in der Figur c mit f zusammenfallen, C^ fällt dann in 
den Schnittpunkt S^ von /'und A^B^ und *S' findet man, indem mau 
S^S^ \\AA^ und S^S \ BB^ zieht. 

Zentralpunkte und Parameter. 

300. Die Ebene durch eine Erzeugende /', die auf der zu f 
gehörenden Asymptoteuebene senkrecht steht, heißt die Zentral- 
ebene, ihr Berührungspunkt der ZmtralpunM der Erzeugenden. In 



Zentralpunkte und Parametor 



273 




Fig. 268. 



Fig. 268 ist /■ in Grund- und Aufriß dargestellt. Die Zentralebene 
ist vertikal angenommen. Der Zentralpunkt C und die Grundriß- 
spur a der Tangentialebene im Punkt ^4 sind gegeben. Die Ginind- 
rißprojektionen der Normalen in A und C stehen senkrecht auf a und 
f' und schneiden einander in einem be- 
stimmten eigentlichen Punkt P. Ein 
Umdrehungshyperboloid, dessen Achse 
eine Vertikale p durch P und von dem 
f eine Erzeugende ist, berührt die ge- 
gebene windschiefe Fläche längs f. 
Die beiden Flächen haben nämlich in 
drei Punkten von /", nämlich A, C und 
dem unendlich fernen Punkt, gemein- 
same Tangentialebenen. Da nun die 
Normalen des Umdrehungshyperbo- 
loids, also auch die Normalen der 
gegebenen Fläche längs f die Achse p 
schneiden, gehen die Grundrißprojek- 
tionen der Normalen längs f durch 
denselben Punkt F. Also: Wenn clh- 
Zentralebene projizierende Ebene bei 
einer scnhrcclden Projektion ist, gehen die Projeldionen aller Flächen- 
normalen längs der dazu gehörigen Ersengenden durch denselben 
Piaili. Dies kann man zu einer einfachen Konstruktion der Nor- 
malen und Tangentialebenen benutzen. 

301. iJer Zentralpunli von f ist die Ch-enzlage für den Ftiß- 
punlt F des kürzesten Abstandes FF^ der Erzeugenden f von einer 
veränderlichen Erzeugenden f^^die sich f nähert. In Fig. 265 bilden 
nämlich die Ebenen f\A, f\B, f\C. f^F für jede Lage von f\ einen 
Ebenenbüschel, der zu der Punktreihe (ABCF) projektiv ist. 
Wenn f\ sich f nähert, nähern sich die drei erstgenannten Ebenen 
den Tangentialebenen in ^, i? und C, während die vierte Ebene, 
weil sie ja in jedem Augenblick senkrecht ist zu einer Ebene, die man 
durch /' parallel zu f^ legt, sieh der Ebene, die durch f geht und 
auf der Asymptotenebene senkrecht steht, also der Zentralebene 
nähert. Aber hieraus folgt, daß der Punkt /'' sich dem Berührungs- 
punkt der Zentralebene nähert, was wir beweisen wollten. 

302. Unter dem Parameter der Erzeugenden verstehen wir 
den Abstand des Zentralpunktes von einem Punkt, dessen Tan- 
gentialebene den Winkel zwischen der Zentralebene \ind der Asyni- 
ptotenebene halbiert. Wenn /' den Zentralpunkt C und den Para- 
meter (JB hat (Fig. 26'J; und man CT = (JP senkrecht zu /' 

'riiii erd in g, Jlandliuc-Ii II 18 



274 



Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 



C 



S 



D 



y'k- 



abträgt, bilden die Linien, die man von T nach den Punkten der 
Erzeugenden zieht, miteinander dieselben Winkel wie die zuge- 
hörigen Tangentialebenen. Der Strah- 
^U lenbüschel (chud) ist nämlich projek- 
tiv zu dem Büschel der zugehörigen 
Tangentialebenen, und da die Winkel 
zwischen c, & und u ebenso groß 
wie die Winkel zwischen den zugehö- 
rigen Tangentialebenen werden, müssen 
auch die anderen zusammengehörigen Winkel gleich groß sein. 
Aus einer solchen Figur kann man sofort ersehen, wie schnell 
sich die Tangentialebene dreht, wenn der Berükrungspunkt sich 
mit gegebener Geschwindigkeit auf der Erzeugenden bewegt. 



u 

Fig. 269. 



Singulare Erzeugende. 

303. Wenn in Fig. 265 die Tangenten 6^ und c^ in B und C 
einer Ebene angehören, a^ aber nicht, so wird, wenn t\ sich f 
nähert, die Ebene f-^^A sich der Grenzlage /a^ nähern, während f^B 
und f^C sich derselben Ebene /"ft^Cj^ nähern. Dann muß sich aber 
auch die Ebene, die f\ mit einem beliebigen neuen Punkt D von f 
verbindet, derselben Ebene nähern. Dies erkennt man aus der 
Projektivität der Punktreihe (ABCI)) und des Ebenenbüschels 

A 




Fig. 270. 



f^(ABCD). Es hat also der Punkt A die Tangentialebene a^f, 
alle anderen Punkte der Erzeugenden f dagegen haben dieselbe 
Tangentialebene fh^Cy f nennen wir eine singulare Erzeugende, 
die Ebene f\Cj^ ihre Huupttangtntiälebene und A ihren Speerpunld. 
In Fig. 270 ist ein Teil einer windschiefen Fläche mit einer 
singulären Erzeugenden /' dargestellt, ^l ist ein Grenzpunkt der 
Leitkurve, auf dem er liegt (er bildet den Übergang von einem 
brauchbaren zu einem unbrauchbaren Teil der Leitkurve). Diese 
Leitkurve ist eine Doppelkurve der Fläche, durch einen beliebigen 
Punkt P von ihr gehen zwei Erzeugende, die sich, wenn P nach A 
rückt, einander nähern und schließlich in /' zusammenfallen. Ein 



Singulare Erzeugende 275 

ebener Schnitt dm-ch A bekommt in Ä eine Spitze, ein beliebiger 
anderer ebener Schnitt auf der Doppelkurve einen Doppelpunkt. 

Sollen wir der Fläche einen Kegel mit der Spitze .V um- 
schreiben, so legen wir z. B. eine Ebene durch SP und ziehen eine 
Taugeute von S an die Schnittkurve dieser Eigene mit der Fläche. 
Dreht sich die Ebene um SI\ so durchläuft die Tangente die ge- 
suchte Kegelfläche. 

Wenn die Ebene sich ^4 nähert, so nähert die Tangente sich 
ofienbar der Lage SÄ. Nun ist die Linie SA in Wirklichkeit 
keine Tangente der Fläche, wenn nicht .S' in der Tangentialebene 
des Speeqiunktes liegt, aber da sie die Grenzlage für eine Seiten- 
linie eines umschriebenen Kegels ist, so rechnet man sie zu diesem. 
Die Tangentialebene des Kegels längs .S'.l wird Sf, denn diese 
Ebene ist die Grenzlage für die Tangentialebene des Kegels längs 
einer veränderlichen Seitenlinie. Wenn S nicht in die Tangential- 
ebene des Speerpunktes fällt, so muß sonach die Berührungskurve 
des Kegels und der windschiefen Fläche die Erzeugende /' in A 
berühren. Daraus kann man sofort folgern, daß die ProjeJdion 
(hr shtffulärrn Erzeugenden den Umriß des benachbarten Flächen- 
teils in der ProjeJdion des Spcrrpunldcs berühren muß. 

Eine singulare Erzeugende kann einen unendlich fernen Speer- 
punkt haben, aber in diesem Falle kann sie durch eine passende 
Raumperspektive in eine singulare Erzeugende mit einem eigent- 
lichen Speerpunkt übergeführt werden, und die gefundenen Sfltze 
gelten auch in diesem Falle. Bei einer ParallelproJeJdion einer ivind- 
schiefen Fläche loerden also alle singidären Erzeugenden mit un- 
endlich fernem SpeerpunJd im allgemeinen als Asymptoten des Um- 
risses der Fläche dargestellt. 

304. Der ZintralpuiM einer singulären Erzengenden f wird 
definiert als die Grenzlage für den Fußpunkt /•' des kürzesten Ab- 
standes FF^^ von f und einer veränderlichen Erzeugenden /"j, die 
sich f nähert. Der ZentralpunJd fällt mit dem Spjeerpuiild zusammen, 
trenn dieser nicht unendlich fern liegt. Da nämlich der Ebenen- 
büschel fi(ABCF) beständig zu der Punktreihe (APCF) pro- 
jektiv ist und die Ebenen f^B und f^C sich derselben Greuzlage 
hj^e^ nähern, während f^F sich einer Lage senkrecht zu ft^Cj und 
/j-4 sieh fa^ nähert, sieht man, daß F sich A nähert. Liegt der 
Speerpunkt unendlich fern, so fällt er nach wie vor mit dem Zen- 
tralpunkt zusammen, solange die Haupttangentialebene nicht zu der 
TangL-ntialeljene des Speerpunktes senkrecht ist. Tritt dieses aber 
ein, so kann der Zentralpunkt in irgendeinen Punkt der Erzeugen- 
den fallen. Wuhin er fällt, bedarf einer besonderen üntersudiuiig 

18' 



276 Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 

Leitflächen. 

305. Wenn eine windschiefe Fläche von einer Linie /" erzeugt 
wird, die beständig eine gegebene Fläche berührt, heißt diese Fläche 
eine Leitfläche der windschiefen Fläche. 

Möge f die Leitfläche in A berühren und sei der geometrische 
Ort für A die Kurve Je. Wenn dann f nicht eine Tangente 
von h in A ist, so haben die Leitfläche und die windschiefe Fläche 
in A dieselbe Tangentialebene, denn die Tangentialebene beider 
Flächen muß sowohl /"wie die in A berührende Tangente von Tc 
enthalten, f kann nun beim Übergang aus einer Lage in eine 
andere nicht beständig h berühren, selbst wenn die beiden Lagen 
einander noch so sehr benachbart sind, denn dies würde bedingen, 
daß das durchlaufene Flächenstück abwickelbar wäre. Es gibt 
also auf jedem noch so kleinen Bogen von h Punkte, wo die beiden 
Flächen einander berühren. Wenn dann die Tangentialebenen der 
beiden Flächen sich kontinuierlich ändern, indem der Berührungs- 
punkt A die Kurve Ic durchläuft, so müssen die beiden Flächen 
einander in allen Punkten von k berühren. 

Soll man eine Erzeugende auf einer windschiefen Fläche mit 
den Leitkurven a und h und der Leitfläche V bestimmen, so kann 
man einen Punkt A auf a auswählen, und die Schnittlinie des 
Kegels A{1)) und des V umschriebenen Kegels mit der Spitze A 
bestimmen, jede der gefundenen Linien ist dann eine Erzeugende. 

Soll eine windschiefe Fläche durch eine Leitkurve a und eine 
Leitfläche V mit der Berührungskurve Ti bestimmt werden, so kann 
man einen Punkt B auf h auswählen und die Schnittpunkte A 
von a mit der in B berührenden Tangentialebene von V aufsuchen, 
AB ist dann eine Erzeugende der Flächen. Insbesondere kann /,■ 
unendlich fern liegen, V wollen wir dann eine Asymptotenflüche der 
windschiefen Fläche nennen. 

Die Gesamtheit der Asymptotenebenen der windschiefen Fläche 
umhüllen im allgemeinen eine abwickelbare Fläche, die abwichel- 
bare Asymptotenflüche \ diese kann insbesondere auch e\Ti Asymptoten- 
hegel werden. Bei einer Parallelprojektion der windschiefen Fläche 
werden die begrenzenden Erzeugenden der abwickelbaren Asyni- 
ptotenfläche im allgemeinen Asymptoten des Umrisses der wind- 
schiefen Fläche. 

Die Striktionslinie. 

306. Der geometrische Ort der Zentralpunkte heißt die 
Strihtionslinie. Auf jeder Erzeugenden f findet sich also für ge- 



Die Striktionslinie 277 

wohnlich ein und nur ein Punkt dieser Kurve, und die allgemeine 
Konstruktion dieses Punktes ist aus dem vorstehenden ersichtlich: 
Zuerst bestimmt man die Asymptotenebene, darauf dreht man sie 
durch einen rechten Winkel um f^ der Berührungspunkt der neuen 
Ebene ist dann der gesuchte Zentralpunkt. Hat die Fläche sin- 
gulare Erzeugende, so schneidet die Striktionslinie diese in den 
zugehörigen Speerpunkten, doch braucht dies nicht einzutreten, 
wenn der Speerpunkt unendlich fern liegt (304). 

Hat die Fläche eine Richtungsebene TT, so sind alle Asym- 
ptotenebenen dieser parallel, die Zentralebenen sind also zu TT 
senkrecht, und die Striktionslinie wird die Berührungskurve eines 
umschriebenen Zylinders, dessen Seitenlinien senkrecht zu TT sind. 
Auf einem hyperbolischen Paraboloid wird demnach die Strik- 
tionslinie für jede Eegelschar eine Parabel, deren Achse mit der 
Achse der Fläche zusammenfällt. 

Hat die Fläche einen beliebigen Richtungskegel, so wird die 
Asymptotenebene zu dessen Tangentialebene parallel und die Zen- 
tralebene mithin parallel zu den Normalebenen des Richtungs- 
kegels. Ist der Eichtungskegel ein Rotationskegel, so gehen alle 
diese Normalebenen durch die Kegelachse und die Zentralebene 
wird zu dieser Achse parallel. In diesem Falle wird also die 
Striktionslinie auch die Berührungskurve eines umschriebenen 
Zylinders, dessen Seitenlinien zu der Achse des Richtungskegels 
parallel sind. Jede windschiefe Fläche, deren Richtungskegel ein 
Rotationskegel ist, kann von einer beweglichen geraden Linie 
erzeugt werden, die beständig einen festen Zylinder berührt und 
die Seitenlinie unter einem konstanten Winkel schneidet. Die 
Berührungskurve der Fläche mit dem Zylinder ist die Striktions- 
linie. Ein Beispiel einer solchen Fläche bildet das Umdrehungs- 
hyperboloid, die Striktionslinie fällt dann mit dem Kehlkreis zu- 
sammen. 

307. Auf einem allgemeinen einschaligen Hyperboloid hat 
jede Regelschar ihre Striktionslinie. Die beiden Kurven müssen 
zueinander symmetrisch bezüglich jeder der drei Hauptebeiien 
sein. Von jeder der Kurven gilt folgender Satz: Die Striktionslinic 
halbiert die Strecken auf den RegelstraMen des Hyperboloids, die 
von zwei bestimmten Ellipsen auf der Fläche begrenzt werden, 
nämlich von den Bcrührungskurven der Rotationszylinder, die man 
dem Hyperboloid umschreiben kann. 

In Fig. 271 sind OA und OB die Halbachsen der Kehlellipse, 
und die Frontlinie /* durch B ist ein Regelstrahl der Fläche. Der 
Hauptschnitt der Fläche in der Aufrißebene ist eine Hyperbel h 



278 



Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 



mit der reellen Halbachse OA und der einen Asymptote f". Eine 
Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius OB schneidet die 
Aufrißebene in dem Kreis Ji. Eine gemeinsame Tangente von k 
und Ji berühre h in S. Dann berührt der der Kugel in der Richtung 
dieser gemeinsamen Tangente umschriebene Zylinder das Hyper- 
boloid in der Ellipse, in der die Ebene OBS die Fläche schneidet. 




Fig. 271. 



Die zu OBS symmetrische Ebene OBR schneidet das Hyper- 
boloid in einer anderen Ellipse, die ebenfalls die Berühruugskurve 
eines umschriebenen Rotationszylinders ist. Eine beliebige Er- 
zeugende /"^ schneide nun die Ellipsen in den Punkten P und Pj, 
deren Aufrißprojektionen auf 7? "7? und B"S fallen. Die Tangen- 
tialebenen TT und TTj des Hyperboloids in diesen Punkten berühren 
die beiden Zylinder und sind also Tangentialebenen der benutzten 
Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius OB. Da nun die 
Asymptotenebene A für f^ dui'ch geht, halbiert sie einen der 
AVinkel zwischen TT und TT^, während gleichzeitig die Zentral- 
ebene r den Nebenwinkel halbiert, f und A sind also mit TT und TT^ 
harmonisch verbunden und die Berührungspunkte von f und A 
sind mit P und P^ harmonisch verbunden. Da nun der Be- 



Konoide 279 

rührungspunkt von A unendlich fern liegt, muß der Berührungs- 
punkt von r in der Mitte zwischen /' und P, liegen. Damit ist der 
Satz hewiesen. 

Die Projektion der Striktionslinie kann leicht gezeichnet 
werden. Sie geht durch die Scheitelpunkte der Kehlellipse hin- 
durch und ist symmetrisch bezüglich jeder Achse der Fläche. Die 
beiden Projektionen der Kurve haben deshalb zwei Symmetrie- 
achsen. Die beiden Striktionslinien eines Hyperboloids liefern ein 
Beispiel für zwei Kurven, welche dieselbe Grund-, AuMß- und 
Seitenrißprojektion haben und dennoch verschieden sind. 

Konoide. 

308. Jede windschiefe Fläche, die eine Richtungsebene und 
eine gerade Leitlinie besitzt, heißt ein Konoid. Man unterscheidet 
zwischen gpradcn und schiefen Ko)wide>},je nachdem die Leitlinie auf 
der Richtungsebene senkrecht steht oder nicht. Die Striktionslinie 
fällt auf einem geraden Konoid mit der Leitlinie zusammen, aber auf 
einem schiefen Konoid ist sie eine krumme Linie, nämlich die Be- 
i*ührungskurve eines umschriebenen Zylinders, dessen Seitenlinien 
auf der Richtungsebene senki-echt stehen. Bei einer senkrechten 
Projektion auf die Richtungsebene fällt also die Projektion der 
Striktionslinie mit dem Umriß der Fläche zusammen. 

Wenn das Konoid durch die Leitkurve r/, die gerade Leit- 
linie b und die Richtungsebene TT bestimmt ist, findet man eine 
beliebige Erzeugende, indem man einen Punkt Ä auf a annimmt 
und den Schnittpunkt B von b mit einer Ebene, die durch Ä par- 
allel zu n gelegt wird, bestimmt; AB ist dann eine Erzeugende 
der Fläche (vgl. Fig. 272). 

Man sieht, daß das Konoid durch drei Leitkurven a, b und c 
(die letztere ist die unendlich ferne Linie der Richtungsebene) be- 
stimmt ist. Die singulären Erzeugenden der Fläche müssen also durch 
solche Punkte Ä auf a gehen, deren Tangenten entweder b oder c 
schneiden (6 und c sollen nicht in derselben Ebene liegen). 

Ist a eine ebene Kurve, deren Ebene die Ebene IT in der 
Linie l und b in einem Punkt L schneidet, so kann man demnach 
die Punkte A, wo die singulären Erzeugenden die Kurve a schneidet, 
bestimmen als die Berührungspunkte der Tangenten von a, die 
entweder parallel zu / sind oder durch den Punkt L gehen. Von 
den auf die erstgenannte Weise bestimmten Erzeugenden liegen 
die Speerpunkte auf &, von den anderen unendlich fern. Diese 
letzten Erzeugenden bestimmen auch bei einer Parallelprojektion, 



280 



Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 



bei welcher TT keine projizierende Ebene ist, die Asymptoten des 
Umrisses. 

In dem Falle^ wo eine Ebene, die wir durch L parallel zur 
Riclitungsebene legen, die Ebene der Leitkurve a in der Linie 5 
schneidet und s mit a zwei oder mehr Punkte gemein hat, wird 
s eine doppelte oder mehrfache Erzeugende der Fläche. 




Fig. 272. 



Wir wollen noch zeigen, wie mau die Schnittpunkte des Ko- 
noids mit einer geraden Linie g finden kann. Wenn g die Leit- 
linie 6 (oder c) trifft, so geht durch jeden Schnittpunkt der Ebene 
hg (bzw. cg) mit der Kurve a eine Erzeugende des Konoids, die g 
in einem der gesuchten Punkte schneidet. Schneidet die Linie g 
keine der Linien h oder c, so legt man durch g und h ein Para- 
boloid, dessen Richtungsebene mit der Richtungsebene des Konoids 
übereinstimmt. Dieses Paraboloid schneidet im allgemeinen die 
Ebene der Kurve a in einem Kegelschnitt, und durch jeden Schnitt- 
punkt dieses Kegelschnittes mit a geht eine gemeinsame Erzeugende 
des Konoids und des Paraboloids, die l in einem der gesuchten 
Punkte schneidet. 



Das Zylintiroid 281 

Das Zylindroid. 

309. Wir betrachten zwei ebene nicht parallele Schnitte n 
und h einer beliebigen Zylinderfläche und lassen zwei Punkte dieser 
Schnittkurven, die auf derselben Seitenlinie des Zylinders liegen, 
einander entsprechen. Wenn nun der eine Schnitt a um ein be- 
liebiges Stück parallel zur Schnittlinie der beiden Zylinderschnitt- 
ebenen verschoben wird und so in die Lage a^ gelangt, und ent- 
sprechende Punkte von Oj und h wieder durch gerade Linien 
verbunden, werden, so bilden alle diese Verbindungslinien eine wind- 
schiefe Fläche, die wir nach Frezier^) ein Zi/Iindroid nennen.^) 
Die Fläche hat die zwei Leitkurven a^ und b und eine Eichtungs- 
ebene parallel zu den Seitenlinien des Zylinders und der Schnitt- 
linie der beiden Ebenen, aber die durch diese Leitkurven und die 
Richtungsebene bestimmte vollständige Fläche umfaßt im allge- 
meinen Flächenteile, die nicht zum Zylindroid gehören. 

In Fig. 273 sind a und b vertikal angenommen, ihre Ebenen 
schneiden sich in der Linie s. a ist ein Kreis, dessen Umlegung 
in die Grundrißebene a^ wird. Die Seitenlinien sind der trennen- 
den Achse parallel. Wir verschieben a um ein Stück /.' vertikal 
nach aufwärts in die Lage a^. Die der Seitenlinie AB des Zylinders 
entsprechende Erzeugende des Zylindroids sei Ä^B. Auf diesen 
beiden Linien betrachten wir zwei Punkte C und Cj', die senkrecht 
übereinander liegen, ihr Abstand CC^ ist dann bestimmt durch die 
Gleichung 

CC\ _ CB 
k ab' 

Hieraus erkennt man, daß, wenn das letzte Verhältnis konstant 
ist, auch CC\ konstant wird, also: Jede Ebene f durch s schneidet 
die beiden Flächen in liowjruenten Kurven, denn die Schnittkurve 
des Zylindroids kann aus der Schnittkurve des Zylinders durch 

C Ji 
eine vertikale Parallelverschiebung von der Größe k . ^ abgeleitet 

werden. Trägt man MN = k, wie in der Figur angegeben, ab, so 
wird die Ebene f durch s auf dieser Strecke das Stück KP == 

1) Frezier, Coupe des pierres, liv. IV, chap. VII. Straßburg 1739. 

2) Das Wort hat leider heutzutage verschiedene Bedeutungen. 
In der Mechanik wird darunter nach dem Vorschlage von Cayley 
ein gewisses gerades Konoid verstanden (Plückersches Konoid, vgl. 
Rohn-Papperitz, Lehrbuch d. darst. (ieom. 3. Aufl. 1906, Bd. ITI, 
S. 23.3), von dem die Leitlinie h eine Seitenlinie und die Leitkurve a 
ein ebener Schnitt eines geraden Kreiszylindera ist. 



282 



Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 



CR 

Je T^ = CCi abschneiden. Dreht sich die Ebene T um ^^ von h 
AB ^ 

nach a, so wird der Abstand des Zylindroidschnitts von dem 
ebenen Zylinderschnitt beständig durch die Strecke NP dar- 
gestellt. 









7N 



-<:. 



Vvj,. 273. 



Man kann nun leicht die Tangentialebene des Zylindroids im 
Punkte Cj finden. Die Tangentialebene des Zylinders längs AB 
schneide s in S, die Tangente des Zylinderschnitts inji ist dann 
CS. Trägt man SS^ = CC^ ab, so erhält man einen Punkt 
der Tangente des zugehörigen Zylinderschnitts. Durch diese 
Tangente und die Erzeugende Ä^^B ist die Tangentialebene be- 
stimmt. Umgekehrt kann man auch leicht den Berührungspunkt 



Schiefer Durchgang 283 

einer durch. Ä^B gehenden Ebene bestimmen. Soll man z. B. den 
Punkt I>i" des Umrisses der Aufvißprojektion der Fläche als den 
Berührungspunkt der durch A^ B senkrecht zum Aufriß gelegten 
Ebene finden, so suche man den Schnitti^unkt 1\ dieser Ebene mit 
s und trage NQ = .S' T^ ab. s'Q schneidet dann die Grundriß- 
pi'ojektion der Erzeugenden in X»,', worauf man 1)^' sofort findet. 
Der Punkt D^ ist der Zentralpunkt der Erzeugenden. 

Die Verbindungslinien entsprechender Punkte auf «^ und h, 
deren Tangenten vertikal sind, liefern singulare Erzeugende der 
Fläche. Die Tangenten aller drei Leitkurven (d.h. die Tangenten von 
o^, h und die unendlich ferne Linie der Richtungsebene) liegen 
in diesem Falle in derselben Ebene, und diese Ebene ist die Tan- 
gentialebene der Fläche in jedem Punkte der betreffenden Erzeu- 
genden. Beim Grenzübergang von der allgemeinen Erzeugenden A^ B 
zu einer singulären Erzeugenden sieht man, daß der Berührungs- 
punkt D^ sich ins Unendliche entfernt, indem. .S'T^ und damit NQ 
ins Unendliche wachsen. Die Aufrißprojektionen der singulären Er- 
zeugenden sind also die Asymptoten der Aufrißprojektion der Fläche. 



Schiefer Durchgang. 

310. Schiefer Durchgang (Biais passe) heißt die windschiefe 
Fläche, die zu Leitkurven zwei kongruente Kreise a und h in 
parallelen Ebenen und eine gerade Linie c hat, die auf den beiden 
Ebenen senkrecht ist und durch den Mittelpunkt C der Zentrale 
00.^^ beider Kreise geht. In Fig. 274 ist eine Parallelprojektion 
der Fläche gezeichnet, wobei die Projektionsebene den Kreisen 
parallel angenommen ist. Vorausgesetzt wird, daß a und h nicht 
Schnitte desselben Rotationszylinders sind und c die Kreise nicht 
schneidet. Die durch c und 0(\ bestimmte Ebene ist eine Symmetrie- 
ebene der Fläche, sie ist nämlich eine Symmetrieebene der Leit- 
kurven; weiter sieht man, daß C ein Symmetriepunkt der Leit- 
kurven ist und daher ein Mittelpunkt der Fläche. Die zu der Ebene 
der Leitkreise parallelen Ebenen nennen wir der Kürze halber 
Frontebenen, c möge die Ebenen der Leitkreise in D und 7^ schnei- 
den. Man konstruiert die Erzeugenden der Fläche, indem man 
Hilfsebenen durch c legt. Eine solche Hilfsebene schneide a in P 
und A^ b in B und Q, PQ und AB sind dann Erzeugende der 
Fläche, und zwar werden sie infolge der Symmetrie bezüglich C 
parallel. Die Linien PB und QA schneiden ebenfalls die drei Leit- 
kurven, aber da sie durch C gehen und somit bei der Bewegung 



284 



Zwölftes TCapitel. Windschiefe Flächen 



der Hilfsebene eine Kegelflüche mit der Spitze C durchlaufen, ge- 
hören sie nicht zu der windschiefen Fläche. 

Die Linie 31 N^ welche die Mittelpunkte von AV und BQ 
verbindet, ist parallel zu den beiden gefundenen Erzeugenden und 



^2 <--.. 







.' p 



geht durch C. Wenn wir die Hilfsebene drehen, so beschreibt so- 
nach M^ einen Richtungskegel der Fläche. Die geometrischen 
Örter für M und N werden Kreise über OD und O^-E als Durch- 
messer. Mithin ist der Richtungskegel der Fläche ein Kreiskegel. 
Benutzt man C als Spitze des Kegels, so kann der Kreis über 0^ E 
als Durchmesser für den Grundkreis genommen werden. 

Da der Ricbtungskegel nun bekannt ist, kann die Asjmptoten- 
ebene für eine willkürliche Erzeugende des schiefen Durchgangs 
konstruiert werden. Jede Seitenlinie des Richtungskegels wird 
parallel zu zwei Erzeugenden der windschiefen Fläche, und man 



Schiefer Durchgang 285 

kann deswegen sagen, daß der schiefe Durchgang einen tm- 
endlich fernen Doppelkei/elscknitt besitzt. Eine singulare Erzeu- 
gende entsteht, wenn die Tangenten in P und Q oder A und B 
parallel sind, also wenn ÜP und f\Q dieselbe Richtung haben. 
Dies tritt ein, wenn 0, A und P in einer geraden Linie liegen; 
AP muß dann entweder ein Durchmesser oder eine Tangente des 
Kreises a sein. Man erkennt so zunächst, daß die Erzeugenden f^ 
und f^y die in der Symraetrieebene liegen, singulare Erzeugende 
sind, ihre Speei-punkte liegen auf c. Des weiteren entsteht eine 
singulare Erzeugende jedesmal, wenn die Hilfsebene die Leitkurve 
a (und b) berührt. Dies kann bei der in der Figur dargestellten 
Fläche nicht eintreten, aber wenn D und E außerhalb von a und 
b fallen, ergeben sich zwei Hilfsebenen, die a und b berühren. Die 
in diesen Ebenen enthaltenen Erzeugenden sind singulär, sie sind 
Seitenlinien des Eichtungskegels, dessen Spitze in C liegt, und teilen 
diesen Kegel in zwei Teile, von denen nur der eine für die wind- 
schiefe Flüche Bedeutung hat. Da die Asymptotenebene für jede 
der beiden Erzeugenden von der Haupttangentialebene verschieden 
ist, liegen die Speerpunkte unendlich fern, so daß die gefundenen 
Erzeugenden bei einer Parallelprojektion im allgemeinen als Asym- 
ptoten des Umrisses projiziert werden. Andere Asymptoten des Um- 
risses entstehen durch Projektion der Erzeugenden, deren Asym- 
ptotenebenen projizierende Ebenen sind. Von solchen findet man 
in der Figur im ganzen vier, indem der ßichtungskegel zwei be- 
grenzende Seitenlinien hat, und jeder von diesen zwei Erzeugende 
der windschiefen Fläche entsprechen. 

311. Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt 7? der 
Erzeugenden PQ kann man finden, indem man beachtet, daß die 
Punktreihe (^PQIiS) (S ist der Schnittpunkt von PQ und c) pro- 
jektiv zu der Reihe (P^Q^B^S^) ist, die von den unendlich fernen 
Punkten auf den Spui-en der zugehörigen Tangentialebene in einer 
Frontebene gebildet wird; 2\, Q^^ und S^ liegen also unendlich fern 
in Richtungen, die der Reihe nach senkrecht zu OP, O^Q (und 
OA) und parallel zu DP (und EQ) sind. Wir ziehen nun die 
Kreuzlinien PS^^ und Pj-V, ^-S'^ und Q^S und gelangen so zu den 
Punkten P^ und Q.^ der Perspektivitätsachse p. Die zu DJ* durch 
B gezogene Parallele schneide ]) in 7?2? '*^-^2 S^^^ dann die Richtung 
der Spur der gesuchten Tangentialebene an. Der zu der Erzeugen- 
den gehörende Punkt des Umrisses liegt auf;?. 

312. Eine beliebige Erzeugende A B schneid«^ die Ijeitkreise 
in .4 und B (Fig. 275); AD und BE sind dann parallel. Durch 
A und B ziehen wir in den Ebenen der beiden Leitkreise zwei 



286 



Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 



Linien a und h' senkrecht zu AD und BE. Wenn nun AB die 
Fläche durchläuft, so umhüllen a und ?>' zwei kongruente Ellipsen 
a^ und Jj. I) ist ein Brennpunkt für a^, E für h^. Die Ebene 

^ ah' berührt also 

ß bestündig einen el- 

liptischen Zylinder, 
dessen Gruudkur- 
ven «j und h^ sind, 
und da die Ebene 
AB DE auf ah' 
senkrecht steht, ist 
die Gerade AB die 
Projektion von der 
Geraden DE auf 
der Ebene a' h' . 
Daraus folgt: Der 
schiefe Durcligang 
ist der geometrische Ort für die ProjeJctionen der festen Leitlinie DE 
auf die Tange ntialelje neu des Zylinders, dessen Gnendhirven ^-^ 
und ftj sind. Alle Frontebenen schneiden deshalb die Flüche in 
den Fußpunktkurven einer Reihe kongruenter Ellipsen; durch die 
Betrachtung dieser Frontscbnitte erlangt man einen guten Über- 
blick über die Fläche. 

Wir sind davon aiasgegangen, daß D und E innerhalb von 
a und h liegen. Ist dies nicht der Fall, so erhalten wir an Stelle 
der Ellipsen a^ und h^ zwei Hyperbeln und die Fläche wird der 
geometrische Ort für die Projektionen der Leitlinie auf die Tangential- 
ebenen eines hyperbolischen Zylinders. Die Frontschnitte sind dann 
die Fußpunktkurven für eine Reihe kongruenter Hyperbeln. Der 
Frontscbnitt in der Ebene durch C wird insbesondere doppelt 
symmetrisch und hat die Form einer Lemniskate. 




Normalfläclieii. 

313. Eine Fläche, die von den Normalen einer gegebenen 
Fläche längs irgendeiner Kui've J: auf ihr gebildet wird, heißt 
eine Normalfinche von O. Die Normalfläche ist im allgemeinen 
windschief, sie kann aber im besonderen Falle abwickelbar, viel- 
leicht sogar eben werden. Z. B. ist die Normalfläche einer Um- 
drehungsfläche längs eines Parallelkreises ein Kegel, während die 
Normalfläche längs einer jMeridiankurve eine Ebene wird. 

Man kann zeigen, daß auf jeder elementaren Flüche unter^ 



Normalflächen 287 

gewissen Voraussetzungen zwei bestimmte Kurvenscbaren existieren, 
die Krümmung&linien^ längs denen die Normalflächen abwickelbar 
oder eben sind und die einander unter rechten Winkeln schneiden. 
Nur auf der Kugel ist jede Kurve eine Krümmungslinie. Auf einer 
Umdrehuugsflüche sind die Krümmungslinien die Parallelkreise 
und Meiidiankurven. Auf einer Zylinderfläche sind es die Seiten- 
linien und senkrechten Querschnitte, auf einem Kegel die Seiten- 
linien und die Schnittkurven des Kegels mit den Kugeln um die 
Kegelspitze. Von einer beliebigen abwickelbaren Fläche wii'd die 
eine Schar von Ki'ümmungslinien durch die Erzeugenden der Fläche 
gebildet, die andere Schar durch die Evolventen der Spitzkante. 
Umdrehungsflächen, Zjlinderflächen, und abwickelbare Schrauben- 
flächen haben also lauter ebene Krümmungslinien. Dasselbe gilt 
von jeder Fläche, die von einer unveränderlichen ebenen Kurve 
erzeugt wird, wenn die Ebene der Kurve auf einer beliebigen Zylinder- 
fläche rollt. Solche Flächen heißen Gesimsflnchen. 

Den Steinen in einem Gebäude gibt man nach Möglichkeit 
eine solche Form, daß die Flächen, die die Steine begrenzen, eben 
oder wenigstens abwickelbar sind und unter rechten Winkeln zu- 
sammenstoßen. Ist die äußere Begrenzuncrsfläche des Mauerwerkes 
gekrümmt, so sollen nach diesem Prinzip die Fugenlinien Krüm- 
mungslinien dieser Fläche, und die Flächen, die die Steine begrenzen 
und die Außenfläche treffen, die zu den Krümmunffslinien gehören- 

7 DO 

den Normalflächen werden. Bei Umdrehungsflächen und Zylindern 
(Kuppeln und Tonnengewölben) kann man dies Prinzip leicht voll- 
ständig durchführen. Aber bei Flächen, deren Krümmungslinien 
doppelt gekrümmt sind, wird dies im allgemeinen zu schwierig, 
und man muß in solchen Fällen für gewöhnlich andere Flächen 
als Grenzflächen der Steine benutzen. 

314. Im folgenden wollen wir die Kormalflüche einer Kegel- 
schnittfliiclic längs eines zu einem Hauptschnitt parallelen Schnittes 
1: oder, was dasselbe heißt, für die längs 1: berührende Kegelfläche 
untersuchen. Wir betrachten indessen nur den Fall, wo Ic eine 
Ellipse ist, /.• liege in einer zum Grundriß parallelen Ebene und 
habe die Halbachsen OA und OB (Fig 276), von denen die erste 
in der Aufrißebene liege. 

Die Spitze C des Kegels liegt vertikal über dem Mittelpunkt 
der Ellipse. Die Erzeugende /' der Normalfläche, die durch einen 
Punkt J' von /.• geht, wird im Grundriß als Normale von // dar- 
ge.stellt, während die Aufrißprojektion senkrecht auf der Spur CT 
der den Kegel längs C P berührenden Ebene ist. Transformiert 
man den Kegel durch eine Perspektive Affinität, von der die Auf- 



288 



Zwülltea Kapitel. Windschiefe Flächen 




rißebene die Affinitätsebene 
ist, in einen Rotationskegel, 
so wird CT auch die Spur 
der an diesen Rotations- 
kegel längs CP-^ gelegten 
Tangentialebene , und f" 
wird die Aufrißprojektion 
der Normale des Kegels in 
P^. Also: Die Aufrißpro- 
jektionen der Erzeugenden 
der Normalfläche fallen mit 
den Aufrißprojektionen der 
Normalen des Rotations- 
kegels längs einem Kreise 
li^ zusammen und gehen des- 
halb durch einen und den- 
selben Punkt r". So er- 
kennt man, daß die Er- 
zeugenden der Normal/lache 
alle eine zum Aufriß senJc- 
recMe gerade Linie r 
schneiden. 

Auf genau dieselbe Weise kann man durch Projektion auf 
die Seitenrißebeue erkennen, daß die Erzeugenden auch eine feste 
Linie s, die zu der trennenden Achse x parallel ist, schneiden müssen. 
s kann man konstruieren durch Umlegung von COB in die Auf- 
rißebene (als COB^^. Das Lot J?„5' von CB^^ bestimmt auf der 
Kegelachse CO einen Punkt ;S' von s. Die Normalfläche hat also 
zwei gerade Leitlinien r und s, die zueinander rechtwinklig sind 
lind zusammen mit der T^eitkurve h die Fläche vollständig bestimmen. 
r und 5 sind Doppellinien, die Ebenen Or und Os Symmetrie- 
ebenen und CO eine Achse der Fläche. Die vier Erzeugenden 
durch die Scheitelpunkte der Ellipse sind singulare Erzeugende. 
Von den beiden in der Ebene Or enthaltenen singulären Er- 
zeugenden liegen die Speerpunkte auf r, von den beiden in der 
Ebene Os enthaltenen auf .s\ Die Aufrißprojektion der Fläche wird 
von den beiden letztgenannten Erzeugenden begrenzt, der Umriß 
der Grundrißprojektion ist die Evolute der Ellipse. 

315. In Fig. 277 ist die Grundrißprojektion der Fläche 
dargestellt, die Erzeugende f schneidet r und s in den Punkten 
E und *S', k im Punkte P. Da r, .s^ und /.• in drei parallelen Ebenen 
Heeren, wird 



Fig. 27G. 



Normalflüclieu 



289 



EP 
SP 



R'P' 

S'P'' 



= const. 



Damit ergibt sich zugleich der Beweis eines bekannten Satzes über 
die Normalen einer Ellipse. 

Wir können nun auch R 

zeigen, daß jede zum 
Grundriß parallele Ebene 
die Iläche in einer Ellipse 
schneidet. Schneidet die 
Ebene die Erzeugende /" 
in 3/, dann findet man näm- 
lich, daß die Verhältnisse 



YP' 


B'P' 


BP 


YN 


R'M' 


EM' 


XN 


S'P' 


SP 


XM' 


~ S'M' 


S3I 




Fig. 277. 

konstant werden. Der geo- 
metrische Ort von N ist 

also eine Ellipse n, die 7/ in einer perspektivischen Affinität mit 
der Affinitätsachse r' entspricht, und der geometrische Ort von M' 
entspricht n in einer perspektivischen Affinität mit der Affinitäts- 
achse s'. Dieser Ort ist deshalb eine neue 
Ellipse m, und der Satz ist damit bewiesen. 
Fig. 278 zeigt die Leitkurven k, r und s 
in Parallelprojektion. Die singulären Erzeu- 
genden sind a, a^ , h und b^ , alle Ebenen senk- 
recht zur Achse RS schneiden die Fläche in 
Ellipsen, die von den Syrametrieebenen aa^ 
und 5fej der Fläche symmetrisch geteilt wer- 
den. Die Scheitelpunkte dieser Ellipsen lie- 
gen immer auf den singulären Erzeugenden. 
Einen guten Überblick über die Ellipsen er- 
hält man, wenn man die von den Linien b, b^ 
gebildete Figur um die Achse in die Ebene 

aa^ herumdreht (6*, fe^ in Fig. 279); die Ellipsen, deren Mittel- 
punkte Oj und 0^ sind, haben die Halbachsen OiA^, OyB^ (oder 
Oi£i')bzw. O^Ao, OoB^- Nimmt man die Punkte Ö^, 0^ so an, daß 

0,S_RO, 

0,S~ RO., 

Timerding, Handbuch II 19 




290 



Zwölftes Kapitel. WindBchiefe Flächen 




wird , so 

einerseits 



ergibt sich 



Fig. 279. 



A,0, 


RO, 


A.ß^ 


BO^ 


andererseits 




J5/0, 


o,s 


B^O^ 


o,s 


also folgt 




Aß, 


B,0, 



A,0, 



B.O., 



d. h. elliptische Schnitte, deren Ebenen den Abstand zivischen den 
Leitlinien der Fläche harmonisch teilen, sind ähnlich und in ähnlicher 
Lage. Wenn die eine Schnittkurve sich ins Unendliche entfernt, nähert 
sich die andere der Lage mitten zwischen den Leitlinien, also wei'den 
die Linien, die von i? (oder 5') nach den Punkten diesesMittelschnittes 
hinführen, den Erzeugenden der Fläche parallel und bilden deshalb 
einen Richtungskegel der Fläche. Der Richtrmgskegel der Fläche 
ist also ein schiefer KreisJcegel. Unter den Ellipsenschnitten sind 
zwei Kreisschnitte J:^ und k^ enthalten. Man findet sie, wenn man 
durch die Schnittpunkte der Linien h*. b-^* mit a die Ebenen senk- 
recht zur Achse hindurchlegt. 

316. Wenn zwei Punkte M und N sicli um dieselbe Achse z 
mit gleich großen, aber entgegengesetzten Winkelgeschwindigkeiten 
drehen, so erzeugt ihre Verbindungslinie im allgemeinen eine Normal- 
fläche der beschrie- 
M m benen Art. 

DadieEbenen^iüf 
und zN sich gleich 
schnell nach entgegen- 
gesetzten Seiten dre- 
hen, muß die Halbie- 
rungsebene des von 
ihnen gebildeten Win- 
kels fest liegen. Neh- 
men wir nun z in der 
Aufrißebene vertikal 
an (Fig. 280), während 
eine der genannten 
Halbierungsebenen 
Fig. 280. senkrecht zur Aufriß- 




Normalflächen 291 

ebene sei, so beschreibt M den horizontalen Kreis m mit dem 
Mittelpunkt und X den horizontalen Kreis n mit dem Mittel- 
punkt Oj, den wir in der Grundrißebene annehmen können. Da 
aber das Verhältnis 

OM" _ O^M^ _ (\M' 
O^N" " 0,N" ~ O^N 

konstant ist, muß M" N" durch einen festen Punkt i2" gehen, also 
scheidet 71/ iS^ eine feste Linie, die senkrecht zum Aufriß ist. Ebenso 
erkennen wir, daß MN eine zur trennenden Achse parallele feste 
Linie schneidet. Die auf die angegebene Weise erzeugte Fläche 
wird eine Normalfläche der beschriebenen Art, wenn die Kreise 
m und n nicht gleich groß sind. Der Kegel, von welchem die Fläche 
eine Xormalfläche ist, hat seine Spitze in C in dem Mittelpunkt der 
Kugel, die man durch die Kreise m und n legen kann. Die Pro- 
jektionen des Mittelpunktes dieser Kugel auf die vier singulären 
Erzeugenden liegen nämlich in einer Ebene mitten zwischen ni und 
n. Die Ellipse A", welche die Grundrißkurve des Kegels bildet, liegt 
also in der Mitte zwischen m und n und ihre Halbachsen werden 
gleich der halben Summe und halben Differenz der Radien der 
gegebenen Kreise. 

Aus der Betrachtung der Gnindrißprojektion der Figur kann 
man sofort folgenden Satz der ebenen Geometrie ableiten: Wenn 
zwei Punkte in der Ebene Iconzentrische Kreise mii gleich großen, 
aber entgegengesetzten WinlcelgescInHndiglmten durchlanfen, so ist 
ihre Verbindungslinie beständig normal zu einer festen Ellipse, deren 
Achsen die Sitmtne und die Differenz ton den Radien der gegebenen 
Kreise sind. 

Mit Hilfe der gefundenen Erzeugung der Normalfläche zeigt 
man leicht, daß die Zentralprojektion der Fläche aus einem be- 
liebigen Punkt der Achse auf eine Ebene senkrecht zur Achse eine 
Ellipsenevolute bildet. 

Weiter erkennt man, daß der Zylinder, den man der Fläche 
in irgendeiner Richtung senkrecht zur Achse umschreibt, hyper- 
bolisch ist. Denn eine Ebene TT, welche die Erzeugende MN ent- 
hält und zu der gegebenen Richtung parallel ist, schneidet den 
Kreis m in einem neuen Punkt J/j, und die Ebene enthält dann 
auch die Linie M^ N: es hat aber MM^ konstante Richtung, und da 
J/und ^"Kreise mit gleich großen, aber entgegengesetzten Winkel- 
geschwindigkeiten durchlaufen, müssen M^ und N sie mit gleichen 
und gleichgerichteten Geschwindigkeiten durchlaufen. Hieraus folgt, 
daß M^N ein Umdrehungshyperboloid durchläuft (vorausgesetzt, 

19* 



292 Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen 

daß M^JSf die Achse nicht schneidet), und da TT die Gerade M^N 
enthält, wird sie eine Tangentialebene des Hyperboloids. Die ge- 
suchte Zylinderfiäche ist also einem Hyperboloid umschrieben, und 
deshalb hyperbolisch. Die senhrechte Projektion der Normalfläche 
auf eine Ebene, die der Achse der Fläche parallel ist, wird dem- 
nach eine Hyperbel. 

317. Errichtet man in der Spitze eines gegebenen Kegels 
die Lote auf seinen Tangentialebenen, so entsteht ein neuer Kegel, 
den man den Normalkegel (Polarkegel) des ursprünglichen nennt. 
Dieser ist umgekehrt der Normalkegel von jenem. Eine beliebige 
Normalfläche des festen Kegels hat den andern Kugel zum Rich- 
tungskegel, und ihre Zentralebenen gehen alle durch die Spitze 
des Kegels hindurch. Die Striktionslinie der Normalfläche wird 
also die Berührungskurve eines umschriebenen Kegels, dessen Spitze 
in die Spitze des gegebenen Kegels fällt. 



Dreizehntes Kapitel. 
Schraubenflächen und topographische Flächen. 

Allgemeine Schranbenflächen. 

318. Eine ISchraubenflacJie wird von einer Kurve k erzeugt, 
die man um eine feste Achse schraubt. Die Schraubung ist durch 
die Achse, die Ganghöhe und den Schraubensinn vollständig be- 
stimmt. Da jede der Schraubeulinieu, die von den Punkten der 
erzeugenden Kurve beschrieben wird, sich bei der Schraubung in 
sich selbst verschiebt, kann man dasselbe von der ganzen Fläche 
sagen, so daß diese von jeder Kurve erzeugt werden kann, die 
alle Schraubenlinien triflFt. Als besondere Kurven auf der Schrau- 
benfläche merke man sich die Grumlkurven (ebene Schnitte senk- 
recht zur Achse) und die Makliankurvcn (ebene Schnitte durch 
die Achse). Bei einer abwickelbaren Schraubenfläche ist die Grund- 
kurve eine Kreisevolvente, die Form der Meridiankurve haben wir 
ebenfalls bereits untersucht (288). Eine Schraubenfläche mit kreis- 
förmiger Grundkurve heißt eine gewundene Säule. 

Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt P der er- 
zeugenden Kurve l- bestimmt man durch die Tangenten von k 
und der von P beschriebenen Schraubenlinie (vgl. 203). Diese 
Bestimmung kann indessen nicht benutzt werden, wenn die ge- 
nannten Tangenten zusammenfallen. Dieser Fall ist aber ausge- 
schlossen, wenn k eine Grundkurve oder Meridiankurve ist. 

Längs jeder Schraubenlinie auf der Fläche kann man eine 
berührende abwickelbare Schraubenfläche legen, diese wird von 
allen auf der Schraubenlinie berührenden Tangentialebenen um- 
hüllt. Diese abwickelbare Flüche kann insbesondere eine umschrie- 
bene Zylinderfläche werden. 

319. Im folgenden nehmen wir an, daß die Fläche rechts- 
gängig ist, und eine Grundkurve g in der Grundrißebene liegt, die 
Achse a der Fläche also vertikal ist. Die Schnittkurve der Fläche 
mit irgendeiner schiefen Ebene kann man bestimmen, indem man 



i^94 Dreizehntes Kapitel. Schraubenflächen u. topographische Flächen 



Fig. 281. 



in der Ebene eine Reihe horizontaler Linien zieht, diese in die 
Grundrißebene niederschraubt, ihre Schnittpunkte mit g bestimmt 
und dann die gefundenen Schnittpunkte zurückschraubt. 

Die Berührungs- 
d kurve einer der Schrau- 

benfläche umschriebenen 
Zylinderfläche, deren 
Seitenlinien die Rich- 
tung s haben (Fig. 281), 
findet man durch Anwen- 
dung des früher bewiese- 
nen Satzes über die Bahn- 
normalen bei der Schrau- 
benbewegung (291). Da 
von allen Bahnnormalen, 
die senkrecht zu s sind, die 

Grundrißprojektionen 
durch gehen {a ^ 
n S-^), so gehen auch von 
den Normalen der 
Schraubenfläche in den 
Punkten der gesuchten 
Berührungskurve die 
Grundrißprojektionen durch 0. Da gleichzeitig die Flächennor- 
male in einem beliebigen Punkt sich im Grundriß als die Nor- 
male der Grundrißprojektion der durch den Punkt gehenden Grund- 
kurve darstellt, so handelt es sich nur darum, aus die Normalen 
auf die Grundrißprojektionen der Grundkurven zu fällen, die Fuß- 
punkte dieser Normalen bilden dann die Grundrißprojektion der ge- 
suchten Berührungskurve. 

Ist g wie in Fig. 281 ein Kreis mit dem Mittelpunkt Ä, so 
liegen die Endpunkte B und B^ des durch gehenden Durch- 
messers auf der Grundrißprojektion der Berührungskurve A'. Dreht 
man g um a und zieht beständig den Durchmesser durch 0, so 
wird die Grundrißprojektion der ganzen Berührungskurve be- 
stimmt. Da A B konstante Länge hat, kann die Tangente t von k 
mit Hilfe des momentanen Drehpols 0^ leicht bestimmt werden. 
Wenn g kein Kreis ist, kann man, nachdem B gefunden ist, 
die Tangente von Ic bestimmen, indem man für einen Augenblick 
g durch seinen Krümmungskreis in B ersetzt. Wenn man die Lote 
aus auf die Grundrißprojektion der Grundkurve nicht leicht 
fällen kann, wählt man eine Reihe von Punkten auf g und zeichnet 




Gerade Schraubenflächen 



295 



f3ie Normalen der Grundkurve in diesen Punkten. Darauf dreht 
man jeden der Punkte um a' so lange, bis die zugehörige Nor- 
male durch geht. Die so gefundenen Punkte gehören dann alle 
zu der Grundrißprojektion der Berührungskurve. 

320. Da der umschriebene Zylinder die durch die Punkte der 
Berübrungskurve gehenden Grundkurven berührt, berührt seine 
Grundrißspur die Parallelprojektionen der Grundkurven auf die 
Grundrißebene in der Richtung s, und diese Projektionen kann man 
erzeugen, indem man sich g zusammen mit einem Kreis (mit dem 
Mittelpunkt a und demRadius a S^) bewegen läßt, wenn dieser Kreis 
auf einer Linie durch parallel zu .s' rollt (vgl. 290). Die Spur 
der Zylinderfläche wird so die Hüllkurve für die verschiedenen 
Lagen von g bei dieser Bewegung. 



M 



a 



r 



Gerade Schraubenfläclieii. 

321. Eine Schraubenfläche, deren Erzeugende eine zur Schrau- 
benachse a senkrechte Linie f ist, ist immer windschief. Nehmen 
wir (Fig. 282 a ~) die Achse ver- 
tikal an, so ist die horizontale 
Ebene eine Richtungsebene 
der Fläche, die Asymptoten- 
ebenen sind horizontal, die 
Zentralebenen vertikal, und 
die horizontale Projektion 
der Striktionslinie fällt mit 
dem Umriß der Fläche zu- 
sammen. Die Striktionslinie 
wird deshalb die von dem der 
Achse am nächsten gelegenen 
Punkt C von f beschriebene 
Schraubenlinie. Den Para- 
meter ("J/für die Erzeugende 
/"findet man folgendermaßen: 
die Normale in J/ soll einen 
Winkel von 45° mit der 
Grundrißebene bilden. Die 
Normalen muß durch einen 

a'O II /■' und a' = .-, (gleich der reduzierten Ganghöhe h) wird 

(319). Die Hprizontalprojektion der gesuchten Normale OM ist 
dann _L /', man sieht also, daß der Parameter in allen Fällen 







;2x 



ia 



r 



-'N 



C 



f 



¥\%. 282 a. 



Grundrißprojektion einer solchen 
Punkt gehen, der so liegt, daß 



296 Dreizehntes Kapitel. Schraubenfiächen u. topographische Flächen 




Fig. 282 b. 



glekli der reduzierten Ganghöhe ist. Hier- 
aus findet man leicht die Tangentialebenen 
in den verschiedenen Punkten von f. Trägt 
man C'T = h±f' ab, so wird ^TN'C 
gleich dem Winkel, den die Tangentialebene 
im Punkte X mit der Grundrißebene bildet. 
Die Berühi'ungskurve Je einer um- 
schriebenen Zylinderfläche bestimmt man 
durch direkte Anwendung der allgemeinen 
Methode (319). Je wird so die Fußpunkt- 
kurve des horizontalen Umrisse s der Fläche. Man vergleiche Fig. 2 8 2 b^ 
wo a' und dieselbe Bedeutung haben wie in Fig. 281. 

322. Wenn /' die Achse a schneidet, wird die Fläche eine 
Wendelfläche (ein besonderes Konoid), k' wii-d dann ein Kreis 
und k eine Schraubenlinie. Dies erkennt man folgendermaßen 
(Fig. 283 a)'. k liegt auf einem Rotations- 
zylinder mit der Grundfläche k\ und wenn 
ein Punkt sich auf k von A bis B bewegt, 
so wird die Steigung B'B dieselbe wie bei 
der Wendelfläche, während die Drehung um 
die Achse der Zylinderfläche doppelt so 
groß ist wie die Dreh- 
ung der Erzeugenden f 
um a, denn der Zentri- 
winkel AMB' von k' 
ist doppelt so groß wie 
der Peripheriewinkel 
Aa B' . k ist also eine 
Schraubenlinie mit der 
Ganghöhe 4--S; die 
Wendelfläche enthält 
unendlich viele Schrau- 
benlinien, deren Achse 
von a verschieden ist, 
indem jeder Rotatwns- 
zyUndir durch a die 
Fläche im, einer Schrau- 
benlinie schneidet. 
Die Wendelfläche kommt in der Praxis häufig vor, .sie wird 
z. B. als Begrenzungsfläche für flachgängige Schrauben (Fig. 283b) 
benutzt. Die vorspringenden Kanten der Stufen einer Wendel- 
treppe sind die Erzeugenden einer Wendelfläche, auch die Unter- 






Fig. 283 b. 



Schiefe Schraubenflächen 



297 



fläche einer "Wendeltreppe ist gewöhn- 
lich eine Wendelfläche. Schließlich 
wollen wir anführen, daß die Wöl- 
bung unter einer schrägen Brücke 
häufig aus Steinen gebildet wird, 
die die in Fig. 284 angegebene Form 
haben. Jeder Stein wird begrenzt von 
zwei Kotationszylinderflächen AB CD 
und A^ByC-^^D^ mit der Achse a (der 
Achse der Wölbung) und vier Wendel- 
flächen ABÄ^B^, CDC^D^, BCB^C^ und ADA^D^, alle mit 
der Achse a. Die Wölbung kann dann aus kongruenten Steinen 
gebaut werden, nur an den Stirn- und Kämpferflächen muß die 
Form verändert werden. 




Fig. 284. 



Schiefe Schraubenfläclieii. 

323. Wenn man eine 
gerade Linie f um eine 
Achse a schraubt, die zu f 
weder parallel noch senk- 
recht ist, wird die erzeugte 
Fläche entweder abwickel- 
bar oder windschief. Die 
Bedingung dafür, daß sie 
windschief wird, ist die, daß 
die Schraubenlinie, die der 
a am nächsten gelegene 
Punkt von f beschreibt, f 
berührt. In Fig. 285 a, wo 
a vertikal und f eine Front- 
linie ist, ist diese Bedingung 
nicht erfüllt, so daß die 
Fläche windschief wird. Der 
Richtungskegel der Fläche 
ist ein Rotationskegel mit 
vertikaler Achse, also ist 
die Asymptotenebene für f 
senkrecht zum Aufriß und 
die Zentralebene vertikal. 
Der Zentralpunkt wird der 
Punkt C von /", der a am 




Fig. 285 a 



298 Dreizehntes Kapitel. Scbraubenflächen u. topographische Flächen 



nächsten liegt, die Tangentialebene in diesem Punkt wird nämlich 
durch /■ und die von C beschriebene Schraubenlinie bestimmt und 
ist mithin vertikal. Die Striktionslinie c ist daher die von C be- 
schriebene Schraubenlinie. Man findet leicht neue Erzeugende der 
Fläche, indem man f um einfache Bruchteile eines Schrauben- 
ganges herumschraubt. In der Figur ist eine Erzeugende f\ mit 
dem Zentralpunkt C\ gefunden, indem f um Yg Schraubengang her- 
umgeschraubt wurde. 

Man kann nun eine abwickelbare Schraubenfläche mit der- 
selben Achse und derselben Ganghöhe wie die gegebene Fläche 
und mit einer Erzeugenden g, die parallel zu f ist und dieselbe 
Aufrißprojektion hat wie f\ bestimmen. Der Abstand der Linie g 
von a ist gleich dem Radius der Grundfläche des Richtungskegels, 
wenn man die Höhe des Ricbtungskegels der reduzierten Gang- 
höhe gleich macht. Die so gefundene abwickelbare Fläche wird 
die Asymptoten fläche der gegebenen Fläche. 

Statt das System fg um a so zu schrauben, daß /' die ge- 
gebene Schraubenfläche und g die abwickelbare Schraubenfläche 
beschreibt, kann man auch g die abwickelbare Fläche durchlaufen 
und f so folgen lassen, daß die Linie des kürzesten Abstandes 
von a und g beständig f schneidet. Daraus folgt, daß man die 
tvindscMefe Fläche dadurch erzeugen kann, 
daß man sich (mit einer vertikalen Ebene 
durch g fest verbunden denkt und diese 
Ebene auf einem vertikalen Zylinder rollen 
läßt, dessen Grundrißspur u' ist. Alle 
Grundkurven der windschiefen Schrau- 
benfläche sind also uneigentliche Kreis- 
evolventen, deren Grundrißprojektionen 
dadurch erzeugt werden, daß alle Punkte 
von f' der Linie g' folgen, wenn diese 
auf u' rollt. Da die Flächennormale in 
einem Punkt dieselbe Grundrißprojektion 
hat wie die Normale der Grundrißkurve 
in diesem Punkt, sieht man, daß die 
Grundrißprojektionen der Flächennor- 
malen längs f durch den Punkt U' gehen. 
Geht man zu einer anderen Erzeugenden f^ 
über, so gehen die Grundrißprojektionen 
der Normalen durch, einen neuenPunkt L\'. 
Die Tangentialebene im Punkte P 
ing. 285b. von f kann man nun bestimmen: ihre 




Schiefe Schraubenflächen 



299 



Grundrißspur e^ geht durch die Grundrißspur der Erzeugenden 
und ist senkrecht zu der Grundrißprojektion P' ü' der Normalen 
in P. Da die Ebene ff" eine Asymptotenebene ist, wird f" eine 
Asymptote des Umrisses der Aufrißprojektion. Der Punkt Q'\ in 
dem /j" den Umriß berührt, ist die Aufrißprojektion des Bei'üh- 
rungspunktes Q der Ebene /"i/i", und da die Normale von Q so- 
nach eine Frontlinie ist, wird Q'TJ^ parallel zur trennenden Achse 
und Q läßt sich leicht bestimmen. 

Scharfgängige Schrauben (Fig. 285 b) werden von schiefen 
Schraubenflächen begrenzt, deren Erzeugenden die Achse schneiden. 
Die Grundkurve einer solchen Fläche ist eine archimedische Spirale, 
d. h. eine Spirale, bei welcher die Zunahme des Radiusvektor der 
Drehung proportional ist. 

324:. Die Berührungskurve einer umschriebenen Zylinder- 
tläche von der Richtung .^ ist der geometrische Ort der Punkte, 
deren Normalen senkrecht zu s sind, die Grundrißprojektionen 
dieser Normalen müssen also durch den Punkt gehen, den 
man wie in Fig. 281 bestimmt. 
Der Punkt B von /", der mit zur 
Berührungskurve gehört, muß 
eine Normale haben, deren Grund- 
rißprojektion durch U' und geht, 
R' ist deshalb der Schnittpunkt 
von /'' und V' 0. Auf ähnliche 
Weise findet man Punkte der Be- 
rührungskurve auf den anderen Er- 
zeugenden. In Fig. 286 ist die 
Grundrißprojektion der Berüh- 
rung.skurve näher bestimmt. Eine 
Linie l durch schneide u' in A und 
A^. Die zugehörigen Punkte von c' 
seien B und B^ , die Tangenten in 

diesen Punkten schneiden dann l in zwei Punkten P und P^ der 
gesuchten Kurve. Der Mittelpunkt M von PP^ liegt auf dem 
Kreis in über Oa' als Durchmesser. Hat man den Kurvenast ge- 
zeichnet, den P durchläuft, so kann man demnach leicht den von 
Pj dui'chlaufenen Ast finden. Die Kurve wird von der Linie (Ja' 
symmetrisch geteilt, und Q und R sind Scheitelpunkte der Kurve. 
P gelangt nach 0, wenn B der Berührungspunkt einer Tangente 
aus an c' wird. Wenn also wie in der Figur außerhalb von c' 
liegt, bekommt die Kurve einen Doppelpunkt iu 0. Die Tangenten 
im Doppelpunkte findet man als die Grenzlagen der Linie /, wenn 




Fig. 286. 



300 Dreizehntes Kapitel. Schraub enfläclien u. topographische Flächen 



B sich einem der Schnittpunkte von m und c' nähert. Wenn P 
auf den Kreis m, aher nicht nach fällt, fällt P^ mit P zu- 
sammen, und die Kurve erhält dort wieder einen Doppelpunkt. 
Die so bestimmten Doppelpunkte findet man als die Schnittpunkte 
von m mit einem Kreis um den Mittelpunkt a', dessen Radius 
gleich ya'ii • a'/S' ist. Unendlich ferne Punkte der Kurve findet 
man in den Eichtungen, die durch die aus an u' gelegten Tan- 
genten gegeben werden. 

Wenn innerhalb von u' liegt (also s mit a einen kleineren 
Winkel bildet als /"), enthält die Kurve keine unendlich fernen 
Punkte. Liegt auf u' , ist also .« einer Erzeugenden der Fläche 

parallel, so löst sich die 

- T - - - Kurve auf in eine gerade 

Linie p (die Grundrißpro- 
jektion der Erzeugenden, 
die s parallel ist) als geo- 
metrischen Ort von P und 
eine sogenannte Stro- 
phoide als geometrischer 
Ort für P^. Die Stro- 
phoide wird aus 0, p und 
dem Kreis m auf folgende 
Weise konstruiert (Fig. 
287): Man nimmt einen Punkt P a,ui p) an und schneidet OP mit m 
in 31. Trägt man nun MP^ = PM ab, so findet man einen Punkt 
der gesuchten Kurve. Wenn P sich ins Unendliche entfernt, nähert 
sich M dem Punkt 0, und der Abstand zwischen P^ und p kon- 
vergiert nach 20 Ä. Man findet deshalb eine Asymptote der Stro- 
phoide parallel zu p im Abstand OH = AO von 0. 




Fig. 287. 



Topographische Flächen. 

325. Bei der Darstellung eines kleineren Teiles der Erd- 
oberfläche (einer topographischen Fläche) in einer Karte benutzt 
man ein einfaches Verfahren, indem man sich jeden Punkt durch 
seine Projektion auf eine horizontale Projektionsebene und durch 
eine beigeschriebene Zahl, welche die Höhe dieses Punktes über 
dieser Ebene angibt, die sogenannte Kote, bestimmt denkt. Zu 
jeder solchen Projektion (kotierter ProjeMion) gehört ein bestimmter 
Maßstab, mit dessen Hilfe alle Abstände der Karte zu messen sind. 
Eine gerade Linie kann durch die Projektionen und die Koten 
für zwei beliebige Punkte der Linie gegeben werden. Man kann 



Topographische Flächen 



3tJl 



dann leicht die Kote für irgendeinen Punkt der Linie berechnen, 
wenn die Projektion des Punktes gegeben ist, ebenso kann man 
umgekehrt einen Punkt der Linie mit gegebener Kote bestimmen, 
indem man beachtet, daß für zwei beliebige Punkte der Linie ein 
konstantes Verhältnis zwischen dem Abstand der Projektionen 
und dem Höhenunterschied der Raumpunkte besteht. Dieses Ver- 
hältnis (der Tangens des Winkels, den die Linie mit der Verti- 
kalen bildet) kann durch die Länge i des Stückes der Projektion 
angegeben werden, dem auf der Linie selbst der Höhenunterschied 1 
entspricht, diese Länge i heißt das Intervall der Linie. Eine Pro- 
jektion der Linie mit Angabe einer Reihe von Punkten, deren 
Höhen aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, heißt der BöschunffS- 
oder frefüllmaßstdh (oder Maßstab) der Linie. 

326. Eine beliebige Kurve wird angenähert durch ihre Pro- 
jektion und die Koten für eine Reihe Punkte auf ihr dargestellt. 
Li der Regel wählt man die Punkte so, daß zwei aufeinander- 
folgende konstante Höhen- 
unterschiede haben. In Fig. 
288 ist eine Kurve h dar- 
gestellt, die in einer verti- 
kalen Ebene liegt und deren 
horizontale Projektion des- 
halb eine gerade Linie }:' 
ist; auf der Kurve sind ge- 
geben die Punkte 1, 2, 3, 
4,5,6 und 7, Von dem 
Punkt A in der Höhe 1, 
der der Kurvenebene an- 
gehört, wollen wir eine 
Tangente an die Kurve 
ziehen. Dies können wir 
durch Umklappung aus- 
führen; A gelange dabei 
nach ^j, h nach fc^, die 

gesuchten Tangenten bestimmt man dann durch graphische Kon- 
struktion. Die Berührungspunkte sind in der Umklappung B^. C^, 
-Z>i und El- Ohne Umklappung kann man die Aufgabe auf folgende 
Weise lösen. Durch A ziehen wir eine schräge Linie a. Wenn wir nun 
annehmen, daß die gesuchte Tangente t nicht horizontal ist, be- 
stimmen a und t eine Ebene, deren horizontale Linien (Höhoilinirn) 
u und t schneiden, und indem wir nun t als eine Sekante aut- 
fassen, die k in zwei einander nahe benachbarten Punkten schneidet, 




Fig. 288. 



302 Dreizehntes Kapitel. Schraubenflächen u. topographische Flächen 

finden wir auch, in der Ebene ta zwei einander nahe benachbarte 
Höhenlinien, die die Kurve schneiden. Man kann nun alle die 
Höhenlinien 1 1, 2 2, 33, . . ., die li und a schneiden, konstruieren, 
und es handelt sich darum, zu erkennen, wo zwei aufeinander- 
folgende Linien nahezu parallel sind. Man erkennt aus der Figur, 
daß in der Nachbarschaft von 5 5 ein Übergang stattfindet zwischen 
Linien, die nach einer Seite, und solchen, die nach der anderen 
Seite konvergieren. Deshalb muß der gesuchte Punkt in der Nähe 
dieser Linie liegen. Weiter sieht man, daß 2 2 und 3 3 einander 
nahezu parallel sind, ebenso 6 B und 7 7, so findet man die anderen 
Lösungen. Diese Methode kann man ohne wirkliche Ausführung 
der angegebenen Hilfskonstmktion anwenden, indem a durch einen 
beweglichen Maßstab ersetzt werden kann, und mit Hilfe eines 
Lineals kann man leicht ermitteln, welche der Linien 11, 2 2, 
33 ... in Betracht kommen. 

327. Eine schiefe Ebene kann durch ihre Höhenlinien, die 
ja parallel sind und deren Projektionen also auch parallel werden, 
dargestellt werden. Zwei der Linien sind hinreichend zur Be- 
stimmung der Ebene. Es ist indessen einfacher, die Ebene dui'ch 
eine Fallinie darzustellen, also eine Linie, welche die Höhenlinien 
rechtwinklig schneidet. Der Gefällmaßstab der Fallinie heißt 
auch der Böscliungs- oder Gefälhnaßstah (oder Maßstab) der 
Ebene und bestimmt diese vollständig. Er wird zum Unterschied 
von der Darstellung der Geraden doppelt ausgezogen. Die Schnitt- 
linien zweier Ebenen bestimmt man durch horizontale Hilfslinien. 
Dies kann man indessen nicht tun, wenn die Höhenlinien der 
Ebene parallel sind, aber in diesem Falle ist die Schnittlinie der 
Ebene, wenn sie überhaupt existiert, wieder eine Höhenlinie. Die 
Maßstäbe der Ebenen sind dann parallele und ähnliche Punkt- 
reihen, bei denen entsprechende Punkte gleiche Koten haben. Die 
Projektion der gesuchten Schnittlinie geht durch das Perspek- 
tivitätszentrum dieser Punktreihen hindurch. 

Den Schnittpunkt einer geraden Linie mit einer Ebene findet 
man, indem man durch die Linie eine Hilfsebene legt. Sollen eine 
Linie und eine Ebene zueinander senkrecht sein, so müssen die 
Maßstäbe parallel sein und das Produkt der Maßzahlen der Inter- 
valle ^ 1. Die Winkel, welche die Linie und die Ebene mit der 
Vertikalen bilden, sind nämlich komplementär und das Produkt 
ihrer Tangens also = 1. 

328. Eine beliebige topographische Fläche wird durch eine 
Reihe Höhenkurven {Niveaukurven^ d. h. Kurven, die durch Schnitte 
mit horizontalen Ebenen entstehen) dargestellt. Man wählt sie 



Topographische Flächen 



303 



gewöhnlich so, daß zwei aufeinanderfolgende Kurven konstanten 
Höhenunterschied haben. In Fig. 289 ist die Fläche durch die 
Höhenkurven 2, 3, 4, . . . dargestellt; es finden sich drei Punkte 
mit horizontalen Tangentialebenen, nämlich die Punkte 9 und 10, 
in denen die Fläche konvex ist, und der Punkt P mit der Kote 4, 
in dem die Fläche unkonvex ist, weswegen sie die Tangentialebene 
an dieser Stelle in der Kurve 4 schneidet. Die Schnittkurve der 
Fläche mit einer schiefen Ebene bestimmt man dadurch, daß man 
die Schnittpunkte der Höhenkurven der Fläche mit den ent- 




sprechenden Höhenlinien der Ebene sucht. Die Tangentialebene 
in einem beliebigen Punkt kann man bestimmen durch die Tan- 
gente der durch den Punkt gehenden Höhenkurve imd die Tan- 
gente an einen beliebigen ebenen Schnitt durch den Punkt. 

Linien stärksten Falles oder kurz Fallinien heißen die Kurven 
der Fläche, welche die Höhenkurven rechtwinklig schneiden (ab- 
gesehen von Punkten mit horizontalen Tangentenebenen, wo ein 
besonderes Verhalten eintreten wird). Ihre Projektionen müssen 
auch die Projektionen der Höhenkurven rechtwinklig schneiden. 
Wasserscheide [Kanindinie) heißt die Grenze zwischen Teilen^ 
welche das Wasser nach benachbarten Vertiefungen senden. Rinn- 
linie (TaUinie^)) heißt die Linie, der sich das Wasser bei seinem 
Fall mehr und mehr nähert. 



1) F. v. Dalwigk, Vorlesungen über darstellende Geometrie I, 
Leipzig u. Berlin 1911, S. 357. 



304 Dreizehntes Kapitel. Schraubenflächen u. topographische Flächen 

Um zu ermitteln, welche Teile der Fläche man von einem 
gegebenen Punkt Ä übersehen kann, muß man der Fläche einen 
Kegel mit der Spitze A. umschreiben (Fig. 289), man legt dann 
einen vertikalen Schnitt b, dessen Ebene durch den Punkt A geht, 
durch die Fläche und zieht von Ä die Tangenten an &, wie wir 
es oben angegeben haben. So findet man jedesmal einen Punkt £ 
der gesuchten Berührungskurve. 

Soll man durch eine schräge Linie a eine Tangentialebene 
an die Fläche legen, so zieht man aus den Punkten 5, 6, 7, . . . 
der Linie Tangenten an die zugehörigen Höhenkurven 5, 6, 7, . . . 
und unter den so bestimmten Linien sucht man die auf, die mit 
ihren Nachbarlinien näherungsweise parallel sind. Jede der so 
bestimmten Linien liegt dann in der Nachbarschaft einer der ge- 
suchten Tangentialebenen. Findet man insbesondere unter den 
genannten Linien eine, welche den Übergang von Linien, die 
nach einer Seite konvergieren, zu Linien, die nach der entgegen- 
gesetzten Seite konvergieren, bildet, so muß diese Linie in der 
Nachbarschaft einer der gesuchten Tangentialebenen liegen. Soll 
man an die Fläche eine Tangentialebene durch eine gegebene 
horizontale Linie a legen, so zieht man parallel zu a die Tan- 
genten an die Höhenkurven, und an die von diesen Tangenten ge- 
bildete Zylinderfläche legt man die Tangentialebene durch a. Dies 
geschieht, indem man in einer vertikalen Hilfsebene die Tangenten 
durch die Spur von a an die Spur der Zylinderfläche zieht. 

Über kotierte Projektionen und deren Anwendungen vergleiche 
man ferner: 

G. A. V. Peßchka, Kotierte Ebenen und deren Ämcendimgen, 
Brunn 1877. (Zweite Ausgabe 1882). 

Chr. Wiener, Lehrbuch d. darst. Geom., Bd. I, Leipzig 1884. 
S. 25 (Historisches) u. S. 100—103, Bd. ü, Leipzig 1887, S. 388—402. 

J. de la Gournerie, Discours sur Vart du trait, Paris 1855; 
Geometrie descriptive, Seconde Edition, 1^'« partie, Paris 1873, Liv. III, 
36me partie, Paris 1864, Liv. X. 

M. d'Ocagne, Cours de Geometrie descriptive et de Geometrie in- 
finitesimale, Paris 1896, Chap. I. 

Fr. Schilling, über die Anwendungen der darstellenden Geo- 
metrie, Leipzig u. Berlin 1904, S. 58 — 64. 

Rohn-Papperitz, Lehrb. d. darst. Geom., 3. Aufl. Leipzig 1906, 
III, S. 289. 

R. Rot he, Darstellende Geometrie des Geländes (Math. Bibl., 
hrsg. V. Lietzmann u. Witting, XIV). Leipzig u. Berlin 1914. 



Vierzehntes Kapitel. 
Die Beleuchtung der Fläclien. 

Scliattenkonstruktionen. 

329. Um das Bild eines Gegenstandes anschaulich darzu- 
stellen, denkt man sich oft den Gegenstand beleuchtet (in der 
Regel durch parallele Lichtstrahlen) und stellt in der Zeichnung 
die Wirkungen dar, die diese Beleuchtung hervorbringt. Die erste 
und wichtigste dieser Wirkungen ist die, daß die Oberfläche des 
Gegenstandes in einen beleuchteten und einen unbeleuchteten Teil 
zerfällt. Die Grenze zwischen den beiden Teilen, die Eigenschatien- 
linie, ist bei konvexen Körpern die Berührungskurve eines um- 
schriebenen Kegels, dessen Spitze im Ausgangspunkt der Licht- 
strahlen liegt, oder eines umschriebenen Zylinders, wenn die Licht- 
strahlen parallel sind. 

Der Teil des Raumes, der von den Verlängerungen aller der 
Lichtstrahlen ausgefüllt wird, die von der Oberfläche des Körpers 
aufgefangen werden, l^estinimt den Schattenraum des Körpers, und 
wenn eine Ebene (oder eine andere Fläche) diesen Schatten durch- 
setzt, entsteht ein sogenannter ScMagschatlen des Körpers auf der 
Ebene (oder Fläche). Bei einem unkonvexen Körper können ein- 
zelne Teile von diesem ihren Schlagschatten auf andere Teile des 
Körpers werfen. Auch die Randkurve einer Fläche kann den 
Schatten auf die Fläche selbst werfen. 

330. Bei der Darstellung in Grund- und Aufriß benutzt 
man oft mit Vorteil eine Strahlenrichtung, deren Projektionen 
beide einen Winkel von 45" mit der trennenden Achse bilden, das 
Licht denkt man sich von vorne oben links kommend. Die Licht- 
strahlen fallen dann in die Richtung der einen Diagonale eines 
Würfels, dessen Seitenflächen den Projektionsebenen parallel sind, und 
auch die Seitenrißprojektion bildet einen Winkel von 45° mit der 
trennenden Achse. Die Lichtstrahlen sind parallel zu der Hal- 
bierungsebene I des von den positiven Teilen der Grund- und Auf- 
rißebene gebildeten Winkels. Die Lichtstrahlenebene für eine Linie a, 

Ti !ri erdin g, Handbuch II 20 



306 



Vierzehntes Kapitel. Die Beleuchtung der Flächen 



die parallel zu I ist, wird ebenfalls parallel zu 7, und der Schatten 
von a auf irgendeiner Fläche hat Projektionen, die zu der Sym- 
metrieachse der Projektionen a und a" symmetrisch sind (43). 
Sucht man z. B. den Schatten einer Linie a, die zur 
trennenden Achse parallel ist, auf einer vertikalen Zylinder- 
fläche mit der Grundrißspur Ti 
(Fig. 290), so konsti-uiert man die 
Aufrißprojektion a^' des Schattens 
symmetrisch zu h bezüglich der 
Linie s, die in der Mitte zwischen a 
und a' verläuft. Die Schatten Oj 
und Cj, von zwei Linien h und c, 
von denen die erste senkrecht zur 
Aufrißebene, die zweite senkrecht zur 
Grundrißebene ist, werden im Auf- 
riß durch die zwei geraden Linien 
h-y" und c" dargestellt. 

Den Schatten einer beliebigen 
Kurve, die in der Frontebene durch 
a liegt, kann man dadurch finden, 
daß man von a^" aus die senkrechten 
Abstände der Kurvenpunkte von a 
in der wahren Größe abträgt. Den 
Schatten einer Kurve, der in einer 
beliebigen vertikalen Ebene liegt, kann man auf ähnliche Weise 
finden, indem man zuerst den Schatten einer Linie der Ebene, die 
parallel zu I ist, bestimmt. 

331. Wenn eine Fläche von einer Eandkurve r begrenzt ist, 
die einen Schatten s auf die Fläche wirft, so ist es von besonderer 
Bedeutung, die Punkte von ;; zu finden, die auf r fallen, und dar- 
auf die Tangenten des Schattens in diesen Punkten zu bestimmen. 
Die Punkte selbst findet man daraus, daß ihre Tangentialebenen 
durch den leuchtenden Punkt gehen müssen, sie gehören also mit zu 
der Eigenscbattenlinie der Fläche. Ist die Fläche eine Kegelschnitt- 
fläche und die Kurve r eben, so kann man die gesuchten Punkte 
finden als die Schnittpunkte von r und der Polarebene des leuch- 
tenden Punktes, oder: Durch die Spitze des längs r umschriebenen 
Kegels legt man einen Lichtstrahl, und aus dessen Spur in der 
Ebene von r zieht man die Tangenten an r, die Berührungspunkte 
sind dann die gesuchten Punkte. 

Um die Tangente des Schlagschattens in einem der gefundenen 
Punkte zu bestimmen, benutzt man folgenden Satz: Die Tangen- 




Schatteukonstruktionen 



307 



ten der Bandktirve und ihres Schlagschattens sind mit dem Licht- 
strahl und der in dem betreffenden Punkte an die Eigenschatten- 
linie gezogenen Tangente harmonisch verbunden. Wir wollen den 
Beweis dieses Satzes nur unter der Voraussetzung führen, daß 
die Fläche eine Kegelschnittfiäche ist. In diesem Falle entsprechen 
r und s einander in einer involutorischen Perspektiven Kollineation, 
deren Zentrum der leuchtende Punkt und deren Kollineationsebene 
die Polarebene dieses Punktes bezüglich der Fläche ist. Der Satz 
folgt dann daraus, daß die Tangenten von r, s in dem betrachteten 
Punkt einander entsprechen, und die Tangente der Eigenschatten- 
linie in der Kollineationsebene liegt. 

In Fig. 291 ist eine Paraboloidkalotte dargestellt, deren 
Achse OÄ senkrecht auf der Aufrißebene steht und deren hori- 
zontale Meridiankvirve m ist. Die 
Kalotte wird von dem Parallel- l 
kreis r begrenzt. Wir beleuch- 
ten sie durch Strahlen, deren 
Projektionen einen Winkel von 
45^ mit der trennenden Achse 
bilden, und suchen den Schlag- 
schatten s' der Randkurve. Der 
Kegel, der das Paraboloid längs r 
berührt, hat die Spitze T(AT = 
(JA). Der Lichtstrahl durch T 
schneide die Ebene der Randkurve 
in S, Die Polare von S bezüg- 
lieh r geht durch die beiden Punkte P und Q, 
in denen der Schatten beginnt. Da die Polar- 
ebene des leuchtenden unendlich fernen Punktes 
senkrecht zur Aufrißebene ist und die Linie PQ 
enthält, ist P"Q" die Aufrißprojektion der Tan- 
genten der Eigenschattengrenze in P und Q. Aus 
dem Satz über die Tangente des Schlagschat- 
tens folgt dann, daß die Tangenten von s" in 
P" und Q" bezüglich der Achse P" Q" symme- 
trisch zu den Tangenten von r" in denselben 
Punkten sind. Da nun gleichzeitig 5 ein Kegel- 
schnitt ist und seine Aufrißprojektion ein Kreis 
wird, ist s" ein Kreis, der zu r" bezüglich P" Q" symmetrisch ist. 

Ist Oj das Zentrum von s", so hat man: 

s o T'y2 

20* 





0"0i = 2 ■ 0"M 



308 Yierzehntes Kapitel. Die Beleuchtung der Fläeheu 

indem B' R die Normale von m in B' bezeichnet. Hierdurch kann 
man 0^ leicht bestimmen und s" sofort zeichneu. 

332. Zur Konstruktion des Schlagschattens einer Kugel auf 
eine Ebene kann man benutzen, daß die Brennpunkte der Schlag- 
schattengrenze, die natürlich ein Kegelschnitt wird, die Schlag- 
schatten der Endpunkte des auf der Ebene senkrechten Kugei- 
durchmessers werden. Man sieht nämlich sofort, daß von dem 
Schlagschatten der Kugel auf eine Tangentialebene der eine Brenn- 
punkt in dem Berührungspunkt der Tangentialebene liegt, und 
wenn die Ebene parallel verschoben wird, wird der Schlagschatten 
ähnlich und ähnlich liegend zu dem ursprünglichen. 

Eine ausführliche Behandlung der Schattenkonstruktioneu mit 
vielen praktischen Anwendungen findet man in dem Werke: 

J.-J. Pillet, Traite de perspective lineaire. Paris 1901, lerepartie. 

Man vergleiche ferner, außer den früher zitierten Lehrbüchern: 

Emil Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie I. Leip- 
zig 1908. 

J. Hempel, Schattenkonstruktionen. Leipzig 1906. 

K. Volland, Technische Schattenl-onstridtione>i. Leipzig 1909. 

BeleucMungslmien. 

333. Wir denken uns den Raum durch parallele Lichtstrahlen 
so beleuchtet, daß eine Ebene senkrecht zur Strahlenriehtung eine 
gleichmäßige Beleuchtung erhält. Die Beleuchtung, die man in 
einem beleuchteten Punkte der Fläche findet, ist dann proportional 
dem Kosinus des spitzen Winkels a zwischen dem Lichtstrahl und 
der Normalen der Fläche in dem Punkte. Die Zahl i = 100 • cos a 
heißt die Beleuchtungszahl in dem betrachteten Punkt. Der 
Teil der Fläche, der unbeleuchtet bleibt, wenn jede andere Be- 
leuchtung als die gegebene ausgeschlossen ist, wird in Wirklich- 
keit von den zurückgeworfenen Lichtstrahlen bestrahlt, und man 
pflegt deswegen diesem Teil der Fläche eine Beleuchtungszahl zu- 
zuschreiben, die einer Strahlenrichtung entgegengesetzt der ge- 
gebenen und einer halb so großen Lichtstärke wie die gegebene 
entspricht. In dem Punkte, wo der Winkel der Normalen mit der 
dem Lichtstrahl entgegengesetzten Richtung der spitze Winkel a 
ist, setzt man also die Beleuchtungszahl = 50 • cos a. 

Eine Kurve, die alle Punkte der Fläche mitgleicherBeleuchtung 
enthält, heißt eine BelenchtiingsJime oder IsojjJiofe. Die Beleuchtungs- 
linie ist also der geometrische Ort für die Punkte der Fläche, deren 
Normale einen gegebenen Winkel mit der Lichtrichtung bildet? 



Beleuchtungslinien 309 

Ist die Fläche eine Kugel, so erfüllen die Normalen, die einen 
gegebenen Winkel f.: mit der Lichtrichtung bilden, einen Rotations- 
kegel, dessen Achse der durch den Mittelpunkt gehende Licht- 
strahl ist, und dieser Kegel schneidet den beleuchteten Teil der 
Kugel in einem kleinen Kreis, der sonach die der Beleuchtungs- 
zahl 100 • cos cc entsprechende Linie wird. Die Beleuchtungszahl 
100 findet man nur in einem Punkte, nämlich da, wo der Licht- 
strahl durch den Mittelpunkt den beleuchteten Teil der Kugel 
schneidet. Teilt man den nach diesem Punkt hingehenden Radius 
in zehn gleich große Teile, dann schneiden die durch die Teil- 
punkte senkrecht zu dem Radius gelegten Ebenen die Kugel in 
den Beleuchtungslinien 10, 20, . . . 90. Die Beleuchtungslinie 
ist die Eigenschattengrenze. 

Die Beleuchtungslinien auf den abwickelbaren Flächen sind 
Gerade. 

334. Auf dem veriilaU'u Eotationszylmder, dessen Grundriß- 
spur k ist (Fig. 292), kann man die Beleuchtungslinien dadurch 
finden, daß die Punkte von k dieselbe Beleuchtung auf dem Zylin- 
der haben müssen wie auf der Kugel, 
von welcher 7^ ein größter Kreis ist. Man 
kann die Konstruktion deshalb folgender- 
maßen ausführen: Durch den Mittelpunkt 
von k zieht man den Lichtstrahl s mit 
der Grundrißprojektion s'. Den Licht- 
strahl legt man um s' in die Grundriß- 
ebene um als s„ und den Radius OS von 
k, der auf s„ fällt, teilt man in zehn 
gleich große Teile. In jedem der Teil- 
punkte, z. B. in Ä^^^ errichtet man ein 
Lot auf s und in dessen Schnittpunkt ^1^ mit s' wieder ein Lot 
auf s' bis zum Schnitt mit k. Von diesen Punkten ist dann die 
Beleuchtung bekannt. So haben in Fig. 292 die Punkte Ii,f! die 
Beleuchtung 30. 

Die Beleuchtungslinien auf einem beliebigen vertikalen Zylinder 
bestimmt man, indem man zuerst die Beleuchtungslinie auf dem 
vertikalen Rotationszylinder sucht, dessen Grundkreis k den Radius 
(jS = 100 mm • cos {s s') hat, wodurch man erreicht, daß der Ab- 
stand 0^4^ in Millimetern gemessen sofort die Beleuchtungszahl 
für B und C angibt. Darauf benutzt man, daß die Berührungs- 
linien für parallele Tangentialebenen der beiden Zylinder dieselbe 
Beleuchtung haben. 

335. Die' Beleuchümgslimen eines Rotationskegeh (Fig. 293) 




310 Vierzehntes Kapitel. Die Beleuchtung der Flächen 



kann man mit Hilfe einer Kugel 
finden, welche den Kegel längs 
des Giamdkreises /■■ berührt. In 
den Punkten, die auf k liegen, 
haben nämlich Kugel und Kegel 
dieselbe Beleuchtung. Klappt man 
den durch den Kugelmittelpunkt 
gehenden Strahl s in die Grund- 
rißebene um, so falle er nach 5„. 
Auf s^ trage man O^^A^ gleich dem 
Kugelradius ab. Die Senkrechten 
auf O^A^ mögen / in S und A^ 
schneiden, dann teile man SA-^ in 
zehn gleiche Teile, in jedem Teil- 
punkt, z.B. in Jf, emchte man ein 
Lot aufs' bis zum Schnitt mit h (in 
M^ und J/g)- I^ diesen Punkten 
ist dann die Beleuchtung bekannt 
und die Seitenlinien des Kegels 
durch Jfj, und M^ sind die zu 
dieser Beleuchtungszahl gehören- 
den Beleuchtungslinien. iSj und 
-S'o haben die Beleuchtung 0, 05\ 
und OS^ bilden also die Eigenschattengrenze. Diese Punkte kann 
man auch direkt bestimmen, indem man durch die Spitze des 
Kegels einen Lichtstrahl zieht und durch dessen Grundrißspur die 
Tangenten an h legt, die Berührungspunkte dieser Tangenten sind 
dann S^ und S^- 

336. Auf einer Umdrelmngsflüche mit vertikaler Achse 
(Fig. 294) kann man die Beleuchtungslinien finden, indem man eine 
Hilfskugel mit dem Mittelpunkt in der Aufrißebene und mit dem 
Radius = 100 mm- cos {s" s) einführt, wobei s den Lichtstrahl durch 
bedeutet, s klappt man um s" in die Aufrißebene um als s und. 
trägt aufs" 100 mm ab. Die Projektion dieser Strecke auf s^ be- 
stimmt den Radius der Kugel. Auf der Umdrehungsfläche wählen 
wir einen Parallelkreis k aus und suchen z. B. die Punkte auf /.•, 
die die Beleuchtungszahl x haben, k gehe durch den Punkt M 
des Hauptmeridians, und dessen Tangente in M sei JiT, die Nor- 
male MN. Auf der Hilfskugel suchen wir einen entsprechenden 
Kreis \^ indem wir den Radius OM-^ parallel zu MN zeichnen. 
Die Tangentialebenen der Kugel längs k^ sind dann parallel zu 
den Tangentialebenen der ümdrehungsfläche längs k. Trägt man 




Fig. 293. 



Beleuchtungsliaien 



311 




B/-. 



Ä 



A' 



Fig 294. 



nun auf s" die Strecke OS = x mm ab, so schneidet eine Ebene 
durch S senkrecht zu s den Kreis Ic^ in zwei Punkten A^ und B^ 
mit der Beleuchtungszahl x, und zieht man NA und iVi? parallel 
zu OA^ und OJ?j, so gelangt man zu den gesuchten Punkten A 
und B auf ä;. 



Näheres über die Theorie und zeichnerische Anwendungen der 
Beleuchtungslinien findet man in folgenden Arbeiten: 

L. Burmester, Theorie und Darstellung der Beleuchtung ge- 
setzmäßig gestalteter Flächen, Leipzig 1871. Zweite Ausgabe 1875. 

Fr. Tilser, Die Lehre der geometrischen Beleuchtungslonstruk- 
tionen, Wien 1862. 

E. Koutny, Theorie der ßelewhtung krummer Flächen vom 
2. Grade hei parallelen Lichtstrahlen, Brunn 1867. 

R. Niemtschik, Direkte Beleuchtungskonstruktionen usw. (Sit- 
zungsberichte der Wiener Akad., Math.-phys. Kl. Bd. 57. S. 678). 1868. 

D. Tessari, La teoria delle ombre e del chiaroscuro , Turin 
1878—80. 

J.-J. Pill et, Tratte de perspective lineaire, Paris 1901, 2 ^me 
partie. 

Chr. Wiener, Lehrh. d. darst. Geom. I, Leipzig 1884, S. 390 ff 



Literaturverzeiclmis. 

Neuere Werke in deutscher Sprache über darstellende Geometrie, 

K. Rohn und E. Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geo- 
metrie. Leipzig, Veit. I.Band, 4. Aufl., 1912. II. u.III. Band, 3. Aufl., 1906. 

Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 2 Bände. 
Leipzig, Teubner 1884. 

W. Fiedler, Die darstellende Geometrie in organischer Verbin- 
dung mit der Geometrie der Lage. Leipzig, Teubner. 3. Aufl. 1883—88. 
I. Teil, 4. Aufl. 1904. 

G. A. V. Pescbka, Darstellende und projektive Geometrie. Wien, 
Gerold 1882—1885. Neue Aufl., I. Bd. Leipzig u. Wien 1899. 

E.Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. I.Band. Leipzig, 
Teubner 1908. Technische Übungsaufgaben fiir darstellende Geometrie 
(Bautechnische Beispiele). 4 Hefte. Leipzigu. Wien, Deuticke 1910 — 11. 

G. Loria, Vorlesungen über darstellende Geometrie, deutsch von 
F. Schütte. Leipzig, Teubner. I. Band 1907. II. Band 1912. 

F. V. Dalwigk, Vorlesungen über darstelhnde Geometrie. I.Band. 
Leipzig, Teubner 1911. 

G. Hauck, Vorlesungen über darstellende Geometrie. I. Band. 
Leipzig, Teubner 1912. 

T h. S c h m i d , Darstellende Geometrie. I.Band (Sammlung Schubert 
LXY). Leipzig, Göschen 1912. Maschinenbauliche Beispiele für Kon- 
struktiousübungen zur darstellenden Geometrie. Leipzig, Göschen 1911. 

J. Schröder, Darstellende Geometrie. I. Teil: Elemente (Samm- 
lung Schubert XII). Leipzig, Göschen 19U1. 

KürzereDar Stellungen: 

Chr. Beyel, Darstellende Geometrie. Mit 1800 Dispositionen zu 
Aufgaben. Leipzig, Teubner 1901. 

A. Schoenflies, Einführung in die Hauptgesetze der zeichne- 
rischen Darstellungsmethoden. Leipzig, Teubner 1908. 

M. Großmann, Einführung in die darstellende Geometrie. 2. Aufl. 
Basel 1912. 

F. Schilling, über die Anicendungen der darstellenden Geo- 
metrie. Leipzig, Teubner 1904. 

R. Haußner, Darstellende Geometrie (Sammlung Göschen). Leipzig, 
Göschen. I. Teil 1902, IL Teil 1908. 



Literaturverzeichnis 313 

Den Bedürfnis^en der mittleren Fachschulen entsprechen: 

J. Schlottke, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3. Aufl. 
Leipzig, Degener, o. J. L Spezielle darst. Geom. II. Schatten- und 
Beleuchtungslehre. III. Perspektive. IV. Projektive Geometrie. 

E. Gejger, Lehrbuch der darstdlenden Geometrie. Leipzig, 
Göschen 1906. 

W. Eggers, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Leipzig, See- 
mann & Co. I. Teil, 3. Aufl. 1906, U. Teil, 2. Aufl. litlO. Sehr viele 
Aufgabenbeispiele.) 

il. Bernhard, Darstellende Geometrie. Stuttgart, Enderlen. 
3. Aufl. 1'j09. 

J. Vonderliuii, Darstellende Geometrie für Bauhandiverker. 
2 Teile. Stuttgart, J. Maier 1«94. 

A. Kirschke, Die darstellende Geometrie des Maschitientechnikers. 
Leipzig, Seemann k Co. Iiil2. 

G üb atz, Lüdeke und W ei gel, 301 Aufgaben ans der dar- 
stellenden Geometrie für Maschinenbauer. Leipzig, Seemann k Co. 1900. 



Zusätze. 

Zu 161. Die zu dem Umlauf AB in Fig. 152 gehörende Halb- 
tangente in P muß mit dem Halbstrahl AB gleichgerichtet sein; es 
müßten sonst die Bögen PA und PB außer P noch einen Punkt ge- 
mein haben. 

Zu 171, 172. Daß die Parallelkurve keinen Doppelpunkt be- 
sitzt, d. h. daß P nicht dieselbe Lage Q zweimal passieren kann, er- 
gibt sich daraus, daß die Parallelkurve nicht zwei verschiedene Bögen 
mit denselben Endpunkten Q,R enthalten kann; es müßten sonst diese 
Bögen je eine zu Q E parallele Tangente haben, und das ist un- 
möglich, weil der Normbogen keine zwei parallelen Tangenten hat. 

Zu 172. Man könnte hier den folgenden allgemeineren Satz 
aufstellen : Wenn für jeden von A verschiedenen Punkt M eines Bo- 
gens AB der entsprechende Bogen MB ein einfacher Bogen ist, dessen 
Totalkrümmung •< «^ <C ISO", so ist der ganze Bögest AB ein ein- 
facher Bogen. Daß A kein Doppelpunkt ist, geht aus dem vorigen 
Zusatz hervor. Da ferner zwischen A und 31 auf dem Bogen AM 
ein Punkt N existiert, dessen Tangente der Linie AM parallel ist, 
und da die Richtung dieser Tangente, wenn M nach A konvergiert, 
monoton variiert und ihr Drehungswinkel immer <C a <^ 180** ist, 
so wird sie einer bestimmten Grenzrichtung zustreben. Da aber die 
Linie A3I sich derselben Richtung nähern muß, folgt hieraus, daß 
unser Bogen in A eine bestimmte Tangente hat, und gleichzeitig, daß 
die Tangente längs des ganzen Bogens AB monoton variiert. 

Zu 163, 259, 263, 264. Wenn ein Bogen AB so beschaffen 
ist, daß 1. von jedem seiner Endpunkte A, B ein einfacher Bogen aus- 
geht, welcher dem gegebenen Bogen angehört, und 2. von jedem andern 
Punkte M des Bogens sirei einfache Bögen ausgehen, loelche dem ge- 
gebenen Bogen angehören und auf verschiedenen Seiten von M liegen, 
so läßt sich der Bogen AB in eine endliche Anzahl von einfachen 
Bögen zerlegen. In der Tat denken wir uns von A ausgehend der 
Reihe nach die möglichst großen einfachen Bögen A3I^, M^ il/,, . . . 
auf dem Bogen AB abgetragen, so würde die Annahme einer un- 
endlichen Anzahl solcher Bögen die Existenz eines Grenzpunktes P 
der Reihe M^.M^, . . . nach sich ziehen, und es wäre dann unmög- 
lich, von P aus auf dem Bogen PA. einen einfachen Bogen abzu- 
tragen, was unseren Voraussetzungen widerspricht. 



i 



Sachregister. 

(Die Zahlen bedeuten die Seiten.) 



A. 

Abstand eines Punktes von einer 
Ebene 11, eines Punktes von 
einer Geraden 33, zweier Ge- 
raden 4, 35, zweier Punkte 2, 
48, 52, 60 

Abwickelbare Häehe 234, mit zwei 
Parabeln als Leitkurven 261 

Abicickelung einer Pyramide 23, 
24, eines Kegels 24, 240, eines 
Prismas 25, eines Zylinders 26, 
einer Schraubenfläche 257 

Achsen einer Kegelschnittfläcbe 
2<i2, 205 

Acltsenkonstruktion bei der Ellipse 
114, 128, bei der Hyperbel 122, 
128, bei der Parabel 117, 128 

Ähnliche und ähnlich liegende 
Ellipsen 117, Punktreihen 80 

Affinität in der Ebene 37, im 
Räume 78 

Algebraische Kurve 156 

Analytische reguläre Kurve 156 

Astroide 173 

Asymptote, (Allgemeines) 141, 176, 
einer Hyperbel 105, 107, einer 
Konchoide 143, einer Strophoide 
300, eines ebenen Schnitts einer 
Umdrehungsfläche 183, 189, der 
Abwickelung einer ebenen 
Schnittkurve eines Kegels 241, 
der Durchdringungskurve zweier 
Kegel 249, der Meridiankurve 
einer abwickelbaren Schrauben- 
fläche 256, des Umrisses einer 
windschiefen Fläche 275, 276, 
des Umrisses eines Zylindro- 
ids 283, des Umrisses eines 
schiefen Durchgangs 285 



Asymptotenkegel einer Umdre- 
hungsfläche 180, eines Hyper- 
boloids 186, 203, 204, 208," 218, 
einer windschiefen Fläche 276 

Asymptoteyifläche einer wind- 
schiefen Fläche 276, einer 
schiefen Schraubenfläche 298 

Axonometrie, allgemeine 42, ortho- 
gonale 50 

Axonometrische Methode und ihre 
Bedeutung 47. 

B. 

Beleuchtungslinien einer Kugel 
308, eines Rotationskegels ."09, 
eines Zylinders 309, einer Ura- 
drehungsfläche 310 

Biais passe (Schiefer Durchgang) 
283. 

Brennkurve 174 

Brennpunkt einer Ellipse 17, 102, 
einer Hyperbel 104, einer Pa- 
rabel 105 

Brennstrahlen 17, 105, 107 

Brianchon^chev Satz bei dem 
Kreis 98, bei Kegelschnitten 110. 

c. 

Charakteristiklinie bei allgemeinen 
Hüllflächen 263, beiKanalflächen 
264. 

D. 

Desargues^chei Satz 71 

Doppelpunkte einer Involution 91, 
93, zweier projektiven Punkt- 
reihen 88, 89, einer ebenen 



316 



Sachregister 



Schnittkurve eines Krei&rings 
192, der Durchdringungskurve 
zweier Kegel 244, 245, der Pro- 
jektion eines einfachen Bogens 
222, der Projektion der Schnitt- 
kurve zweier Kegelflächen 247, 
der Projektion der Schnittkurve 
einer Kegelfiäche und einer 
Kugel 251 

Doppelstrahlen zweier Strahlen- 
büschel 89, einer Strahleninvo- 
lution 93 

Doppelte Erzeugende eines Kono- 
ids 280, Erzeugung zyklischer 
Kurven 170, Projektion 18 

Doppelvcrliältnü 64 

Drehung um eine Achse 2, 20, 36 

Dreikantskonstruktionen 1 2 

Dualitätsprinzip 98, 201 

Durchdringung von Polyedern 27, 
von Kegelflächen 241— 249, einer 
Kegelfläche mit einer anderen 
Fläche, insbesondere einer Ku- 
gel, 249 — 252, zweier Kegel mit 
gemeinsamer S^our 240, zweier 
Umdrehungsflächen 232 

E. 

Ebener Schnitt eines Polyeders 23, 
einer Pyramide 23, eines Kegels 
24, 101, 240, einer Kugel 26, 
der Tangentenfläche einerRaum- 
kurve 225 flf., einer Umdrehung s- 
fläche 182, einer abwickelbaren 
Fläche 235, einer Schrauben- 
fläche 293 

Eigenschattenlinie {-grenze) 305, 
307, 309 

Einfacher Bogen in der Ebene 
137, im Raum 219 

Einfache Kurve in der Ebene 138, 
314, Kurve im Räume 227, 314, 
Projektion 1 

Elementares Flächenstück 176 

Ellipse als Kreisprojektion 15, als 
ebener Schnitt eines Rotations- 
kegels 101, als Perspektive Fi- 
gur eines Kreises 115, 116, 128 

ElUpsenkonstrnktionen 113 — 116 

Ellipsenquadrant als Normbogen 
155 

Ellipsoid 202, 209—211, 217 



Epi- und Hypozykloide 168 — 171 
Euler- SavaryscheKo-ü&ixvLktioal&b 
Evolute eines Normbogens 145, 148, 
149, einer Normkurve 154, einer 
zyklischen Kurve 171, einer El- 
lipse 156, 291 
Evolrentc 157, 158 



Fallinien einer Ebene 5, 302, 

einer Fläche 303 
Flachgängige Schrauben 296 
Fluchtebene 76 
Fluchtlinie einer Ebene 58 
Fluchtlinien einer KoUineation 

71. 72 
Fluchtpunkt 58 
Frontlinie u. -ebene 2, 20, 21 
Fußpunktkurven 174 

ii. 

Ganghöhe einer Schraubenlinie o. 
Schraubenbewegung 253 

Gefällmaßstab 301, 302 

Gegenpunktkurve 1 74 

Gemeinsame Tangenten einer Hy- 
perbel und eines konzentrischen 
Kreises 191 

Geodätische Kurve einer abwickel- 
baren Fläche 239 

GeradlinigeKegelschnittjlüchenldl, 
207 

Gesimsfläche 287 

Gewundene Säule 293 

Grundachse 19 

Grundkurve einer Schraubenfläche 
293 

H. 

Halbtangente 135, 141, 175 

Harmonische Punkte und Strah- 
lenpaare 66, 67, KoUineation 
(Perspektive) 72, 77 

Hauptlinien in dem Bilde einer 
Fläche 178 

Hauptnormale einer Raumkurve 
230, einer Schraubenlinie 254 

Haupttangerttialeben'' 274 

Hauptumklappung 2 

Hüllflächen 262 

Hüllkur reu 172 



Sachregister 



317 



Hyperbel als Schnitt eines Ro- 
tationskegels 103, als Perspek- 
tive Figur eines Kreises 128 

HyperbelkoHütruktionen 106, 107, 
120—123, 128 

Hyperboloid 203, 207, 208, 211, 
212, 218. 268, 277, 278 

Hyperboloid Verzahnung 189 



Involutionen 89, auf dem Kreis 

92, 93 
Involutorische Perspektive (Kolli- 

neation) 72, 77, Reihe 90 
Involntorischer Büschel 92, 93 



K. 

Kanalßächen 264 

Kavalier perspeldice 4 8 

Kegelfläche 6—8, einer anderen 
Fläche umschrieben 178, 261, 
263, einer Umdrehungfläche um- 
schrieben 264 

Kegelschnitt 101—108, als Zen- 
tralprojektion eines Kreises 108 
— 113, 123 

Kef/ehchnittfläclien (Allgemeines) 
196 

KoUineation 70, 75 

Konchoide 143 

Konforme Abbildung 214 

Konjugierte Punkte 96, 97, 111, 
112, 200, Strahlenpaave 97, 113, 
Durchmesser 97, 113 

Konoide 279 

Konturbestimtming bei der Kugel 
3, dem Kegel 6, Polyedern 22, 
23, Umdrehungsflächen 182, 
EUipsoid 209, Paraboloid 212, 
abwickelbaren Flächen 236, Ka- 
nalflächen -264, 205, Schrauben- 
flächen 295, 29Ü, 299, wind- 
schiefen Flächen 272 

Koordinatensjatem 42, -abtragung 
46, 51 

Kotiert!' Projektion 300 
Kreisin-ojektion 15, 123 
Kreisring 192, 264 
Kreisschnitte einer Kegelfläche 216, 
eines Paraboloids 214, 215, der 



übrigen Kegelschnittflächen 2 1 7, 
218, der geraden Normal- 
fläche 290, 291 

Kreuzlinienxatz 84, 87 

Krimmungskreis (oder Schmie- 
gungskreis) eines Normbogens 
145, 150, 151, eines Kegel- 
schnitts 129, 130, 132, 133, 134, 
einer Rollkurve 161, einer Raum- 
kurve und ihrer Projektion 231, 
einer Schraubenlinie 255, der 
Durchdringungskurve zweier 
Umdrehungdflächen in beson- 
deren Punkten 232, der Ab- 
wickelung einer Kurve auf einer 
abwickelbaren Fläche 239, 241, 
einer praktischen Kurve 141 

KufielB, 11, 26, 211, 249, 308, 309 

Kugelpunkte 218 

L. 

Länge der Evolute 154 

Lagenbeziehung der Schmiegungs- 
ebene zum Kurvenbogen 223, 
228, des Krümmungskreises zum 
Kurvenbogen 151 

Leitkreis eines Kegelschnittes 106 

Leitkurven u. I^eittlächen bei ab- 
wickelbaren Flächen 260, bei 
windschiefen Flächen 268, 276 

Leitlinie eines Kegelschnitts 102, 
104, 105 

M. 

Meridianebenen\i. Meridiankurren 
bei Umdrehungs- und Schrau- 
benflächen 179, 293 

Meridiankurve einer abwickel- 
baren Schi-aubenfläche 256 

ilfj<<e/ebene 36, -spur 37 

Mittlere Krümmung 144 

Momentanbeu-egung einer ebenen 
Figur, Momentanpol 142, 143 

Momentanpol einer Rollbewegung 
156—160 

N. 

Nabelpunkt 218 

Nebenachse einer Hyperbel 104 

Nireaiikurven 302 



318 



Sachregister 



Normale einer Fläche 177, einer 
windschiefen Fläche 271, 273 

Normalen einer Schraubenlinie, 
die zu einer festen Linie senk- 
recht sind 259 

Normalflächen 286 

Normbogen 144 

Normkurve 154 



0. 

Orientierung b. doppelter Pro- 
jektion 19 

Orthogonale AxoBometiie 50, Strah- 
leninvolution 93 

Oval werk 114 



P. 

Parabel als Schnitt eines Rota- 
tionskegels 104, 107, als Per- 
spektive Figur eines Kreises 128 
Parabelkonstruktionen 107 — 108, 

117—120 
Paraboloid, elliptisches 205, 215 
hyperbolisches 206, 207, 208, 
212, 218, 271, 272, 277 

Parallele Durchmesserebenen eines 
Paraboloids 205, Schnitte einer 
Kegelschnittfläche 201 

Pa/-«/?eZkreise 179, -kurven einer 
Ellipse 156, -kurven eines Norm- 
bogens 145, -perspektive Figuren 
37, -Projektion 40, -projektion 
einer Ellipse 115, 116, einer 
Parabel 119, einer Hyperbel 121, 
einer Schraubenlinie 257 

Parameter einer Parabel 108, einer 
Erzeugenden einer windschiefen 
Fläche 188, 273 

Pascalscher Satz für den Kreis 86, 
f. allgemeine Kegelschnitte 108, 
109, 119, 121 

Perspektive Figuren (Perspektivi- 
tät. Perspektivische KoUine- 
ation) 69, 70, 75 

Perspektivische Affinität 37, 38, 
71, 78, Transformation einer 
einfachen Kurve 228 

Plückersches Konoid 281 

Pohlkes Satz 210 

Pol u. Polare 94, 111 



Pol und Polar ebetu 198 

Polarfläche einer Raumkurve 264 

Polkurven einer Bewegung 167 

Potenz einer Involution 91 

Praktische Konstruktion perspek- 
tivischer Bilder 62, Kurven, 
Raumkurven u. Flächen 141, 
178, 179, Zeichnung von Norm- 
bögen 153 

Prisma 25 

Profil einer Ebene 5 

Projektion einer Raumkui-ve 221, 
227, 229, 231 

Projektionsverhä Unis 4 1 

Projektive (o. Perspektive) gerad- 
linige Punktreihen in der Ebene 
80, 83, 88, im Räume 207, Punkt- 
reihen auf dem Kreis 86, 87, 88, 
Strahlenbüschel 81, 85, 89, 
Ebenenbüschel 82, 83, 207 



Querlinien 5 



Q. 



E. 



Baumkurven 175, 219 

Raumperspektive 76 

Bechtserzeugende und Linkserzeu- 
gende eines Hyperboloids 185 

Bechtsgängige und linksgängige 
Schraubenlinien 253 

Beduzierte Ganghöhe 253 

Bektifikation eines Kreises 139 

Beliefperspektive 78 

Bichtungsebene 207, 271 

Bichtiingskegel einer Raumkarve 
219, einer abwickelbaren Fläche 
236, einer windschiefen Fläche 
271 

Binnlinie 303 

Bollkurven 156 



S. 

Satz V. umschriebenen Viereck 

111, 115, 118 
Scharfgängige Schrauben 299 
Schattenkonstruktionen 305 
Scheitel eines Kegelschnitts 16, 

104, 105, 122, 130, 134, eines 



Sachresrister 



319 



ebenen Schnitts einer Ümdre- 
hungsfläche 183, 184 

Schiefer Durchgang 283, als Ort 
für die Projektionen einer festen 
Linie auf die Tangentialebenen 
eines Zylinders 286 

Schlangenfläche 265 

Schmiegiingsebene eines einfachen 
Bogens 220, 223, 224, der 
Schraubenlinie 253, in beson- 
deren Punkten der Schnittkurve 
zvi-eier Kegel 242, 246, der 
Schnittkurve zweier ümdre- 
hungsflächen232,einer einfachen 
Kurve 228 

Schmiegungshalbebene 224 

Schmiegungskreis 140 (s. Krüm- 
mungskreis) 

Schmiegungshyperholoid eines 

Kreisringes 193 

Schnittlinie zweier Ebenen it, 21, 
32, 33, 43, 59, 302 

Schnittkurve (s. Durchdringung) 

Schnittpunkt einer Geraden mit 
einer Ebene 10, 22, 44, 60, 302, 
Kegel oder Zylinder 8, Drei- 
ecksfläche 27, Kugel 4, Poly- 
eder 28, Umdrehungsfläche 190, 
Umdrehungsellipsoid 195, El- 
lipsoid 211, Konoid 280, Ellipse 
116, Parabel 119, 120, Hyperbel 
121, 122,189, beliebigem Kegel- 
schnitt 106, 109, 112, 127 

Schnittpunkte eines Kegelschnitts 
mit einer beliebigen Kurve 106 

Schräge Brücke 297 

Schraubenlinie u. -bewegung 253 

Schraubenflächen 293 

Singulare Erzeugende einer wind- 
schiefen Fläche 274 

Siinuslinie 255 

Speer punkt 274 

Spitzkante (Definition) 178, einer 
abwickelbaren Fläche 236, einer 
Kanalfläche264, einerSchlangen- 
fläche 267 

Steinerscher Satz 131 
Stereographische Projektion 213 
Striktionslinie 276, des Paraboloids 
277, des allg. Hyperboloids 277, 
eines Konoids 279, einer gerad- 
linigen Scbraubenfläche 295, 



298, einer Normalfläche eines 
Kegels 292 
Strophoide 300 

Symmetrische Strahleninvolution 94 
Symmetrieebenen einer Kegel- 
schnittfläche 202, 205, einer 
Kegelfläche zweiter Ordnung 
204 



T. 

Tangenten einer beliebigen Kurve 
135, 175, eines Kegelschnitts 
105, 106. 107, 109, im Doppel- 
punkte einer Schnittkurve 192, 
244—246 

Tangentenfläche einer ßaumkurve 
255 ff. 

Tangentialebene (Existenzbeweis) 
177, einer Umdrehungsfläche 
179, 181, Kegelschnittfläche 196, 
abwickelbaren Fläche 235, eines 
Umdrehungshyperboloids 185, 
187, einer windschiefen Fläche 
270 — 272, einer Schraubenfläche 
293, 296, 298; durch einen ge- 
gebenen Punkt an einen Kegel 
8; durch eine gegebene Gerade 
an eine Kugel 11, an eine Um- 
drehungsfläche 190 

Teilpnnkte 61 

Totalkrümmung 144 



U. 

Uindrehungsüächen 179, -hyper- 
boloid 184, 194, 195, -kegel- 
schnittflächen 193 

Umklappung einer ebenen Figur 
6, 21, 23, 34, 49, 50, 52, 61, 73 

Unendlich ferne Linie u. Ebene 
55 

Unendlich ferne Funkte 54, einer 
Hyperbel 103, einer Parabel 
104, 105, einer beliebigen Kurve 
140—141, 175, einer Fläche 177, 
einer Umdrehungsfläche 180, 
einer Kegelschnittfläche 194, 
203, 204, 207, einer abwickel- 
baren Fläche 236, einer wind- 
schiefen Fläche 271 

Unendlich ferner Kegelschnitt 126 



320 



Sachregister 



T. 

Verscliwindungsehene 57, -raumöT 
Vollständiges VierecJc u. Vier seit 
67—68 



W. 

M^endehreis 165 

Wendelfläche 296 

Wendepol 165 

Wendepunkte 138, zyklischer 

Kurven 170, der Ab-wickelung 

einer Kurve 239, 241 



Windelfläche 252 
Windellinie 252. 



Z. 



Zeichnung von Normbögen 153 
Zentralebene u. Zentralpunkt 187, 

272 
Zentralprojektio}i 57, eines Kreises 
123, eines Kegelschnitts 124, 
eines einfachen Bogens 229 
Zentrum einer Involution 90 
Zylinder 8, 16, 26, 41, 56 
Zylindroid 281 



Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 
E. Pascals Repertorium der höheren Mathematik. 

Zweite, völlig umgearbeitete Auf hige der deutschen AuBgale. Unter Mitwirkung 
zaiilreicher Mathematiker herausgegeben von P. Epstein, Professor an der Univer- 
sität Straßburg, und H. E. Timerding , Professor an der Technischen Hochschule 
Braunschweig. 2 Bände in i Teilen, gr. 8. In Leinwand geb. 
I.Band: Analysis. Unter Mitwirkung von K. Fricke, Ph. Furtwängler, 
A. üuldberg, H.Hahn, E.Hecke, E.Jahnke,H. Jung, G. Kowalewski, 
A. Loewy, B. Pascal, H. E. Timerding herausgegeben von P. Epstein und R. 
Roths. I. Hälfte: Algebra, Differential- und Integralrechnung. [XV 
und 527 S.] IfUO. Ji 10. ~ [Die II. Hälfte befindet sich unter der Presse.] 

II. Band : Geometrie. Unter Mitwirkung von L.Berzolari, R. Bonola, E. Ciani, 
M. Dehn, F. Diugeldey, F. Enriques, (t. Giraud, G. Guareschi, 
L. Hoffter, W. Jacobsthal, H. Liebmann, J. Mollerup, J. Neuberg, 
U. Perazzo, O.Staude, E. Steinitz, H.Wiel eitner und K.Zindler 
herausgegeben von H. E. Timerding. I.Hälfte: Grundlagen und ebene Geo- 
metrie. [XVIU.534S.] 1910. JllO.— [Diell.Hälftebefindetsichunt.d. Presse.] 

Das Werk soll nicht bloß eine Übersicht über das weite Gebiet der Algebra, 
Analysis und Geometrie im einzelnen, sondern auch eine Darlegung ihrer allge- 
meinen Prinzipien und Methoden geben und von dem heutigen Stand der For- 
schungen Eechenschaft ablegen, soll so nicht bloß zur Führung und Orientierung 
während des mathematischen btudienganges dienen, es soll auch eine brauchbare 
Hilfe bei selbständiger wissenschaftlicher Arbeit gewähren. 

Encyklopädie der Elementar-iVIathematik. ^TL^hr'efu^d 

Studierende von H. Weber und J. Wellstein. In 3 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb. 
I. Band: Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Weber. 3. Aufl 

Mit 40 Figuren. [XVIII u 532 S.] 1909 JC 10.— 

II. Band: Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H.Weber, J. Wellstein und 
W. Jacobs thal. 2. Auflage. Mit 251 Figuren. [Xn u. 596 S.] 1907. J/ 12.— 

III. Band: Angewandte Elementar-Mathematik. In 2 Teilen. 2. Auflage I. Teil: 
Mathematische Physik. Mit einem Buch über Maxima und Minima von 
H. Weber und J. Well st ein. Bearbeitet von Rudolf H. Web er, Professor 
in Rostock. Mit 254 Figuren. [XII u. :')36 S.] 1910. Jl 12.— IL Teil: Dar- 
stellende Geometrie, graphische Statik, Wahrsclieinlichkeits- 
rechnung, politische Arithmetik und' Astronomie. Bearbeitet von 
J. Wellstein, H. Weber, H. Bleicher, J. Bauschinge r. Mit 271 Figuren. 

[X u. 671 S ] 1912 M. 14.— 

Das Ziel dieser Arbeit ist nicht in der Vergrößerung des L'mfanges der Ele- 
mentarmathematik zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein 
elementares Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht faßlichen 
Darlegung der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst als für 
den Lehrer und Studierenden bestimmt. 

Die mathematischen Wissenschaften, wi'f'äre EmwS 

u. ihre Ziele, herausg. v. Prof Paul Hinneberg, Teil III, Abt I.) Unt. Leitungv.F. Klein. 

Inhalt : 1. Die Beziehungen der Mathematik zur Kultur der Gegenwart. Von A. V o ß. 
2 Die Verbreitung mathematischen Wissens und mathematischer Auffassung. Von 
H.K. Timerding. (Xr. 1 u. i . 2. Lieferung [VIu.l61S.] Lex -8. 19U. Geh..«i;.— i 
3. Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter. Vou H. G. Zeuthen. (1. Lief. 
[IV u. 95 S.] Lex.-8. 1912. Geh. Jl 3.—) 4. Die Mathematik im 16., 17. u, 18. Jahr- 
hundert. Von P. Stäckel. 5. Die Mathematik der Neuzeit. VonN.N. 6. Über die 
mathematische Erkenntnis. VonA. Voß. (3. Lief. [VI u. U8 S.] Lex.-8. 1!)14.) 

I und 2 geben solche Erörterungen über das Wesen und die Bedeutung der mathe- 
matischen Wissenschaften, die als solche jedem Gebildeten verständlich sein wollen. 
Die Hefte 3, 4 und 5 bringen sodann eine Schilderung des historischenWerdegangs 
unserer Disziplin. Die Bearbeiter nehmen an, daß diese Form der Darlegung, die 
mehr die allgemeinen Verknüpfungen als den besonderen Inhalt der aufeinander- 
folgenden Entwickelungen hervortreten läßt, zu ihrem Verständnis zwar selbst- 
verständlich einige mathematische Vorkenntnisse voraussetzen muß, aber doch sehr 
viel zugänglicher ist als eine systematische Darstellung, die ihre Wirkung erst bei 
strengem Fachstudium entfalten kann. In wird sodann der schwierige Versuch 
gemacht, das Wesen der mathematischen Erkenntnis in einer dem heutigen 
Staudpunkte entsprechenden Form mehr philosopliisch darzulegen. 

Timerding, llandbuclx II. 



Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin 

Vorlesungen über darstellende Geometrie, unter be- 
sonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Technik. Von Guido 
Hauck. Herausg.v. Alfred Hauck. 2 Bde. gr. 8. I. Bd. mit G50 Fig. 
[XII u. 339 S.] 1912. Geh. Ji 10.—, geb. JC 12.—. II. Bd. [In Vorb.j 

Vorlesungen über darstellende Geometrie, von Gino 

Loria. Deutsch v. Fr. Schütte. In 2 Teilen. Mit vielen Fig. gr. 8. 
I.Teil: Die Darstellungsmethoden. [XIu.219S.] 1907. Geh.cÄG.— , 

geb. Jü 1.— 
IL Teil: Anwendungen auf ebenflächige Gebilde, Kurven u. Flächen. 
Mit 146 Fig. [XII u. 204 S.] 1913 Geh.c/Älll.— ,geb..«12.— 
III. Teil: Geschichte der darstellenden Geometrie. [In Vorbereitung.] 

Vorlesungen über darstellende Geometrie. vonFv.Dai 

wigk. In 2 Bänden, gr. 8. Geb. I. Band : Die Methoden der Parallel- 
projektion. Mitl84Fig. [XVIU.864S.] 1911. ./^. 13.- II.Bd :U.d.Pr. 

LehrJ)uch der darstellenden Geometrie für tech- 
nische Hochschulen, von Emll MÜller. In 2 Bänden, gr. 8. 
I. Band. Mit 375 Fig. u. 3 Taf. [XIV u. 368 S.] 1908. Geb. M 12.— 
II. Band. I.Heft. Mit 140 Fig. [VIIu. 129S.J 1912. Geh. .i^ 4.— 
2. Heft in Vorb. 

Über die Anwendungen der darstellenden Geometrie, 
insbesondere über die Photogrammetrie. Mit einem 

Anhang: Welche Vorteile gewährt die Benutzung des Projektions- 
apparates im mathem, Unterricht? Von Friedrich Schilling. Mit 151 Fig. 
u. 5 Doppelfcaf. [VI u. 198 S.] gr. 8. 1904. Geh. JC. 4.60, geb. Ji 5.— 

Darstellende Geometrie des Geländes, von r. Rothe. 

Mit 82 Fig. [IVu. 67S.] 1914. Kart, c//^ —.80. 

Das militärische Aufnehmen, unter besonderer Berück- 
sichtigung der Arbeiten der Kgl. Preußischen Landesaufnahme nebst 
einigen Notizen über Photogrammetrie und über die topographischen 
Arbeiten Deutschland benachbarter Staaten. Nach den auf der Kgl. 
Kriegsakademie gehaltenen Vorträgen bearbeitet von B.Schulze. Mit 
129 Textabbildungen, [XIII u. 305 S.J gr.8. 1903. InLeinw.geb.,i^8.— 

Leitfaden der Kartenentwurfslehre. Für studierende 

und deren Lehrer v.K.Zöppritz. Hrsg.v. A.Bludau. 2Tle. gr.8. Geb. 
I. Teil: Die Projektionslehre. Mit 154 Fig. u. zahlr. Tabellen. 8. Aufl. 

[Xnu.240S.] 1912. Geh.>y^9.— , inLeinw.geb.Ji^lO.— 
II. Teil: Kartographie u. Kai-tometrie. Mit 12 Fig., 2 Tabell. u. 2 Taf. 

2. Aufl. [VIIIU.109S.] 1908. Geh. c/Ä 3.60, in Leinw.geb.4.40. 

Allgemeine Kartenkunde. Ein Abriß ihrer Geschichte und 

ihrer Methoden. Von H. Zondervan. Mit 32 Fig. [X u. 210 S.] 
gr. 8. 1901. Geh. Ji 4.60, in Leinw. geb. JI. 5.20. 



tra 






PLEASE DO NOT REMOVE 
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET 

UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY 



QA Hjelmslev, Johannes Trolle 

501 Darstellende Geometrie 

H5 



P^cASci.